2020届湖北省高三4月调研考试数学模拟试卷(理)有答案

2020年高考数学（4月份）模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知实数集R，集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，集合B ＝，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x≤2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|0≤x＜5} 2．已知z∈C ，若，则z＝（）A ．B ．C ．D ．3．若（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．0B．1C．﹣1D．24．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸＝10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为（）A．91.6寸B．82.0寸C．81.4寸D．72.4寸5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知，则（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3] 10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为（）A．B．2C．D．11．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为m，则圆锥的底面圆半径为（）A．m B．1m C．m D．m12．已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f （x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[）．其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y＝e x+1上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1＝0，则点P的坐标是．14．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则m+n ＝．15．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的动点，△MF1F2的内心为I，则＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范围，18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．19．线段AB为圆M：x2+y2+2x﹣10y+6＝0的一条直径，其端点A，B在抛物线C：x2＝2py （p＞0）上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N 点，求△PQN面积的取值范围．20．已知函数f（x）＝x2+πcos x．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＜π．21．2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019﹣nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：（a）逐份检验，则需要检验n次；（b）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，In7≈1.9459（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，点M 的直角坐标为（1，0），求△PMQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a、b满足a2+b2﹣ab＝3．（1）求a﹣b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：++≥．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数集R，集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，集合B＝，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x≤2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|0≤x＜5}【分析】可以求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{y|y＞0}，∴∁R B＝{y|y≤0}，A∩（∁R B）＝{x|﹣1＜x≤0}．故选：C．2．已知z∈C，若，则z＝（）A．B．C．D．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R）．由，可得﹣（a﹣bi）＝1+2i，﹣a＝1，b＝2，解得b，a．解：设z＝a+bi（a，b∈R）．∵，∴﹣（a﹣bi）＝1+2i，∴﹣a＝1，b＝2，解得b＝2，a＝．则z＝+2i，故选：B．3．若（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．0B．1C．﹣1D．2【分析】令x＝0求得a0，再令x＝1即可求解结论．解：因为：（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，令x＝0可得：1＝a0；令x＝1可得：a0+a1+a2+a3+…+a2020＝（1﹣2×1）2020＝1；故a1+a2+a3+…+a2020＝1﹣1＝0．故选：A．4．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸＝10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为（）A．91.6寸B．82.0寸C．81.4寸D．72.4寸【分析】由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为a1＝130，夏至晷影长为14.8寸，则为a13＝14.8，春分的晷影长为a7，根据等差数列的性质即可求解．解：由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为a1＝130，夏至晷影长为14.8寸，则为a13＝14.8，春分的晷影长为2a7＝a1+a13；∴a7＝72.4；即春分的晷影长为72.4．故选：D．5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设f（x）＝，分析函数的奇偶性可以排除A、D，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数y＝f（x）为增函数，排除C；即可得答案．解：根据题意，设f（x）＝，有f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；设t＝cos x，则y＝﹣2t2+t+1，在区间[0，]上，t＝cos x为减函数，且0≤t≤1，y＝﹣2t2+t+1，其对称轴为t＝，开口向下，在区间（﹣∞，）上为增函数，（，+∞）上为减函数，在区间（0，arccos）上，t＝cos x为减函数，此时＜t＜1，函数y＝﹣2t2+t+1为减函数，故函数y＝f（x）为增函数，排除C；故选：B．6．已知，则（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵20.1＞20＝1，∴x＞1，∵，∴0 ，∴0 ，∵，∴，∴y＜z＜x，故选：D．7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的前n项和为S n．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：若q＝1时，S6＝6a1＝3S2＝3•2a1＝6a1，q＝﹣1时，S6＝3S2＝0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件，故选：C．8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】可根据条件得出，并可设，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出＝，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出m即可．解：∵，F为BC的中点，∴，，设＝＝＝，又，∴，解得m＝．故选：A．9．已知函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【分析】当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则﹣1+a＞3a﹣7，由此能求出实数a的取值范围．解：函数f（x）＝，存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则﹣1+a＞3a﹣7，解得a＜3，∴2≤a＜3，综上所述：实数a的取值范围是（﹣∞，3）．故选：C．10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为（）A．B．2C．D．【分析】由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y＝联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．解：如图，因为A为F1B的中点，所以，又因为B在圆上，所以＝0，故OA⊥F1B，则F1B：y＝（x+c），联立，解得B（，），则OB2＝（）2+（）2＝c2，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，∴＝4，e＝＝2．故选：B．11．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为m，则圆锥的底面圆半径为（）A．m B．1m C．m D．m【分析】由题意画出图形，沿母线SP剪开再展开，由圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长相等列式求解．解：如图，在圆锥SO中，已知SP＝2，沿SP剪开再展开，由题意可得PP′＝，可得∠PSP′＝．设圆锥的底面圆半径为r，则2πr＝，得r＝m．故选：A．12．已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f （x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[）．其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【分析】由f（x）＝0，解方程，讨论k＝﹣1，0，1，2，由题意可得ω的取值范围，可判断④；由x∈（0，），可得ωx的范围，结合余弦函数的单调区间，可判断③；再由题意可得f（x）的极大值为f（x2），极小值为f（x1），结合余弦函数的图象可判断①、②．解：函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，由cos（ωx）＝0，可得ωx＝kπ+，k∈Z，由k＝0可得x＝；k＝﹣1可得x＝；k＝1可得x＝；k＝2可得x＝，由x3∈[0，π]，可得＞π，且≤π，解得≤ω＜；故④正确；由x∈（0，），可得ωx∈（﹣，﹣），由≤ω＜，可得﹣∈（﹣，﹣），由y＝cos x在（﹣π，0）递增，可得f（x）在（0，）上单调递增，故③正确；由∀x∈[0，π]都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），可得f（x）的极大值为f（x2），极小值为f（x1），由y＝cos x的图象可得f（x）在[0，π]的极大值有两个，极小值一个，故①正确，②错误．其中正确的为①③④．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y＝e x+1上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1＝0，则点P的坐标是（0，2）．【分析】先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．解：由题意得y′＝e x，且切线斜率为1．设切点为P（x，y），则e x＝1，所以x＝0，∴y＝e0+1＝2．故切点坐标为（0，2）．故答案为：（0，2）14．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则m+n＝．【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解．解：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m，，n，且相互独立，所以0≤m≤1，0≤n≤1，又因为三个社团他都能进入的概率为，所以①，因为至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都不能进入的概率为1＝，所以（1﹣m）（1﹣n）＝，即1﹣m﹣n+mn＝②，联立①②得：m+n＝．故答案为：．15．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为9600．【分析】设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意x∈N，y∈N，把运输队所花成本z 看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且x∈N，y∈N，目标函数z＝1200x+1800y，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z＝240x+378y经过点B（8，0）时，截距z最小，∵在可行域的整数点中，点（8，0）使z取得最小值，即z min＝1200×8+1800×0＝9600，∴每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的动点，△MF1F2的内心为I，则＝﹣1．【分析】运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．解：设△MF1F2的内切圆与△MF1F2相切于D，E，F，设MD＝u，DF1＝v，FF2＝t，则MD＝MF＝u，DF1＝EF1＝v，EF2＝FF2＝t，由椭圆的定义，可得，MF1+MF2＝2a＝2，F1F2＝2c＝2，即有2u+v+t＝2，v+t＝2，即有：2u＝2﹣2，即u＝﹣1，再由＝|MI|cosθ＝|MF|＝u＝﹣1，故答案为：﹣1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范围，【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cos B＝±，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由，可求得B＝，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a﹣c ＝sin（A﹣），由已知可求范围≤A﹣＜，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．解：（1）∵＝2（cos A+sin A）（cos A+sin A）＝2（cos2A﹣sin2A）＝×﹣＝+cos2A，∴解得cos2B＝﹣，可得2cos2B﹣1＝﹣，∴可得cos2B＝，∴cos B＝±，∵B∈（0，π），∴B＝或．（2）∵，∴由（1）可得B＝，由正弦定理＝＝2，可得a＝2sin A，c ＝2sin C，∴a﹣c＝2sin A﹣sin C＝2sin A﹣sin（﹣A）＝2sin A﹣sin cos A+cos sin A＝sin A﹣cos A＝sin（A﹣），∵b≤a，∴≤A＜，≤A﹣＜，∴a﹣c∈[，）．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）取BC中点E，连接DE，设AB＝AD＝a，BC＝2a，由已知可得BD2+CD2＝BC2，则BD⊥CD，又平面SCD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可得BD⊥平面SCD；（2）过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，可得SH⊥CD，则SH⊥底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，求解三角形可得AH2+DH2＝AD2，从而∠AHD＝90°，过点D作DF∥SH，则DF⊥底面ABCD，可得DB、DC、DF两两垂直，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求出平面BMD与平面SBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点E，连接DE，设AB＝AD＝a，BC＝2a，依题意，四边形ABED为正方形，且有BE＝DE＝CE＝a，BD＝CD＝，∴BD2+CD2＝BC2，则BD⊥CD．又平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD⊥底面ABCD＝CD，∴BD⊥平面SCD；（2）解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，∵平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD∩底面ABCD＝CD，SH⊥CD，SH⊂平面SCD，∴SH⊥底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，∠SDH为斜线SD与底面ABCD所成的角，即∠SDH＝60°．由（1）得，SD＝a，∴在Rt△SHD中，SD＝a，DH＝a，SH＝a，在△ADH中，∠ADH＝45°，AD＝a，DH＝a，由余弦定理得AH＝，∴AH2+DH2＝AD2，从而∠AHD＝90°，过点D作DF∥SH，∴DF⊥底面ABCD，∴DB、DC、DF两两垂直，如图，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，则B（a，0，0），C（0，a，0），S（0，﹣a，a），A（a，﹣a，0），M（a，﹣a，a），设平面MBD的法向量＝（x，y，z），由，取z＝1，得＝（0，，1）；设平面SBC的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos＜＞＝＝＝．∴平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值为．19．线段AB为圆M：x2+y2+2x﹣10y+6＝0的一条直径，其端点A，B在抛物线C：x2＝2py （p＞0）上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N 点，求△PQN面积的取值范围．【分析】（1）利用抛物线的定义可求出p＝1，再利用点差法求出直线AB的斜率，结合直线AB过圆心M，利用点斜式即可求出直线AB的方程：（2）不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线l的方程为y＝k（x+1）+5，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求出|PQ|，再利用导数的几何意义求出抛物线C在P（x1，y1）的切线方程，把点N（x0，y0）代入切线PN的方程得，同理可得：，故x1，x2为一元二次方程x2﹣2x0x+2y0＝0的两根，再次利用韦达定理得x0＝k，y0＝﹣k﹣5，所以点N到直线PQ 的距离d＝，所以S△PQN＝＝，故当k＝﹣1时，△PQN的面积取得最小值，最小值为27，解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线的焦点为F，则|AF|+|BF|＝y1+y2+p，又y1+y2＝10，∴10+p＝11，∴p＝1，∴抛物线C的方程为：x2＝2y，由，两式相减得：＝＝﹣1，∴直线AB的斜率为﹣1，圆M方程：x2+y2+2x﹣10y+6＝0化为坐标方程为：（x+1）2+（y﹣5）2＝20，∴直线AB过圆心（﹣1，5），∴直线AB的方程为：y﹣5＝﹣（x+1），即x+y﹣4＝0；（2）不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线l的方程为y＝k（x+1）+5，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣2k﹣10＝0，∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2k﹣10，∴|PQ|＝＝2，∵抛物线C的方程为x2＝2y，∴，∴y'＝x，∴抛物线C在P（x1，y1）的切线方程为：y﹣y1＝x1（x﹣x1），又∵点N（x0，y0）在切线PN上，则y0﹣y1＝x1（x0﹣x1），即，同理可得：，故x1，x2为一元二次方程x2﹣2x0x+2y0＝0的两根，∴x1+x2＝2x0，x1x2＝2y0，又x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2k﹣10，∴x0＝k，y0＝﹣k﹣5，∴点N到直线PQ的距离d＝＝＝，∴S△PQN＝＝2×＝＝，∴当k＝﹣1时，△PQN的面积取得最小值，最小值为27，∴△PQN面积的取值范围为：[27，+∞）．20．已知函数f（x）＝x2+πcos x．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＜π．【分析】（1）由于函数f（x）为偶函数，故只需求x∈[0，+∞）时f（x）的最小值，利用f′（x）＝2x﹣πsin x，对x分x∈（0，）及x∈（，+∞），两类讨论，即可求得函数f（x）的最小值；（2）只需证＜，其中x1∈（0，），x2∈（，+∞），构造函数F（x）＝f（x）﹣f（π﹣x），x∈（0，），利用导数结合题意可证得x1+x2＜π．解：（1）由于函数f（x）＝x2+πcos x为偶函数，要求函数f（x）的最小值，只需求x∈[0，+∞）时f（x）的最小值即可．因为f′（x）＝2x﹣πsin x，所以，当x∈（0，）时，设h（x）＝2x﹣πsin x，h′（x）＝2﹣πcos x，显然h′（x）单调递增，而h′（0）＜0，h′（）＞0，由零点存在定理，存在唯一的x0∈（0，），使得h′（x0）＝0，…2分当x∈（0，x0），h′（x）＜0，h（x）单减，当x∈（x0，），h′（x）＞0，h（x）单增，而h（0）＝0，h（）＝0，x∈（0，），h（x）＜0，即x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单减，…4分又当x∈（，+∞），2x＞π＞πsin x，f′（x）＞0，f（x）单增，所以f（x）min＝f（）＝；…5分（2）只需证＜，其中x1∈（0，），x2∈（，+∞），构造函数F（x）＝f（x）﹣f（π﹣x），x∈（0，），F′（x）＝f′（x）+f′（π﹣x）＝2π﹣2πsin x＞0，即F（x）单增，所以，F（x）＜F（）＝0，即当x∈（0，）时，f（x）＜f（π﹣x），而x1∈（0，），所以，f（x1）＜f（π﹣x1），又f（x1）＝f（x2），即f（x2）＜f（π﹣x1），此时x2，π﹣x2∈（，+∞），由第（1）问可知，f（x）在（，+∞）上单增，所以，x2＜π﹣x1，x1+x2＜π，即证…12分21．2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019﹣nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：（a）逐份检验，则需要检验n次；（b）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，In7≈1.9459【分析】（1）设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，求出概率即可；（2）（i）由已知得Eξ1＝k，ξ2可能的取值为1，k+1，由Eξ1＝Eξ2，求出k的关系式即可；（ii）由题意Eξ1＜Eξ2，所以，两边取对数得lnk＞，设g （x）＝lnx﹣，x≥2，根据函数的单调性结合题目给的条件判断即可．解：（1）设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，则P（A）＝，故恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为；（2）（i）由已知得Eξ1＝k，ξ2可能的取值为1，k+1，所以P（ξ2＝1）＝（1﹣p）k，P（ξ2＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，所以Eξ2＝（1﹣p）k+（k+1）[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k，由Eξ1＝Eξ2，所以k＝k+1﹣k（1﹣p）k，即1＝k（1﹣p）k，（1﹣p），得p＝1﹣，故p关于k的函数关系式为f（k）＝1﹣，（k∈N*，且k≥2）；（ii）由题意Eξ1＜Eξ2，所以k＜k+1﹣k（1﹣p）k，，由，所以，两边取对数得lnk＞，设g（x）＝lnx﹣，x≥2，由g'（x）＝，当x＞4时，g'（x）＜0，函数递减，当2≤x≤4时，g'（x）＞0，函数递增；ln2≈0.6931＞，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094＞，ln6≈1.7917，In7≈1.9459，ln8＝2ln3≈2.0793，ln9≈2.1972＜，故满足条件的k最大为8．（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，点M 的直角坐标为（1，0），求△PMQ的面积．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0，转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C2的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．（2）直线l：y＝kx转换为极坐标方程为θ＝θ0，代入，解得．代入ρ＝4cosθ，得到ρP＝4cosθ0，由于|OQ|＝|PQ|，所以ρP＝2ρQ，故：，解得，，所以，．则．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a、b满足a2+b2﹣ab＝3．（1）求a﹣b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：++≥．【分析】（1）由已知得a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，得0≤3﹣ab≤4，即0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，可得＝＝即．解：（1）因为a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，所以﹣1≤ab≤3，则0≤3﹣ab≤4，而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，因为＝＝当且仅当ab＝2时取等号，所以．。

2020年湖北省武汉市武昌区四月调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|log 2x >0}，则A ∩B =( )A. {x|1<x <2}B. {x|0<x <2}C. {x|1<x <3}D. {x|0<x <1}2. i 为虚数单位，复数z =1−2i(1+i)2的虚部为( )A. 12B. −12C. 12iD. −12i3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=3a 3，则S5S 9=( )A. 59B. 95C. 53D. 5274. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x −a ，则f(−1)=( )A. 3B. −3C. −2D. −15. 已知实数x ，y 满足{2x +y −2≥03x −y −3≤0x −2y +4≥0，则z =x −3y 的最小值为( )A. −7B. −6C. 1D. 66. 已知(3x +a)(1x −1)5的展开式中常数项为14，则实数a 的值为( )A. −1B. 1C. 45D. −457. 若tanα=3tan2π7，则cos(α−3π14)sin(α−2π7)=( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知a =ln3，b =√3ln2,c =log 32，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. a <c <b9. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB =AC =1，AA 1=2√3，∠BAC =2π3，则球O 的体积为( )A.32π3B. 3πC. 4π3D.24π310. 如图所示，在由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设DF =3FA ，则( )A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3663AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2463AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3663AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2463AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，点M 和N 分别是△PF 1F 2的重心和内心，且MN 与x 轴平行，若|PF 1|=4a ，则双曲线的离心率为( )A. 32B. 2C. √3D. √212. 已知一个正方形的四个顶点都在函数f(x)=x 3−92x +1的图象上，则此正方形的面积( )A. 5或172B. 5或10C. 5或17D. 10或17二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +a n+1=4×3n−1，则S 2020=______． 14. 有人收集了七月份的日平均气温t(摄氏度)与某冷饮店日销售额y(百元)的有关数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如表：由资料可知，y 关于t 的线性回归方程是y ̂=1.2t +a ̂，给出下列说法：①a ̂=−32.4②日销售额y(百元)与日平均气温t(摄氏度)成正相关； ③当日平均气温为33摄氏度时，日销售额一定为7百元． 其中正确说法的序号是______15. 已知F 是抛物线y =18x 2的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为(3,−2)，则|PF||PA|的最小值是______16. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx −π4)的图象在区间(π2,π)上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinA−sinBsinC =a−ca+b．(1)求角B的大小；(2)若b=6，且AC边上的中线长为4，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB=AD=DC=12BC=2，PB⊥AC．(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA=4，PB=2√3，求二面B−PC−D的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,1)，离心率为√22．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P作两条互相垂直的弦PA，PB分别与椭圆C交于点A，B，求点P到直线AB距离的最大值．20.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量(单位：吨)，得到统计表如表：(1)若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费．试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？(2)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；(3)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．21.已知函数f(x)=(e−x)lnx(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的零点，以及曲线y=f(x)在其零点处的切线方程；(2)若方程f(x)=m(m≠0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<e−1−em．e−122. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，以O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)求曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)曲线C 2与x 轴交点为P ，与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|PA|+1|PB|的值．23. (1)解不等式|x −2|+|x +3|≥9；(2)若|a|<1，|b|<1，求证：|ab +1|>|a +b|．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|−1<x <3}，B ={x|x >1}， ∴A ∩B ={x|1<x <3}． 故选：C ．可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：复数z =1−2i(1+i)2=1−2i 2i=−i(1−2i)2i(−i)=−1−12i.其虚部为−12， 故选：B ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为a 5=3a 3，所以a 1+4d =3(a 1+2d)即a 1=−d ，则S 5S 9=5a 1+10d 9a 1+36d =5d 27d =527． 故选：D ．由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义域为R 的奇函数，则f(0)=0， 则有f(0)=20−a =1−a =0，解可得a =1， 则f(1)=2+2−a =4−1=3，又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=−3； 故选：B ．根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=20−a =1−a =0，解可得a 的值，即可得函数的解析式，求出f(1)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出a 的值，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由约束条件{2x +y −2≥03x −y −3≤0x −2y +4≥0作出可行域如图，联立{x −2y +4=03x −y −3=0，解得A(2,3)，化目标函数z =x −3y 为y =x3−z3，由图可知，当直线y =x3−z 3过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−7． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.【答案】B【解析】解：(1x −1)5的展开式的通项为T r+1=∁5r ⋅(1x )5−r ⋅(−1)r =(−1)r ⋅∁5r ⋅xr−5． 取r −5=−1，得r =4，取r −5=0，得r =5．∴(3x +a)(1x −1)5的展开式中常数项为：3×(−1)4⋅∁54+a ⋅(−1)5⋅∁55=14，得a =1． 故选：B ．写出(1x −1)5的展开式的通项，求出其常数项以及含x −1的项，则答案可求． 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7.【答案】B【解析】解：因为tanα=3tan 2π7，则cos(α−3π14)sin(α−2π7)=cosαcos3π14+sinαsin 3π14sinαcos 2π7−sin 2π7cosα=cosαsin2π7+sinαcos 2π7sinαcos 2π7−sin 2π7cosα，=tan 2π7+tanαtanα−tan2π7，=4tan2π72tan2π7=2，故选：B ．由已知结合诱导公式及同角基本关系进行化简后代入已知即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档试题．8.【答案】B【解析】解：0=log 31<c =log 32<log 33=1，所以0<c <1， a =ln3>lne =1，所以a >1，b =√3ln2=ln2√3>lne =1，所以b >1， 因为2√3>3，所以ln2√3>ln3，b >a ， 所以c <a <b ， 故选：B ．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵△ABC 中，AB =1，AC =1，∠BAC =120°， ∴△ABC 的外接圆的半径r =1．直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，且AA 1=2√3， 则球O 的半径R =√11+(√3)2=2； ∴球O 的体积V =43πR 3=323π.故选：A ．由已知可得△ABC 的外接圆的半径r =3.直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，且AA 1=2√3，利用勾股定理即可得出球O 的半径R本题考查了直三棱柱的性质、直角三角形的边角关系、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：由题，DF =3FA ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+116CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ +116(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +316AC⃗⃗⃗⃗⃗ +164AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴6364AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +316AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．根据已知，确定比例关系，利用平面向量的三角形法则表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，通过化简以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底表示即可．本题考查平面向量的线性运算，做题时需细心谨慎，根据比例关系数形结合，属简单题．11.【答案】A【解析】解：设P(x 0,y 0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，设P 在第一象限，所以重心M(x 03,y3)，因为|PF 1|=4a ，由双曲线的定义可得|PF 2|=|PF 1|−2a =2a ，设三角形△PF 1F 2与各边的切点分别为如图所示E ，F ，D ，则PE =PD ，EF 1=F 1F ，FF 2=DF 2，所以|PF 1|−|PF 2|=2a =|PE|+|EF 1|−(|PD|+|DF 2|)=|F 1F|−|FF 2|=|F 1F 2|−2|FF 2|=2c −|FF 2|，所以|FF 2|=c −a ，即F 为双曲线的右顶点，又MN 与x 轴平行，所以可得N(a,y3)△PF 1F 2的内切圆的半径为r =y 03，所以S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅y 0=12(|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|)⋅r =12(4a +2a +2c)⋅y 03，所以可得：2c =3a ，所以离心率e =c a =32， 故选：A ．设P 的坐标，由重心的公式可得重心M 的坐标，再由MN 与x 轴平行可得△PF 1F 2的内心的纵坐标，即可得△PF 1F 2的内切圆的半径，再由三角形的面积公式用内切圆的半径表示可得a ，c 的关系，进而求出双曲线的离心率．本题考查三角形的重心坐标的求法及三角形的面积由内切圆的半径表示的代数式，及双曲线的性质，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：由f(x)+f(−x)=2，得函数f(x)关于点M(0,1)中心对称，显然该正方形ABCD 的中心为M ，由正方形性质可知，AC ⊥BD 于M ，且|AM|=|BM|=|CM|=|DM|， 设直线AC 的方程为y =kx +1(k >0)，则直线BD 的方程为y =−1k x +1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则C(−x 1,2−y 1)，D(−x 2,2−y 2)， 联立直线AC 方程与函数y =f(x)得{y =kx +1y =x 3−92x +1，即x 3−(k +92)x =0，∴x 12=k +92，同理x 22=92−1k，又|AM|=√1+k 2|x 1−0|,|BM|=√1+1k2|x 2−0|，∴(1+k 2)(k +92)=(1+1k 2)(92−1k )，即k 2+1k 2+92(k −1k )=0，化简得2(k −1k )2+9(k −1k)+4=0，∴k −1k =−4或k −1k =−12，∴k +1k =√(k −1k )2+4=2√5或√172， ∴S 正方形ABCD =2|AM||BM|=2√1+k 2⋅√1+1k 2⋅|x 1x 2|=2(k +1k )⋅√(k +92)(92−1k )=2(k +1k )⋅√92(k −1k )+774=10或17．故选：D ．分析函数关于点M(0,1)中心对称，进而正方形ABCD 的对称中心为M ，设出直线AC 的方程为y =kx +1(k >0)，则直线BD 的方程为y =−1k x +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则C(−x 1,2−y 1)，D(−x 2,2−y 2)，联立直线方程与函数y =f(x)可得x 12=k +92，x 22=92−1 k ，由|AM|=|BM|，可得(1+k2)(k+92)=(1+1k2)(92−1k)，进而求得k−1k=−4或k−1 k =−12，再用|AM|，|BM|表示出正方形的面积，代值计算即可得出答案．本题考查直线与曲线的综合运用，涉及了函数的对称性，正方形的性质，弦长公式等基础知识点，考查了运算求解能力，属于较难题目．13.【答案】32020−12【解析】解：由题意，可知S2020=a1+a2+⋯+a2020=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a2019+a2020)=4×1+4×32+4×34+⋯+4×32018=4×(1+32+34+⋯+32018)=4×1−32018⋅321−32=32020−12．故答案为：32020−12．本题根据题干中给出的通项公式的特点在计算S2020的值时，可将相邻的奇偶项合为一组代入，然后根据等比数列的求和公式可计算出S2020的值．本题主要考查根据递推公式的特点运用分组求和法求前n项和，考查了整体思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．14.【答案】①②【解析】解：已知y关于t的线性回归方程是ŷ=1.2t+â，由t=31+32+33+34+355=33，y−=5+6+7+8+105=7.2，代入上式7.2=1.2×33+â，得â=−32.4，故①正确，因为k=1.2>0，故正相关，②正确，当t=33时，y不一定为7，故③错误，故答案为：①②．已知y关于t的线性回归方程是ŷ=1.2t+â，由t=31+32+33+34+355=33，y−=5+6+7+8+105=7.2，求出线性回归方程，再判断即可．本题考查了线性回归方程的计算和应用，考查运算能力和实际应用能力，基础题．15.【答案】√55【解析】解：如图所示，过P 作PM ⊥x 轴，交直线y =−2于点M ，则|PF|=|PM|， ∴|PF||PA|=|PM||PA|=sin∠PAM ，显然∠PAM 为锐角，∴要求|PF||PA|的最小值，只需保证∠PAM 最小即可， 而当直线PA 与抛物线相切时，∠PAM 最小．设点P 的坐标为(a,a 28)，y′=14x ，∴直线PA 的斜率为14a =a 28+2a−3，解得a =8或−2，对应的点P 坐标分别为(8,8),(−2,12)，当P(8,8)时，|PF||PA|=|PM||PA|=8−(−2)√(8−3)2+(8+2)2=2√55， 当P(−2,12)时，|PF||PA|=|PM||PA|=12−(−2)√(−2−3)2+(12+2)2=√55，∵2√55>√55，∴|PF||PA|的最小值是√55． 故答案为：√55．过P 作PM ⊥x 轴，交直线y =−2于点M ，则|PF|=|PM|，于是原问题可以转化为求sin∠PAM 的最小值，也就是∠PAM 最小，而当直线PA 与抛物线相切时，∠PAM 最小．设点P(a,a 28)，结合导数求出在点P 的切线的斜率，并与用两点法表示的直线斜率构造关于a 的方程，解出a =8或−2，进而得到相应的点P 坐标，然后分类求出|PF||PA|的值，比较大小，取较小者即可得解．本题考查利用抛物线的几何性质求最值，还涉及利用导数求切线斜率，考查学生数形结合能力和分析能力，属于中档题．16.【答案】(34,32)∪(74,114]∪[72,154]【解析】解：函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)的图象在(π2,π)内有且仅有一条对称轴，根据正弦函数的对称轴性质，可得ω⋅π2−π4<kπ+π2<ωπ−π4⇒4k+34<ω<4k+32，k∈z，①又因为：π−π2≤T=2πω⇒ω≤4；②∵ω>0；③因为有且仅有一条对称轴；所以还需满足：ωπ−π4≤(k+1)π+π2且(k−1)π−π2≤ωπ2−π4；即4k−12≤ω≤4k+74④联立①②③④解得：ω∈(34,32)∪(74,114]∪[72,154].故答案为：(34,32)∪(74,114]∪[72,154].根据正弦函数的对称轴性质，可得ω⋅π2−π4<kπ+π2<ωπ−π4⇒4k+34<ω<4k+32，再结合其他限制条件即可求解实数ω的取值范围．本题给出三角函数图象在某区间上有且仅有一条对称轴，求参数的取值范围，着重考查了正弦曲线的对称性和y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识，属于中档题．17.【答案】解；(1)因为sinA−sinBsinC =a−ca+b=a−bc所以a2+c2−b2=ac，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =12，所以B=13π；(2)设AC的中点D，由余弦定理可得，BD2+AD2−AB22BD⋅AD =−BD2+CD2−BC22BD⋅CD，即42+32−c22×3×4=−42+32−a22×3×4，整理可得，a2+c2=50，因为a2+c2−b2=ac，b=6，所以ac=14，所以S=12acsinB=12×14×√32=7√32【解析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求cos B，进而可求B；(2)由已知结合余弦定理可求ac，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.【答案】解：(1)∵AD//BC, AB=AD=12BC=2，∴∠BAC=90°，∴AB⊥AC．又∵PB⊥AC，∴AC⊥平面PAB．∵AC⊂平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD．(2)∵PA=4,PB=2√3,AB=2，∴PB⊥BA，由(1)知，PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD．过D作DE⊥BC于E，则DE⊥平面PBC，过E作EF⊥PC交PC于F，则∠DFE为所求二面角平面角．在梯形ABCD中，求得DE=√3，在Rt△PBC中求得EF=√3√7．在Rt△DEF中，求得DE=√6√7, DF=√3．在△DEF中，求得cos∠DEF=√24．即二面B−PC−D的余弦值为√24．【解析】(1)根据面面垂直的判定定理，只需证出AC⊥平面PAB即可；(2)先利用面面垂直转化为线面垂直，进而找到二面角的平面角，然后借助于直角三角形求出所求角．本题考查空间位置关系的判定以及空间角的求法，强调转化思想在立体几何中的应用，集几何法求空间角遵循作、证、指、算的步骤．属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意，得{4a2+1b2=1c a =√22，又a2=b2+c2，∴a2=6，b2=3．则椭圆方程为x26+y23=1；(2)当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，代入椭圆方程， 整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0．由△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−6)>0，得6k 2−m 2+3>0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2．∵PA ⊥PB ，∴k PA ⋅k PB =−1，即y 1−1x1−2⋅y 2−1x 2−2=−1．即y 1y 2−(y 1+y 2)+1=−x 1x 2+2(x 1+x 2)−4．其中y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2， y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m ，代入整理得：4k 2+8mk +3m 2−2m −1=0，即(2k +m −1)(2k +3m +1)=0． 当2k +m −1=0时，直线AB 过点P ，不合题意；当2k +3m +1=0时，直线AB 的方程为y =k(x −23)−13，直线过定点(23,−13)， ∴当PM ⊥AB 时，点P 到AB 的最大距离为d =|PM|=4√23． 当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为x =n ，代入解得n =23或n =2舍去． 当n =23时，点P 到直线x =23的距离为43． 综上，点P 到直线AB 距离的最大值为d =|PM|=4√23．【解析】(1)由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，结合隐含条件求得a ，b 的值，则椭圆方程可求；(2)当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，代入椭圆方程，利用根与系数的关系结合PA ⊥PB 可得(2k +m −1)(2k +3m +1)=0，当2k +m −1=0时，直线AB 过点P ，不合题意；当2k +3m +1=0时，直线AB 的方程为y =k(x −23)−13，直线过定点(23,−13)，可知当PM ⊥AB 时，点P 到AB 的最大距离为d =|PM|=4√23.当直线AB的斜率不存在时，设其方程为x =n ，代入解得n =23或n =2舍去．当n =23时，点P 到直线x =23的距离为43，由此可得点P 到直线AB 距离的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．20.【答案】解：(1)若某居民用水17吨，需交费12×4+4×5+1×7=75(元)．(2)设取到第二阶段电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3， P(ξ=0)=C 73C 103=724，P(ξ=1)=C 72C 31C 103=2140， P(ξ=2)=C 71C 32C 103=740，P(ξ=3)=C 33C 103=1120，∴ξ的分布列为：E(ξ)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910．(3)可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶段，满足X ～B(10,35)，于是P(X =k)=C 10k(35)k (25)10−k .k =0，1，2，…，10， 由{C 104(35)k (25)10−k ≥C 10k+1(35)k+1(25)10−(k+1)C 10k (35)10−k ≥C 10k−1(35)k−1(25)10−(k−1)， 化简，得{2C 10k ≥3C 10k+13C 10k ≥2C 10k−1，解得285≤k ≤335， ∵k ∈N ∗，∴k =6．【解析】(1)由某居民用水17吨，根据题设条件能求出需交费用．(2)设取到第二阶段电量的用户数为ξ，第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．(3)从全市中抽取10户的用电量为第一阶段，满足X ～B(10,35)，P(X =k)=C 10k(35)k (25)10−k .k =0，1，2，…，10，依题意列出不等式组，由此能求出k ．本题考查离型型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查排列组合、古典概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由f(x)=(e −x)lnx =0，得x =1，或x =e ，所以f(x)的零点为1，e ；因为f′(x)=ex −lnx −1，所以f′(1)=e −1，f′(e)=−1．因为f(1)=f(e)=0，所以曲线线y =f(x)在x =1处的切线方程为y =(e −1)(x −1)，在x =e 处的切线方程为y =−x +e …4分(2)证明：因为f′(x)=e x −lnx −1，所以f″(x)=−1x −e x 2<0，所以f′(x)=ex −lnx −1单调递减．令g(x)=(e −1)(x −1)，ℎ(x)=−x +e ， 下面证f(x)≤g(x)，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)，记m(x)=(e −1)(x −1)−(e −x)lnx ，则m′(x)=lnx −ex +e ，m″(x)=1x +ex 2>0， 所以m′(x)单调递增，且m′(1)=0，故m(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增． 所以m(x)≥m(1)=0，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)， 同法可证f(x)≤ℎ(x)，即(e −x)lnx ≤−x +e ． 不妨设g(x 3)=f(x 1)=f(x 2)=ℎ(x 4)=m ，因为g(x 1)>f(x 1)=m =g(x 3)，且g(x)=(e −1)(x −1)为增函数，所以x 1>x 3， 由g(x 3)=)=(e −1)(x 3−1)=m ，得x 3=me−1+1， 同理，x 4>x 2，x 4=e −m ，所以me−1+1=x 3<x 1<x 2<x 4=e −m ， 所以，|x 1−x 2|<e −m −(me−1+1)=e −1−eme−1， 所以，|x 1−x 2|<e −1−em e−1…12分【解析】(1)令f(x)=(e −x)lnx =0，可求得f(x)的零点，再利用导数的几何意义可求得曲线y =f(x)在其零点处的切线的斜率，从而可得切线方程；(2)由于f′(x)=ex −lnx −1，f″(x)=−1x −ex 2<0，故f′(x)=ex −lnx −1单调递减，令g(x)=(e −1)(x −1)，ℎ(x)=−x +e ，通过证明f(x)≤g(x)，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)与(e −x)lnx ≤−x +e 成立，而证得原结论成立．本题考查利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的最值，考查等价转化思想与创新思维能力、逻辑思维能力及综合运算能力，属于难题． 22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，利用平方关系可得：x 2+(y −3)2=4．曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，展开为：√22ρ(sinθ+cosθ)=2√2，化为：x +y =4． (2)联立{x +y =4x 2+(y −3)2=4，化为：2y 2−14y +21=0，∴y 1+y 2=7，y 1y 2=212，∵直线x +y =4的斜率k =−1，P(4,0)， ∴|PA|=√2|y 1|，|PB|=√2|y 2|， ∴1|PA|+1|PB|=√2|y |√2|y |=12√2y y =√2×212=√23．【解析】(1)曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，利用平方关系可得普通方程．曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，展开为：√22ρ(sinθ+cosθ)=2√2，利用互化公式可得普通方程．(2)联立{x +y =4x 2+(y −3)2=4，化为：2y 2−14y +21=0，根据直线x +y =4的斜率k =−1，P(4,0)，可得|PA|=√2|y 1|，|PB|=√2|y 2|，可得1|PA|+1|PB|=√2|y |+√2|y |，利用根与系数的关系代入化简即可得出．本题考查了参数方程与极坐标方程化为普通方程、和差公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当x ≤−3时，2−x −x −3≥9，解之得x ≤−5；当−3<x ≤2时，2−x +x +3=5<9，无解； 当2<x 时，x −2+x +3≥9，解之得4≤x ； 所以，原不等式的解集为{x|x ≤−5或4≤x}，(2)证明：因为|ab +1|2−|a +b|2=(a 2−1)(b 2−1)， 又因为|a|<1，|b|<1， 所以a 2−1<0，b 2−1<0， 所以(a 2−1)(b 2−1)>0， 即：|ab +1|>|a +b|．【解析】(1)根据题意去绝对值，讨论每一部分的解，(2)先转化为|ab +1|2−|a +b|2=(a 2−1)(b 2−1)，根据题中给的范围，可求其值大于0，既得证．本题考查解绝对值不等式，以及证明不等式，属于中档题．。

湖北省高三四月调考理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅= 2 D.2i2.设集合(){}(){},|1,,|1A x y y x B x y x y ==+=+=，则A B I中的元素个数为A.0个B. 1个C. 2个D.无数个3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12464,30a a a a =++=，则6S = A. 54 B. 44 C. 34 D. 244.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点，点M 在双曲线上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120o ，则该双曲线的标准方程为A. 2214y x -=B. 2212y x -=C.221x y -=D.2212y x -= 5.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，6x 的系数为A. 15B. 6C. -6D. -156.已知随机变量η满足()()15,15E D ηη-=-=，则下列说法正确的是 A. ()()5,5E D ηη=-= B. ()()4,4E D ηη=-=- C. ()()5,5E D ηη=-=- D. ()()4,5E D ηη=-=7.设,,a b c r r r 均为非零向量，已知命题:p a c =r r是a c b c ⋅=⋅r r r r的必要不充分条件，命题:1q x >是1x >成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是 A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.()p q ∨⌝ 8.已知函数()()cos 0,,2xx f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫=><∈ ⎪⋅⎝⎭在区间[]3,3-上的图象如图所示，则a ω可取A. 4πB. 2πC.πD.2π9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数x 的个数为A. 4B. 3C. 2D. 110.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 2 B. 4 C.223D. 213+11.已知实数,x y 满足()2221x y +-=223x y+的取值范围是A.3,2⎤⎦ B. []1,2 C. (]0,2 D. 3⎤⎥⎝⎦12.过圆2225x y +=内一点)15,0P 作倾斜角互补的直线AC 和BD ，分别交圆于A,C,和B,D ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 A. 403803 C. 2802第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 .14.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，若()()111,131n n a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最大项为第 项.15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪-<⎨⎪<⎩，则该单位集合栽种这两种树的棵树最多为 . 16.函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的值域为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b=（1）求B ；（2）设CM 是角C 的平分线，且1,6CM b ==，求cos BCM ∠.18.（本题满分12分） 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，AC 与BD 交于点O.（1）求证：AC OM ⊥；（2）当M 为1BB 的中点，且4πθ=时，求二面角11A D M B --的余弦值.19.（本题满分12分）在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值；（2）现从这20名学生中任意抽取一名男生和一名女生对他们进行训练，记一分钟内跳绳次数不低于115且不超过125的学生被选上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）.20.（本题满分12分）已知平面内动点P 与点()3,0A -和点()3,0B 的连线的斜率之积为8.9- （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹且曲线C ，过点()1,0的直线与曲线C 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为1S ，ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求12S S 的值.21.（本题满分12分）已知函数()()ln ,.xx f x x x g x e ==（1）证明方程()()f x g x =在区间()1,2内有且仅有唯一实根；（2）记{}max ,a b 表示,a b 两个数中的较大者，方程()()f x g x =在区间()1,2内的实数根为()()(){}0,max ,x m x f x g x =，若()()m x n n R =∈在()1,+∞内有两个不等的实根()1212,x x x x <，判断12x x +与02x 的大小，并说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2020年荆门市高三年级高考模拟考试理科数学试题全卷满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若复数，则=（ ）ii z -=123z A.B. C. D.i -1i +1i --1i +-12．已知集合，则（ ）{})3lg(,11x y x B x x A -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=A.B. C. D.)1,(-∞=B A )3,0(=B A φ=B C A R ),1[+∞=B A C R 3.已知等差数列，其前n 项和为，且，则=（ ）{}n a n S m a a a =++95139762S a a -A. B. C. D.5m 9m 51914．已知，则“”是“”的（ ）+∈R b a ,1>ab 2>+b a A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。

小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ）A. B. C. D.814143876．已知表示不超过x 的最大整数，（如），执行如图所示的程序框图输出的结果为][x 1]5.0[,1]2,1[-=-=（ ）A ，49850B ．49950 C. 50000 D ．500507.在二项式的展开式中有理项的项数为（ ）72121(x x +A.1B.2C.3D.48．函数的图像大致为（ ）x x x x f sin )(2+=9．已知定义在R 上的函数y=f （x ）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当时，)1,0[∈x ，则函数在区间上的零点个数为（ ）x x f 2sin )(π=x ex f x g --=)()(]2020,2019[-A ．1009B ．2019 C.2020 D.403910．已函数的值域为，则实数a 的取值范围是（ ）],0[,cos sin )(2a x x x x f ∈+=]45,1[A. B. C. D.]6,0(π]3,0(π]2,6[ππ2,3[ππ11．已知双曲线的右焦点为F ，直线与双曲线右支交于点M ，若)0,0(12222>>=-b a by a x 034=-y x ,|则该双曲线的离心率为（ ）OF OM =A. B.2 C. D.35612．已知正方体的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）1111D C B A ABCD -①若P 为棱中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为；1CC 25②若P 在线段上运动，则的最小值为；B A 11PD AP +226+③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面ABC P -ABC P -ABC P -积为；π2④若过点P 的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为αα433A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则向量在向量方向上的投影为 ．)3,0(),2,1(-==b a 14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。

2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. R 是实数集，A ={x|3≤x <7}，B ={x|4<x <10}，则(∁R A)∩B =( )A. [3,10)B. (4,7)C. [7,10)D. [3,4]2. 若复数z 满足|z|⋅z .=20−15i ，则z 的虚部为( )A. 3B. −3C. 3iD. −3i3. 记(2−x)7=a 0+a 1(1+x)+⋯…+a 7(1+x)7，则a 0+a 1+a 2+⋯…+a 6的值为( )A. 1B. 2C. 129D. 21884. 已知函数f(x)=log 21−x1+x ，若f(a)=12，则f(−a)=( )．A. 2B. −2C. 12D. −125. 函数f(x)=sinx +cosx x的大致图象为( )A.B.C.D.6. 如果log 12x <log 12y <0，那么( ) A. y <x <1 B. x <y <1 C. y >x >1 D. x >y >17. 已知p ：f(x +1)是偶函数，q ：函数f(x)关于直线x =1对称，则p 是q 的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 在平行四边形ABCD 的边AD 上一点E 满足AE =14AD ，且AC ∩BD =F ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12a⃗ +14b ⃗ B. 12a⃗ −14b ⃗ C. −12a⃗ +14b ⃗ D. 14a⃗ +14b ⃗ 9. 已知函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，f(x)在定义域上单调递减，则实数a 的范围为( )A. (1,72)B. (1,+∞)C. [1,72]D. (−∞,72]10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，△PF 1F 2为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. √2−1B. √2+1C. √3D. √3+111. 如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，过轴PO 的截面PAB ，C 为PA 中点，PA =4√3，PO =6，则从点C 经圆锥侧面到点B 的最短距离为( )A. 2√15B. 2√15−6√2C. 6D. 2√15−6√312. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)<f(π).则下列结论正确的是( )A. f(1112π)=−1 B. f(7π10)>f(π5) C. f(x)是奇函数D. f(x)的单调递增区间是[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =13x 3+x 2上点P 处切线的斜率为3，则点P 的坐标为____________14. 北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____．15. 已知满足{x ≥2x +y ≤42x −y −m ≤0 ，若目标函数z =3x +y 的最大值为10，则z 的最小值为______．16. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29+y 25=1的左、右焦点，M 是椭圆上位于第一象限的一点，|MF 1|=133，A 、B 是椭圆C 上异于M 的两点，且△AMB 的重心为F 2，则直线AB 的斜率为________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c −a)cosB −bcosA =0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求√3sinA +sin(C −π6)的取值范围．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形且AD =2AB ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 是正三角形，E 是AD 中点．(1)证明：CE ⊥平面PBE ； (2)求二面角D −PC −B 的余弦值．19. 已知A ，B 两点在抛物线C ：x 2=4y 上，点M(0,4)满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若线段|AB|=12√2，求直线AB 的方程；(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.求证：点N在一条定直线上．20.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2，求f(x)在(−1,+∞)上的最小值．21.五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是1，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场利益无4损害？22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 若a >b >0，求证：a +1(a−b)b ≥3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∁R A ={x|x <3，或x ≥7}； ∴(∁R A)∩B =[7,10)． 故选：C ．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.答案：A解析：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，由|z|⋅z .=20−15i ，得√a 2+b 2(a −bi)=20−15i ， ∴{√a 2+b 2b =15√a 2+b 2a=20，解得a =4，b =3．∴z 的虚部为3． 故选：A ．设z =a +bi(a,b ∈R)，代入|z|⋅z .=20−15i ，由复数相等的条件列式求得a ，b 得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：解：记(2−x)7=a 0+a 1(1+x)+⋯+a 7(1+x)7=−[−3+(x +1)]7，∴a 7=−C 77=−1，则令x =0，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6+a 7=a 0+a 1+a 2+⋯+a 6−1=27=128， 则a 0+a 1+a 2+⋯+a 6=129， 故选：C ．二项式即−[−3+(x +1)]7，求得a 7 的值，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．4.答案：D解析：由已知得函数的定义域为(−1,1)且f(−x)=log21−(−x)1+−x =−log21−x1+x=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故f(−a)=−f(a)=−12，故选D．5.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属于简单题．利用函数的奇偶性排除错误选项，然后再利用函数值的正负判断即可．解：函数f(x)=sinx+cosxx ，定义域关于原点对称，满足函数f(−x)=−sinx−cosxx=−f(x)，所以函数为奇函数，排除A、C，因为x∈(0,π2)时，sinx>0，cosxx>0，此时f(x)>0，所以排除D，故选：B．6.答案：D解析：本题考查对数函数的性质，属于基础题.根据题意，结合对数函数的性质求解即可．解：log12x<log12y<0=log121，因为log12x为减函数，则x>y>1．故选D．7.答案：C解析：解：若f(x+1)是偶函数，则f(−x+1)=f(x+1)，则函数f(x)关于直线x=1对称，则p是q的充要条件，故选：C根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性和对称性的性质是解决本题的关键．8.答案：A解析：解：根据题意得AE ⃗⃗⃗⃗⃗=14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AC 和BD 的交点，∴F 为AC 的中点， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(a ⃗ +b ⃗ )，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +12b ⃗ −14b ⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ ，故选：A ．AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )由向量的减法得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 本题考查平面向量基本定理及向量的表示．9.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．由分段函数的解析式知，当x >1时，f(x)单调递减，f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)在(−∞,a )上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，求解即可．解：∵函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，当x >1时，f(x)=2x ，函数f(x)单调递减，则f(x)<2， 当x ⩽1时，f(x)=x 2−2ax +8=(x −a )2+8−a 2，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x =a ，f(x)在(−∞,a )上单调递减， ∵f(x)在定义域上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，解得1⩽a ⩽72． ∴实数a 的范围为．故选C ．10.答案：B解析：本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题． 根据F 1F 2=PF 2列方程得出a ，b ，c 的关系，从而得出答案． 解：不妨设P 在第一象限，∵△PF 1F 2为等腰直角三角形，F 1F 2=PF 2，且F 1F 2⊥PF 2，把x=c代入双曲线方程得y=b2a ，即PF2=b2a，∴2c=b2a =c2−a2a，即c2−2ac−a2=0，∴e2−2e−1=0，解得e=√2+1或e=−√2+1(舍)，故选：B．11.答案：A解析：本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再展开的图形，由勾股定理求解．解：如图，沿圆锥母线PA剪开再展开，∵PA=4√3，PO=6，∴OA=2√3，则圆锥底面周长为4√3π，展开后所得扇形为半圆，B到B′处，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为√(2√3)2+(4√3)2=2√15．故选：A．12.答案：D解析：根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．对A，代入求值即可；对B，代入比较大小即可；对C，根据奇函数定义，验证是否适合；对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．本题借助考查命题的真假判断，考查三角函数的性质．解：∵f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，∴2×π6+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π6，k∈Z．∵f(π2)<f(π)⇒sin(π+φ)=−sinφ<sin(2π+φ)=sinφ⇒sinφ>0．∴φ=2kπ+π6，k∈Z.不妨取φ=π6f(11π12)=sin2π=0，∴A×；∵f(7π10)=sin(7π5+π6)=sin47π30=−sin17π30<0，f(π5)=sin(2π5+π6)=sin17π30>0，∴B×；∵f(−x)≠−f(x)，∴C×；∵2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z.∴D√；故选D．13.答案：(1,43)或(−3,0)解析：本题考查导数的几何意义，设P的坐标，然后利用导数的几何意义求解即可．解：设P(x0,y0)，又y=13x3+x2，所以y′=x2+2x，由已知有x02+2x0=3，所以x0=1或−3，所以点P的坐标为(1,43)或(−3,0)．故答案为(1,43)或(−3,0)．14.答案：13解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率计算，属于基础题目．先得出甲乙参加A 社团的概率，求出甲乙都参加A 社团的概率，进而得出答案．解：记3个社团分别为A,B,C ，依题意甲参加A 社团的概率为13，乙参加A 社团的概率为13， 所以甲和乙都参加A 社团的概率为13×13=19，同理可得甲和乙都参加B 社团的概率为19，甲和乙都参加C 社团的概率为19， 所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为19+19+19=13．故答案为：13．15.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图： 由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)，此时C 在2x −y −m =0上， 则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小， 由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)， 此时z =3×2−1=5， 故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：43解析：本题考查椭圆的性质和几何意义，属于中档题．根据椭圆的定义求出|MF 2|的长，根据焦半径的公式得到MF 2⊥F 1F 2，再结合重心的坐标公式，得到A 、B 的横、纵坐标之和，联想到点差法求出直线AB 的斜率． 解：易知F 2(2,0).∵|MF 1|=133，∴|MF 2|=2×3−133=53=b 2a，根据焦半径公式可得MF 2⊥F 1F 2，M(2,53)． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由题知x 1+x 2+23=2，y 1+y 2+533=0，则x 1+x 2=4，y 1+y 2=−53． 又∵A 、B 在椭圆C 上，∴x 129+y 125=1，x 229+y 225=1，相减得y 1−y 2x 1−x 2=−59⋅x 1+x2y 1+y 2=−59×4−53=43．故答案为：43．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵(2c −a)cosB −bcosA =0，∴2sinCcosB −sinAcosB −sinBcosA =0， 即2sinCcosB −sin(A +B)=0， 又sin(A +B)=sinC ，∴2sinCcosB −sinC =0即sinC(2cosB −1)=0， ∵C 是三角形的内角，sinC ≠0， ∴cosB =12，且B 是三角形内角， ∴B =π3．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得√3sinA+sin(C−π6)=√3sinA+cosA=2sin(A+π6)，∵A∈(0,2π3)，∴A+π6∈(π6,5π6)，∴sin(A+π6)∈(12,1]，∴2sin(A+π6)∈(1,2]，即√3sinA+sin(C−π6)的取值范围是(1,2]．解析：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，考查了计算能力与推理能力，属于中档题．(Ⅰ)在△ABC中，由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式可得sinC(2cosB−1)=0，故有cosB=12，由此求得B的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得√3sinA+sin(C−π6)=2sin(A+π6)，根据A∈(0,2π3)，利用正弦函数的定义域和值域求得√3sinA+sin(C−π6)的取值范围．18.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD是正三角形，E是AD中点，∴PE⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PE⊥底面ABCD，∴PE⊥CE，∵底面ABCD是矩形且AD=2AB，∴AE=DE=AB=CD，∴∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE，∵PE∩BE=E，∴CE⊥平面PBE．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系， 设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)， 设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．19.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，l AB ：y =kx +4与x 2=4y 联立得x 2−4kx −16=0， △=(−4k)2−4(−16)=16k 2+64>0， x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−16，|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅4√k 2+4， 又|AB|=12√2，即√1+k 2⋅4√k 2+4=12√2，解得：k 2=2，k 2=−7(舍)，所以直线的方程y =±√2x +4 (2)证明：过点A 的切线：y =12x 1(x −x 1)+y 1=12x 1x −14x 12，①， 过点B 的切线：y =12x 2x −14x 22，②，联立①②得点N(x 1+x 22,−4)，所以点N 在定直线y =−4上．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理表示出x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−16，根据弦长公式计算即可(2)先表示出过点A 的切线和过点B 的切线，然后两直线联立可求出点N 的坐标，即可得到点N 在定直线y =−4上．本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，属于中档题20.答案：ln2+14．解析：依题意知函数f(x)的定义域为(−32,+∞)，f′(x)=2(2x+1)(x+1)2x+3，当−1<x <−12时，f′(x)<0恒成立；当x >−12时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(−1,−12)上递减，在(−12,+∞)上递增，∴f(x)在(−1,+∞)上的最小值为f(−12)=ln2+14．21.答案：解：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有C 93种不同的选法， 选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为 P(A)=1−C 63C 93=1−521=1621；(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ， 其所有可能的取值为0，n ，3n ，6n ；(单元：元) ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=C 3(14)0(1−14)3=2764， 同理P(ξ=n)=C 31(14)1(1−14)2=2764； P(ξ=3n)=C 32(14)2(1−14)=964； P(ξ=6n)=C 33(14)3(1−14)0=164；顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是： Eξ=0×2764+n ×2764+3n ×964+6n ×164=15n 16，由15n16≤60，解得n ≤64，所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场利益无损害．解析：本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题． (1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，利用对立事件的概率求出A 的概率值； (2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，写出ξ的所有可能取值，求出对应的概率值，计算数学期望，利用数学期望值列不等式，求出奖金数额n 的最高值．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ． (II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)， 故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：见解析解析：a +1(a−b)b =(a −b)+b +1(a−b)b ，∵a >b >0，∴a −b >0，b >0，1(a−b)b >0，∴(a −b)+b +1(a−b)b≥3√(a −b)⋅b ⋅1(a−b)b3=3，∴a +1(a−b)b ≥3，当且仅当a −b =b =1(a−b)b ，即a =2，b =1时等号成立．。

名师精准押题武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.51.复数的共轭复数是（）i-2A．2+i B．-2+i C．-2-i D．2-i22.已知集合M={x|x=1}，N={x|ax=1}，若N M，则实数a的取值集合为（）A．{1} B．{-1,1} C．{1,0} D．{1,-1,0}3.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[-2,2]，则输出的S属于（）A．[-4,2] B．[-2,2] C．[-2,4] D．[-4,0]4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A．3 B．6 C．23 D．265.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（）23A． B．51011C． D．510226.若实数a，b满足a>b>1，m=log(log b)，n=(log b)，l=log b，则m，n，l的大aa aa小关系为（）A．m>l>n B．l>n>m C．n>l>m D．l>m>n名师精准押题227.已知直线y=kx-1与双曲线x-y=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（）55555A．(0,) B．[1,] C．( ,) D．(1,)22222b+cB+C8.在∆ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，条件p：a≤，条件q A≤：，22那么条件p是条件q成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1659.在(x+-1)的展开式中，含x项的系数为（）xA．6 B．-6 C．24 D．-242210.若x，y满足x-1+2y+1≤2，则M=2x+y-2x的最小值为（）24A．-2 B． C．4 D．-119π11.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）39π13π25π25πA．[2π,4π] B．[2π,) C．[,) D．[2π,)2666212.过点P(2,-1)作抛物线x=4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则∆PEF与∆OAB的面积之比为（）3313A． B． C． D．2324二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sinα=2cosα，则sinαcosα=．14.已知向量a，b，c满足a+b+2c=0，且a=1，b=3，c=2，则a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=．ππ15.已知x∈(-,)，y=f(x)-1为奇函数，f'(x)+f(x)tan x>0，则不等式f(x)>cos x的22解集为．16.在四面体ABCD中，AD=DB=AC=CB=1，则四面体体积最大时，它的外接球半径名师精准押题R=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 2n-117.已知正数数列{a}满足：a=2，a+a=+2(n 2).n1nn-1a-a nn-1（1）求a，a；2322（2）设数列{b}满足b=(a-1)-n，证明：数列{b}是等差数列，并求数列{a}的通项a.n nn nnn18.如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，E，F分别在棱AB，CD上，且AE=CF=1. 1111（1）已知M为棱DD上一点，且DM=1，求证：BM⊥平面AEC. 11111（2）求直线FC与平面AEC所成角的正弦值.11122xy19.已知椭圆Γ：+=1，过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l，l，设l与椭圆Γ交于12142A、B两点，l与椭圆Γ交于C，D两点.2（1）若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；AB（2）记λ ，求λ的取值范围. CD20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示. 名师精准押题（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x（同一组中数据用该组区间中点作代表）；22（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z服正态分布N(μ,σ)，其中μ，σ分别取考生的平均成绩x2和考生成绩的方差s，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).（精确到0.001）．．．2附：①s=204.75，204.75=14.31；2②zN(μ,σ)，则P(μ-σ<z<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<z<μ+2σ)=0.9544；4③0.8413=0.501. x21.已知函数f(x)=xe-a(ln x+x)，a R. （1）当a e时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方⎧x=3cosθ程为ρ(cosθ+2sinθ)=10，C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）.⎨y=2sinθ⎩（1）写出l和C的普通方程；名师精准押题（2）在C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知f(x)=ax-2-x+2.（1）在a=2时，解不等式f(x)≤1；（2）若关于x的不等式-4≤f(x)≤4对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 名师精准押题武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12： CC二、填空题2 15-13 15. (0,) 16.13. 14. 526三、解答题317.（1）由已知a+a=+2，而a 2，211a-a21222∴a-2=3+2(a-2)，即a-2a-3=0.2222而a>0，则a=3. 225又由a+a=+2，a=3，322a-a3222∴a-9=5+2(a-3)，即a-2a-8=0.3333而a>0，则a=4. 33∴a=3，a=4.2322（2）由已知条件可知：a-a=2(a-a)+2n-1，nn-1nn-12222∴(a-1)-(a-1)=n-(n-1)，nn-12222则(a-1)-n=(a-1)-(n-1)nn-122=⋅⋅⋅=(a-1)-2322=(a-1)-12=0，22而b=(a-1)-n，nn名师精准押题∴b=0，数列{b}为等差数列.nn22∴(a-1)=n.而a>0，n n故a=n+1.n18.解：（1）过M作MT⊥AA于点T，连BT，则AT=1. 111易证：∆AAE≅∆ABT，于是∠AAE=∠ABT. 111111由∠ABT+∠ATB=90，知∠AAE+∠ATB=90，1111111∴AE⊥BT.11显然MT 面AABB，而AE⊂面AABB，11111∴MT⊥AE，又BTMT=T，11∴AE⊥面MTB，∴AE⊥MB. 111连BD，则BD⊥AC. 111111又DM⊥AC，BDDM=D，1111111∴AC⊥面MDB，1111∴AC⊥MB.111由AE⊥MB，AC⊥MB，AEAC=A，111111111∴BM⊥面AEC.111（2）在DC上取一点N，使ND=1，连接EF. 111易知AE//FN.1∴V=V=VA-EFCN-EFCE-NFC1111111=⋅S⨯3=(⨯2⨯3)⨯3=3. NFC332∆AEC，AC=32，AE=10，1对于11111名师精准押题而EC=22，110+18+221由余弦定理可知cos∠EAC==.112⋅10⋅322011193∴∆A EC的面积S=AC⋅AE sin∠EAC=⨯32⨯10⋅=19. 11111122202由等体积法可知F到平面AEC之距离h满足111136V⨯19⋅h=3h=S⋅h=，则，∴，∆AECA-EFC33219FC=10，设FC与平面AEC所成角为θ，1111又111∴sinθ=619=6=3190. 95101902219.解：（1）设直线AB的斜率为k tanα，方程为y-1=k(x-1)，代入x+2y=4中，22∴x+2[kx-(k-1)]-4=0.222∴(1+2k)x-4k(k-1)x+2(k-1)-4=0.2222判别式∆=[4(k-1)k]-4(2k+1)[2(k-1)-4]=8(3k+2k+1). 设A(x,y)，B(x,y)，则1122⎧4k(k-1)x+x=⎪122⎪2k+1. ⎨22(k-1)-4⎪xx=122⎪⎩2k+1∵AB中点为(1,1)，12k(k-1)1∴(x+x)==1，则k=. 12222k+121∴直线的AB方程为y-1=(x-1)，即x-2y+1=0. 222（2）由（1）知AB=1+kx-x=(x+x)-4xx 121212名师精准押题1+k⋅8(3k+2k+1)22=. 22k+1设直线的CD方程为y-1=-k(x-1)(k≠0).1+k⋅8(3k-2k+1)22同理可得CD=.22k+1∴λ==(k≠0). 2AB3k+2k+12CD3k-2k+14k42∴λ=1+=1+. 123k+1-2k3k+-2k1令t=3k+，k4t∈(-∞,-23][23,+∞).则g(t)=1+，t-23][23,+∞)g(t)在(-∞,-2，分别单调递减，∴2-3≤g(t)<1或1<g(t)≤2+3. λ22故2-3≤λ<1或1<≤2+3. 6-26+2λ∈[,1)(1,]. 即2220.解：（1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴x=45⨯0.1+55⨯0.15+65⨯0.2+75⨯0.3+85⨯0.15+95⨯0.1=70.5，∴4000名考生的竞赛平均成绩x为70.5分. 2（2）依题意z服从正态分布N(μ,σ)，其中μ=x=70.5，2σ=Dξ=204.75，σ 14.31，22∴z服从正态分布N(μ,σ)=N(70.5,14.31)，名师精准押题而P(μ-σ<z<μ+σ)=P(56.19<z<84.81)=0.6826，1-0.6826∴P(z≥84.81)==0.1587. 2∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.1587⨯4000=634.8人≈634人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率1-0.1587=0.8413. 而ξB(4,0.8413)，44∴P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-C⋅0.8413=1-0.501=0.499.421.解：（1）定义域为：(0,+∞)，x(1+x)(xe-e)当a=e时，f'(x)=.x∴f(x)在(0,1)时为减函数；在(1,+∞)时为增函数.（2）记t=ln x+x，则t=ln x+x在(0,+∞)上单增，且t∈R. xt∴f(x)=xe-a(ln x+x)=e-at=g(t). t∴f(x)在x>0上有两个零点等价于g(t)=e-at在t∈R上有两个零点. t①在a=0时，g(t) e在R上单增，且g(t)>0，故g(t)无零点；t②在a<0时，g'(t)=e-a在R上单增，又g(0)=1>0，11g()=e-1<0，故g(t)在R上只有一个零点；a a t③在a>0时，由g'(t)=e-a=0可知g(t)在t=ln a时有唯一的一个极小值g(ln a)=a(1-ln a). 若0<a<e，g=a(1-ln a)>0，g(t)无零点；最小若a=e，g 0，g(t)只有一个零点；最小若a>e时，g=a(1-ln a)<0，而g(0)=1>0，最小ln x ae2x>e时为减函数，可知：a>e时，e>a>a. 由于f(x)=在x名师精准押题a2从而g(a)=e-a>0，∴g(x)在(0,ln a)和(ln a,+∞)上各有一个零点.综上讨论可知：a e时f(x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e, ). 22.解：（1）由l：ρcosθ+ρsinϕ-10=0，及x=ρcosθ，y=ρsinθ. ∴l的方程为x+2y-10=0. 22xy由x 3cosθ，y=2sinθ，消去θ得+=1. 94（2）在C上取点M(3cosϕ,2sinϕ)，则d==⋅5cos(ϕ-ϕ)-10. 3cosϕ+4sinϕ-101055⎧3cosϕ=⎪0⎪5其中，⎨4⎪sinϕ=0⎪⎩55当ϕ=ϕ时，d取最小值. 09898此时3sinϕ=3cosϕ=2sinϕ=2cosϕ=M(,)，，. 000555523.解：（1）在a=2时，2x-2-x+2≤1. 在x≥1时，(2x-2)-(x+2)≤1，∴1≤x≤5；在x≤-2时，-(2x-2)+(x+2)≤1，x≥3，∴x无解；11在-2≤x≤1时，-(2x-2)-(x+2)≤1，x≥-，∴-≤x≤1. 331综上可知：不等式f(x)≤1的解集为{x|-≤x≤5}. 3（2）∵x+2-ax-2≤4恒成立，而x+2-ax-2≤(1+a)x，名师精准押题或x+2-ax-2≤(1-a)x+4，故只需(1+a)x≤4恒成立，或(1-a)x+4≤4恒成立，∴a=-1或a=1. ∴a的取值为1或 1.。

绝密★启用前湖北省普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟(线上)调研考试数学(理)试题(解析版)2020年4月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知实数集R ，集合{|15}A x x =-<<，集合|B y y ⎧==⎨⎩，则()R A B ⋂＝( )A. {|12}x x -<≤B. {|1}x x >-C. {|10}x x -<≤D. {|05}x x ≤< 【答案】C【解析】【分析】 可以求出集合B ，然后进行交集和补集的运算即可．【详解】解：{|15},A x x =-<<|B y y ⎧==⎨⎩所以{|0}B y y =>，{|0},R B y y ∴=≤(){|10}R A B x x =-<≤.故选：C.【点睛】本题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.已知z C ∈，若||12z z i -=+，则z =( )A. 322i - B. 322i + C. 322i -- D. 322i -+ 【答案】B【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈．由||12z z i -=+，()12a bi i -=+1a =，2b =，解得b ，a ．【详解】解：设z a bi =+(),a b ∈R .||12,z z i -=+()12a bi i -=+，1,a =2b =，解得2,b =32a =.则322z i =+， 故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算性质、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则1232020a a a a +++⋯+=( ) A. 0B. 1C. ﹣1D. 2 【答案】A【解析】【分析】令0x =求得0a ，再令1x =即可求解结论．【详解】解：因为：2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令0x =可得：01a =；令1x =可得：202001232020(121)1a a a a a ++++⋯+=-⨯=； 故1232020110a a a a +++⋯+=-=.故选：A.。

2020届湖北省宜昌市高三下学期4月统一调研考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题1.已知集合{A x y ==,{}21,x B y y x R ==+∈,则A B =（ ）A. []1,3B. [)1,+∞C. [)1,3-D. [)3,+∞【答案】D 【解析】求函数定义域得集合A ,求函数值域得集合B ,然后由交集的概念计算． 【详解】由题意2{|230}{|1A x x x x x =--≥=≤-或3}x ≥,{|1}B y y =>, ∴{|3}x A B x =≥． 故选：D ．2.复数z 满足()122i z i -=+,则z =（ ）A. 1i -B. 1i +【答案】D 【解析】求出复数模22i +后由复数除法可求得z ．【详解】∵22i +==∴)1(1)(1)i z i i i +===--+． 故选：D ．3.设1312x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,51log 6y =,14log 3z =,则（ ） A. x y z << B. y z x << C. z x y << D. z y x <<【答案】B 【解析】与中间值0,－1比较后可得．【详解】1310()21<<,551log log 616=-<-,144log 3log 3(1,0)=-∈-,∴x z y >>．故选：B ．4.运行如图所示的程序框图,则输出的结果为（ ）A. 0B. 1 3 D. 3【答案】C 【解析】模拟程序运行,利用数列{tan}3n π的周期性求和、 【详解】模拟程序运行,此框图的功能是求数列的和：202022020tantantan333S πππ=+++, 33T ππ==,因此数列{tan }3n π是周期数列,周期为3,易得23tan tantan 0333πππ++=, ∴20202020tan tan 333S ππ=== 故选：C ．5.已知函数()sin 3f x x x =,下列命题：①()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②()f x 的最大值为2；③()f x 的最小正周期为2π；④()f x 在区间()0,π上递增.其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C。