数学解题能力的四大层次
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数学解题能力的四大层次
在学生时代，我们总能碰到这么一群人，他们刷了很多题，经常直到凌晨才睡觉，在考试中却只能勉强维持在中游水平；同时我们还能碰到那么一群人，他们很少买教辅书刷题，但是考试却能名列前茅。
难道是后者比前者更聪明些吗？这篇文章将从能力的角度分析里面的深层次原因。
一、知识记忆层面——解题能力的基石
对知识的记忆是解题的基础，哪怕是知识点最少的数学这一科也是如此。
打个简单的比方，如果我们要算5952该如何下手呢？这道题交给小学生或者初一的学生来做，他们的做法多半是500×595+90×595+5×595，还有少数会用600×595-5×595来计算；不过这道题被交到初二、初三或者高中生手上做法就不一样了，因为他们会用学过的完全平方公式进行展开：5952=(600-5)2=6002-2×600×5+52=354025，这样算由于整百数的性质计算量比前两种少了很多，这就体现了知识的增长对解题的帮助。
如果读者大学学的是数学专业，那么知识对学数学的重要性就更能让你感同身受，不像中学的数学，大学数学的知识密度比起中学的数学多了很多倍，不仅公式定理的数量多了，而且长度也长了。
所以，很多中学阶段数学能考满分的同学到了大学连及格都难，并不是能力退化了，而是知识点太多了记不住。
二、操作技巧层面——将知识转化为能力的引擎
对于理科尤其是数学和物理来说，公式定理光记住是不够的，会应用才能解决问题。
打个比方来说，当我们要对x2y2-8xyz2+15z4因式分解的时候，会发现并没有现成的公式能用。
为了使得这个式子能够用上公式，我们需要对它进行配方：(xy)2-2×xy×4z2+(4z2)2-z4，这样前三项就形成了一个完全平方式，得到(xy-4z2)2-(z2)2，接着又可以运用平方差公式进行因式分解，从而得到最终的答案为(xy-3z2)(xy-5z2)。
这里需要点出的是，操作技巧也是建立在知识基础之上的，中学数学虽然知识点不多，但是这并不意味着知识不需要记住，因为技巧和知识的紧密联系恰恰反映了知识的重要性，只不过理科知识的记忆并不是靠死记硬背，而是建立在理解的基础上，而理解知识点需要从问题出发熟悉推导的过程。
而且从上面的例子可以看出，操作技巧不仅仅涉及到一个知识点，而是涉及到不同知识点的综合运用，比如说上边的技巧需要先用到幂的乘方法则和单项式的乘法，
然后才会相继运用完全平方公式和平方差公式。
而且我们会发现这些知识点的联系是非常紧密的。
三、思想方法层面——操作技巧的升华
说到这里，现在我们回来看开头提到的现象，为什么有的同学做了很多题都没法提升成绩呢？首先刷题能强化知识点的记忆，也能提升操作技巧的熟练度，这是刷题的作用。
但是，盲目地刷题只能做到熟练掌握技巧，技巧之上的能力并不能得到提升。
那么技巧之上还有什么？
这里再举一个例子：已知a,b都是实数，求a2+4ab+7b2+4a+20b+35的最小值。
看到这道题其实大家很容易想到要配方，也就是上一道题中的技巧，不过这个多项式有三个二次项、两个一次项，从何着手是一个难点；不过如果我们把b看成一个常数，整个多项式看成关于a的二次函数y=a2+4(b+1)a+7b2+20b+35，那么这个二次函数的最小值想必初三的同学都会做了。
若固定b，当a=-2b-2时y最小，最小值为3b2+12b+31。
而当b=-2时，整个多项式取最小值19。
在上边这道题中，我们用了换主元的思想方法解决了问题。
思想方法并不是直接建立在知识点上的，而是来自于技巧的总结和对新方法的见识。
在数学中还有归纳法、数形结合法、整体思想等思想方法；在物理中有等价模型法、转换参考系法、微元法、守恒思想等思想方法。
这些思想方法对于解决一些比较难的问题有很大帮助，是成为解题高手的必备能力。
四、解题内功——看不见的能力，量的积累
分享一个小故事：著名计算机学家冯诺依曼(John von Neumann 1903-1957)有一次做演讲时，一位记者给他抛出这么一个问题：AB两地相距10公里，甲乙两个人以5公里的时速分别从AB两地相向而行，同时一条狗以10公里的时速从A出发，每次遇到乙或甲就马上掉头以原来的速度返回，那么甲乙相遇时狗跑的路程是多少？冯诺依曼不到5秒钟的时间给出了答案：“10公里”。
记者惊讶地说：“哇！其他人一般都是把每次的路程加起来算的，你是我碰到的第一个先算相遇的时间再求路程的。
” “我就是把每次的路程加起来算的。
”冯诺依曼回答道。
先不探究冯诺依曼到底有没有说真话，不过世界上确实存在这样的高手，仅仅把平凡的方法发挥到极致解决了问题，这种能力就像武侠小说中的内功心法，而前面的技巧就像是招式，而高手是两者都要精通的。
再来看一道题：正数a,b,c,A,B,C满足条件a+ A=b+ B=c+C=k.求证: aB +bC+cA< k2.
这道题是某年国家集训队的训练题，有两种解法，都是不容易想到的。
方法一(代数法):记右边的值为R，左边的值为L，那么：k(R-L)=k(k2-a(k-b)-b(k-c)-c(k-a))=(k-a)(k-b)(k-c)+abc=ABC+abc>0，即L<R.
方法二(面积法):如图在等边三角形PQR中,M、N、L分别在PR、PQ、QR上。
三条边各段的长度如图所示，那么图中三角形的面积有如下关系：
约去系数即可得结论。
其中方法二就是利用上面提到的数形结合法解决了问题，构造非常巧妙，想到这一方法的人有极强的观察力和联想力。
而方法一暴力多了，基本上没用到什么巧劲完全是能力的体现。
在考场上能直接想到第二种方法还是很难的(除非做过原题)，但是第一种方法可以通过长期的训练和不断归纳总结内化成能力，这样碰到类似问题时就能游刃有余，处变不惊。
五、总结——要内化成一种能力
在数学等理科的学习过程中，很多同学还是知道知识点和解题技巧的重要性，不过对于思想方法和“内功”的练就还是没有认识，主要还是因为在做题的过程中没有归纳总结，仅仅停留在“看山是山，看水是水”的层次，总结思想方法能帮助大家达到“看山不是山，看水不是水”的境界。
如果要达到“看山还是山，看水还是水”的境界，还需要大量的经验积累并形成适合自己的方法体系，从而内化成一种能力，这需要花费非常多的时间和精力。
