中考数学专题复习专题一选择题解题方法

中考数学专题复习——操作探究一.选择题1．（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．102. （2018•嘉兴•3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）3. （2018•广西南宁•3 分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△CDP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c os∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．17194.（2018•海南•3 分）如图1，分别沿长方形纸片A BCD 和正方形纸片E FGH 的对角线A C，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形E FGH 的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A落在D C 边上的点F处，折痕为D E，点E在A B 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在直线A E 上的点H处，折痕为D G，点G在B C 边上，若AB=AD+2，EH=1，则A D= 。

2.（2018•临安•3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）．3.（2018•金华、丽水•4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形A BCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边A B，BC上，三角形①的边G D在边A D上，则ABBC的值是．4. （2018·湖北省恩施·3 分）在Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠AB C=90°，如图所示将R t△ABC沿直线l无滑动地滚动至R t△DE F，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）5.（2018•贵州贵阳•8 分）如图①，在 R t△ABC 中，以下是小亮探究sin a A 与sin bB之间关系 的方法：∵sin A=a c ，sinB=b c ∴c =sin a A ，c=sin b B∴sin a A =sin b B根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究sin a A 、sin b B 、sin cC之间的关 系，并写出探究过程．三.解答题1.（2018•江苏无锡•10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 A C ，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C ，且使∠AB C=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．） （2）问：（1）中这样的直线 A C 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出 所有这样的直线 A C ，并写出与之对应的函数表达式．2.（2018•江苏徐州•7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在 建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）①画出△A BC 关于 x 轴对称的△A 1B 1C 1；②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A 2B 2C 2；③△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．3.（2018•山东东营市•10 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△A BC 中，点O在线段B C 上，∠BA O=30°，∠O AC=75°，AO=BO：CO=1：3，求A B 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作B D∥A C，交A O 的延长线于点D，通过构造△A BD 就可以解决．问题（如图2）请回答：∠ADB= 75 °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：在四边形A BCD 中，对角线A C 与B D 相交于点O，A C⊥AD，A O=ABC=∠A CB=75°，如图3，BO：OD=1：3，求D C 的长．4.（2018•山东济宁市•7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1 中，请你画出用T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．5.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠A PB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△B PC 绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接P P′，求出∠APB的度数；思路二：将△A PB 绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接P P′，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形A BCD 外一点，PA=3，PB=1，PB 的度数．答案详解一.选择题（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左1．图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．10【分析】本题考查空间想象能力．【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．故选：B．【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系2. （2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在【解析】正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选A．【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．3. （2018•广西南宁•3分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△C DP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c o s∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE.CP=EP，由∠EOF=∠B OP、∠B=∠E.OP=OF 可得出△OE F≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出O E=OB.EF=BP，设E F=x，则B P=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出A F=1+x，在R t△DAF 中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出c o s∠A DF 的值．【解答】解：根据折叠，可知：△D CP≌△DE P，∴DC=DE=4，CP=EP．在△O EF 和△O BP 中，EOF BOPB EOP OF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△O EF≌△OB P（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设E F=x，则B P=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵B F=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在R t△DAF中，AF 2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴co s∠AD F=AD DF=1517．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理 结合 A F=1+x ，求出 A F 的长度是解题的关键．4.（2018•海南•3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 A BCD 和正方形纸片 E FGH 的对角线 A C ，EG 剪开，拼成如图 2 所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形 O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面 积为 50，则正方形 E FGH 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ．由题意：a 2+b 2+（a+b ）（a ﹣b ）=50， ∴a 2=25，∴正方形 E FGH 的面积=a 2=25， 故选：B ．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用 参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 D C 边上的点 F 处，折痕为 D E ，点 E 在 A B 边上；②把纸 片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在直线 A E 上的点 H 处，折痕为 D G ，点 G 在 B C 边上， 若 AB=AD+2，EH=1，则 A D= 。

方法技巧专题一 数形结合思想训练数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．一、选择题1．我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是( )A ．演绎B ．数形结合C ．抽象D ．公理化2．若实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图F 1－1所示，则下列式子中正确的是( )图F 1－1A ．ac ＞bcB ．|a －b |＝a －bC ．－a ＜－b ＜－cD ．－a －c ＞－b －c3．[2017·怀化] 一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P (－2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则△AOB 的面积是( )A ．12 B.14C ．4D ．8 4．[2017·聊城] 端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队500米的赛道上，所划行的路程y (m )与时间x (min)之间的函数关系式如图F 1－2所示，下列说法错误的是( )图F 1－2A ．乙队比甲队提前0.25 min 到达终点B ．当乙队划行110 m 时，落后甲队15 mC ．0.5 min 后，乙队比甲队每分钟快40 mD ．自1.5 min 开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255 m /min5．[2016·天津] 已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或－5B ．－1或5C ．1或－3D ．1或36．[2017·鄂州 ] 如图F 1－3，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝O C.下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc＞0.其中正确的个数有( )图F 1－3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题7．如图F 1－4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：________．图F 1－48．[2017·十堰] 如图F 1－5，直线y ＝kx 和y ＝ax ＋4交于A (1，k )，则不等式kx －6<ax ＋4<kx 的解集为________．图F 1－59．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图F 1－6所示．由图易得：12＋122＋123＋…＋12n ＝________．图F 1－610．当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，则x ＝m ＋n 时，代数式x 2－2x ＋3的值为________． 11．已知实数a 、b 满足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，则2018|a －b |＝________．12．[2017·荆州] 观察下列图形：图F 1－7它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个点． 13．(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图F 1－8(2)观察图F 1－9，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：图F 1－91＋3＋5＋…＋(2n －1)＋(________)＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1＝__________． 三、解答题14．[2016·菏泽] 如图F 1－10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B 、C )部分有两个交点，求b 的取值范围．图F 1－10参考答案1．B 2.D 3.B 4.D5．B [解析] (1)如图①，当x ＝3，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h >3，（3－h ）2＋1＝5，解得h ＝5(h ＝1舍去)；(2)如图②，当x ＝1，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h <1，（1－h ）2＋1＝5，解得h ＝－1(h ＝3舍去)． 6．C [解析] 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时，y ＝c ，∴C (0，c )，∴OC ＝－c .∵OB ＝OC ，∴B (－c ，0)．∵A (－2，0)，∴－c 、－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ·(－2)＝c a ，∵c ≠0，∴a ＝12，②正确；∵a ＝12，－c 、－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B (－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a (－c )2＋b ·(－c )＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c ≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b2a ＜0，∴b ＞0.∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0.∴a ＋bc＜0，④不正确． 7．(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab8．1<x <52 [解析] 将A (1，k )代入y ＝ax ＋4得a ＋4＝k ，将a ＋4＝k 代入不等式kx －6<ax ＋4<kx 中得(a ＋4)x －6<ax ＋4<(a ＋4)x ，解不等式(a ＋4)x －6<ax ＋4得x <52，解不等式ax ＋4<(a ＋4)x 得x >1，所以不等式的解集是1<x <52.9．1－12n (或2n－12n )10．3 11.112．135 [解析] 第1个图形有3＝3×1＝3个点； 第2个图形有3＋6＝3×(1＋2)＝9个点； 第3个图形有3＋6＋9＝3×(1＋2＋3)＝18个点； …第n 个图形有3＋6＋9＋…＋3n ＝3×(1＋2＋3＋…＋n )＝3n （n ＋1）2个点．当n ＝9时， ＝135个点． 13.解：(1)1＋3＋5＋7＝16＝42.观察，发现规律，第一个图形：1＋3＝22，第二个图形：1＋3＋5＝32，第三个图形：1＋3＋5＋7＝42，…， 第(n －1)个图形：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 故答案为：42；n 2. (2)观察图形发现：图中黑球可分三部分，1到n 行，第(n ＋1)行，(n ＋2)行到(2n ＋1)行， 即1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋[2(n ＋1)－1]＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1 ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(2n ＋1)＋[(2n －1)＋…＋5＋3＋1] ＝n 2＋2n ＋1＋n 2 ＝2n 2＋2n ＋1.故答案为：2n ＋1；2n 2＋2n ＋1.14．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)如图，∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32，∴抛物线的顶点坐标是(1，32)．由B (－2，6)和C (2，2)求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4. ∴对称轴与直线BC 的交点是H (1，3)． ∴DH ＝32.∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △CDH ＝12×32×3＋12×32×1＝3.(3)如图．①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2消去y ，得x 2－x ＋4－2b ＝0.当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点，∴(－1)2－4(4－2b )＝0，解得b ＝158.②当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3.③当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5.综上，可知158＜b ≤3.。

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（ ）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可 得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是 ．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角 形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在 射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为 ． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标 为 （ ） ．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是 。

重点专题突破专题一 规律探索与归纳推理中考重难点突破数式规律数式规律类问题通常是先给出一组数或式子，要求通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．常见数列 规律❶2，4，6，8，10，12，… 2n (从2开始的连续偶数) ❷1，3，5，7，9，11，… 2n －1(从1开始的连续奇数)❸1，4，9，16，25，36，… n 2(正整数平方) ❹2，4，8，16，32，64，… 2n (2的整数次幂) ❺－1，1，－1，1，－1，1，…(－1)n (奇负偶正)❻1，－1, 1，－1, 1，－1，… (－1)n ＋1或(－1)n －1(奇正偶负)【例1】(2021·铜仁中考)观察下列各项：112 ，214 ，318 ，4116 ，…，则第n 项是__n ＋12n __．【解析】根据已知可得出规律：第一项：112 ＝1＋121 ，第二项：214 ＝2＋122 ，第三项：318 ＝3＋123 ，…，从而可以得出第n 项．本题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 【例2】(2020·百色一模)观察下列等式：1－12 ＝12 ，2－25 ＝85 ，3－310 ＝2710 ，4－417 ＝6417，…，根据你发现的规律，则第20个等式为 __20－20401 ＝8 000401__ .【解析】根据题意可知，这列等式的左边的被减数是从1开始的连续整数，减数是一个分数，并且分子和被减数相同，分母是被减数的平方加1；右边也是一个分数，分子是被减数的立方，分母和减数的分母相同，由此可写出第20个等式为：20－20202＋1 ＝203202＋1 ，最后化简即可．1．按一定规律排列的单项式：a ，－2a ，4a ，－8a ，16a ，－32a ，…，则第n 个单项式是( A )A ．(－2)n －1a B ．(－2)n aC ．2n －1a D ．2n a 2．(2020·百色二模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是__21__.3．观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， ……猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n ＋3)＝__(n ＋2)2__．图形规律图形规律类问题主要涉及图形的组成、分拆等过程，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有发生变化，分析其联系和区别，有时需要多画出几个图形进行观察，有时规律是循环性的，在归纳时要运用对应思想和数形结合思想．【例3】观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是__32 n 2＋32 n __(用含n 的式子表示).【解析】本题可先依次列出n ＝1，2，3，…时的钢管数，再根据规律依次类推，可得出第n 个图的钢管数．第1个图的钢管数为1＋2＝3＝3×1； 第2个图的钢管数为2＋3＋4＝9＝3×(1＋2)； 第3个图的钢管数为3＋4＋5＋6＝18＝3×(1＋2＋3)；第4个图的钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝30＝3×(1＋2＋3＋4)；……依次类推，第n 个图的钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝32 n 2＋32n .4．(源于沪科七上P83)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( B )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株 5．(2021·遂宁中考)下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第__20__个图形共有210个小球．6．下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有m 个涂有阴影的小正方形，那么m 与n 的函数关系式为__m ＝4n ＋1__．与坐标有关的规律与坐标有关的规律类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比照，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．【例4】如图，直线l 为y ＝3 x ，过点A 1(1，0)作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x轴于点A 3……按此作法进行下去，则点A n 的坐标为(__2n －1，0__).【解析】∵直线l 为y ＝3 x ，点A 1(1，0)，A 1B 1⊥x 轴，∴当x ＝1时，y ＝3 ，即B 1(1，3 ).∴tan ∠A 1OB 1＝3 .∴∠A 1OB 1＝60°，∠A 1B 1O ＝30°.∴OB 1＝2OA 1＝2.∵以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2，∴A 2(2，0).同理可得A 3(4，0)，A 4(8，0)，…，∴A n (2n －1，0).7．如图，在平面直角坐标系中，A (－1，1)，B (－1，－2)，C (3，－2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2 021 s 瓢虫所在点的坐标是( A )A ．(3，1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(3，－2)8．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3，…均在直线y ＝－13 x ＋4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2 022＝__942 021 __．中考数学专题过关1．如图，第1个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第2个图形，图中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点得到第3个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第4个图形、第5个图形……，则第7个图形中共有正方形( B )A ．21个B ．25个C ．29个D ．32个2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A (4，0)，B (0，3)，则点C 100的坐标为( B )A ．⎝⎛⎭⎫1 200，125 B ．(600，0)C ．⎝⎛⎭⎫600，125 D ．(1 200，0)3．(2021·百色一模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第11对有序数对为 __(121，122)____．4．观察下列一组数：－23 ，69 ，－1227 ，2081 ，－30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__(－1)n ·n （n ＋1）3n__．5. (2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ；x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ；x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4；……根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021__．6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形(用含n 的代数式表示)．7．(2021·扬州中考)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为__1__275__．。

中考数学专题复习常见模型方法瓜豆原理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，()C0,4，()A3,0，A半径为2，P为A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是()A．1 B．32C．2 D．22．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（）A．14B．7C．9D．63．如图，A是△B上任意一点，点C在△B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则BCD△的面积的最大值为（）A．43＋4B．4C．43＋8D．6评卷人得分二、填空题4．如图，90BAD∠=︒，4AB AD==，点C为平面内一动点，且2BC=，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为______．5．如图，在直角坐标系中，△A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是△A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是_____．6．如图，点P（3，4），△P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是△P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是________．7．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P 沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．8．如图，AB为△O的直径，C为△O上一点，其中AB=8，△AOC=120°，P为△O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为_______.9．如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为_______．10．如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为_____．11．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画△B，点P在△B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为_____cm．12．如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为_____．13．在平面直角坐标系中，(1,0),(0,3)A B，过点B作直线BC△x轴，点P是直线BC 上的一个动点以AP为边在AP右侧作Rt APQ，使90APQ︒∠=，且:1:3AP PQ=，连结AB、BQ，则ABQ周长的最小值为___________.14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG，连接CF，则CF的最小值为______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝45，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则线段BE的取值范围为___________16．正方形ABCD的边长为1，E为边BC上动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，M为DE的中点，连接MF，则MF的最小值为________评卷人得分三、解答题17．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于H点．（1）当点E从点D向点A运动的过程中：△求证：AF△BE；△在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；（2）在整个运动过程中：△线段DH长度的最小值为______．△线段DH长度的最大值为_________．18．如图，△O的半径为1，点P是△O上的一点，将点P绕点A（－4，0）逆时针旋转60°得到点Q，则点P在△O上运动时，点Q也随之运动，连接OQ．求当点P在△O上运动时，求OQ的最小值．参考答案：1．B【解析】【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．=，CH AHCE EP=，1∴==，EH PA12∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，()A3,0，C0,4，()()∴，H1.5,222．，∴=+=OH215 2.5=-=-=，∴的最小值OH EH 2.51 1.5OE故选B．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．2．B【解析】【分析】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE 和EM 的长，然后在CEM 中根据三边关系即可求解．【详解】解：作AB 的中点E ，连接EM 、CE 、AD ，在直角ABC 中，2210AB AC BC =+=△E 是直角ABC 斜边AB 上的中点，△152CE AB ==， △M 是BD 的中点，E 是AB 的中点，△122ME AD ==， △在CEM 中，5252CM -≤≤+，即37CM ≤≤，△最大值为7，故选：B ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键．3．A【解析】【分析】以BC 为边向上作等边三角形BCM ，连接DM ，证明()DCM ACB SAS ≅得到2DM AB ==，分析出点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，DM 长为半径的圆，在求出点D 到BC 的最大距离，即可求出面积最大值．解：如图，以BC 为边向上作等边三角形BCM ，连接DM ，△60DCA MCB ∠=∠=︒，△DCA ACM MCB ACM ∠-∠=∠-∠，即DCM ACB =∠∠在DCM △和ACB △中，DC AC DCM ACB MC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()DCM ACB SAS ≅，△2DM AB ==，△点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，DM 长为半径的圆，要使BCD △面积最大，则求出点D 到线段BC 的最大距离，△BCM 是边长为4的等边三角形，△点M 到BC 的距离是23，△点D 到BC 的最大距离是232+，△BCD △的面积最大值是()142324342⨯⨯+=+． 故选：A ．【点睛】本题考查动点轨迹是圆的问题，解题的关键是利用构造全等三角形找到动点D 的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．4．221221AM -≤≤+【分析】连接BD ，取BD 的中点N ，连接,AN MN ，先根据三角形中位线定理可得1MN =，再根据勾股定理、直角三角形的性质可得22AN =，然后分三种情况，根据三角形的三边关系、线段的和差即可得．【详解】解：如图1，连接BD ，取BD 的中点N ，连接,AN MN ，点M 为线段CD 中点，MN ∴是BCD △的中位线，112122MN BC ∴==⨯=， 90BAD ∠=︒，4AB AD ==，2242BD AB AD ∴=+=，又点N 为BD 的中点，1222AN BD ∴==， （1）如图1，当点,,A N M 不共线时，由三角形的三边关系得：AN MN AM AN MN -<<+， 即221221AM -<<+；（2）如图2，当点,,A N M 共线，且点N 位于点,A M 中间时，则221AM AN MN=+=+；（3）如图3，当点,,A N M共线，且点M位于点,A N中间时，则221AM AN MN=-=-；综上，线段AM的取值范围为221221AM-≤≤+，故答案为：221221AM-≤≤+．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．5．3722OP≤≤【解析】【分析】如图，在y轴上取一点()0,3B'-，连接B A'，B C'，由勾股定理求出B A'=5，由三角形中位线定理求B C'=2OP，当C在线段B A'上时，B C'的长度最小值=5-2-3，当C在线段B A'延长线上时，B C'的长度最大值=5+2=7，即可求解．【详解】如图，在y轴上取一点()0,3B'-，连接B A'，B C'，△B（0，3），()0,3B'-，A（4，0），△3OB OB'==，4OA=，△22345B A'=+=，△点P是BC的中点，△BP PC=，△OB OB'=，BP PC=，△2B C OP'=，当C在线段B A'上时，B C'的长度最小值为：5-2=3，当C在线段B A'延长线上时，B C'的长度最大值为：5+2=7，△3722OP≤≤，故答案为：3722OP≤≤．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键．6．32##1.5【解析】【分析】【详解】如图，连接OP交△P于M′，连接OM．△点P（3，4），A（2.8，0），B（5.6，0），△OP=22345+=，AO=2.8，OB=5.6，△AB=5.6-2.8=2.8，△OA=AB，又△CM=CB，△AC=12OM，△当OM最小时，AC最小，△当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值=12OM′=12（OP﹣PM′）=32．考点：1、点与圆的位置关系；2、坐标与图形性质；3、三角形中位线定理7．π【解析】【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得AB的长度，由三角形中位线定理可知12DM OP=，可以推出点M的运动轨迹是以D为圆心，12OP为半径的半圆．【详解】如图所示，取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，△ABC为等腰直角三角形，△2222(22)(22)4A AB C BC=+=+=，122OP AB∴==，112MD OP∴==，由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以1为半径的半圆，∴点M的运动路径长12π1π2=⨯⨯=，故答案为：π．【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．8．27+2【解析】【分析】连接,OQ作CH AB⊥于H,,AQ PQ=得到,OQ AP⊥90,AQO∠=点Q的运动轨迹是以AO 为直径的K,连接CK,当点Q在CK的延长线上时，CQ取得最大值，在Rt OCH中，60,COH∠=14,2OC AB==12,2OH OC==23,CH=在Rt CKH中，()2223427,CK=+=即可求出线段CQ的最大值.【详解】连接,OQ作CH AB⊥于H,,AQ PQ=得到,OQ AP⊥∴90,AQO∠=点Q的运动轨迹是以AO为直径的K,连接CK,当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 取得最大值，在Rt OCH 中，60,COH ∠=14,2OC AB == 12,2OH OC == 23,CH = 在Rt CKH 中，()2223427,CK =+=线段CQ 的最大值为：27 2.+【点睛】考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度较大，得到点Q 的运动轨迹是以AO 为直径的K 是解题的关键.9．2【解析】【分析】以OA 为对称轴，构造等边三角形ADF ，作直线DC ，交x 轴于点E ，先确定点C 在直线DE 上运动，根据垂线段最短计算即可．【详解】如图，以OA 为对称轴，构造等边三角形ADF ，作直线DC ，交x 轴于点E ，△△ABC ，△ADF 都是等边三角形， △AB =AC ，AF =AD ，△F AC +△BAF =△F AC +△CAD =60°，△AB =AC ，AF =AD ，△BAF =△CAD ，△△BAF △△CAD ，△△BF A =△CDA =120°，△△ODE =△ODA =60°，△△OED=30°，△OE=OA=4，△点C在直线DE上运动，△当OC△DE时，OC最小，OE=2，此时OC=12故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等和垂线段最短原理是解题的关键．10．522-．【解析】【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO△△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝52，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，△△EDF＝△ODM＝90°，△△EDO＝△FDM，△DE＝DF，DO＝DM，△△EDO△△FDM（SAS），△FM＝OE＝2，△正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，△OC＝5，△OD＝22+＝5，(25)(5)△OM＝22+＝52，55△OF+MF≥OM，△OF≥522-，△线段OF长的最小值为522-．故答案为：522-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键．11．321-【解析】【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB△△P′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD 的长，则得出BP′的长．【详解】如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，连接BP，由旋转得：AP=AP′，△PAP′=90°，△△PAB+△BAP′=90°，△四边形ABCD为正方形，△AB=AD，△BAD=90°，△△BAP′+△DAP′=90°，△△PAB=△DAP′，△△PAB△△P′AD，△P′D=PB=1，在Rt△ABD中，△AB=AD=3，由勾股定理得：BD=22+，323=3△BP′=BD-P′D=32-1，即BP′长度的最小值为（32-1）cm．故答案为（32-1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值最小值．12．522-．【解析】【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO△△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝52，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，△△EDF＝△ODM＝90°，△△EDO＝△FDM，△DE＝DF，DO＝DM，△△EDO△△FDM（SAS），△FM＝OE＝2，△正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，△OC＝5，△OD＝22+＝5，(25)(5)△OM＝22+＝52，55△OF +MF ≥OM ，△OF≥522-，△线段OF 长的最小值为522-．故答案为：522-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键．13．2213+【解析】【分析】先证明△AOB △△APQ ，得到OA AB AP AQ =，由△OAP ∼△BAQ ，得到BQ =2OP ，进而得到ABQ C =22()AP OP ++．作O 关于直线3y =的对称点O ’，连接'AO ，PO '，则OP =O 'P ，AO '=13，根据两边之和大于第三边即可得到AP OP AO '+≥，从而得到答案．【详解】如图所示．连接OP ．在t R APQ 中，90APQ ︒∠=．:1:3AP PQ =2AQ AP ∴=又在Rt OAB ∆中，:1:3OA OB =OA PA OB PQ∴= 又△90AOB APQ ︒∠=∠=~AOB APQ ∴OA AB AP AQ∴=，△OAB =△P AQ ， OAP BAQ ∴∠=∠OAP BAQ ∴21BQ AQ OP AP ∴== 2BQ OP ∴=．△OA =1．OB =3，△AB =22221(3)2OA OB +=+=，ABQ C AB AQ BQ ∴=++222AP OP =++22()AP OP =++又P 为直线3y =上的动点．△作O 关于直线3y =的对称点O ’，(0,23)O '∴，连接'AO ，PO '．△OP =O 'P ，AO '=221(23)13+=，△AP +OP =AP +PO '13AO '≥= ()min 2213ABQ C ∴=+即ABQ △的最小值为2213+．故答案为：2213+．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是把△ABQ 周长的最小值转化为求AP +OP 的最小值．14．52【解析】【分析】方法一：因为点E在线段AB上运动，根据瓜豆原理可知从动点F在一条直线上运动，找出这条直线根据点到直线的距离垂线段最短即可求出CF的最小值．方法二：依题意，当点E运动到A点时，以AD为边作正方形12ADG F；同理当点E运动到B点时，作正方形1DBF G；故点F在1F与2F间运动，当12CF F F⊥时，可得CF最小；【详解】方法一：解：如图，在BA延长线上取点M，使AM=AD，△在矩形ABCD中，90BAD MAD∠=∠=︒，△45MDA∠=︒，2MD AD=,△在正方形DEFG中，45EDF∠=︒，2FD ED=△△EDF=△MDA，=2FD DMED AD=,△EDA FDM△90FMD EAD∠=∠=︒，△点F在过M点垂直DM的直线MN上，故CF的最小值为点C到直线MN的距离；过点C作'CF△MN，过D点作DH△'CF，△四边形DHF M'是矩形，△2=32HF DM AD'==，△90ADC MDH∠=∠=︒，45MDA∠=︒，△45HDA HDC ∠=∠=︒，△CHD 是等腰直角三角形，△2CD HC =，△22=4=2222HC CD =⨯， △=223252CF HC HF ''=++=故答案为52．方法二：如图：当点E 运动到A 点时，以AD 为边作正方形12ADG F ；同理当运动到B 点时，作正方形1DBF G ；过点1F 作12F H BF ⊥，90BDC DBC ∠+∠=︒ ，又190F BH DBH ∠+∠=︒；又ABCD 为矩形，△ BDC DBH ∠=∠；△ 1DBC F BH ∠=∠在1F HB ∆和BCD ∆中11190DBC F BH BCD F HB BF BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩1F HB BCD ∆≅∆14CD F H ==，又3AD BC ==△222211()7358CF BH F H AD =++=+=；同理可得258CF =；△124HF HF ==；△ 1242F F =；当点到达点,A B ，为点F 的运动的最大范围，又依据等腰三角形的性质，点F 在1F 与2F 间运动，且当12CF F F ⊥时，可得CF 最小；△()22122522F F CF CF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；故答案为：52【点睛】本题考查正方形及直角三角形的性质，关键在寻找等量关系及其最小值的位置．15．63102BE≤≤【解析】【分析】以BC为斜边向BC下方作等腰直角三角形BPC，连接EC、PD，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质易得△BCE△△PCD，则有2BE PD=，则把问题转化为求PD的取值范围，过点P作PG△BE于点G，连接AP交BC于点H，进而易得35,6AP PG==，则有635PD≤≤，最后问题可求解．【详解】解：以BC为斜边向BC下方作等腰直角三角形BPC，连接EC、PD，如图所示：△245,BCP BC PC∠=︒=，△四边形DCFE 是正方形，△△DCE =△BCP =45°，2CE CD =，△ECB DCP ∠=∠，2BC EC PC DC==， △△BCE △△PCD ，△2BE PD =，则把问题转化为求PD 的取值范围，过点P 作PG △BE 于点G ，连接AP 交BC 于点H ， △5,AB AC BP PC ===，△AP 垂直平分BC ，△BC ＝45，△25BH CH PH ===，△225A AB H BH ==-，△2535,sin 5PG BH AP GAP AP AB =∠===， △2565PG AP ==， △D 为边AB 上一动点（B 点除外），△635PD ≤≤，△63102BE ≤≤；故答案为63102BE ≤≤．【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及正方形的性质是解题的关键．16．3510【解析】【分析】方法一：应用瓜豆原理得到F 点的轨迹，利用三垂直模型可得F 点在射线CF 上，△FCB =135°，构造Rt △MPF 求PF 长即可解答．方法二：将AE 绕E 点顺时针旋转90°，得线段EF ，因为E 是边BC 上的动点，故F 是一条线段的动点，利用三垂直模型可得F 点在射线CF 上，△FCB =135°，构造Rt △MPF 求PF 长即可解答．方法三：构造一线三直角模型，建立直角坐标系，运用两点间的距离公式，用二次函数思想确定最小值即可．【详解】方法一：连接AC,AF ,CF ,A 点是定点，E,F 动点，△AE =EF ,AE △EF ,△△EAF =45°，2AF AE = ,在正方形ABCD 中，△BAC =45°，2AF AE = ,△△BAE =△BAC -△EAC , △CAF =△EAF -△EAC,△△BAE =△CAF ，又△2AC AF AB AE== , △△ABE △△ACF ,△△ACF =△ABE =90°，△△DCF =45°，△F 在射线CF 上运动，且△DCF =45°.取EC 的中点H ，连接MH ，△MD =ME ，△//MH CD ，11=22MH CD =， △MH △EC ，过F 点作FP △MH ，△四边形FGHP 是矩形，△PH =FG设BE CG FG x===，则1EC x=-，1122xHC EC-==，△1122x xPF HG HC CG x-+==+=+=，12MP MH PH x=-=-，在Rt△MPF中，222MF MP PF=+,即：22211()()22xMF x+=-+，△222511519=()4224520MF x x x=-+-+，当15x=时，2MF的最大值为920，△MF的最大值为3510，故答案为3510．方法二：解：如图，过点F作FG△BC垂足为G，△在正方形ABCD中，AB=BC=CD=1，△ABC=90°，由旋转性质可知：AE=FE，△AEF=90°，△90=AEB FEG FEG EFG∠+∠=︒∠+∠，△=AEB EFG∠∠，△ABE EGF≅（SAS），△BE CF=，AB EG BC==，△BE EC EC CG+=+，△BE CG FG==，△45FCG CFG∠=∠=︒，取EC的中点H，连接MH，△MD=ME，△//MH CD，11=22 MH CD=，△MH△EC，过F点作FP△MH，△四边形FGHP是矩形，△PH=FG设BE CG FG x===，则1EC x=-，1122xHC EC-==，△1122x xPF HG HC CG x-+==+=+=，12MP MH PH x=-=-，在Rt△MPF中，222MF MP PF=+,即：22211()()22xMF x+=-+，△222511519=()4224520MF x x x=-+-+，当15x=时，2MF的最小值为920，△MF的最大值为3510，故答案为3510．方法三：以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点E（a，0），△正方形的边长为1，△点D （1，1）；过点F 作FG △x 轴，垂足为G ，△△AEF =90°，△△BAE =△GEF ，△△ABE =△EGF =90°，AE =EF ，△△ABE △△EGF ，△BE =GF ，AB =EG =1，△M （a 12+，12），F （a 1+，a ）， △MF =2211(1)()22a a a ++-+- =2221144a a a a +++-+ =25224a a -+ =215222a a -+ =21195()255a -+， 当a =15时，MF 有最小值，且最小值为3510； 故答案为：3510． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，三角形的全等和性质，两点间的距离公式，二次函数的最小值，熟练掌握一线三直角模型，借助坐标系构造二次函数是解题的关键．17．（1）△见解析；△3π；（2）△25-2．△25+2．【解析】【分析】（1）△证明△ABE△△DAF，运用互余原理证明即可；△根据△AHB=90°，且AB是定长，判定点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，根据弧长公式计算即可；（2）△根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，根据勾股定理计算即可．△根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最长，根据勾股定理计算即可．【详解】（1）△△四边形ABCD是正方形，△AB=DA=CD，△BAE=△ADF=90°，△DE＝CF，△AE=DF，△△ABE△△DAF，△△ABE=△DAF，△△ABE+△AEB=90°，△△DAF+△AEB=90°，△△AHE=90°，△AF△BE；△点H运动路径画图如下，△△AHB=90°，且AB是定长，△点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，设AB的中点为点O，连接BD，设BD的中点为点M，连接OM△△BOM=90°，△AB=4，△圆的半径为2，△弧长为2702180π⨯⨯=3π；（2）△根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，当H与点G重合时，最短，△AD=4，AO=2，△DO=2222AO AD+=+=25；24△DH=DO-OG=25-2，故答案为：25-2．△根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最大，当H与点Q重合时，最大，△AD=4，AO=2，△DO=2222+=+=25；24AO AD△DH=DO+OQ=25+2，故答案为：25+2．【点睛】本题考查了正方形的性质，弧长公式，圆的基本性质，圆的定义，三角形的全等判定与性质，熟练运用正方形的性质，灵活运用弧长公式和圆的性质是解题的关键．18．3【解析】【分析】将AO绕点A顺时针旋转60°得到AB，易证△ABO是等边三角形，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，易证△APQ是等边三角形，易证△APO△△AQB，得到QB=PO=1，点Q满足了到定点的距离等于定长，从而确定点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆，根据圆的基本性质可以确定OQ的最小值．【详解】△点A（－4，0），△OA=4，如图，将AO绕点A顺时针旋转60°得到AB，△AB=AO，△OAB=60°，△△ABO是等边三角形，△OA=OB=4，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，△AP=AQ，△P AQ=60°，△△APQ是等边三角形，△△OAP+△P AB=△QAB+△P AB=60°，△△OAP=△QAB，△△APO△△AQB，△QB=PO=1，△点Q满足了到定点的距离等于定长，△点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆，根据圆的基本性质，得当B，Q，O三点一线时，OQ取得最小值，此时OQ=OB-BC=4-1=3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆的定义和性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，灵活运用圆的定义和性质是解题的关键．答案第25页，共25页。

数形结合思想一、选择题1、已知点M(1-a ，a+2)在第二象限，则a 的取值范围是（ ）（A ）a>－2 (B)－2<a<1 (C)a<－2 (D)a>1 2、在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）（A ）相应各组的频数 （B ）组数 （C ）相应各组的频率 （D ）组距 3、已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（ ）A ．x >0B ．x <0C ．-2<x <0D ．x <1 4、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ． 则OM 的长为（ ）A．3cmB ．5cmC ．2cmD ．3cm5、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为（ ） A ．600B ．1800C ．300D ．9006、若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的①、②、③、④对应顺序。

① 小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系)② 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系) ③ 运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)④ 小杨从A 到B 后，停留一段时间，然后按原速度返回(路程与时间的关系) 正确的顺序是A ．③④②①B ．①②③④C ．②③①④D ．④①③②7、小圆圈是网络的结点，结点之间的边线表示它们之间的网线相联，边线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现在的结O 1-2点A向结点B传递信息，可以分开沿不同的路线同时传递，单位时间内传递的最大信息量为：A．19B．20C．24D．268、如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图像是( )9、如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD面积为（）（A）98 （B）196 （C）280 (D) 28410、如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对二、填空题：1、把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=2，则正方形移动的距离AA'是2、如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B的坐标为(4，2)，直线12y x b=+恰好将矩形OACB分成面积相等的两部分，则b= 。

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。