对函数的进一步认识(课堂PPT)

分析：S△APB+S四边形BCDP=S正方形ABCD S△APB如何用x来表示？
解：S△APB+S四边形BCDP=S正方形ABCD S△APB=x S正方形ABCD=4 所以S四边形BCDP=4-x 即y=4-x 又因为P在AD边上，所以0<x<2
问题探究二：理解函数值，会求函数值
例2： 当x=3时, 求各函数y的对应值 : (1)y=3x+7; (2)y=-2x2-1
(3)y= 1 ;
5x 2
(4)y=
x3
解：
（1）当x 3时，y 33 7 16；
（2）当x 3时，y 2 32 1 19；
（3）当x 3时，y 1 1 ； 53 2 17
（4）当x 3时，y 3 3 0.
问题与思考
• 对于自变量 x 在可以取值范围内的一个确定 的值α, 函数y有惟一确定的对应值 , 这个对应 值叫做 函数值 .
3、将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形 镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度， 平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是 （ y=0.5x+90 ）
布置作业
习题3.1 1,2题.
判断
下列表达式是否为函数？ （1）y=±x × （2）y=x2 √ （3）s=t3+2 √ （4）y=x+2 √
下列图象能表示y是x的函数是（C ）
y
y
x A y
x B y
x C
x D
例题解析
例1：如图，正方形ABCD的边长为2，点P为AD边上 一点，设AP=x，四边形BCDP的面积为y，求y与x之间 的函数关系式，并指出x的取值范围。
(3)某种书定价8元，若购书不超过10本，按原价付款； 若一次购书10本以上，超过10本部分打八折 .

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第八页，共三十八页。
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2 课堂互动(hùdònɡ)探究
典例精析 规律(guīlǜ)总结
第九页，共三十八页。
是函数？
下面的对应哪些是从集合 M 到集合 N 的映射？哪些
(1)设 M＝R，N＝R，对应关系 f：y＝1x，x∈M； (2)设 M＝{平面上的点}，N＝{(x，y)|x，y∈R}，对应关系 f： M 中的元素对应它在平面上的坐标；
第十七页，共三十八页。
设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集
{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射 f：A→B 把集合 A 中的元素(x，y)映
射成集合 B 中的元素(x＋y，x－y)，则在映射 f 下，像(2，1)的原
像是( )
A．(3，1)
B．32，12
C．32，－12
D．(1，3)
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(3)A＝{1，2，3，4}，B＝1，12，13，14，对应关系 ƒ：x→1x.
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解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集 A 中的 元素 x 按照对应关系 ƒ：x→2x＋1 和数集 B 中的元素 2x＋1 对应， 这个对应是数集 A 到数集 B 的映射，也是函数，但 B 中的元素 4， 6，8 没有原像，不能构成一一映射．
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第十四页，共三十八页。
解：(1)取 x＝3∈A，则|x－3|＝0∉B，即 A 中的元素 3 在 B 中
没有像，所以(1)不是函数，也不是映射． (2)由于 A、B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都
有唯一的内切圆，所以(2)是 A 到 B 的映射． (3)A 中的每一个数都与 B 中的数 1 对应，因此，(3)是 A 到 B

微分的概念
3 微分是函数在某一点处的
线性逼近，表示函数值随 自变量微小变化时的近似 值。
Part
04
函数的实际应用
函数在生活中的应用
函数在经济学中的应用
函数可以用来描写经济活动中的各种关系，例如供需关系 、消费和收入的关系等，帮助我们理解经济规律和猜测未 来的趋势。
函数在计算机科学中的应用
计算机程序中的算法和数据结构可以用函数来表示和实现 ，函数是计算机科学中实现复杂功能的基础。
通过分析函数图像的对称性、极值点、单 调性等性质，可以解析出函数的性质。
利用图像解方程
利用图像研究实际问题
通过视察函数图像与x轴的交点，可以解出 函数的方程根。
通过将实际问题转化为数学模型，并利用 函数图像进行分析，可以解决一些实际问 题。
THANKS
感谢您的观看
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴 方向平移一定的距离。
伸缩变换
将函数图像在x轴或y轴 方向上伸缩一定的比例
。
翻转变换
将函数图像沿x轴或y轴 翻折。
旋转变换
将函数图像绕原点旋转 一定的角度。
函数图像的辨认与解析
辨认函数类型
ห้องสมุดไป่ตู้
解析函数性质
通过视察函数图像的形状、趋势和特征， 可以辨认出函数的类型（如一次函数、二 次函数、三角函数等）。
复合函数的单调性
根据复合函数的单调性定理，判 断复合函数的单调性。
函数的导数与微分
导数的概念
导数描写了函数在某一点
1
处的切线斜率，是函数值
随自变量变化的瞬时速度
。
微分的计算
4
通过微分的定义和基本初 等函数的微分公式，计算 函数的微分。

阶
阶
段
段
一
三
2．2 函数及其表示
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．掌握函数常用的三种表示法．(重点) 2．能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优 缺点． 3．理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 函数的表示法 阅读教材 P28～P29“例 2”以上内容，完成下列问题．
x|0＜x≤1＋2a2t t.
此类问题要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解 析法表示时，首先找出自变量 x 和函数 y，然后利用题干条件用 x 表示 y，最后 写出定义域.注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外， 还要考虑使实际问题有意义.
(3)在原式中以－x 替换 x，得 af(－x)＋f(x)＝－bx， 于是得aaffx－＋xf＋－fxx＝ ＝b－x，bx， 消去 f(－x)，得 f(x)＝a－bx1. 故 f(x)的解析式为 f(x)＝a－b 1x.
分段函数
[探究共研型]
探究 1 画出函数 y＝|x|的图像，并求 f(－3)，f(3)，f(－1)，f(1)的值．
－3t＋90， t∈[20，30].
由上式可得，t＝9 s 时， 质点的速度 v(9)＝3×9＝27(cm/s)．
[构建·体系]
1．如图，函数 y＝|x＋1|的图像是( )
【解析】 【答案】
y＝|x＋1|＝x－＋x1－，1x，≥x－ ＜1－，1. A
x2＋1，x≤1
2．设函数 f(x)＝2x，x＞1
【提示】 当 a≤0 时，f(a)＝－a. ∵f(a)＝4，∴－a＝4，∴a＝－4. 当 a＞0 时，f(a)＝a2. ∵f(a)＝4，∴a2＝4，∴a＝2，或 a＝－2(舍去)． 综上 a＝－4 或 2.

典例剖析 例：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积s(m2)与一边长l(m) 之间的关系式。并指出式中的常量与变量，并判断是否是函数关系式，若 是，指出 自变量与函数。
说明：解决此类问题，关键是了解常量与变量，自变量与函数的意义。
对应训练：
1.每种商品的单价是每只5元，它的销售额y（元）与所授商品数量x（只）之 间的关系式是（ ），其中（ ）是（ ）的函数。
②一般地，如果在一个______________中，有两个________， 例如x和y，对 于x的每—个值，y都有______________与之对应，我们就说x是 ________________，y是________________，此时也称y是x的__________
点拨：1.必须有两个变量 通过以上的练习，你一定知道函数和自变量了？和同桌交流一下吧，找 出它们2.自之变间量的每联取系一与个区值别，. 函数都有唯一的值对应。
新知探究（一）自变量与函数
1.自学要求： 自主学习课本124页，完成下列问题： (1) 什么是函数？什么是自变量？ (2) 什么是一个函数的函数值？怎样求？
预习效果检测
①下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A.矩形的一条边长是6 cm，它的面积S cm与另一边长x cm的关系 B.正方形的面积与周长的关系 C.圆的面积与周长的关系 D.某图形的面积与它所在的平面的位置关系
例1.变式题：观察下图，根据表格中的问题回答下列问题：
梯形个数n
1
图形周长l
5
2
3
4
5
……
8
11
14
17
……
1.写出l与n的关系式，在这个关系式中，哪个量是常量，哪个量是变量？ 2.求n=11时的图形周长.

4.已知函数f (x)对任意的实数a，b都 有f (a·b)＝f (a)＋f (b)成立. (1)求f (0)与f (1)的值； (2)若f (2)＝p，f (3)＝q (p，q均为常
数)，求f (36)的值.
5.设f (x)是定义在实数集R上的函数， 满足f (0)＝1且对任意实数a，b都有 f (a)－f (a－b)＝b (2a－b＋1)，则 f (x)的解析式可以为 ( A )
r 5
2
-5 O 2 6 p
3.画出定义域为{x| –3≤x≤8, 且x≠5}， 值域为{y | –1≤y≤2，y≠0}的一个函 数的图象. (1)如果平面直角坐标系中点P (x, y)的 坐标满足–3≤x≤8，–1≤y≤2，那么 其中哪些点不能在图象上？ (2)将你的图象和其他同学的相比较， 有什么差别吗？
3.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 并且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x＋4， 求f(x)的解析式.
12. 已知f (x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0， 且f (x＋1)＝f (x)＋x＋1，求f (x).
13．已知f (x)为二次函数，且 f (2x＋1)＋f (2x－1)＝16x2－4x＋6， 求f (x).
14.如果函数f (x)满足方程
af
( x) Leabharlann f(1 )

ax,
x
x∈R且x≠0，a为常数，且a≠±1，
说明两图象的关系.
10.己知函数f (x) = 2x－1，
g(
x)

x
2, 1,
x 0, x0
求f [g(x)]和g[f (x)]的解析式.
11.已知f (x)＝ 1 (x∈R且x≠－1)， x1

复合函数的运算规则
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质，如单 调性、奇偶性等，这些性质可以通过 对组成复合函数的各个函数的性质进 行分析得出。
复合函数的运算规则是先计算内层函 数，再计算外层函数，依次类推，直 到所有的函数都计算完毕。
反函数的概念与运算
01
02
03
反函数的概念
反函数是指将一个函数的 输入和输出互换，得到一 个新的函数。
一次函数
形如f(x)=kx+b的函数， 其中k和b为常数且k≠0。
分式函数
形如f(x)=k/x的函数，其 中k为常数且k≠0。
对数函数
形如f(x)=log_a x的函数， 其中a为常数且a>0且a≠1
。
02 函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内变动，不会 无限增大或减小。
详细描述
函数的输出结果总是在一定的范围内 ，不会超出这个范围。例如，正弦函 数和余弦函数的值域都在-1到1之间。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们决定了函数的作用范围和 结果范围。
函数的表示方法
解析法
用数学表达式来表示函数，是最 常用的一种表示方法。例如， f(x)=x^2表示一个函数，当x取 任意实数时，都有唯一的y值与 之对应。
表格法
通过表格的形式来表示函数，对 于一些离散的函数可以用此方法 。例如，一个离散函数的值可以
函数概念ppt课件
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的图像
01 函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种对应关系使 得对于数集A中的每一个元素，通过某种法则，都可以唯一地对应到数集 B中的一个元素。

图像法可以直观的表示出函数的变化过
程和变化趋势。
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12
例 求下列函数的自变量x的取值范围
(1) y 2x 4 (2) y 1 4x 3
(3) y 2x 1 (4) y 1 2 3x
(5) y 3 x 2x 1
(6) y x 4
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x5
x3 (7)y
y= 3x+7; y=-2x2-1;
1
y= x 1
y= x2
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7
对于自变量x在可以取值范围内 的一个确定的值a，函数y有唯一确定 的对应值，这个对应值叫做当x=a时 函数值，简称函数值。
ห้องสมุดไป่ตู้
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8
思考：若已知函数值应怎样求对
应的自变量的值呢？
当x取什么值时， 函数y=x2+2x-3的函数值为0？
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1
（1）A、B两地的路程为900千米，一辆
汽车从A地到B地所需时间t（小时）与
汽车的平均速度v（千米/时）之间的关系
式是t=
。
（2）如图，矩形ABCD的一边AB长为
4cm，另一边BC长为acm，矩形ABCD
的面积S（cm2）与a（cm）的关系式
是S=
。A
D
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B
个变量x，y，对于自变量x在某一范围内 的每一个确定值，y都有唯一的值与它对 应，那么就说y是x的函数。
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5
某种商品按进价提高30%后标价, 又以9折优惠售出.试写出这种商品每 件的利润y（元）与每件的进价x（元） 之间的关系式.
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定义
导数定义为函数在某一点 的变化率，即函数在该点 的斜率。
导数的计算
基础导数公式
常见的基础导数公式包括幂函数 的导数、指数函数的导数、对数
函数的导数等。
导数的四则运算
导数的四则运算法则是加减乘除的 运算规则，用于计算复合函数的导 数。
求导法则
求导法则包括链式法则、乘法法则 、微分法则等，用于计算复杂函数 的导数。
导数的应用
极值问题
利用导数可以判断函数的极值点，即在函数图像 上上升和下降的转折点。
最值问题
利用导数可以求出函数的最值点，即在函数图像 上最高点和最低点的横坐标。
优化问题
利用导数可以求解函数的优化问题，即在给定条 件下求函数的最大值或最小值。
05
定积分
积分的定义
积分定义的引入
介绍定积分的概念，如何通过分 割、近似、求和、取极限等步骤 ，从直观上理解定积分的定义。
有周期性，周期为2π。
03
三角函数
正切函数
定义
正切函数是直角三角形中一个锐 角的对边与邻边的比值。即
$tan(x)=\frac{y}{x}$，其中x表 示角度，y表示该角度的对边长
度。
周期性
正切函数具有周期性，其周期为 $90^{\circ}$或$\pi$弧度。在每 个周期内，函数值从$-\infty$变
03
图像
正割函数和余割函数的图像分别与正弦函数和余弦函数的图像关于x轴
和y轴对称。
复合函数
01
定义
复合函数是指由两个或多个基本初等函数通过四则运算或 复合运算而形成的函数。例如，$f(x)=sin(x+1)$就是一个 复合函数。
02 03

注意
思考1 分段函数是一个函数还是多个函数？
分段函数的表达式虽然不止一个，但是它 是一个函数而不是多个函数。
思考2 分段函数的定义域与各段函数定义 域的关系？
分段函数的定义域是各段函数定义域的 并集，分段函数的值域是个各段函数值域 的并集。
例题解析
例4、某质点30秒内运动速度v是时间t的函数，它 的图象如图，（1）用解析式法表示出这个函数，
4
求a的值
课堂小结
函数表示法的优缺点 分段函数的理解
（2）并求出 9秒时质点的速度。
（3）若v(t)=18,求t的值
练习
x, 1 x 0
1已知函数 f

x


x2,0 x 1
x,1 x 2
(1）画函数的简图
（2）
f


2 3
,


f


1 2



（3）已知
f a 1
图像法：
优点：直观的反映出函数的变化规律。 缺点：只能近似的求出某一个自变量对应的函数值，
存在误差。
解析法
优点：全面的概括了变量间的关系，能求出任意自 变量对应的函数值。
缺点：不能直观反映出函数的变化规律.
分段函数的定义：
在函数的定义域中，对于自变量x不 同的取值范围，对应关系不同，这样 的函数称为分段函数。
例1、某种笔记本的单价是5元，买x（x ∈ {1 , 2 , 3 , 4 , 5}） 个笔记本需要y元，试用函数的三种表示方法表示函数
列表法：
图像法
。
解析法：
列表法：
优点：不通过计算就可以看出每个自变量所对应的 函数值。