线代复习

线性代数复习要点线性代数是数学中的一个分支，其研究对象包括向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组等。

线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、工程学等。

下面是线性代数复习的要点：1.向量和向量空间-向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。

-向量空间是指由一组向量生成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。

-基是一个向量空间中独立且能够生成该向量空间的向量组。

-向量组的线性组合是指对向量组中的向量进行加法和数乘运算的结果。

-向量组的生成子空间是指向量组的所有线性组合所形成的空间。

2.矩阵和线性变换-矩阵是一个按照矩形排列的数。

矩阵的大小由行数和列数确定。

-矩阵的加法和数乘运算定义为对应元素的运算。

-矩阵的转置是指行变为列，列变为行的操作。

-矩阵的乘法是指矩阵的行与列的对应元素相乘后求和的运算。

-线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，保持线性关系。

3.行列式和特征值特征向量-行列式是一个与矩阵相关的数，用于描述矩阵的性质。

-二阶和三阶矩阵的行列式可以通过对应元素相乘后求和的方式计算。

-行列式的值为0表示矩阵不可逆，即不存在逆矩阵。

-特征值是指矩阵对一些向量进行线性变换后，仍然与原向量方向相同的结果。

-特征向量是指通过线性变换后，与其特征值对应的向量。

4.线性方程组的求解-线性方程组是一组线性方程的集合，其中未知量的次数等于方程的个数。

-列向量和矩阵可以表示线性方程组的系数和常数项。

-线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行求解。

-高斯消元法是将方程组化为行阶梯形式，再通过回代求解。

-线性方程组的解可以有唯一解、无解或者无穷多解。

5.特殊矩阵和矩阵的分解-单位矩阵是指主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵。

-零矩阵是指所有元素均为0的矩阵。

-对角矩阵是指主对角线以外的元素均为0的矩阵。

-逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。

-矩阵的分解包括LU分解、QR分解、特征值分解等。

线性代数复习提纲线性代数是数学中的一个基础课程，涵盖了向量空间、线性变换、矩阵理论等内容。

它在计算机科学、物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。

下面是线性代数的复习提纲，帮助你回顾相关的知识点。

一、向量空间1.向量的定义和性质2.向量空间的定义和性质3.子空间的定义和判断条件4.向量的线性相关性与线性无关性5.基和维数的概念二、线性变换1.线性变换的定义和性质2.线性变换的矩阵表示3.线性变换的核与像空间4.线性变换的维数公式5.线性变换的复合与逆变换三、矩阵理论1.矩阵的定义和性质2.矩阵的运算：加法、数乘、乘法3.矩阵的逆与转置运算4.矩阵的秩和行列式5.矩阵的特征值与特征向量四、特殊矩阵和特征值问题1.对称矩阵的性质和对角化2.可逆矩阵与相似矩阵3.正交矩阵与正交对角化4.特征值问题的求解方法五、解线性方程组1.线性方程组的矩阵表示2.高斯消元法与矩阵的初等变换3.初等矩阵的性质与应用4.齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的结构六、向量空间的基变换1.基变换的定义和性质2.过渡矩阵的求解3.变换矩阵的求解与应用4.基变换下的坐标表示和坐标变换公式七、内积空间和正交性1.内积的定义和性质2.内积空间的定义和性质3.正交基和正交投影4.标准正交基和正交矩阵的定义和性质八、二次型与正定性1.二次型的定义和性质2.二次型的矩阵表示和标准化3.正定二次型和半正定二次型的定义和性质4.二次型的规范形和合同变换以上是线性代数的复习提纲，可以通过对每个知识点的回顾、理解和练习来复习线性代数。

在复习过程中，可以结合教材、习题和课堂笔记，通过解题和思考来巩固知识点的掌握。

另外，可以参考相关的教学视频或在线课程来帮助理解和学习线性代数的概念和方法。

最重要的是多做习题，加深对知识点的理解和应用。

线性代数知识点归纳线性代数复习要点第一部分行列式1.排列的逆序数2.行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义行列式的计算：①(定义法)②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.③(化为三角型行列式)上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积④若都是方阵（不必同阶）则⑤关于副对角线：⑦型公式：⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法)对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.(拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；3.证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵矩阵的运算性质矩阵求逆矩阵的秩的性质矩阵方程的求解矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或(同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.(矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等.(矩阵运算a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c.矩阵与矩阵相乘：设,,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式不成立.a.分块对角阵相乘：b.用对角矩阵乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；用对角矩阵乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘，⑤矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a.对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b.分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余子式.,,.分块对角阵矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立） 2.逆矩阵的求法方阵可逆.①伴随矩阵法：②初等变换法③分块矩阵的逆矩阵：④,⑤配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义）行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式 () () () ?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：(对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；(对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.矩阵的秩关于矩阵秩的描述：①、，中有阶子式不为0，阶子式(存在的话)全部为0；②、，的阶子式全部为0；③、，中存在阶子式不为0；矩阵的秩的性质：①;;≤≤②③④⑤≤⑥若、可逆，则；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若；若⑧等价标准型.⑨≤,≤≤⑩,求秩矩阵方程的解法)：设法化成第三部分线性方程组1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3.向量组的秩4.向量空间5.线性方程组的解的判定6.线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）线性表示：对于给定向量组，若存在一组数使得，则称是的线性组合，或称称可由的线性表示.线性表示的判别定理:可由的线性表示由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、有解②、③、（全部按列分块，其中）；④、（线性表出）⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）2.设的列向量为的列向量为，，为的解可由线性表示.即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵. 同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵. 即：线性相关性判别方法：法1法2法3推论线性相关性判别法（归纳）线性相关性的性质零向量是任何向量的线性组合零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关整体必相关；整体无关部分必无关原向量组无关接长向量组无关；接长向量组相关原向量组相关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组中任一向量≤都是此向量组的线性组合若线性无关，而线性相关则可由线性表示且表示法一向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作矩阵等价经过有限次初等变换化为向量组等价和可以相互线性表示记作：矩阵的行向量组的秩列向量组的秩阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数矩阵的初等变换不改变矩阵的秩且不改变行向量间的线性关系向量组可由向量组线性表示且，则线性相关向量组线性无关且可由线性表示则.向量组可由向量组线性表示且则两向量组等价任一向量组和它的极大无关组等价向量组极大无关组若两个线性无关的向量组等价则它们包含的向量个数相等设是矩阵若，的行向量线性无关；线性方程组的矩阵式向量式（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：判断是的基础解系的条件：①线性无关；②是的解；③.(4)求非齐次线性方程组Ax=b的通解的步骤（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是的一个解，是的一个解线性无关√与同解（列向量个数相同）：①它们的极大无关组相对应从而秩相等②它们对应的部分组有一样的线性相关性③它们有相同的内在线性关系与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.第四部分方阵的特征值及特征向量1.施密特正交化过程2.特征值、特征向量的性质及计算3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.(标准正交基个维线性无关的向量两两正交每个向量长度为1与的内积(.记为：④向量的长度⑤是单位向量的向量.2.内积的性质：①正定性：②对称性：③线性：(设A是一个n阶方阵,若存在数和n维非零列向量,使得，则称是方阵A的一个特征值，为方阵A的对应于特征值的一个特征向量.(的特征矩阵）.(的特征多项式）.④是矩阵的特征多项式⑤，称为矩阵的迹.⑥上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素若则为的的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.⑧一定可分解为=、,从而的特征值为：,.为各行的公比，为各列的公比.⑨若的全部特征值，是多项式,则:①若满足的任何一个特征值必满足②的全部特征值为；.⑩与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.特征值与特征向量的求法(1)写出矩阵A的特征方程，求出特征值.(2)根据得到A对应于特征值的特征向量.设的基础解系为其中.则A对应于特征值的全部特征向量为其中为任意不全为零的数.(与相似（为可逆矩阵）(与正交相似（为正交矩阵）(可以相似对角化与对角阵相似.（称是的相似标准形）6.相似矩阵的性质：①,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.是关于的特征向量,是关于的特征向量.②③从而同时可逆或不可逆④⑤若与相似,则的多项式与的多项式相似.矩阵对角化的判定方法①n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是A有n 个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,则有：.②可相似对角化，其中为的重数恰有个线性无关的特征向量.：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数基础解系的个数.③若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化.实对称矩阵的性质：①特征值全是实数,特征向量是实向量；②不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③一定有个线性无关的特征向量.若有重的特征值,该特征值的重数=；④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑥两个实对称矩阵相似有相同的特征值.9.正交矩阵正交矩阵的性质①；②；③正交阵的行列式等于1或-1④是正交阵则也是正交阵⑤两个正交阵之积仍是正交阵⑥的行（列）向量都是单位正交向量组.10.11.施密特线性无关单位化：其中为对称矩阵，(与合同.（）(正惯性指数二次型的规范形中正项项数负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差(为二次型的秩)④两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.⑤两个矩阵合同的充分条件是：与等价⑥两个矩阵合同的必要条件是：2.经过化为标准形.(正交变换法(配方法（1）若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;若二次型中不含有平方项，但是(),则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方.(初等变换法3. 正定二次型不全为零，.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.4.为正定二次型（之一成立）：（1），；（2）的特征值全大于；（3）的正惯性指数为；（4）的所有顺序主子式全大于；（5）与合同，即存在可逆矩阵使得；（6）存在可逆矩阵，使得；5.（1）合同变换不改变二次型的正定性.（2）为正定矩阵；.（3）为正定矩阵也是正定矩阵.（4）与合同，若为正定矩阵为正定矩阵（5）为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵. 半正定矩阵的判定一些重要的结论：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.√关于：①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；②线性无关；③；④；⑤任意一个维向量都可以用线性表示.7第1页共20页。

线性代数复习资料1. 引言线性代数是一门研究向量空间与线性映射的数学学科。

它是现代数学的核心课程之一，广泛应用于计算机科学、物理学、工程学等领域。

本文将介绍线性代数的基本概念和关键知识，帮助读者进行复习。

2. 向量的基本概念与运算2.1 向量的定义向量是空间中的一个元素，通常用有序数对或有序数组表示。

向量的维度由其元素个数确定。

2.2 向量的运算线性代数中的向量运算包括加法、减法、数量乘法和点积。

这些运算具有相应的性质，如交换律、结合律、分配律等。

2.3 矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是线性代数中的重要运算，它将一个矩阵的每一行与一个向量进行点积运算，生成一个新的向量。

3. 线性方程组与矩阵的运算3.1 线性方程组的定义线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合。

线性方程组的解满足所有方程的等式关系。

3.2 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，它与矩阵的维度和元素有关。

行列式的计算方法是按照一定的规则对矩阵的元素进行加减乘法运算。

3.3 矩阵的逆与转置矩阵的逆是指对于一个矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

3.4 线性方程组的解法线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵的逆解法和特殊矩阵求解法。

这些方法可以根据具体情况选择使用，以求得线性方程组的解。

4. 特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义特征值是一个标量，特征向量是与特征值对应的非零向量。

它们在线性代数中有着重要的应用。

4.2 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解成特征值与特征向量的乘积，用于降低矩阵运算的复杂性，提高计算效率。

4.3 特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算可以通过求解矩阵的特征方程来完成。

特征方程的解即为特征值，对应的特征向量可以通过代入特征值求解得到。

5. 奇异值分解与最小二乘法5.1 奇异值分解的定义奇异值分解是将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，其它两个矩阵是正交矩阵。

1概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()2√ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量87p 教材；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.3④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或mn A ⨯()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:① 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号②1()()A E E A -−−−−→初等行变换4③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m nmnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i iA c β= ，(,,)i s =1,2⇔iβ为iAx c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A Ac c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩√ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量； 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.5√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A OC B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A **⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动）6⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.⑨ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ；7对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑬ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑰ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.8⑲ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关. √ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 ()0A O r A =⇔=若 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A == p 教材101,例15 ③()()r kA r A k =≠ 若0④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥()()()()A r AB r B B r AB r A ⇒=⇒=若可逆若可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()rrE O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.9⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70 ⑩()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα⇔=−−−−−→=<⇔⇒⇔=⇔=⇔=⇔=−−−−−→≠⇒=⇔⇒当为方阵时当为方阵时有无穷多解0表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),,,()()()1()n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔=⎪⎩⎧⇔≠⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩教材72讲义8性无关只有零解不可由线性表示无解 ○注：Ax Axββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1101212(,,,)n n x xx αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =⇒()()r A r A β=⇒Ax β=一定有解，当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 判断12,,,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭. √ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解，并且同解⇔()()A r r A r B B βγ⎛⎫==⎪⎝⎭.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 关于公共解的三中处理办法：① 把(I)与(II)联立起来求解；② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解⇔基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c ξηη++是(I)的通解，233c ξη+是(II)的通解，两方程组有公共解⇔2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即：12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。

一、填空题1、设A 为n 阶方阵，且2A =，则2A =2、排列235461的逆序数为3、矩阵1AB -=（） 4、行列式2012510x x -展开式中2x 的系数是5、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2310B ，则()A B E -=6、1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A *=7、设1021A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3A =8、若向量组B 与向量组A 等价，则必有()R B ()R A ，（填,=≥或≤） 9、已知向量组1(1,2,1,1)T α=-，2(0,4,5,2)T α=--，则123αα-=10、设三阶方阵A 的特征值为1、3、-1，则A =11、设A 为四阶方阵，且12A =，则2A = 12、排列235416的逆序数为13、矩阵-=TAB （） 14、行列式2012110x x -展开式中2x 的系数是15、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2310B ，则()A B E +=16、1211A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A *=17、设1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3A =18、向量组B 能由向量组A 线性表示充分必要条件是19、向量组1(1,2,1,1)T a =-，2(2,0,2,0)T a =，3(0,4,4,2)T a =--的秩为 20、设三阶方阵A 的特征值为1、2、1-，则2=A二、选择题1、设A 、B 为n 阶方阵，则下列结论一定正确的是A 、22()()AB A B A B +-=- B 、BA AB =C 、111()A B A B ----=-D 、,AB O =则A O =或B O =2、设线性方程组有唯一解，则λ的值为 A 、0 B 、 1 C 、-1 D 、异于0、1、-1的实数3、设向量组12,,r a a a 线性相关，则A 、向量组中任一向量可由其余向量线性表示B 、向量组中只有一个向量可由其余向量线性表示C 、向量组中存在某一向量可由其余向量线性表示D 、上述说法均不正确 4、若A 可逆，则下面命题错误的是 A 、AE B 、A 为非奇异矩阵 C 、0A = D 、若AC O =，则C O =5、已知123,,a a a 线性无关，则下列向量组线性无关的是A 、1212,,a a a a -B 、123213,,a a a a a a -++C 、123213,,a a a a a a +++D 、123123,,a a a a a a +-+三、计算题1、计算行列式31111311113111132、 012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -3、设2546,1321A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,计算AB BA -4、 求向量组()()12341,1,2,4,0,3,1,2,(1,1,2,0),(3,0,7,14)TTT T a a a a =-==-=的一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示111x y z x y z x y z λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩5、求线性方程组1234123412348102024505121130x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩的通解和基础解系6、求矩阵212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征值和特征向量7、计算行列式12342341341241238、 211210111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -9、设2546,1321A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,计算BA AB -10、 求向量组()()12341,1,2,4,0,3,1,2,(1,1,2,0),(2,1,5,6)TTT T a a a a =-==-=的一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示11、求线性方程组1234123412345231153613425x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪-+-=⎩的通解12、求矩阵123213336A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征向量四、证明题1、设方阵A 满足222A A E O ++=,证明A E +可逆并求()1A E -+ 2、设方阵A 满足22A A E O --=,证明2A E +可逆并求()12A E -+。

考研数学线性代数复习要点对于考研数学中的线性代数部分，掌握好复习要点至关重要。

线性代数在考研数学中占据着重要的地位，其特点是概念多、定理多、符号多、运算规律多，并且前后知识的联系紧密。

以下是为大家梳理的线性代数复习要点。

一、行列式行列式是线性代数中的基础概念，其计算方法和性质是必须要熟练掌握的。

1、行列式的定义要理解行列式的定义，特别是二阶和三阶行列式的计算方法。

对于高阶行列式，可以通过行列式的性质将其化为上三角行列式或下三角行列式来计算。

2、行列式的性质熟练掌握行列式的性质，如行列式转置值不变、两行（列）互换行列式变号、某行（列）乘以常数加到另一行（列）行列式不变等。

这些性质在行列式的计算中经常用到。

3、行列式按行（列）展开定理掌握行列式按行（列）展开定理，能够将高阶行列式降阶计算。

二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容之一，需要重点掌握。

1、矩阵的运算包括矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算。

要特别注意矩阵乘法的规则和性质，以及矩阵乘法不满足交换律这一特点。

2、矩阵的逆理解逆矩阵的定义和存在条件，掌握求逆矩阵的方法，如伴随矩阵法和初等变换法。

3、矩阵的秩掌握矩阵秩的定义和求法，了解矩阵秩的性质。

矩阵的秩在判断线性方程组解的情况等方面有重要应用。

4、分块矩阵了解分块矩阵的概念和运算规则，能够灵活运用分块矩阵解决一些复杂的矩阵问题。

三、向量向量是线性代数中的重要概念，与线性方程组和矩阵的秩密切相关。

1、向量的线性表示理解向量线性表示的概念，掌握判断向量能否由一组向量线性表示的方法。

2、向量组的线性相关性掌握向量组线性相关和线性无关的定义和判定方法，这是线性代数中的重点和难点。

3、向量组的秩理解向量组的秩的概念，掌握求向量组秩的方法。

4、向量空间了解向量空间的基本概念，如基、维数等。

四、线性方程组线性方程组是线性代数的核心内容之一，在考研中经常出现。

1、线性方程组的解掌握线性方程组有解、无解和有唯一解、无穷多解的判定条件。

考研数学线性代数的知识点怎么复习范本三份知识点一：矩阵1.矩阵的定义：矩阵是一个由数域中的元素排列成的矩形阵列。

2.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法等。

3.矩阵的类型：包括列矩阵、行矩阵、方阵、行满秩矩阵、列满秩矩阵等。

4.矩阵的转置：行变为列，列变为行。

5.矩阵的逆：满足矩阵乘法交换律的方阵，存在逆矩阵。

6.矩阵的秩：线性无关行（列）向量的最大个数。

知识点二：行列式1.行列式的概念：一个由n*n个元素构成的方阵，与其他方阵不同的一个特殊数。

2.行列式的性质：包括行互换、列互换、其中一行（列）乘以一个非零常数、其中一行（列）加上另外一行（列）的k倍等运算。

3.行列式的计算：包括按定义计算、按行（列）展开、按行列式的性质计算等方法。

4.行列式的性质与结论：含有零行（列）的行列式为零、对调两行（列）行列式变号、行列式与其转置行列式相等等。

知识点三：向量空间1.向量空间的定义：满足一定条件的集合，其中的元素可以进行向量运算。

2.向量空间的性质：包括封闭性、线性组合、线性无关、向量子空间等性质。

3.线性相关与线性无关：一组向量之间的线性组合关系。

4.基、维数与坐标：向量空间的基、维数与坐标之间的关系。

5.线性映射：保持向量空间的线性性质的映射。

6.矩阵的秩与线性方程组的解：矩阵的秩与方程组解的个数及解的性质之间的关系。

知识点四：特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义：对于一个n*n矩阵A，如果存在常数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的特征向量。

2.特征值与特征向量的计算：包括求解特征方程、求解特征向量的过程。

3.特征值与特征向量的性质：特征值的和等于矩阵的迹，特征向量对应不同特征值的特征向量线性无关等。

知识点五：二次型1.二次型的定义：一个含有二次项和线性项的多项式。

2.二次型的矩阵表示：用矩阵表示二次型。

3.二次型的规范化：将二次型化为标准形，即去除二次项的干涉项。