冲击动力学 ppt课件

对于弹性波而言，入射波与反射波的总效果可由叠加原 理来确定，入射波与反射波叠加的总效果符合所给定的边界 条件。
3-2-1 弹性波从固定端的反射
固定端的边界条件为 v 0（这是相对于杆及固定端初始
状态为自然静止状态而言）。
[例3-2-1]设长为l的长杆初始状态为自然静止状态，左端施 加突加恒值拉伸载荷v1，杆右端为固定端。
C0
应为波系图中的OA，其方程为：
X C0t
左传波的特征线对应为AB，其方程为：
XlC 0 tC l0 XC 0t2l
各区解如下：
1区： 2区：
10C0v1
2
1
0C0(v2
v 20
v1)，
同样可从v 图中可以直接得出。）
某一时刻的 X 图和某质点位置的 t 图略。
冲击动力学
l 回顾：对于一维纵波
dX Cdt
◆ 沿特征线有： d v C d
d 0 C d v
初始状态为自然静止态的线弹性波有：
X C 0t v C 0
0 C 0 v
◆ 波阵面前后（跨过特征线）有：
dX Cdt
d v mC d
d m 0 C d v
v44
v2
2
v3 v1
3 1
4 2 3 1
图3-1-6
3-2 弹性波从固定端和自由端的反射
当杆中传播的应力波到达杆的另一端时将发生波的反射， 反射波的性质与边界条件息息相关。
从某种意义上说，边界条件（如固定端或刚壁，自由端） 对于入射波来说，实际上是对入射波波阵面后方状态的一个 新的扰动，这一扰动的传播就形成反射波。
初始状态为自然静止态的线弹性波有：
X C 0t v mC 0
m 0 C 0 v
若初始状态为均匀场，对于有突跃的情况有：[[v]]mmC0C0[0[]v]
l 求解应力波之间的相互作用，是基于以下几点来考虑： （1）杆中一维应力纵波基本假设； （2）应力波作用界面上的质点速度相等的连续条件，和 作用力与反作用力互等条件（在等截面处即简化为 界面两侧应力相等）； （3）波阵面上的动量守恒条件、质量守恒条件或应力应变关系。
阵面过后，杆左端状态逐渐由自然静止状态转变为参量值对
应于 v2 ,2,2的状态。
（3）两波相遇后，界面上满足质点速度相等和应力相等
条件，v3 ,3,3 所对应的状态逐渐由杆中部向杆两端展开。
解：根据分析可画出波系图（图3-1-2） 图3-1-2
根据波阵面前后的关系可列出相应关系式，并进行求解：
1区： 100 C 0(v10 )， v10C 0(10)
讨论：
（1）当 v2 v1 ，
则 v3 0 ，32122
这相当于在刚壁上发生反 射。
（2）当 v2 v1 ， 则 v32v12v2 ， 3 0 ，这相当于自由
界面上发生反射。
（3）如果弹性杆初始状态不是自然静止状态，而为一均
匀场σ*、v*和ε*，则有：
1 * 0C0 (v1 v*)
3-1 两个相向传播的弹性波的相互作用 [问题]如图所示，一弹性杆，初始状态为静止的自然状态， 左端和右端分别受到突加恒值冲击载荷v1和v2。（设v1 >0，v2 <0，｜v1｜<｜v2｜） 求：波的传播及相互作用情况（波传到杆端发生反射之前），
画出波系图（X-t 图）、v图，和某时刻的 X图或某质
v 3
v2 v3
C0 v3
( 3 v 3
2
)
3 3 3
10C0v1 20C0v2
1
v1 C0
1
E
2
v2 C0
2
E
3 0 C 0 ( v 1 v 2 ) 1 2 ，v3
v1 v2，
3
v1 v2 C0
1
2
由上述结果可见，两弹性波相互作用时满足叠加原理，
即其结果相当于两弹性波分别作用时结果的线性叠加，这主
点位置的 t 图，求出波系图中各区的 、v 解。
分析： （1）弹性杆两端受到突加恒值载荷后，分别从两端迎面 传播强间断弹性波（一次波），并在杆正中央相遇，发生内 撞击，形成二次波，分别向杆端两侧反射传播；
图3-1-1
（2）左行一次波波阵面过后，杆右端状态逐渐由自然静
止状态转变为参量值对应于 v1 ,1 ,1 的状态。右行一次波波
讨论：
（1）可以看出，当杆初始状态为自然的静止状态时，在
固定端界面上，即入射波与反射波相遇的界面处质点速度为
零而应力加倍。
（2）当长杆中初始状态为均匀场，参量对应为σ*、v*，
则有
1 2*100CC00((vv21vv1*))
v2 v*
22 1* v2 v 0C * 0(v1v*)*
要求画出 t 2 l 时间内的波系图、v 图，写出右传
入射波和左传反射C波0 的特征线方程，求解波系图中各区的质
点速度和应力解值表达式，并画出某一时刻的 X 图和
某质点位置的 t 图。
[分析] 依题可画出杆的作用示意波系图和 v 图。
图3-2-1
左传弹反性射波波波回速到为左C端0，面则的右时传间波为到t达 固2 l 定，端右的传时波间的为特t 征 C线l 0 对，
10C 0v1
，
1
v1 C0
1 E
2区： 2 0 0 C 0(v 2 0 )， v20 C 0(20)
20C 0v2，
2
v2 C0
2
E
3区：
3 3
1 0C 2 0C0
3 3
0 (v3 ( v 3 3
v1 ) v2)
v3 v3 v3
v3 v1 C 0 ( 3 1 )
要是因为弹性波的控制方程是线性的。
根据波系图（X-t图）中所示跨过各特征线的波阵面前 后各参量之间的相容关系 ，或根据前面求解所得各区参量
值可以画出相应的 v 图、 v 图、 图，和某时
刻的 X图或某质点位置的 t 图。
图3-1-5
图3-1-3
X
v
图3-1-4
图3-1-1实际上就是几个典型位置的 X 图。
23
* 1
0C0 0C0
(v2 (v3
v*) v1 )
3 2 0C0 (v3 v2 )
v33v11
v2 v*
2 *
（4）如果本题中v1和v2方向反向，则杆处于受压状态， 求解方法一样，但要注意画图时各参量的正负方向。
（5）图3-1-6所示特征线所组成图示各区域，其中1、2、
3和4区若均为恒值区，则可以直接得到：