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(整理)傅立叶积分变换.

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傅里叶变换总结

傅里叶变换总结
为
。
把上式积分中的 x 换成复变数 z(z=x+iy),即得复平面上定义的函数 F(z)：
。
(12)
可以证明 F（z）是复平面上的解析函数。此外,由于ƒ∈l2(-σ,σ)，可得估计
这就是说,(12)定义的 F(z)是一个指数σ型的整函数。下面的佩利-维纳定理则说明逆命 题也成立： 设σ>0,F(x∈l2(-∞,∞),那么 F(x)为 l2(-∞,∞)中以(－σ，σ)为支集的 某函数ƒ(t)的傅里叶变换的充分且必要的条件是，F(x)为指数σ型整函数 F(x+iy)在 x 轴上 的限制。
多元傅里叶变换 设
为 m 维欧几里得空间 Rm上的 l 可积函数,
即ƒ∈l(Rm),那么称函数
为ƒ的傅里叶变换,记作弮(x)。假如ƒ(x∈l2(Rm),那么同样可以证明，“截断”积分
，
当 K 趋 于 无 穷 时 ， 函 数
。F(x)就称为ƒ的傅里叶变换。类似于一元的情形， 成立着普朗歇尔定理。
。
(9)
上式称为弮(u)的傅里叶逆变换。例如
的傅里叶变换弮(u)等于
;而弮(u)的傅里叶逆变换是
。 L2（－∞,∞）中函数的傅里叶变换
对于ƒ(x∈l2(-∞,∞)，(8)中积分未必收敛，由
(8)定义的傅里叶变换可能不存在。因此,对由(8)定义的傅里叶变换需要从另一种意义上去 理解。可以证明，函数
，
佩利维纳定理假如?l并且?x0x那么?的傅里叶变换把上式积分中的x换成复变数zzxiy即得复平面上定义的函数fz
傅里叶变换 参考文献 E.M.Stein and G.Weiss,Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces,Princeton Univ.Press,Princeton,1971.

傅里叶积分变换

傅里叶积分变换

e jt0
f (u) e ju du
F e jt0 f (t)
返回
第六章 傅氏变换
前进
同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即
F -1 F ( 0 ) f (t)e j0t
（4）
这表明频谱函数
F
(
)
沿
轴向左向右位移
的傅氏
0
变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子 e j0t或 e j0t 。
lim
0
(t) f
(t)dt
lim
0
(t) f (t)dt
lim 1 f (t)dt f (0)
0 0
更一般地有
(t
t0 ) f (t)dt
f (t0 )
返回
第六章 傅氏变换
前进
c. 单位脉冲函数的傅氏变换F() F (t) 1
证明
F() F (t)
(t) e-jtd e j t 1
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，
这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本 概念。
在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏 积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称 为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为 f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。
对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这
(t
)dt
1
j
F f (t)
（8）
证 因为
d
t
f (t)dt f (t)
dt
所以
F
d dt
t
f
(t)dt
F
f
(t)
根据微分性质：F
d
dt
t
f
(t)dt

傅立叶积分变换

傅立叶积分变换
a0 an ibn an ibn 1 L 令 c0 , cn , dn , 则 c0 fT (t )dt 2 2 2 2L L 1 L 1 L int cn f ( t ) cos n t i sin n t dt f ( t ) e dt T T 2L L 2L L 1 L 1 L int dn f ( t ) cos n t i sin n t dt f ( t ) e dt c n T T 2L L 2L L n 1,2, (c n cn )
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
5
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
n
f (t 4n),

2 2 n , n n T 4 2 2
f4(t)
1
T=4
1
3
t
11
则
1 L jn t cn fT (t )e dt 2L L 1 2 1 1 jnt jn t f 4 (t )e dt e dt 4 2 4 1 1 1 1 jn t jn jn e e e 4 jn 4 j n 1 1 sin n 1 sinc(n ) (n 0, 1, 2, ) 2 n 2
傅立叶积分变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示；

数学物理方法_傅里叶积分变换

数学物理方法_傅里叶积分变换
tdt a0

sin ntdt (利用正交性)

2


[ak

cos kt sin ntdt bk
sin kt sin ntdt] bn,

k 1
则
1
bn

f (t)sin ntdt

(n 1,2,3,).
得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.
周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
a0
2

n1

an
cos nt
bn
sin nt

注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.

0

同理可证 : sin kt sin nt dt 0
(k n )
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有

11d t 2
cos2 nt dt
sin2 nt dt
cos2 nt 1 cos 2nt , sin2 nt 1 cos 2nt
0
(n 1, 2,
)
代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数
a0
2

n1
(an
cos nt
bn
sin
nt)
在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?
f (t) 条件?
a0 2


(an cos nt bn sin nt)

5-2傅立叶积分变换

5-2傅立叶积分变换

(因为k
l
)
1 [
f ( ) cos d ]cosxd
0
A() cosxd 0
同理：
lim
l
k 1
bk
sin
k
x
lim
l
k 1
[1 l
l l
f ( ) sin k d ]sin k x
1 [
f ( ) sin d ]sin xd
0
B() sin xd 0
综上可得：在 l 时，
|
f
(x) |2dx
2
| F () |2 d 2
1 (1)2d
1 2
例题（选学）：以平衡位置为零点，建坐标系.初始值为 x0 ，初速 v 0 .
① 求解振动问题 ② 让整个箱子自由下落，求解振动问题
解：① mx kx x 2x 0
(0
k) m
则
x Asin(0t ),
由初始条件求得
6. 积分定理：如果 f (x) 在 (, ) 上满足： lim
x
f (x)dx 0 ，则有
x -
Y [ x f (x)dx] 1 F ()
i
（若 lim x f (x)dx 0 ，则Y [ x f (x)dx] 1 F () F (0) () ）
x -
i
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
A
x0 ，
2
.
整个箱子自由下落，表示弹簧振子处于一个非惯性系中，应
受到惯性力 f ma mg ，由此得到运动方程：
mx kx mg ，
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
数学物理方法
傅立叶积分变换
丁成祥
即：

复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换

复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
证：f t 1 F ejt d
2
1
2

2d

0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2


f ( )cos(t )d

j

f
(
) sin
(t

)d

d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t


lim
0
d

t


0
t 0。 t 0
O


d t dt

lim 0

d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3

19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2



f

复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换


解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d

傅里叶积分变换


§ 6.2 傅立叶（Fourier）积分变换


1.傅里叶积分变换的概念
2.单位脉冲函数
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
11 September 2018
13 13 目录
课程
第六章傅里叶积分变换
1. Fourier积分变换及逆变换
定义：
频谱函数



F ( w )e iwt dw ,
傅里叶积分公式三角结 构：

f ( x )e iwx dx e iwt dw为傅里叶积分公式 .


0
f ( x ) cos w( t x )dx dw .
1 1 iwx iwt iw ( t x ) dw f (t ) f ( x ) e dx e dw f ( x ) e dx 2 2 1 i dw . f ( x ) cos w ( t x ) dx dw f ( x ) sin w ( t x ) dx 2 2
n 设wn ,将系数代入得： l
整理后得复数形式的傅里叶级数：
f ( x)
iwn x ( c e n )
n -
1 其中： cn 2l

l
l
f ( )e iwn d（n 2,1,0,1,2） .
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
e 2 e 2i
i
d , d .
7 7 目录

傅里叶积分和变换


C() 称为 f (x) 的振幅谱，() 称为 f (x) 的相位谱。可
以对应于物理现象中波动（或振动）。
数学物理方法
同傅里叶级数的情形类似，奇函数 f (x) 的傅里叶积分是傅
里叶正弦积分，
f (x) 0 B() sin xd
B()是 f (x) 的傅里叶正弦变换，
（5.2.6）
B()
2
0
f
( )sin d
( 0) ( 0)
数学物理方法
将(5.2.5)代入上式，可以证明，无论 0 还是 0 ，
F () 1 f (x)[eix ]*dx 2π
(5.2.13)
（ 5.2.12 ） 是 f (x) 的 复 数 形 式 的 傅 里 叶 积 分 表 示 式 ，
（5.2.13）则是 f (x) 的傅里叶变换式。这两个式子还可以
i
证明：
(x)
记 f ( )d (x) ，则
'(x) f (x) ，对于(x) 应用导数定理有
F[ '(x)] iF((x))
即： F[
(x)
f ( )d ]
1
F[f (x)]= F()
i
i
导数定理和积分定理很重要，原函数的求导和积分运
算，通过傅里叶变换后，变成了像函数的代数运算。
数学物理方法
2
eix0 F ()
数学物理方法
（5）位移定理 F[ei0x f (x)] F ( 0 )
证明：
F[ei0x
f
(x0 )]
1
2
ei0x f (x)eixdx
1 f (x)ei(0 )xdx
2
F( 0 )
数学物理方法

(整理)希尔伯特变换与傅立叶变换

在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。

因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。

这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。

）希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。

希尔伯特转换定义如下：其中并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及等处的奇点。

另外要指出的是：若，则可被定义，且属于；其中。

频率响应希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：,其中∙是傅立叶变换，∙i (有时写作j )是虚数单位，∙是角频率，以及∙即为符号函数。

既然：,希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。

反（逆）希尔伯特转换我们也注意到：。

因此将上面方程式乘上，可得到：从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。

因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。

例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。

∙傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。

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n
T
2 T
2
fT
ein d eint
lim 1 2 n 0
n
T
2 T
2
fT
ein d eintn ,
令
T n
1 2
[
T
2 T
2
fT
ein d ]eint
,
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故
f
t
lim
n 0
T
n
n
n .
(4)
注意到当 n 0, 即T 时,
T
(n )
n
即
f tdt 收敛,
则（5）在
f t 的连续点成里;
而在
f t 的间断点 t0 处
应以 f t0 0 f t0 0 来代替.
2
上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当 f t 满足傅氏积分定理条件时，公式(5)
可以写为三角形式，即
f t, 在f t连续点处，
1
[ f 0
cost
d ]d
an
n 1
cos nt
bn sin nt
(1)
其中
a0
1 T
T
2 T
fT
2
t dt ,
an
1 T
T
2 T
fT tcosntdtn
1,2,,
2
bn
1 T
T
2 T
fT tsin ntdtn
1,2. ,
2
在间断点 t0 处，(1)式右端级数收敛于
fT t0
0
fT t0
0 .
2
又 cos ei ei , sin ei ei ,.于是
例 2 求 f t Aet2 的傅氏变换其中 A, 0 ---钟形脉冲函数.
解: 根据定义, 有
F
f
t eitdt
Aet 2 eit dt ,
2
Ae 4
Ae
t
i 2
2 dt
2
Ae 4
.
这里利用了以下 结果：
ex2 dx 0.
2．傅里叶变换的物理意义
如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式
§1.1 傅里叶级数与积分
1．傅里叶级数的指数形式
在《高等数学》中有下列定理：
定理
1.1
设
fT t 是以T 0 T
为周期的实函数，且在
T 2
,
T 2
上满足狄利克雷
条件，即 fT t 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限
个极值点. 则在连续点处，有
fT t
a0 2
c0
c1eit c2ei2t cneint
c1eit
c2ei 2t
c
eint
n
(2)
(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义.
容易证明 cn 可以合写成一个式子 ,即
cn
1 T
T
2 T
fT teintdtn 0,1,2,.
2
(3)
2．傅里叶积分
任何一个非周期函数 f t , 都可看成是由某个周期函数 fT t 当 T→+∞时转化而来的.
即 由公式(2) 、(3)得
lim
T
fT t
f
2 T
2
fT
ein d eint ,
f
t
lim 1 T T
n
T
2 T
2
fT
ein d eint ,
令 n
n, n
n
n1 ,则
2 T
或T
2 n
.
于是
f
t
lim 1 T T
可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、 差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学 上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、 信号分析、线性系统分析的重要工具.
F F{ f t} .
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称(2)式，即 f t 1 F eitd 为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为
2
f t F 1 [ f t]. (1)式和(2)式，定义了一个变换对 F 和 f t也称 F 为 f t的像函数； f t为的原像 函数 ,还可以将 f t和 F 用箭头连接: f t F .
1 2
[
f
ein d ]eint .
从而按照积分的定义，（4）可以写为：
f
t
d
，
或者
f t 1
[
f
ei d ]eitd .
2
(5)
公式（5）称为函数 f t 的傅氏积分公式.
定理 1.2 若 f t 在(-∞, +∞)上满足条件:
(1) f t 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) f t 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,
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第一章 傅里叶积分变换
积分变换简介
所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种
变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：
b
a k
(t
,
)
f
t
dt
记为
F
这里 f t 是要变换的函数，称为原像函数； F 是变换后的函数，称为像函数； kt, 是
一个二元函数，称为积分变换核 . 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就
f
t
0
2
f
t
0,
其它.
(6)
§1．2 傅里叶积分变换
上一节介绍了：当 f t 满足一定条件时，在 f t 的连续点处有：
从上式出发，设
f t 1
[
f
ei d ]eitd .
2
F
f
t eitdt
(1)
则
f t 1 Feitd
2
(2)
称(1)式，即 F f teitdt 为 f t 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为
2
2i
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fT
t
a0 2
n 1
an
eint
eint 2
bn
eint
eint 2i
a0 an ibn eint an ibn eint
2 n1 2
2
令 c0
a0 2
,
cn
an
ibn 2
,
c n
an
ibn 2
,
n 1,2,3,, 则
fT t cneint n
例
1
求函数
f
t
0, e
t
,
t0 的傅氏变换及其积分表达式其中 0 .这个函数称
t0
为指数衰减函数,在工程中常遇到. 解:根据定义, 有
F
f
t eitdt =
eteit dt =
0
e( i)t dt
0
=
1 i
=
i 2 2
.
这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有
f t 1
2
F eitd 1
2
2
i 2
eit
d
注意到 eit cost sint ， 上式可得
f t 1
2
2
i 2
cost
i sintd
1
0
cost sin 2 2
t
d
.
因此
0, t 0,
0
cost sin 2 2
t
d
2, et ,
t t
0, 0.