湖北省武汉市武昌区2016届高三5月调考文科数学试题 Word版含答案

武昌区2016届高三年级五月调研考试文科综合试卷本试卷共300分，考试用时150分钟。

★祝考试顺利★本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第1卷1至8页，第Ⅱ卷8至16页，全卷共16页。

第I卷本卷共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题且要求的。

24．《周礼》中的“同姓不婚”被规定于《唐律>中，尽管唐以后的政府在司法实践中不干涉同姓为婚，但直到清代，“同姓不婚”在立法中却始终未能废止。

诸如此类立法和司法实践脱离的现象在中国古代社会普遍存在。

这反映了A．唐代以来法律的儒家化B．法制理念追求礼法结合C．社会进步弱化宗法观念D．制度建构经常不拘常格25.宋代有人说：“人生不可无田，有则仕宦出处自如，可以行志。

不仕则仰事俯育，不致丧失气节。

有田方为福。

”宋人的这种思想在此后的千余年间十分流行。

这一现象A.促进小农经济的稳定与强固B．化解了官僚政治的内在矛盾C．导致土地占有趋向豪强地主D．阻碍了手工业和商业的发展26.元代修史，朱熹及其门人弟子被列入《道学传》，而陆九渊等人则被列入《儒林传》。

明代，道学之名逐渐被理学取代。

到清代，陆九渊被列入《理学传》而不入《儒林传》。

促成这一变化的主要因素是A．明代理学取得了突出的成就B．儒学发展成严密的思想体系C．士大夫批判道学的虚伪说教D．道学将理学和心学融为一体27.据苏南地区某些方志记载：自光绪初年至20世纪20年代，“邑人服装朴素，大率多用土布及绵绸府绸”。

到40年代末，“旧时农隙之时，均纺纱织布，除供一家衣着外兼以出售，协助家用，近虽机器纱布盛行，家人衣着仍有自纺自织者”。

这些记载反映了当时A.工业化导致苏南农村的贫困B．土布业与商品市场共同发展C．近代工业的影响主要在城市D．自然经济没有受到洋货冲击28.某一时期，中国国民党在政策纲领中陆续写进“徐谋劳资间地位之平等”、“确认妇女与男子地位之平等”、“徐谋地主佃户间地位之平等”等保障“人民”权益等内容。

理科数学试题及答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数112m ii +++是实数，则实数m =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．22.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．52-B ．0C ．53D ．523.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p =（ ） A ．110 B ．215 C ．16 D ．154.已知双曲线221x y -=，点12,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +的值为（ ）A ．2 B ． C．．5.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<6.执行如图所示的程序框图，若输中k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．3?4S ≤B ．11?12S ≤C ．25?24S ≤D ．137?120S ≤ 7. ()()532x y x y -+的展开式中，42x y 的系数为（ ）A ．100B ．120C ．130D ．1508.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．309.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0t =时，点A 的坐标是12⎛ ⎝，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）A ．[]0,1B ．[]1,7C ．[]7,12D ．[]0,1和[]7,12 10.已知命题1:p 设函数()()20f x ax bx c a =++>，且()12af =-，则()f x 在()0,2上必有零点；2:p 设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的充分不必要条件． 则在命题()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨∧⌝∨和()412:p q p ∧⌝中，真命题是（ ）A ．13,q qB ．23,q qC ．14,q qD ．24,q q 11.在ABC ∆中，090C ∠=，M 是BC 的中点，若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠=（ ）A ．23D 12.设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,4 C ．()2,3 D ．()2,4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.若向量,a b 满足：()()(),2,a a b a a b b =+⊥+⊥，则b =_____________．14.已知()2sin x dx πϕ-=⎰sin 2ϕ=____________． 15.已知直三棱柱111ABC A B C -的各项点都在同一球面上，若012,120AB AC AA BAC ===∠=，则该球的表面积等于___________． 16.已知函数()1212x f x ke x x -=-+（k 为常数），曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与x 轴平行，则()f x 的单调递减区间为_____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*1121,n n n a a S n N n++==∈． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．（1）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（2）若从甲部门中随机选取3人，用X 表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X 的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//,,1,2,AB DC AD DC AB AD DC SD E ⊥====为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC ．（1）证明：2SE EB =；（2）求二面角A DE C --的大小． 20.（本小题满分12分）已知()()0,1,0,1A B -是椭圆2212x y +=的两个顶点，过其右焦点F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，与y 轴交于P 点（异于,A B 两点），直线AC 与直线BD 交于Q 点．（1时，求直线l 的方程； （2）求证：OP OQ为定值．21.（本小题满分12分）（1）证明：当[]0,1x ∈sin x x x ≤≤； （2）若不等式()2222cos 42x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O 和O ' 相交于A B 、两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C D 、两点，连结DB 并延长交O 于点E ，已知3AC BD ==．（1）求AB AD 的值； （2）求线段AE 的长．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为152x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρθ=．（1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（2）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()f x x a x b =-++的最小值为2． （1）求a b +的值；（2）证明：22a a +>与22b b +>不可能同时成立．参考答案一、选择题二、填空题14. 91615. 20π 16. (),0-∞ 三、解答题17. 解：（1）由12n n n a S n ++=，及11n n n a S S ++=-，得12n n n n S S S n++-=，整理，得()121n n nS n S +=+，∴121n n S S n n +=+ ，又111S=， ∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1），得12n nS n-=，∴()1*2n n S n n N -=∈ ， ∴01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++ ，①()12121222122n n n T n n -=⨯+⨯++-+ ，②由②-①，得()()211212222212112nn nn n n T n n n --=-+++++=-+=-+- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18. 解：（1）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取21045⨯=人． 记“至少有一人来自甲部门”为事件A ，则()343813114C P A C =-=．故至少有一人来自甲部门的概率为1314．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3．()()()()031221306464646433331010101013110,1,2,3301026C C C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============，∴X 的分布列为∴()11901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19. 解：（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，则()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C S ，∴()()()0,2,2,1,1,0,0,2,0SC BC DC =-=-=．设平面SBC 的法向量为(),,m a b c =，由,m m SC BC ⊥⊥ ，得0m SC m BC ⎧=⎨=⎩，设平面EDC 的法向量(),,n x y z =，由,n DE n DC ⊥⊥ ，得00n DE n DC ⎧=⎨=⎩，∴2011120x y z y λλλλλ⎧++=⎪+++⎨⎪=⎩，取()2,0,n λ=-． 由平面EDC ⊥平面SBC ，得m n ⊥， ∴0m n = ，∴20λ-=，即2λ=．故2SE EB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1），知222,,333E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴222,,333DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，242,,333EC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴0EC DE =，∴EC DE ⊥．取DE 的中点F ，则111,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴211,,333FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴0FA DE =，∴FA DE ⊥．∴向量FA 与EC的夹角等于二面角A DE C --的平面角．而1cos ,2FA EC FA EC FA EC==-，故二面角A DE C --的大小为120°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20. 解：（1）由题设条件可知，直线l 的斜率一定存在，()1,0F ， 设直线l 的方程为()()101y k x k k =-≠≠±且，由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得()2222124220k x k x k +-+-=．设()()1122,,D ,C x y x y ，则22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，==．=，解得k = 故直线l 的方程为)1y x =-或)1y x =-， 即10x --=或10x +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由()()1122,,,y C x y D x ，()()0,1,0,1A B -，得 直线AC 的方程为1111y y x x -=+，直线BD 的方程为2211y y x x +=-， 联立两条直线方程并消去x ，得()()21121111x y y y x y --=++． 由（1），知()()2211221212224221,1,,1212k k y k x y k x x x x x k k-=-=-+==++ ∴112112122112Q x y x y x x y x y x y x x ++-=-++，∴()()()12211212211212121222121222211222442121212x y x y x x kx x kx x x x kx x k x x x x k k k k k x x x x k k k++-=-+-+-=-++--=-+-=-+-+++ ，()()()()1221121221122211221122211441212x y x y x x kx x kx x x x k k k x x x x k x x k x x k k -++=---++⎛⎫=-++=-+=--+- ⎪++⎝⎭，∴1Q y k =-，∴1,Q Q x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()0,P k -， ∴()10,,1Q OP OQ k x k ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ ，故OP OQ为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21. 解：（1）记()sin F x x x =，则()cos F x x '= 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，()F x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数； 当,14x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0F x <，()F x 在,14π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数． ∵()()00,10F F =>，∴当[]0,1x ∈时，()0F x ≥，即sin x x ≥． 记()sin H x x x =-，则当()0,1x ∈时，()cos 10H x x '=-<，∴()H x 在[]0,1上是减函数，∴()()00H x H ≤=，即sin x x ≤．[]sin ,0,1x x x x ≤≤∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）∵当[]0,1x ∈时，()()()()()()2222222222cos 4242sin 22224222x x x ax x x x a x x x x a x x x x a x ++++-=+++-+⎫≤+++-+=+⎪⎪⎭∴当2a ≤-时，不等式()3222cos 42x ax x x x ++++≤，对[]0,1x ∈恒成立．下面证明：当2a >-时，不等式()3222cos 42x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈不恒成立．()()()()()()()()3322223322222cos 4242sin 222242sin 222233222223x x x ax x x x a x x x x x x a x x x a x x a x x x x a ++++-=+++-+⎛⎫≥+++-+=+--⎪⎝⎭⎡⎤≥+-=--+⎢⎥⎣⎦∴存在()00,1x ∈（例如0x 取23a +和12中的较小者）满足()320000022cos 402x ax x x x ++++->，即当2a >-时，不等式()3222cos 402x ax x x x ++++-≤对[]0,1x ∈不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(],2-∞-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22. 解：（1）∵AC 切O ' 于A ，∴CAB ADB ∠=∠，同理ACB DAB ∠=∠，∴ACB DAB ∆∆ ， ∴AC AB AD BD=，即AC BD AB AD = ． ∵3AC BD ==，∴9AB AD = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵AD 切O 于A ，∴AED BAD ∠=∠，又ADE BDA ∠=∠，∴EAD ABD ∆∆ ， ∴AE AD AB BD=，即AE BD AB AD = ， 由（1）可知，AC BD AB AD = ，∴3AE AC ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23. 解：（1）由ρθ=，得2cos ρθ=，从而有22x y +=，∴(223x y +=．∴曲线C 是圆心为)的圆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题设条件知，PQ QC PC +≥，当且仅当,,P Q C 三点共线时，等号成立，，∴min min PQ PC =-．设1,52P t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，又)C ，== 当1t =时，PC 取得最小值，从而PQ 也取得最小值，此时，点P 的直角坐标为92⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭- ………………………………………10分24. 解：（1）∵0,0a b >>，∴()()()f x x a x b x a x b a b a b a b =-++≥--+=--=+=+，∴()min f x a b =+．由题设条件知()min 2f x =，∴2a b +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）及基本不等式，得2a b ≤+=，∴1ab ≤．假设22a a +>与22b b +>同时成立，则由22a a +>及0a >，得1a >．同理1b >，∴1ab >，这与1ab ≤矛盾．故22a a +>与22b b +>不可能同时成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

武昌区2016 届高三年级元月调研考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将 自己的姓名、准考证号填写在本试卷答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{x | 23x -≤≤}，B ＝{x | 2280x x +->}，则A U B (A) (2,3] (B) (－∞，－4)U [－2，＋∞) (C) [－2,2) (D) (－∞，3]U (4，＋∞)(2)已知(1＋2i)z ＝4 ＋3i （其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数），则z 的虚部为 (A) 1 (B) －1 (C) i (D) －i (3) 在区间上随机取一个数x ，则事件“0.5log (43)0x -≥”发生的概率为 （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）14（4）右边程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出i ＝ (A)6 (B)7 (C)8 (D)95)“a ≤0”是“函数 f (x ) ＝2x a +有零点”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(6)已知4cos()5πα-=，且α为第三象限角，则tan2α的值等于 (A) 34 (B)－34(C)247 （D)－247(7)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r等于(A)OM u u u u r (B)2OM u u u u r (C)3OM u u u u r (D)4OM u u u u r(8) 已知抛物线22(0)y px p =>上一点M (0x ,4) 到焦点F 的距离|MF |＝540x ，则直线 MF 的斜率MF k =（A ）2 （B ）43 （C ）34 （D ）12（9）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cosB 的最小值为 （A ）12 （B ）22（C ）34 （D ）32 （10）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方 向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响， 则该码头将受到热带风暴影响的时间为 (A)14 h (B)15 h (C)16 h (D)17 h(11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (A)8－2π(B) 8－34π (C) 8－23π(D)8－2π(12)已知函数 f (x ) ＝sin x －x cos x ．现有下列结论： ①()f x 是R 上的奇函数； ②()f x 在[,2]ππ上是增函数； ③[0,],()0x f x π∀∈≥．其中正确结论的个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

【关键字】数学武昌区2016届高三年级五月调研考试理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数是实数，则实数（B ）A．B．．D．22．若变量x，y满足约束条件则的最大值是( C )A．B．．D．3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则( B ) A．B．C．D．4．已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若，则的值为( C ) A．2 B．C．D．5．设，，，则( C )A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( B ) A．B．C．D．7．的展开式中，的系数为( A )A．110B．120C．130D．1508．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( C )A．12B．18C．24D．309．动点A(x，y)在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点A的坐标是，则当时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是( D )A．B．C．D．和10．已知命题p1：设函数，且，则在上必有零点；p2：设，则“”是“”的充分不必要条件．则在命题：，：，：和：中，真命题是( C )A．q1，q3 B．q2，q．q1，q4 D．q2，q411．在中，，M是BC的中点．若，则( A )A ．B ．C ．D ．12．设直线与抛物线相交于A ，B 两点，与圆相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线恰有4条，则r 的取值范围是( D )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量a ，b 满足：a ，(a ＋2b)⊥a ，(a ＋b)⊥b ，则|b| ． 答案：14．已知，则 ．答案：15．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上．若，，则该球的表面积等于 ．答案： 16．已知函数（k 为常数），曲线在点(0，f(0))处的切线与x 轴平行，则的单调递减区间为 ．答案：)0,(-∞ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，)(21*+∈+=N n S nn a n n ． （Ⅰ）证明：数列}{nS n是等比数列； （Ⅱ）求数列}{n S 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）由a n ＋1＝n ＋2n S n ，及a n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n ＝n ＋2n S n，整理，得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ．又S 11＝1，∴{S nn }是以1为首项，2为公比的等比数列．……………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得S n n＝2n －1，∴S n ＝n ·2n －1（n ∈N *）．∴T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1， ①2T n ＝ 1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ． ② 由②－①，得 T n＝－(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋n ·2n ＝－1－2n1－2＋n ·2n ＝(n －1)·2n ＋1．……12分 18．（本小题满分12分）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．（Ⅰ）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（Ⅱ）若从甲部门中随机选取3人，用X 表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X 的分布列及数学期望． 解：（Ⅰ）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取10×25＝4人．记“至少有一人来自甲部门”为事件A ，则 P (A )＝1－C 34C 38＝1314．故至少有一人来自甲部门的概率为1314．…………………………………………5分（Ⅱ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16．∴X 的分布列为∴E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95．……………………………………12分19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，1==AD AB ，2==SD DC ，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC ．（Ⅰ）证明：EB SE 2=；（Ⅱ）求二面角C DE A --的大小． 解：（Ⅰ）以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D-xyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2)，∴→SC ＝(0，2，－2)，→BC ＝(－1，1，0)，→DC ＝(0，2，0)．设平面SBC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由m ⊥→SC ，m ⊥→BC ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ·→SC ＝0，m ·→BC ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2b －2c ＝0，－a ＋b ＝0．取m ＝(1，1，1)． 又设→SE ＝λ→EB （λ＞0），则E (λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ)，∴→DE ＝(λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ)．设平面EDC 的法向量n ＝(x ，y ，z)， 由n ⊥→DE ，n ⊥→DC ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·→DE ＝0，n ·→DC ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx 1＋λ＋λy 1＋λ＋2z 1＋λ＝0，2y ＝0．取n ＝(2，0，－λ)． 由平面EDC ⊥平面SBC ，得m ⊥n ， ∴m ·n ＝0，∴2－λ＝0，即λ＝2．故SE ＝2EB ．………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知E (23，23，23)，∴→DE ＝(23，23，23)，→EC ＝(－23，43，－23)，∴→EC ·→DE ＝0，∴EC ⊥DE ．取DE 的中点F ，则F (13，13，13)，∴→F A ＝(23，－13，－13)，∴→F A ·→DE ＝0，∴F A ⊥DE ．∴向量→F A 与→EC 的夹角等于二面角A -DE -C 的平面角． 而cos ＜→F A ，→EC ＞＝→F A ·→EC |→F A ||→EC |＝－12，故二面角A -DE -C 的大小为120°．………………………………………………12分20．（本小题满分12分） 已知)1,0(A ，)1,0(-B 是椭圆1222=+y x 的两个顶点，过其右焦点F 的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，与y 轴交于P 点（异于A ，B 两点），直线AC 与直线BD 交于Q 点．（Ⅰ）当223||=CD 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）求证：OQ OP ⋅为定值．解：（Ⅰ）由题设条件可知，直线l 的斜率一定存在，F (1，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)（k ≠0且k ≠±1）．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0． 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，∴|CD |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·(4k 21＋2k 2)2－4·2k 2－21＋2k 2＝22(1＋k 2)1＋2k 2．由已知，得22(1＋k 2)1＋2k 2＝322，解得k ＝±22．故直线l 的方程为y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)， 即x －2y －1＝0或x ＋2y －1＝0．……………………………………………5分（Ⅱ）由C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，A (0，1)，B (0，－1)，得直线AC 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BD 的方程为y ＝y 2＋1x 2x －1，联立两条直线方程并消去x ，得y －1y ＋1＝x 2(y 1－1)x 1(y 2＋1)，∴y Q ＝x 1y 2＋x 2y 1＋x 1－x 2x 1y 2－x 2y 1＋x 1＋x 2．由（Ⅰ），知y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，∴x 1y 2＋x 2y 1＋x 1－x 2＝kx 1(x 2－1)＋kx 2(x 1－1)＋x 1－x 2＝2kx 1x 2－k (x 1＋x 2)＋x 1－x 2＝2k ·2k 2－21＋2k 2－k ·4k 21＋2k 2＋x 1－x 2＝－4k 1＋2k 2＋x 1－x 2，x 1y 2－x 2y 1＋x 1＋x 2＝kx 1(x 2－1)－kx 2(x 1－1)＋x 1＋x 2＝k (x 2－x 1)＋x 1＋x 2＝k (x 2－x 1)＋4k 21＋2k 2＝－k (－4k1＋2k 2＋x 1－x 2)， ∴y Q ＝－1k ，∴Q (x Q ，－1k )．又P (0，－k )，∴→OP ·→OQ ＝(0，－k )·(x Q ，－1k)＝1．故→OP ·→OQ 为定值．………………………………………………………………12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：当]1 ,0[∈x 时，x x x ≤≤sin 22； （Ⅱ）若不等式4cos )2(2232≤++++x x x x ax 对]1 ,0[∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）记F (x )＝sin x －22x ，则F ′(x )＝cos x －22． 当x ∈(0，π4)时，F ′(x )＞0，F (x )在[0，π4]上是增函数；当x ∈(π4，1)时，F ′(x )＜0，F (x )在[π4，1]上是减函数．∵F (0)＝0，F (1)＞0，∴当x ∈[0，1]时，F (x )≥0，即sin x ≥22x ． 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0，1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0，∴H (x )在[0，1]上是减函数，∴H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x ． 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0，1]．………………………………………………4分 （Ⅱ）∵当x ∈[0，1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)(24x )2＝(a ＋2)x ． ∴当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立．下面证明：当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立． ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≥(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)(x 2)2＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x [x －23(a ＋2)]．∴存在x 0∈(0，1)（例如x 0取a ＋23和12中的较小者）满足ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4＞0，即当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤0对x ∈[0，1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．………………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E ，已知3==BD AC ．（Ⅰ）求AD AB ⋅的值； （Ⅱ）求线段AE 的长．解：（Ⅰ）∵AC 切⊙O ′于A ，∴∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，∴△ACB ∽△DAB ，∴AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AB ·AD ． ∵AC ＝BD ＝3，∴AB ·AD ＝9．…………………………………………………5分 （Ⅱ）∵AD 切⊙O 于A ，∴∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，∴△EAD ∽△ABD ，∴AE AB ＝ADBD，即AE ·BD ＝AB ·AD ． 由（Ⅰ）可知，AC ·BD ＝AB ·AD ，∴AE ＝AC ＝3．……………………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程ABCDEOO ′在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 215,23（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 32=．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当||PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标．解：（Ⅰ）由ρ＝23cos θ，得ρ2＝23ρcos θ，从而有x 2＋y 2＝23x ， ∴(x －3)2＋y 2＝3．∴曲线C 是圆心为(3，0)，半径为3的圆．…………………………………5分 （Ⅱ）由题设条件知，|PQ |＋|QC |≥|PC |，当且仅当P ，Q ，C 三点共线时，等号成立，即|PQ |≥|PC |－3，∴|PQ |min ＝|PC |min －3． 设P (－32t ，－5＋12t )，又C (3，0)， 则|PC |＝(－32t －3)2＋(－5＋12t )2＝t 2－2t ＋28＝(t －1)2＋27． 当t ＝1时，|PC |取得最小值，从而|PQ |也取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(－32，－92)．………………………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2．（Ⅰ）求b a +的值；（Ⅱ）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立． 解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，∴f (x )＝|x －a |＋|x ＋b |≥|(x －a )－(x ＋b )|＝|－a －b |＝|a ＋b |＝a ＋b ， ∴f (x )min ＝a ＋b ．由题设条件知f (x )min ＝2，∴a ＋b ＝2．…………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2ab ≤a ＋b ＝2，∴ab ≤1．假设a 2＋a ＞2与b 2＋b ＞2同时成立， 则由a 2＋a ＞2及a ＞0，得a ＞1．同理b ＞1，∴ab ＞1，这与ab ≤1矛盾．故a 2＋a ＞2与b 2＋b ＞2不可能同时成立．……………………………………10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。