七里汤中学九年级数学下册二次根式的性质2学案(无答案)人教新课标版

a （a ≥0）-a （a ＜0）第21章 二次根式1、回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?2、计算： 的平方根是 ；(2)如图，在R ∆t ABC 中，AB=50m ，BC=a m ，则AC= m ；(3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ；(4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。

3、对上面（2）～（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗?4、二次根式的定义：一般地，式子a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

说说对二次根式a 的认识。

练习：说一说，下列各式是二次根式吗? (1)32 (2)6 (3)12- (4))0(≤-m m (5) 35 (6)12+a (7)4 (8)x xy (、y 异号)思考 当a ＜0时，a 有意义吗？为什么？当a ≥0时，a 可能为负数吗？为什么？例1 x 是怎样的实数时,式子5-x 在实数范围内有意义?分析：根据二次根式的定义，被开方数a ≥0，因此要使5-x 有意义，必须要使x-5≥0即可。

5、二次根式性质的探索：22=4，即（4）2= 4；32=9，即（9）2= 9；…… 观察上述等式的两边，你得到什么启示？揭示：当a ≥0时，()2a = a 。

例2 计算：（1）2)3(； （2）2)32(； （3） 2)(b a + （a+b ≥0） 5、观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律，再和同学们进行交流。

2;2;3;3=====；……6、发现：当a ≥0时，a a =2，当a ＜0，a a -=27、明确： 2a =a = 8、比较2a 与的(a )2区别例1 计算：分析：严格按照公式做即可。

⑴4 ⑵2)5.1(- ⑶2)1(-x （x ≥1）例2 讨论：⑴2)3(π-⑵求使2)3(-x = 3－x 成立的所有x 的值⑶(a )2=2a9、计算：（1（2（3）2)32(×2)53(与22)53()32(⨯10、概括：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。

第2课时二次根式的性质1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点)2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点)一、情境导入a2等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a2的值，看看有什么规律．22＝4＝2；（－2）2＝4＝2；32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；…你能概括一下a2的值吗？二、合作探究探究点一：二次根式的性质【类型一】利用a2＝|a|、(a)2＝a进行计算化简：(1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2.解析：根据二次根式的性质进行计算即可．解：(1)(5)2＝5；(2)52＝5；(3)（－5）2＝5；(4)(－5)2＝5.方法总结：利用a2＝|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．【类型二】 (a)2＝a(a≥0)的有关应用在实数范围内分解因式．(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4.解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．解：(1)a2－13＝a2－(13)2＝(a＋13)(a－13)；(2)4a2－5＝(2a)2－(5)2＝(2a＋5)(2a－5)；(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋2)(x－2)]2＝(x＋2)2(x－2)2.方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a－b|.解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b ＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．【类型二】二次根式的化简与三角形三边关系的综合已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b ＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b －a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c －b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．【类型三】利用分类讨论的思想对二次根式进行化简已知x为实数时，化简x2－2x＋1＋x2.解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x 的取值范围分段进行讨论解答．解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋x2＝|x －1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x ＋x＝1；当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x －1.方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子a2＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．【类型四】二次根式的规律探究性问题细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．(1)2＋1＝2，S1＝12，(2)2＋1＝3，S2＝22，(3)2＋1＝4，S3＝32.(1)请用含n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n 个三角形的一直角边长就是n ，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得．解：(1)(n )2＋1＝n ＋1，S n ＝n2(n 是正整数)；(2)∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…∴OA 10＝10；(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝14(1＋2＋3＋…＋10)＝554. 方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想．探究点三：代数式的定义及简单应用按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．n →立方→＋n →÷n →－n →答案解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，根据程序所给的运算可得输出的代数式为n 3＋n n －n .故答案为n 3＋nn－n .方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．三、板书设计1．二次根式的性质1：(a )2＝a (a ≥0)；2．二次根式的性质2：a 2＝a (a ≥0)． 3．代数式的定义用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活．。

教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）．（3（a≥0，b≥0）；a≥0，b>0）a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1a≥0a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）；（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式3课时21．2 二次根式的乘法3课时21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时§21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．B A C问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得S=二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方a≥0）•的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:（略）例1．下列式子，1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．分析；第二，被开方数是正数或0．（x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二1x、1x y +．例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习教材P 练习1、2、3． 四、应用拓展例3．当x 11x +在实数范围内有意义？分析+11x +0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1（a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A．B C D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B C D．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、1（a≥0）23．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，x＋x2在实数范围内没有意义．3.1 34．B5．a=5，b=-4§21.1 二次根式(2)第二课时教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．a≥0）是一个非负数，用具2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．2a≥0）是一个非负数；•用探究的方法2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______；2=______；2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，2=3，2=13，2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4． 2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，（2）2=22724 ．三、巩固练习计算下列各式的值：22（）2）2（）2422-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0）2．23．24． 2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2）P9 7．2．选用课时作业设计．第二课时作业设计 一、选择题1的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题1．（2=________．2_______数． 三、综合提高题 1．计算（1）2 （2）-2 （3）（12）2 （4）（- 2(5) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9 （2）-）2=-3 （3）（12）2=14×6=32（4）（-2=9×23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2（3）16=2 （4）x=）2（x ≥0）3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ x y =34=814.（1）x 2-2=（）（x ）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（（x ） (3)略§21.1 二次根式(3)第三课时教学内容a （a ≥0）教学目标（a ≥0）并利用它进行计算和化简．（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=0.01110=23=37．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2=4（3 （4 三、巩固练习教材P 7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略)五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．第三课时作业设计一、选择题1）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0（）．AC．二、填空题1．．2m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│答案:一、1．C 2．A二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以a-1=1995，a-2000=19952，所以a-19952=2000．3. 10-x§21．2 二次根式的乘除第一课时教学内容（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．（a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=a b，如=或教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4，（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4分析：a≥0，b≥0）计算即可．解：（1（2（3（4=例2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1×4=12（2×9=36（3×10=90（4=3xy（5三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简:;教材P11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2解：（1）不正确．×3=6（2）不正确．五、归纳小结本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cm D．27cm2．化简）．A． D．311x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（）．A．．C．× D．二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D二、1．2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，．2．验证：==§21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1；（2；；（3．（43．利用计算器计算填空:=_________，（2=_________，（3=______，（4．（1。

21.1.1二次根式学案（2）教学目标1 、理解,a （a> 0）是一个非负数2、理解二次根式的两个性质（）2=a （a> 0）和=a （a> 0）。

3、会运用上述两个性质进行有关计算和化简。

重点、难点重点：理解二次根式的上述两个性质；难点：灵活运用上述两个性质进行有关计算。

【课前预习】阅读教材P3 —5 , 完成下列的问题1:知识准备二次根式的概念：____________________________________________________________ 2、探究（一）当a>°时，-a表示a的算术平方根，因此'■ a 0;当a=0时，■-a表示0的算术平方根，因此'、a0.概括：一般地：需（a》0）是一个数.探究（二）根据算术平方根的意义填空：（広）2= _______ ；（血）2= __________ ；（£）2= ________ ；（V0）2= _______ 分析：例如，4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，J4是一个平方等于4的非负数，因此有（44) 2=4.概括：•般地： (掐)2 = (a> 0)练习1 计算(1) J3 ■) 2(2) (3 苗)2(3) ( 章)2( 4) (近)V2 \6 2探究（三）322 = ______ ； . 0012 = _____ ； ,(2)2 = __________ _；、. 02= _____1 -162活动3 :随堂训练1、计算2 32 22、说出下列各式的值1 0.323、计算活动4 :课堂小结概括：一般地: 练习2化简 a 2 =(a > 0)(1) , 9 (2) .. ( 4)2(3) 253、代数式的概念： 把和表示数的 用基本运算符号（基本运算符号包括： _____________________________ 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。

学习目标:1. 能根据二次函数y=ax 2的图象,探索函数y=ax 2的性质(开口方向,对称轴,顶点坐标). 2. 体会二次函数是某些实际问题的数学模型学习导航：通过实际问题进一步理解二次函数的图象和性质。

知识链接：(一) 1、当x=3时，y=-2x 2-1的函数值是_______________________。

2、一个等腰三角形的周长为10cm ，求它的一腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的关系式__________。

探究新知：（一）你知道两辆汽车在同向行驶时为什么要保持一定距离吗?汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关?影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数,有 研究表明,某种型号的汽车晴天在某段公路上行驶时,速度v(km/h)与刹车 距离s(m)之间的关系式为S=1001v 2，雨天行驶时,v 与s 之间的关系式:s=501v 2图(1)是S=1001v 2的图象,请在同一直角坐标系中作出:s=501v 2的图象.(1) 完成下表: v/(km/h) 0 20 40 60 80 100 120 s/m(2)根据上表描点、连线，作出的s=501v 2图象。

(3)两个图象的相同点和不同点是______________________________。

（4）如果该汽车的行驶速度是60km/h,那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差_____米。

回思：1、在作图象时应注意的问题是___________________________________。

2、自变量的取值范围是_______________（二）作出二次函数y=2x 2的图象. x y（2）在图2-1中作出y=2x 的图象。

（3）二次函数y=2x 2的图象是什么形状？它与二次函数y= x 2图象有什么相同点和不同点?开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？回思：二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有什么特点呢？ 1、形状是______________________________________。

2019-2020学年九年级数学《第2课时：二次根式的性质》教学案》教学案教学目标:(1) 使学生能通过具体问题探求并掌握二次根式的性质：2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2) 会用二次根式的性质进行根式的化简.．(3) 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。

教学重点：二次根式的性质的掌握. 教学难点：二次根式的性质的应用.． 教学方法：讨论法 教学过程：一.情景创设1.在化简2(4)-时,李明同学的解答过程是22(4)44-==;张后同学的解答过程是2(4)4-=-. 谁的解答正确?为什么?2．2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ ？二、探索活动1．请同学们观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律,再和同学们进行交流2222242;(2)42;393;(3)93==-====-==; ……2．发现：当a ≥02(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ a,当a ＜2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ - a 3．明确 师生共同归纳可得2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩42(0)(0)aa a a a a ≥⎧==⎨-<⎩与()2a 的区别 三、实际应用，巩固新知 1．尝试练习：（1）=4 __ （2）=-2)5.1( （3）=-2)1(x ____ （x ≥1）…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………2．讨论. :⑴化简2)3(π-=____⑵求使2)3(-x = 3－x 成立的条件________ ⑶(a )2=2a 成立的条件________四、练习1.P60 练习 1，22. 口答：（1）=25 （2）=-2)7( （3）94（4）=+-442x x （x ≤2）五）拓展与延伸（1）．若b b -=-3)3(2+b=3，则（ ）A ．b>3B ．b<3C ．b ≥3D ．b ≤3（2）．若x<0，则xx x 2-的结果是（ ）A ．0B ．—2C ．0或—2D ．2（3）．已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a+1)2＋2(b-1)2（4）．若2＜x ＜3，化简x x -+-3)2(2（5）已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+（6）、请你观察思考下列计算过程：∵121112= ∴11121= ∵123211112=∴11112321=因此猜想76543211234567898＝ 。

16.1 二次根式第1课时二次根式的概念学习目标：1.理解二次根式的概念；2.掌握二次根式有意义的条件；3.会利用二次根式的非负性解决相关问题重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题一、知识链接1.什么叫作平方根？2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习1. 用带根号的式子填空:(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 m为S m2，则边长为______ m．(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为为_____m．(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有子表示 t ，那么t为_____．2.自主归纳：（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如(a a二次根式. “____”称为二次根号.（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为三、自学自测自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3-8）2.探究点1新知讲授（见幻灯片9-16）图①四、我的疑惑____________________________________________________________一、要点探究探究点1：二次根式的意义及有意义的条件问题1 分别表示什么意义？问题2 这些式子有什么共同特征？要点归纳：)0a≥的式子叫作二次根式. ”称为_______.例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？))(1)(2)6;(3)0(5),;(6)mx y≤；异号例2 (教材P2例1变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？1（方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.1.下列各式:)1x≥一定是二次根式的个数有( )A.3个B.4个C.5个D.6个2.(1)x的取值范围是___________;(2)若式子12x+-在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x问题2：a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；例3 若22(4)0a c--=，求a-b+c的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例4 已知y8+,求3x+2y的算术平方根.【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足4 b=，求此三角形的周长．已知|3x-y-1|和x+4y的平方根．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA.B.2.（）A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____取最小值，其最小值为______．。

山东省文登市七里汤中学2012届九年级数学下册 二次根式的加减乘除运
算学案 人教新课标版
学习目标：
1、 运用整式乘法的法则及有关的公式解决二次根式的计算。

2、 掌握一些计算的技巧。

知识链接：（检查一下你对基础知识的掌握情况，要仔细哦！）
1、下列二次根式中，与-是同类二次根式的是（ ）
A 2、下列各式计算正确的是（ ）
A =
B 、3+=
C 、=、
3=
3、计算：= ；=
4、= ； 2= 。

回顾反思：上面几个小题用到了哪些基础知识和基本方法？
探究释疑：
例1、 计算 22-
想一想： ①本题用到了哪些知识？
②你有没有别的方法来解决它？
③你有什么启发？
例2、42(2)(
2
-+-
想一想： 1、本题用到了哪些知识？
2、你认为需要注意什么问题呢？
巩固新知：
1、22+
2、22-
回思：
通过本节课的学习，你在知识方面和能力方面有哪些收获或体会？或者你评价一下自己在本节课中的表现
作业：
1、
3、(、已知1,1,x y ==求22
22x y x y xy
-+的值。

（选作）5、已知一个直角三角形的两直角边分别为(5cm 和(5cm ，求这个三角形的周长和面积。

2019-2020学年九年级数学下册《二次根式》教案 新人教版一、知识要点：1．平方根：若x 2=a(a>0)，则x 叫a 做的平方根，记为a ±.注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；2．算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；3．立方根：若x 3=a(a>0)，则x 叫a 做的立方根，记为3a .4．同类二次根式： 化简后被开方数相同的二次根式.5．二次根式的性质： ①)0(≥a a 是一个非负数； ②)0()(2≥=a a a ③⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||)(2a a a a a a a ④)0,0(>≥=b a b ab a⑤)0,0(≥≥⋅=b a b a ab6．二次根式的运算：（1）加、减；（2）乘、除二、例题分析：例1．下列二次根式27，121，211，12，其中与3是同类二次根式的个数是（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4例2．若最简二次根式2431212-+-a a 与是同类二次根式，求a 的值。

例3．化简： (1)2)23(-； (2)当a≤|12|441,212-++-a a a 化简时（3）已知a 为实数,化简a a a 13---, (4)化简二次根式a 21a a +-,例4．（1）若633-=a ，求36122+-x x 的值。

(2)已知：x=53-，求962++x x 的值。

（3） 已知:a=321+,求01222)1()211(12a a a a a a aa ++----+--例4：把根号外的因式移到根号内： (1)a a 1； (2)11)1(---x x ； (3)x x 1-； (4) 21)2(--x x 例5．观察下列各式及其验证过程 232232+=.验证:2322122)12(2122)22(3222233+=-+-=-+-= 3833133)13(3133)33(83833:..8338322233+=-+-=-+-==+=验证 (1) 根据上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4154的变形结果并进行验证.(2) 针对上述各式反映的规律,写出用n(n 为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明.例6．计算： ①（)5.043()4483181--- ②2392393322-++++++xx x x x x （0<x<3） ③)23(6)13()26(+÷--⋅+ ④)2131(15+÷ ⑤y x xyy x y x xyx --+-++2三、小 结：师生共同归纳解题思路与方法四、同步练习：1． 已知．a<0，化简22)1(4)1(4aa a a -+-+-= 2．化简二次根式22aa a +-的结果是（ ）A ．2--a B.2---a C.2-a D.2--a3．若代数式22(2)(4)a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是( )A ．a ≥4B ．a ≤2C ．2≤a ≤4D ．a ＝2或a ＝44.化简并求值：22212111a a a a a a a -++---+，其中213a =- 5. 已知01132=--++b b a ，求a 3+b 3和a 2-ab+b 2的值.6.已知x=23+,求（23212+---x x x x ）÷211x -的值. 7.已知:x>0,y>0,且x-xy -2y=0,求y xy x yxy x --++值.8.若a=4+3,b=4-3,求ab a a--ab a b +的值.9. 已知x 、y 为实数，若规定x *y=4xy,(1)求2*4; (2)若x *x+2*x-2*4=0,求x 的值；(3)若不论x 是什么实数，总有a *x=x,求a 的值.10.已知：571-=x ，571+=y 求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值。