2019届广西省南宁市高三毕业班第二次适应性模拟测试高三数学(理)试题(解析版)

2019年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合1，2，3，，则A. {4}B. {3，4}C. {2，3，4}D. {0，1，2，3，4}【答案】B【解析】解：解二次不等式x2-x-6≥0得：x≤-2或x≥3，即A=，又B={0，1，2，3，4}，所以A∩B=，故选：B．由二次不等式的解法及集合的交集的运算得：A=，又B={0，1，2，3，4}，所以A∩B=，得解．本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型．2.若复数z满足，i是虚数单位，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，故．故选：A．先由，的，再由复数的除法运算即可求出结果．本题主要考查复数的运算以及复数的模，熟记运算法则以及模的计算公式即可，属于基础题型．3.若向量，，且，则实数x的值为A. B. C. D. 3【答案】A【解析】解：向量，，，因为，所以：，可得．故选：A．求出向量，然后利用向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基本知识的考查．4.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万，各县人口占比如图，其中丙县人口为70万，则去年年底甲县的人口为A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万【答案】C【解析】解：由统计图可得，丙县人口占四个县总人口，又丙县人口为70万，所以四个县总人口为万，又因为甲县人口占四个县总人口的，所以甲县的人口为万．故选：C．根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果．本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型．5.已知双曲线C：的一个焦点为，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为双曲线C：的一个焦点为，所以，故，因此双曲线的方程为：，所以其渐近线方程为：故选：C．先由双曲线的一个焦点坐标为，可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程．本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．6.已知数列满足：，，则A. 0B. 1C. 2D. 6【答案】B【解析】解：因为，，所以，以此类推可得，，，．故选：B．由，，可得，以此类推，即可得出结果．本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型．7.已知将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象若是偶函数，则A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：由题意可得：，因为是偶函数，所以，，即，，又，所以，解得，所以，故；所以．故选：A．先由题意写出，根据是偶函数求出，即可得出结果．本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型．8.已知x，y满足条件，若的最小值为0，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：由x，y满足条件，作出可行域，又目标函数表示直线在y轴截距的二倍，因此截距越小，z就越小；由图象可得，当直线过点A时，在y轴截距最小；由解得，所以，又的最小值为0，所以，解得．故选：B．根据约束条件作出可行域，将目标函数化为，结合图象以及的最小值，即可求出结果．本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型．9.曲线与直线围成的平面图形的面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图：联立，解得，两曲线的交点坐标为，，所以两曲线围成的图形的面积为．故选：D．联立，解得两曲线的交点为，，所以两曲线围成的面积为在上的积分．本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解决此类问题的关键本题属于基础题．10.已知抛物线的准线方程为，的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线上，若，则面积的最小值为A. 5B. 4C.D. 1【答案】D【解析】解：因为抛物线的准线方程为，抛物线方程为；又，所以，设点A到直线BC的距离为d，故面积为，因为A在抛物线上，设，则，故．故选：D．先由题意求出P，得到抛物线方程，再由，得，设点A到直线BC的距离为d，求出面积的表达式，由点到直线的距离公式求出d的最小值即可得出结果．本题主要考查抛物线的应用，熟记抛物线性质以及点到直线距离公式即可，属于常考题型．11.设过点的直线l与圆C：的两个交点为A，B，若，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，直线l过点，设直线l的参数方程为为参数，又由直线l与圆C：的两个交点为A，B，设A的坐标为，B的坐标为，则有，变形可得，又由直线l与圆C：的两个交点为A，B，若，则，即，又由，则有，解可得，则；故选：A．根据题意，设直线l的参数方程为为参数，进而设A的坐标为，B的坐标为，将直线的参数方程与圆的方程联立可得，变形可得；又由，分析可得，即，结合根与系数的关系分析可得，解可得，由直线的参数方程的意义分析可得，计算即可得答案．本题考查直线的参数方程的应用，涉及向量的数乘运算，属于基础题．12.已知一个四棱锥的三视图如图，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为A.B. 6C.D. 4【答案】B【解析】解：由三视图可得该四棱锥为，由题中数据可得，，，，，，，即最长的棱为AP，长度为6．故选：B．先由三视图还原几何体，结合题中数据，分别求出各棱长，即可得出结果．本题主要考查几何体的三视图，以及棱锥的相关计算，熟记几何体的结构特征即可，属于常考题型．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式的展开式中的系数为______用数字作答【答案】15【解析】解：因为二项式的展开式的通项为，令，可得，所以展开式中的系数为，故答案为：15．先写出二项展开式的通项公式，即可求出展开式中的系数．本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型．14.已知等差数列的前n项和为，若，则______．【答案】63【解析】解：因为，所以．故答案为：63．直接根据等差中项的性质将转化为用表达的算式，即可得到结果．本题主要考查等差数列的前n项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型．15.在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】解：因为，，，所以C为直角，又侧棱与底面垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系：则0，，0，，0，，3，，所以0，，，设异面直线与所成角为，则，故答案为：．由空间向量法求异面直线所成角得：因为，，，所以C为直角，又侧棱与底面垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系：则0，，0，，0，，3，，所以0，，，设异面直线与所成角为，则，得解．本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型．16.已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：当时，的导数为，当时，，递减；或时，，递增，处取得极大值处取得极小值，作出的图象，当时，的取值范围为，由，可得，可得，故答案为：当时，求得的导数和单调性、极值，画出的图象，求得的x的值，结合图象和条件可得m的范围．本题考查分段函数的图象和性质，注意运用导数判断单调性和极值，考查数形结合思想方法和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为．求角C的大小；若，求的值．【答案】解：由的面积为，可得：，由，及余弦定理可得：，故：，可得：；，，解得：，又，，可得，由正弦定理，，得：．【解析】由的面积为，可得：，由，及余弦定理可得：，可得，得到角C；由的结果，先求出ab，根据c，即可求出，再由正弦定理可得，即可求出结果．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．18.一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料利用散点图可知，线性相关求出y关于x的线性回归方程；若第5年优惠金额千元，估计第5年的销售量辆的值．参考公式：，【答案】解：由题中数据可得，，，；；故，；由得，当时，，第5年优惠金额为千元时，销售量估计为17辆．【解析】先由题中数据求出、，再根据线性回归方程系数和，即可得出回归方程；将代入回归方程，即可求出预测值．本题主要考查了线性回归分析应用问题，熟记最小二乘法求回归系数，是常考题型．19.如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，，，M为侧面的对角线的交点，D、E分别为棱，的中点．求证：平面平面；求二面角的余弦值．【答案】证明：、E分别为边AB、BC的中点，，又由直三棱柱可知侧面为矩形，可得，故有，由直三棱柱可知侧面为矩形，可得M为的中点，又由E为BC的中点，可得．由DE，平面MDE，，平面MDE，得平面MDE，平面MDE，，可得平面平面．分别以CA、CB、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，则0，，0，，2，，0，，0，，1，，1，．，，，设平面CME的一个法向量为．由，取，有；同样可求出平面DME的一个法向量，，结合图形二面角的余弦值为．【解析】由D、E分别为边AB、BC的中点，得，再由直三棱柱可知侧面为矩形，得，证明，由面面平行的判断可得平面平面；分别以CA、CB、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面CME与平面DME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.已知曲线C上动点M与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数，若过的动直线l与曲线C相交于A，B两点说明曲线C的形状，并写出其标准方程；是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：设动点M坐标为点M到直线：的距离为依题意可知，则，化简得，所以曲线C是椭圆，它的标准方程为，当直线l与y轴垂直时，由椭圆的对称性可知，又因为得，则，从而点Q必在y轴上．当直线l与x轴垂直时，则，，由可设，，由得，解得舍去，或．则点Q的坐标只可能是．下面只需证明直线l斜率存在且时均有由即可．设直线l的方程为，代入得．设，，，，，设点B关于y轴对称的点坐标，因为直线QA的斜率，同理得直线的斜率，，，三点Q，A，共线．故由．所以存在点满足题意．【解析】先设动点M坐标为，根据题意列出等式，化简整理即可求出结果；分情况讨论如下：当直线l与y轴垂直时，易得点Q必在y轴上；当直线l与x轴垂直时，易得点Q的坐标只可能是；再证明直线l斜率存在且时均有即可．本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型．21.已知函数．若时，函数取得极值，求函数的单调区间；证明：．【答案】解：由题意可得，，由时，函数取得极值知，所以．所以，，，所以时，，时，，所以的单调增区间，单调减区间为．当时，，所以，令，则，当时，；当时，，的单调减区间为，单调增区间为，所以，所以，是增函数，所以时，，所以时，，令，，得，即，所以，上式中，2，3，，n，然后n个不等式相加，得到．【解析】先对函数求导，根据时，函数取得极值，求出a，进而可求其单调区间；先令，用导数的方法证明，得到时，，再令，，得，即，最后求，即可得出结论成立．本题主要考查导数的应用，熟记通常用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型．22.已知曲线l的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求曲线C的直角坐标方程；设，直线l与曲线交于点A，B，求的值．【答案】解由得，，又，，即曲线C的直角坐标方程为．将代入C的直角坐标方程，得，，设A，B两点对应的参数分别为，，．则．【解析】先将化为，进而可得出其直角坐标方程；将直线参数方程代入的结果，整理得到，再设A，B两点对应的参数分别为，，进而可得，即可求出结果本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于中档题型．23.已知函数．解不等式；若，使得成立，求实数b的取值范围．【答案】解：由，可得，当时，不成立，当时，，，当时，，成立，不等式的解集为．依题意，，令，易知，则有，即实数b的取值范围是【解析】分三种情况讨论，去掉绝对值，求不等式的解集即可；先由题意得，，令，求出的最小值，即可得出结果．本题主要了考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于常考题型．。

2019届广西南宁市第二中学高三最后一模数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，则复数4334iz i+=-的共轭复数的虚部是（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】C【解析】由复数除法求出复数z ，再写出共轭复数，得其虚部． 【详解】由题意243(43)(34)121691234(34)(34)25i i i i i i z i i i i ++++++====--+，z i =-，虚部为1-． 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念及复数的概念．解题关键是掌握复数除法法则．2．设集合{}2|log 1M x x =<，{}2|20N x x x =+->，则R M N =U ð（ ）A ．(2,2)-B ．[2,2)-C ．(0,1]D ．(0,1)【答案】B【解析】求出集合,M N ，再由集合的运算计算． 【详解】由题意2log 102x x <⇒<<，220(1)(2)021x x x x x +->⇒-+>⇒-<<， ∴(0,2)M =，(,2)(1,)N =-∞-+∞U ，2{|20}[2,1]R N x x x =+-≤=-ð，∴()[2,2)R M N =-U ð． 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，考查解对数不等式及一元二次不等式，掌握对数函数的性质是解题关键．3．已知向量||4a =r ，||8=r b ，a r 与b r 的夹角为60︒，则|2|a b +=r r （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算．【详解】|2|a b+====r r故选：D.【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握数量积的性质，把模转化为数量积的运算．4．设随机变量ξ服从(6,)B p，当方差Dξ最大时，(3)Pξ=的值是（）A．38B．316C．58D．516【答案】D【解析】由二项分布求出方差，求出方差取最大值时的p，再计算．【详解】由题意22136(1)6()6()22p pD p p pξ=-=-+=--+，∴12p=时，Dξ最大，此时36615(3)216P Cξ⎛⎫===⎪⎝⎭．故选：D.【点睛】本题考查二项分布的方差和概率．掌握二项分布的概率公式是解题基础．5．已知132a-=，21log3b=，121log3c=，则（）．A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>【答案】C【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log0,log1,33a b c-=∈==所以.b a c<<选C．【考点】比较大小6．在()*(2)nx n N-∈的展开式中，第3项与第4项的二项式系数相等，则2x的系数等于（）A．672 B．672-C．80 D．80-【答案】D【解析】根据二项式系数的性质得出n ，再由二项式展开式通项公式得出2x 的项数，即得系数． 【详解】由二项展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，得5n =，所以515(2)r r rr T C x -+=-，令52r -=，3r =， ∴所求系数为335(2)80C -=-．故选：C. 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质与二项展开式通项公式，掌握二项式系数的性质是解题关键． 7．函数1ln sin 1ln xy x x-=⋅+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设1ln ()sin 1ln xf x x x -=⋅+，由1ln 0x +≠得1x e≠±，则函数的定义域为1111(,)(,)(,)e e e e-∞-⋃-⋃+∞．∵1ln 1ln ()sin()sin ()1ln 1ln x x f x x x f x xx----=⋅-=-⋅=-+-+，∴函数()f x 为奇函数，排除D ． 又11e>，且(1)sin1>0f =，故可排除B ． 211e e<，且2222211ln11(2)11()sin sin 3sin 01121ln e f x e e e e---=⋅=⋅=-⋅<-+，故可排除C ．选A ．8．若1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】C【解析】先用二倍角公式求得23πα+的余弦，再由诱导公式得出结论．【详解】由题意22217cos(2)2cos ()12()13639ππαα+=+-=⨯-=-， ∴7sin(2)sin(2)cos(2)63239ππππααα5+=++=+=-．故选：C. 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式和诱导公式，解题时观察已知角和未知角之间的关系选用恰当的公式是解题关键．9．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率是（ ）A ．3B ．3C D ．2【答案】A【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=3，选A. 【考点】双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．10．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的外接球的表面积为64π，则h =（ ）A ．32B 3C ．33D ．53【答案】B【解析】由三视图确定原几何体是四棱锥，其中一条最长的侧棱就是其外接球直径，从而可得结论． 【详解】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，最长的侧棱就是外接球的直径． 设球半径为r ，则2464r ππ=，4r =， ∴222256(24)h ++=⨯，3h =故选：B. 【点睛】本题考查三视图，考查球的表面积．解题关键是由三视图还原出原几何体．11．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ） A ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,66⎛⎫⎪⎝⎭C ．12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,63⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】考虑在正方体的截面中最大两个互相平行的三角形截面，若液面与此面平行时，必在这两个面之间，由此可得结论． 【详解】解：如图，正方体ABCD EFHG -，若要使液面形状不可能为三角形，则当平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC .若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形.设液体的体积为V ，则G EHD B AFC V V V V --<<-正方体，而211111326G EHD V -=⨯⨯⨯=，315166B AFC V V --=-=正方体，所以液体的体积的取值范围为15,66⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查正方体的截面的性质，掌握正方体的截面形状是解题关键．本题考查空间想象能力．12．已知函数22log ,0,()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，且满足：1234x x x x <<<，则221323432x x x x x x +-的取值范围是（ ）A ．17257,416⎛⎤⎥⎝⎦B ．(2,)+∞C ．2572,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,)+∞【答案】A【解析】作出函数()f x 的图象，及直线y m =，得交点横坐标即为所求零点，由二次函数对称性及对数函数性质得122x x +=-，341x x =，同时求出3x 的范围，221323432x x x x x x +-转化为3x 的函数，再由函数单调性得结论． 【详解】解：22log ,0,()22,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩,由二次函数的对称性可得122x x +=-，由3242log log x x =-可得341x x =.函数()()F x f x b =-有四个不同的零点，等价于()y f x =的图象与y b =的图象有四个不同的交点，画出()y f x =的图象与y b =的图象如图所示，由图可知12b <„，所以233111log 2,42x x ⎡⎫<-⇒∈⎪⎢⎣⎭„，所以()2221234433233312x x x x x x x x x x +-=+=+，令23t x =，易知1y t t =+在11,164t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单调递减，所以117257,416t t ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点分布，考查函数的对称性与对数函数的性质，考查转化与化归思想．解题方法是把函数零点转化为直线与函数图象交点问题，由数形结合思想求解．二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则11y z x -=+的最大值为________.【答案】1【解析】作出可行域，利用目标函数的几何意义求解． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），目标函数11y z x -=+表示可行域内点(,)P x y 与定点(1,1)Q -连线的斜率，由图可知，PQ k 的最大值就是1BC k =． 故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划的非线性目标函数的最值，解题关键是非线性目标函数的几何意义．常用的几何意义有直线斜率，两点间的距离等等． 14．已知α为第二象限角，sinα＋cosα3cos2α＝________． 【答案】5【解析】∵sinα＋cosα3∴(sinα＋cosα)2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23. ∵α为第二象限角且sinα＋cosα3， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k ∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α212sin α－5315．已知点,P Q 分别是圆22:(2)(1)1C x y ++-=及直线:340l x y -=上的动点，O是坐标原点，则||OP OQ +u u u r u u u r的最小值为________.【答案】1【解析】设(2cos ,1sin )P θθ-++，(4,3)Q a a ，然后计算||OP OQ +u u u r u u u r，再由函数知识求得最小值． 【详解】∵点,P Q 分别是圆22:(2)(1)1C x y ++-=及直线:340l x y -=上的动点， ∴设(2cos ,1sin )P θθ-++，(4,3)Q a a ，OP OQ +u u u r u u u r(2cos 4,1sin 3)a a θθ=-++++，2||OP OQ +u u u r u u u r 22(2cos 4)(1sin 3)a a θθ=-+++++2251062(42)cos 2(31)sin a a a a θθ=-++-++225106)a a θϕ=-+++，其中sin ϕ=，cos ϕ=，令t ==2t ≥，2||OP OQ +u u u r u u u r 2222sin()1[sin()]1sin ()t t t θϕθϕθϕ=+++=+++-+，∵R θ∈，∴无论a 取何值，都有sin()[1,1]θϕ+∈-，∴2t =，sin()1θϕ+=-时，2||OP OQ +u u u r u u u r 取得最小值541-=，即||OP OQ +u u u r u u u r 最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查求向量模的最小值．解题时由点在圆和直线上，分别设出点的坐标，用坐标表示向量的模，把向量模转化为函数，利用函数知识求最值．这是数学问题中求最值的常用方法．16．下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）①命题“若0a b +=，则5a =且5b =-”的否定是“若0a b +≠，则5a ≠且5b ≠-” ②已知函数(1)f x -的图象关于直线2x =对称，函数()f x 为奇函数，则4是()f x 一个周期.③平面αβ⊥，l αβ=I ，过α内一点A 作l 的垂线m ，则m β⊥.④在ABC V 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(2cos )tansin 2BA A -=，则,,a b c 成等差数列.【答案】②④【解析】利用命题的否定，函数的奇偶性与周期性，面面垂直的性质，解三角形的知识分别判断各个命题的真假． 【详解】①命题“若0a b +=，则5a =且5b =-”的否定是““若0a b +=，则5a ≠或5b ≠-”， ①错；②函数(1)f x -的图象关于直线2x =对称，则()f x 的图象关于直线1x =对称，又()f x 为奇函数，所以(2)(1(1))(1(1))()()f x f x f x f x f x +=++=-+=-=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期为4的周期函数，②正确；③平面αβ⊥，l αβ=I ，过α内一点A 作l 的垂线m ，面面垂直性质定理中要求在一个面内作交线的垂直，而题中没有l α⊂，则得不出线面垂直，③错； ④在ABC V 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(2cos )tansin 2BA A -=，则sin2(2cos )sin cos 2B A A B -⋅=，22sin cos22(2cos )sin 2cos 2B BA AB -⋅=，即sin (2cos )sin 1cos BA A B-⋅=+，∴2sin sin cos cos sin sin sin()sin sin sin B B A B A A A B A C A =++=++=+， 由正弦定理得2b a c =+，则,,a b c 成等差数列.，④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需对各个选项分别判断，从而需要掌握各种涉及到的知识点，要求较高，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()*312n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++L ，12111n nT b b b =+++L ，求证：2n T <.【答案】（1）3nn a =（2）证明见解析【解析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得数列递推关系，再求出1a 可确定数列{}n a 是等比数列，从而易得通项公式；（2）由（1）及等差数列前n 项和公式求得n b ，用裂项相消法求得n T 后可证得不等式成立． 【详解】解：（1）当1n =时，由()11312S a =-得13a = 当2n ≥时，()()113333112222n n n n n a a a a a --=---=- 13n n a a -∴=，∴数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3nn a =（2）3()log f x x =Q ，()3log 3nn f a n ==()()()12(1)122n n n n b f a f a f a n +∴=+++=+++=L L 12112(1)1n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭12111111111212112231n n T n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋯+=-+-++-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 2n T ∴<得证【点睛】本题考查由n S 求通项公式n a ，考查等比数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式和裂项相消法求和．数列求和中需掌握一些常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等． 18．某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115（Ⅰ）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （Ⅱ）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？ （参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（Ⅰ）建议该投资公司选择项目一投资；（Ⅱ）大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番.【解析】（Ⅰ）根据两个项目获利的数学期望的大小可选择合理的项目. （Ⅱ）假设n 年后总资产可以翻一番，则有2001000(1)20001000n+=，利用对数的运算及给出的数据可求大约4年后翻一番. 【详解】（1）若按“项目一”投资，设获利1ξ万元，则1ξ的分布列为：172300(150)20099E ξ∴=⨯+-⨯=（万元），若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：2311500(300)02005315E ξ∴=⨯+-⨯+⨯=（万元），又22172(300200)(150200)3500099D ξ=-⨯+--⨯=， 2222311(500200)(300200)(0200)1400005315D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，所以12E E ξξ=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．（2）假设n 年后总资产可以翻一番，依题意：2001000(1)20001000n+=，即1.22n =，10分两边取对数得：lg 20.30103.80532lg 2lg3120.30100.47711n ==≈+-⨯+-．所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番． 【点睛】本题考查离散型随机变量的均值及其应用，考查了指数方程的解法，此类问题属于基础题.19．如图所示，已知长方体ABCD 中，222AB AD ==，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得AD BM ⊥.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）是否存在满足(01)BE tBD t =<<u u u r u u u r的点E ，使得二面角E AM D --为大小为4π？若存在，求出相应的实数t ；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）23t =. 【解析】（1）依据题设运用面面垂直的判定定理分析推证；（2）借助题设构建空间向量，运用向量的数量积公式分析探求. 【详解】（1）证明：∵长方形ABCD 中，222AB AD ==M 为DC 的中点， ∴2AM BM ==，222AM BM AB +=，∴BM AM ⊥， ∵AD BM ⊥，AD AM A =I ，所以BM ⊥平面ADM ， 又BM ⊂平面ABCM ，所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）解：以点M 为坐标原点，MA u u u r方向为x 轴正方向建立如图空间直角坐标系M xyz -，则()()()()2,0,0,0,2,0,1,0,1,2,0,0A B D MA =u u u r ，()()0,2,0,1,2,1MB BD ==-u u u r u u u r， (),22,ME MB BE t t t =+=-u u u r u u u r u u u r，设平面AME 的一个法向量为(),,m x y z =v，故·0·0MA m ME m ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v 即()20220x tx t y tz =⎧⎨+-+=⎩，取y t =，得0,,22x y t z t ===-，所以()0,,22m t t =-， 由（1）知平面AMD 的一个法向量()0,1,0n =v，所以()22·2cos ,·41m n m n m n t t 〈〉===+-u r ru r r u r r 23t =或2t =（舍去）， 故存在23t =为所求. 【点睛】立体几何是高中数学中重要的知识和内容之一，也是高考重点考查的重要考点与知识点．解答本题的第一问时，充分借助线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理进行分析推证，使得问题获证；解答第二问时，则通过建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式运用向量的数量积公式进行分析探求，从而使得问题获解．20．已知,Q R 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且12PQ RH k k ⋅=. （1）若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，设P为椭圆C 上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r （O 为坐标原点），当||3AB <数t 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）2t -<<2t <<【解析】（1）设(,)P x y ，由P 在椭圆上求出2222212PQ RH y b k k a x a ⋅===-，再由椭圆过点(0,1)得21b =，从而可得2a ，得椭圆方程；（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设:(2)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，直线方程与椭圆方程联立，并消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，同时注意>0∆，由弦长公式表示出AB 后可得k 的取值范围，由向量线性运算求出P 点坐标，交代入椭圆方程得出,t k 的关系，从而得t 的范围． 【详解】（1）设(,)P x y ，因为(,0),(,0)Q a R a -，则点P 关于x 轴的对称点(,)H x y -.PQy k x a =+，RH y k a x =-，又由椭圆的方程得()222222221x b y b a x a a⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以2222212PQ RHy b k k a x a ⋅===-， 又椭圆C 过圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)，所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设:(2)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128820k x k x k +-+-=由()()42264421820k k k ∆=-+->，得：21(*)2k <2122812k x x k ∴+=+，21228212k x x k -=+.||3AB <Q，123x -=<()()4222226482201412912k k k k k ⎡⎤-⎢⎥∴+-⨯<⎢⎥++⎣⎦，214k ∴>，结合（）得：21142k <<. OA OB tOP +=u u u v u u u v u u u vQ ，()()121200,,x x y y t x y ∴++=.从而()21202812x x k x t t k +==+，()()12012214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+.∵点P 在椭圆上，()()2222284221212k k t k t k ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥∴+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 整理得：()2221612k tk =+即228812t k=-+，2843t ∴<<， 2t ∴-<<2t <<.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交一般采取设而不求思想，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，并把这个结论代入题中其他条件中求解． 21．设函数()sin cos ()x f x xe a x x a R =-∈，其中e 是自然对数的底数. （1）若1a ≤，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，证明()0f x ≥； （2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围：若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在实数a ，详见解析【解析】（1）分类讨论，0a ≤时直接证明，01a <≤时，利用导数研究函数的单调性，最小值可证得不等式成立；（2）1a ≤时，由（1）可知无零点，1a >时，仍然利用导数研究函数的单调性，函数极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】（1）证明：①若0a ≤，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0x xe ≥，sin cos 0x x ≥，所以()0f x ≥； ②若01a <≤，因为()(1)cos2x f x x e a x '=+-，设()(1)cos2xg x x e a x =+-，()(2)2sin 2xg x x e a x '=++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '>，所以()f x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()(0)10f x f a ''≥=-≥， 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=， 综上所述，若1a ≤，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0f x ≥. （2）不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 理由如下：（1）若1a ≤，由（1）知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(0)0f =，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点； （2）若1a >，由（1）知，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(2)2sin 20xg x x e a x '=++> 所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.因为(0)10g a =-<，21022g e a πππ⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ， 即方程()0f x '=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一解0x ， 且当()00,x x ∈时，()0f x '<，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>， 所以函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，所以()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0(0)0f x f <=，2022f e πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点， 故当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点， 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 【点睛】本题考查用导数证明不等式，用导数研究函数的零点，解题关键是用导数研究函数的性质求出函数的最值，从而证得不等式成立，对零点个数问题仍然是利用导数研究函数的单调性，然后结合零点存在定理确定零点个数．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (2sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l 的直角坐标方程为y =． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线2C 的极坐标方程为8cos 0ρθ+=，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与1C 在第一象限的交点为B ，求AB ．【答案】（1）2221sin cos 4θθρ=+；（24+.【解析】（1）先将1C 化为普通方程，再由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即可得到极坐标方程.（2）根据题意求得A 、B 两点的坐标，得到极径,A B ρρ，再由A B AB ρρ=-可得结果. 【详解】（1）由题意知1C 的直角坐标方程为2214y x +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得1C 的极坐标方程为2222sin cos 14ρθρθ+=，化简整理得222sin 1cos 4θθρ+=.（2）由题意得直线l 的极坐标方程为3πθ=，所以38cos 0πθρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩可得(4,)3A π-．同理2223sin 1cos 4πθθθρ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得()73B π，47A BAB ρρ=-=+. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化，极坐标方法求两点间的距离，需熟记公式，考查学生化简计算的能力，属基础题． 23．已知函数()|||22|(0)f x x m x m x =+--> （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()|3||4|f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）113xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； （2）70,2⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．（2）不等式()()3443f x t t f x t t +-<+⇔≤+-- ，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，转化求解()()max max f x g t ≤即可． 【详解】因为0m >，所以()3,223,3,x m x mf x x m x m x m m x m x m x m -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+≥⎩．（1）当12m =时，()31,221113,,22231,22x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩所以由()12f x ≥，可得31,2212x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩或113,221122x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩ 或312212x x ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ ，解得1132x ≤<或112x ≤≤， 故原不等式的解集为113xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）因为()()3443f x t t f x t t +-<+⇔≤+--， 令()43g t t t =+--，则由题设可得()()max max f x g t ≤ ，由()3,3,3,x m x mf x x m m x m x m x m -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+≥⎩，得()()max 2f x f m m ==．因为()()43437t t t t +--≤+--=，所以()77g t -≤≤． 故()max 7g t =，从而27m <，即72m <， 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.。

标原点 ) ，则 | MN | 的最小值是 ▲ .
16．定义在 R 上的函数 f ( x) ，如果存在函数 g( x) ax b ， (a, b为常数），使得 f (x) g(x)
对一切实数 x 都成立，则称 g( x) 为函数 f (x) 的一个承托函数 . 给出如下命题 :
· 2·
①函数 g( x)
2 ) 0.9544 .
19． ( 本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效． ）
如 图 ， 已 知 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 柱 ABCD - A1B1C1D1 中 ，
A B= A D= 1， CB CD 3, BCD 60 ， CC1 3 . （ 1）若 E 是线段 A1 A 上的点且满足 A1E 3AE ,
· 4·
(1) 若 | MB | 4| AM | , 求直线 l 的方程 ; (2) 若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上 , 直线 l 与椭圆 C1 有公共点 , 求椭圆 C1 的长轴
（ 2）记数列
1 anan 1
的前 n项和为 Tn ，求证： Tn
1
.
6
18． ( 本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效． ）
某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店
1 月份中 5 天的日销售量 y （单位：千克）
与该地当日最低气温 x （单位： C ）的数据，如下表：
x，
2
近似为样本方差
s2 ，求 P(3.8 X 13.4) .
· 3·
附 : ①回归方程 y b x a 中 , b
n
(xi yi ) nx y
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2019届广西南宁市高三第二次模拟考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B．______________________________________ C． D．2. 若复数的实部是，则实数（）A．2 B． C．______________________________________ D．3. 二项展开式中，常数项为（）A．240______________________________________ B．-240 C．15_____________________________________ D．不存在4. 若函数的图像相邻两条对称轴之间的距离为3，则的值为（）A． B． C．______________________________________ D．5. 等差数列的前项和为，且满足，则（）A．1 B．2 C．3 D．46. 函数的单调减区间是（）A． B． C．_________________________________ D．7. 执行如图所示的流程图，则输出的（）A．57 B．40 C．26 D．178. 设随机变量的概率分布表如下图，则（）A． B． C．D．9. 已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A．-1 B．1 C．2 D．310. 如图所示，一个几何体的主视图和左视图都是边长为4的正方形，中间线段平分正方形，俯视图中有一内切圆，则该几何体的全面积是（）A． B． C．D．11. 已知抛物线的焦点为，点在轴的正半轴上且不与点重合，若抛物线上的点满足，且这样的点只有两个，则满足（）A．___________________________________ B．C．___________________________________ D．12. 已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，且三个根成等差数列，则满足条件的实数有（）个.A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13. 双曲线的离心率为________________________ .14. 若，则________________________ .15. 已知，则的取值范围是________________________ .16. 已知点，动点满足，直线交轴于点，则的最大值为______________ ．三、解答题17. 已知：为数列的前项和，且满足；数列满足 .（1）数列是等比数列吗？请说明理由；（2）若，求数列的前项和 .18. 某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究，他们分别记录了 3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽率，并得到如下资料：参考数据：，，其中， .（1）请根据 3月1日至 3月5日的数据，求出关于的线性回归方程，据气象预报 3月6日的昼夜温差为，请预测 3月6日浸泡的30颗种子的发芽数.（结果保留整数）（2）从 3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为，求的概率分布列，并求其数学期望和方差.19. 如图，正方体中，点是的中点.（1）求和平面所成角的余弦值；（2）在上找一点，使得平面 .20. 已知椭圆：（）的两个焦点为，，离心率为，点，在椭圆上，在线段上，且的周长等于．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过圆：上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，，求面积的最大值．21. 已知函数， .（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求函数的单调递增区间；（3）求证：当时，对于任意两个不等的实数，均有成立.22. 选修4-1：几何证明选讲如图，切圆于点，点为的中点，过作圆的割线交圆于点，连接并延长交圆于点，连接并交圆于点，求证： .23. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系中的原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为 .（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过极点作直线交曲线于点，若，求直线的极坐标方程.24. 选修4-5：不等式选讲如果是实数，且，，为大于1的自然数，用数学归纳法证明： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。