一元二次方程练习题含答案(北大附中)

一元二次方程知 识 点名师点晴一元二次方程的概念 1. 一元二次方程的概念会识别一元二次方程。

2. 一元二次方程的解会识别一个数是不是一元二次方程的解。

解法 步骤 能灵活选择适当的方法解一元二次方程。

根的判别式b2－4ac 是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的判别式会判断一元二次方程根的情况。

根与系数的关系x1＋x2＝b a -，x1x2＝ca会灵活运用根与系数的关系解决问题。

一元二次方程的应用由实际问题抽象出一元二次方程 要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系． 最后要检验结果是不是合理.☞2年中考【2015年题组】1．（2015来宾）已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ）A ．27120x x -+= B ．27120x x ++= C ．27120x x +-= D ．27120x x --= 【答案】A ． 【解析】试题分析：以1x ，2x 为根的一元二次方程27120x x -+=，故选A ．考点：根与系数的关系．2．（2015河池）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）A ．2+10x x += B ．24210x x ++= C ．212360x x ++= D ．220x x +-= 【答案】C ．考点：根的判别式．3．（2015贵港）若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△=2(2)8(1)a ---=1280a -≥且10a -≠，∴32a ≤且1a ≠，∴整数a 的最大值为0．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．4．（2015钦州）用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（ ）A ．2(5)16x +=B ．2(5)1x +=C ．2(10)91x +=D ．2(10)109x += 【答案】A ． 【解析】试题分析：方程21090x x ++=，整理得：2109x x +=-，配方得：2102516x x ++=，即2(5)16x +=，故选A ． 考点：解一元二次方程-配方法．5．（2015成都）关于x的一元二次方程2210kx x+-=有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．1k>-B．1k≥-C．0k≠D．1k>-且0k≠【答案】D．【解析】试题分析：∵是一元二次方程，∴0k≠，∵有两个不想等的实数根，则0∆>，则有224(1)0k∆=-⨯->，∴1k>-，∴1k>-且0k≠，故选D．考点：根的判别式．6．（2015攀枝花）关于x的一元二次方程2(2)(21)20m x m x m-+++-=有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．34m>B．34m>且2m≠C．122m-<<D．324m<<【答案】D．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．7．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x-+=的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．10【答案】B．【解析】试题分析：解方程2430x x-+=，（x﹣1）（x﹣3）=0，解得13x=，21x=；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选B．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．8．（2015巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（ ）A ．2560(1)315x +=B ．2560(1)315x -=C ．2560(12)315x -= D ．2560(1)315x -= 【答案】B ．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．9．（2015达州）方程21(2)304m x mx ---+=有两个实数根，则m 的取值范围（ ）A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠ C ．3m ≥ D ．3m ≤且2m ≠【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：220301(3)4(2)04m m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=----⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．10．（2015泸州）若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B ． 【解析】试题分析：∵2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb ＜0，A ．k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；B ．k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 正确；C ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；D ．k ＞0，b=0，即kb=0，故D 不正确； 故选B ．考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．11．（2015南充）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C ．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式；3．综合题． 12．（2015佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）A ．7mB ．8mC ．9mD ．10m 【答案】A ． 【解析】试题分析：设原正方形的边长为xm ，依题意有：（x ﹣3）（x ﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m ．故选A ． 考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．13．（2015怀化）设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则2221x x +的值是（ ）A ．19B ．25C ．31D ．30【答案】C ．考点：根与系数的关系．14．（2015安顺）若一元二次方程220x x m --=无实数根，则一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第（ ）象限．A ．四B ．三C ．二D ．一 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵一元二次方程220x x m --=无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m ）=4+4m＜0，∴m ＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m ﹣1＜﹣1﹣1，即m ﹣1＜﹣2，∴一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第一象限，故选D ．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系．15．（2015山西省）我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是（ ）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想【答案】A ． 【解析】试题分析：我们解一元二次方程2360x x-=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x-=，从而得到两个一元一次方程：30x=或20x-=，进而得道原方程的解为1x=，22x=．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A．考点：解一元二次方程-因式分解法．16．（2015枣庄）已知关于x的一元二次方程20x mx n++=的两个实数根分别为12x=-，24x=，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【答案】A．考点：根与系数的关系．17．（2015淄博）若a满足不等式组211122aa-≤⎧⎪⎨->⎪⎩，则关于x的方程21(2)(21)02a x a x a---++=的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能【答案】C．【解析】试题分析：解不等式组211122aa-≤⎧⎪⎨->⎪⎩，得a＜﹣3，∵△=21(21)4(2)()2a a a---+=2a+2，∵a＜﹣3，∴△=2a+2＜0，∴方程21(2)(21)02a x a x a---++=没有实数根，故选C．考点：1．根的判别式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式组；4．综合题．18．（2015烟台）如果201(1)x x x--=+，那么x的值为（）A．2或﹣1 B．0或1 C．2 D．﹣1【答案】C．【解析】试题分析：∵201(1)x x x --=+，∴211x x --=，即（x ﹣2）（x+1）=0，解得：12x =，21x =-，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选C ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．零指数幂．19．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 【答案】B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．20．（2015大庆）方程)5(2)5(32-=-x x 的根是 ． 【答案】15x =，2173x =．【解析】试题分析：方程变形得：23(5)2(5)0x x ---=，分解因式得：(5)[3(5)2]x x ---，可得50x -=或3170x -=，解得：15x =，2173x =．故答案为：15x =，2173x =．考点：解一元二次方程-因式分解法．21．（2015甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程27120x x -+=的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为 ．【答案】5． 【解析】试题分析：方程27120x x -+=，即(3)(4)0x x --=，解得：13x =，24x =，则矩形ABCD的对角线长是：2234+=5．故答案为：5．考点：1．矩形的性质；2．解一元二次方程-因式分解法；3．勾股定理．22．（2015达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为．【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．23．（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x=-和关于x的一元二次方程2(1)10m x mx+++=中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是________．【答案】2-．【解析】试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m->，∴25m<，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入2(1)10m x mx+++=中得，210x+=，△=﹣4＜0，无实数根；将1m=-代入2(1)10m x mx+++=中得，10x-+=，1x=，有实数根，但不是一元二次方程；将2m=-代入2(1)10m x mx+++=中得，2210x x+-=，△=4+4=8＞0，有实数根．故m=2-．故答案为：2-．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系；3．综合题．24．（2015凉山州）已知实数m，n满足23650m m+-=，23650n n+-=，且m n≠，则n mm n+= ．【答案】225-．【解析】试题分析：∵m n≠时，则m，n是方程23650x x--=的两个不相等的根，∴2m n+=，53mn=-．∴原式=22m nmn+=2()2m n mnmn+-=2522()223553-⨯-=--，故答案为：225-．考点：1．根与系数的关系；2．条件求值；3．压轴题．25．（2015泸州）设1x、2x是一元二次方程2510x x--=的两实数根，则2212x x+的值为．【答案】27．考点：根与系数的关系．26．（2015绵阳）关于m的一元二次方程22720nm n m--=的一个根为2，则22n n-+= ．【答案】26．【解析】试题分析：把m=2代入22720nm n m--=得022742=--nn，整理得：nn7212=+，所以721=+nn，所以原式=21()2nn+-=2(27)2-=26．故答案为：26．考点：一元二次方程的解．27．（2015内江）已知关于x的方程260x x k-+=的两根分别是1x，2x，且满足12113x x+=，则k的值是．【答案】2．【解析】试题分析：∵关于x的方程260x x k-+=的两根分别是1x，2x，∴126x x+=，12x x k=，1212121163x xx x x x k++===，解得：k=2，故答案为：2．考点：根与系数的关系．28．（2015咸宁）将263x x++配方成2()x m n++的形式，则m= ．【答案】3．考点：配方法的应用．29．（2015荆州）若m，n是方程210x x+-=的两个实数根，则22m m n++的值为．【答案】0．【解析】试题分析：∵m，n是方程210x x+-=的两个实数根，∴1m n+=-，21m m+=，则原式=2()()m m m n+++=1﹣1=0，故答案为：0．考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．30．（2015曲靖）一元二次方程250x x c-+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c= ．（只需填一个）．【答案】故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．【解析】试题分析：∵一元二次方程250x x c-+=有两个不相等的实数根，∴△=2(5)40c-->，解得254c<，∵125x x+=，12x x c=>，c是整数，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．开放型．31．（2015呼和浩特）若实数a、b满足(44)(442)80a b a b++--=，则a b+=__________．【答案】12-或1．【解析】试题分析：设a b+=x，则由原方程，得：4(42)80x x--=，整理，得：(21)(1)0x x+-=，解得112x=-，21x=．则a b+的值是12-或1．故答案为：12-或1．考点：换元法解一元二次方程．32．（2015吉林省）若关于x的一元二次方程20x x m-+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（写出一个即可）．【答案】答案不唯一，只要14m<即可，如：0．考点：1．根的判别式；2．开放型．33．（2015毕节）关于x的方程2430x x-+=与121x x a=-+有一个解相同，则a= ．【答案】1．【解析】试题分析：由关于x的方程2430x x-+=，得：（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0，或x﹣3=0，解得x=1或x=3；当x=1时，分式方程121x x a=-+无意义；当x=3时，12313a=-+，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．考点：1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分类讨论．34．（2015毕节）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是L．【答案】20．【解析】试题分析：设每次倒出液体xL，由题意得：40401040xx x---⋅=，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．考点：一元二次方程的应用．35．（2015日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足23m m-=，23n n-=，那么代数式2222015n mn m-++= ．【答案】2026．考点：根与系数的关系．36．（2015成都）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）． ①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x =的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54．【答案】②③． 【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记292K b ac =-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①， 29102K b ac =-=，因此本选项错误；对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=，∴22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确；对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知145222b t t a ++--==，∴5b a =-，由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为：250509ax ax a -+=，∴2945500x x -+=，∴1103x =，253x =，因此本选项错误．故答案为：②③．考点：1．新定义；2．根与系数的关系；3．压轴题；4．阅读型．37．（2015黄石）解方程组：224 4 32 2 x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②． 【答案】1101x y =⎧⎨=⎩，22312x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩． 考点：高次方程．38．（2015自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m 长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米． 【解析】试题分析：设垂直于墙的一边为x 米，则邻边长为（58﹣2x ），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x 米，得：x （58﹣2x ）=200，解得：125x =，24x =，∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米． 考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题． 39．（2015巴中）如图，某农场有一块长40m ，宽32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【答案】2m ．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题． 40．（2015广元）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm 的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于582cm ，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于482cm ．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）12cm 和28cm ；（2）正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．41．（2015崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．【解析】试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：23(1) 6.75x+=，解得10.5x=，22.5x=-（不符合题意舍去）答：政府投资平均增长率为50%；（2）212(10.5)18+=（万平方米）答：2015年建设了18万平方米廉租房．考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．42．（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题；3．最值问题；4．压轴题．43．（2015淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】（1）100+200x；（2）1．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题． 44．（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111(1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++． 令111234t ++=，则原式=11(1)()(1)55t t t t-+--- =22114555t t t t t +---+ =15问题：（1）计算1111111111111111111(1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014-----⨯+++++--------⨯++++；（2）解方程22(51)(57)7x x x x ++++=．【答案】（1）12015；（2）10x =，25x =-．考点：1．换元法解一元二次方程；2．有理数的混合运算；3．换元法；4．阅读型；5．综合题．45．（2015十堰）已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．【答案】（1）112m ≥-；（2）2．【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可； （2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m+-+≥，∴112m≥-；（2）根据题意得1223x x m+=+，2122x x m=+，∵21220x x m=+>，∴1212x x x x=，∵22121231x x x x+=+，∴22121231x x x x+=+，∴21212()313x x x x+=+，即22(23)313(2)m m+=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．46．（2015潜江）已知关于x的一元二次方程042=+-mxx．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为1x，2x，且满足22521=+xx，求实数m的值．【答案】（1）m≤4；（2）m=﹣12．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系．47．（2015鄂州）关于x的一元二次方程22(21)10x k x k++++=有两个不等实根1x，2x．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根1x，2x满足1212x x x x+=，求k的值．【答案】（1）k＞34；（2）k=2．【解析】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根可得△=430k->，求出k的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2211k k+=+，结合k的取值范围解方程即可．试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=22(21)4(1)k k+-+=2244144k k k++--=430k->，解得：k＞34；（2）∵k＞34，∴12(21)0x x k+=-+<，又∵21210x x k=+>，∴1x<，2x<，∵1212x x x x+=，∴1212x x x x--=，∴2211k k+=+，∴10k=，22k=，又∵k＞34，∴k=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．【2014年题组】1．（2014年甘肃兰州中考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（）A. b2﹣4ac=0B. b2﹣4ac＞0C. b2﹣4ac＜0D. b2﹣4ac≥0【答案】B．【解析】试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0．故选B．考点：一元二次方程根的判别式．2. （2014年广西贵港中考）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1【答案】A．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值．3. （2014年内蒙古呼伦贝尔中考）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A. x1=2，x2=1B. x1=﹣2，x2=1C. x1=2，x2=﹣1D. x1=﹣2，x2=﹣1 【答案】C．【解析】试题分析：（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C．考点：因式分解法解一元二次方程．4. （2014年山东聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A.2 2.2b b4acx2a4a-⎛⎫+=⎪⎝⎭ B.2 2.2b4ac bx2a4a-⎛⎫+=⎪⎝⎭ C.2 2.2b b4acx2a4a-⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.2 2.2b4ac bx2a4a-⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】A．【解析】试题分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可：移项，得ax2+bx=﹣c，两边同除以a，得2b cx xa a+=-，两边同加上一次项一半的平方，得222b bc bx xa2a a2a⎛⎫⎛⎫++=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2 2.2b b4acx2a4a-⎛⎫+=⎪⎝⎭．故选A．考点：配方法解一元二次方程．5. （2014年甘肃白银、定西、平凉、酒泉、临夏中考）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= ．【答案】1．考点：一元二次方程和解的定义．6. （2014年广西桂林中考）已知关于x的一元二次方程()22x2k1x k20+++-=的两根x1和x2，且()()112x2x x0--=，则k的值是．【答案】2-或94-．【解析】试题分析：∵()()112x2x x0--=，∴1x2=或12x x=．∵关于x的一元二次方程()22x2k1x k20+++-=的两根x1和x2，∴若1x2=，则()22222k1k20k2+++-=⇒=-；若12x x=，则方程()22x2k1x k20+++-=有两相等的实数根，∴()()2292k141k20k4∆=+-⋅⋅-=⇒=-．∴k2=-或9k4=-．考点：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用．7. （2014年湖南永州中考）方程x2﹣2x=0的解为．【答案】x1=0 或x2=2．【解析】试题分析：把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或x﹣2=0，从而求出方程的解：x1=0 或x2=2．考点：因式分解法解一元二次方程．8. （2014年江西省中考）若,a b是方程2x2x30--=的两个实数根，则22a+b=．【答案】10．【解析】试题分析：∵,a b是方程2x2x30--=的两根，∴2,3a+b=a b=-．∴()222222610a+b=a+b-a b=+=．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.完全平方公式；4.整体思想的应用．9. （2014年江苏泰州中考）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．【答案】122626x,x22+-==．考点：公式法解一元二次方程．10. （2014年四川巴中中考）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【答案】当该商品每个单价为60元时，进货100个．【解析】试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．解：设每个商品的定价是x元，由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．x1=50时，进货180﹣10（x﹣52）=200个，不符合题意舍去．答：当该商品每个单价为60元时，进货100个．考点：一元二次方程的应用（销售问题）．☞考点归纳归纳1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x=﹣2是关于x的一元二次方程225x ax a02-+=的一个根，则a的值为（）A. 1或4 B. ﹣1或﹣4 C. ﹣1或4 D. 1或﹣4【答案】B．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程．归纳2：一元一次方程的解法基础知识归纳：一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AMAF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM 2．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++= 3．关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．-3或0 4．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）A ．7B ．7或10C ．10或11D ．11 5．关于x 的一元二次方程()25410a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠B ．1a ≥且5a ≠C ．1a ≥D ．1a <且5a ≠ 6．用配方法解方程2x 4x 70+-=，方程应变形为（ ） A ．2(2)3x += B ．2 (x+2)11= C ．2 (2)3?x -= D ．2()211x -= 7．方程()55x x x +=+的根为（ ）A ．15=x ，25x =-B ．11x =，25x =-C ．0x =D ．125x x ==-8．若整数a 使得关于x 的一元二次方程()222310a x a x -++=有两个实数根，并且使得关于y 的分式 方程32133ay y y y -+=--有整数解，则符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 9．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ）A ．15%B ．40%C ．25%D ．20%10．方程23x x =的根是（ ） A ．3x = B ．0x = C ．123,0x x =-=D ．123,0x x == 11．一元二次方程20x x -=的根是（ ）A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x == 12．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程为（ ）A ．x （40－x ）＝75B ．x （20－x ）＝75C ．x （x ＋40）＝75D ．x （x ＋20）＝7 13．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠0 14．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）A 31B ．31C 31或31D ．无法确定 15．一元二次方程x （x ﹣2）＝x ﹣2的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝0B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝1，x 2＝2 二、填空题16．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．17．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．18．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．19．一元二次方程（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4化为一般形式可得_________．20．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积六十步，只云长阔共十六步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为60平方步，只知道它的长与宽共16步，根据题意得，设长为x 步，列出方程_______． 21．三角形两边长分别为3和5，第三边满足方程x 2-6x+8=0，则这个三角形的形状是__________．22．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人．23．若a 是方程210x x ++=的根，则代数式22020a a --的值是________． 24．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x ，根据题意，可得方程_______25．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．26．已知关于x 的方程x 2﹣px +q ＝0的两根为﹣3和﹣1，则p ＝_____，q ＝_____．三、解答题27．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根．求m 的取值范围．28．（1）x 2﹣8x+1＝0；（2）2（x ﹣2）2＝x 2﹣4．29．解方程：（1）()2316x -=（2）22410x x --=（用公式法解）30．解下列方程：（1）2810x x --=；（2）2(2)6(2)80x x ---+=．参考答案。

北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．一元二次方程的定义1．若关于x的方程4x3m﹣1﹣mx+1＝0是一元二次方程，则m的值为．二．一元二次方程的解2．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于．3．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+＝．4．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为．三．解一元二次方程-公式法5．利用公式法可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（）A．B．C．D．6．解方程：2x2+3x﹣1＝0．四．解一元二次方程-因式分解法7．解方程：x2﹣4x+3＝0．8．用适当的方法解下列方程：（1）x2+5x﹣1＝0；（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）；五．根的判别式9．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠010．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠011．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于．14．若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是．15．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．六．根与系数的关系17．已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（）A．1B．﹣1C．D．18．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则＝．19．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝．20．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为．21．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足+＝3，则k的值是．22．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015＝．23．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝．24．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．参考答案与试题解析一．一元二次方程的定义1．若关于x的方程4x3m﹣1﹣mx+1＝0是一元二次方程，则m的值为1．【解答】解：∵关于x的方程4x3m﹣1﹣mx+1＝0是一元二次方程，∴3m﹣1＝2，解得：m＝1∴m的值为1．二．一元二次方程的解2．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于2028．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝20283．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+＝6．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，∴m2+＝（m﹣）2+2＝（）2+2＝22+2＝6．4．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为6．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3，m2﹣3＝m∴（m2﹣m）（m﹣+1）＝3×（+1）＝3×（1+1）＝6．三．解一元二次方程-公式法（共2小题）5．利用公式法可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（）A．B．C．D．【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0∴x＝＝，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，∴a的值为．故选：D．6．解方程：2x2+3x﹣1＝0．【解答】解：这里a＝2，b＝3，c＝﹣1，∵△＝9+8＝17＞0，∴x＝解得：x1＝，x2＝．四．解一元二次方程-因式分解法7．解方程：x2﹣4x+3＝0．【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0或x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．8．用适当的方法解下列方程：（1）x2+5x﹣1＝0；（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）；【解答】解（1）∵x2+5x﹣1＝0，∴a＝1，b＝5，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×（﹣1）＝29＞0∴，解得；（2）∵7x（5x+2）＝6（5x+2），∴7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，∴（7x﹣6）（5x+2）＝0，∴7x﹣6＝0或5x+2＝0解得；五．根的判别式9．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即：9+4k≥0解得：k≥﹣，∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．故选：D．10．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0【解答】解：，解得k＜1且k≠0．故选：D．11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得：k＞且k≠1．12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5且k≠1．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0解得：k≤5且k≠113．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于2．【解答】解：Δ＝4﹣4a（2﹣c）＝0，整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a（c﹣2）＝﹣4，∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a得：c﹣2＝﹣，则+c＝214．若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．【解答】解：∵|b﹣1|+＝0，∴b﹣1＝0，＝0，解得，b＝1，a＝4；又∵一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，∴Δ＝a2﹣4kb≥0且k≠0，即16﹣4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；15．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【解答】解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，得：1+m+m﹣2＝0，解得：m＝；（2）∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．六．根与系数的关系17．已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（）A．1B．﹣1C．D．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝，∵+＝2，∴x1+x2＝2x1x2，∴﹣2＝2×解得k＝﹣1，方程化为﹣x2﹣2x+1＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×1＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数解∴k的值为﹣1．故选：B．18．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则＝﹣2．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，所以则＝＝＝＝﹣2．19．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝8．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，∵m2+2m﹣5＝0∴m2＝5﹣2mm2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n＝10+m+n＝10﹣2＝820．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为3．【解答】解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．∴1+﹣＝0．∴﹣﹣1＝0，又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．∴m+＝2．∴＝m+1+＝2+1＝321．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足+＝3，则k的值是2．【解答】解：∵x2﹣6x+k＝0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝k，+＝＝＝3，：k＝222．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015＝2026．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，则2n2﹣mn+2m+2015＝2（n+3）﹣mn+2m+2015＝2n+6﹣mn+2m+2015＝2（m+n）﹣mn+2021＝2×1﹣（﹣3）+2021＝2+3+2021＝2026．23．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝5．【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，∵m是原方程的根，∴m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝524．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．。

一、选择题1．已知方程240x x n ++=可以配方成()23x m +=，则()2015m n -=（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．42．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ）A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x+1）＝45 C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x+1）＝45 3．若x m =是方程210x x +-=的根，则22020m m ++的值为（ ）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018 4．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A ．221x x +B ．20ax x +=C ．()()121x x -+=D ．223250x xy y --= 5．一元二次方程2(21)2(21)x x +=+的解是（ ）A ．1212x x ==B ．1212x x ==-C ．1211,22x x =-=D ．1211,2x x == 6．关于x 的一元二次方程()221620k x x k k -+++-=有一个根是0，则k 的值是（ ） A ．0B ．1C ．-2D ．1或-2 7．已知关于x 的一元二次方程240x x k +-=，当40k -<<时，该方程解的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定8．下列说法不正确的是（ ）A ．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件B ．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查C ．一元二次方程2210x x -+=只有一个根D ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是20.36S =甲，20.54S =乙，甲的射击成绩稳定9．已知a 是方程2210x x --=的一个根，则代数式224a a -+的值应在（ ） A ．4和5之间B ．3和4之间C ．2和3之间D ．1和2之间 10．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为2120x x m -+=的两根，则m 的值为（ ）A ．32B ．36C ．32或36D ．不存在 11．若关于x 的方程2210ax ax -+=的一个根是1-，则a 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．13-D ．3-12．已知关于x 的方程2(21)(1)0kx k x k +++-=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．18k ≥- B ．18k >- C ．18k ≥-且0k ≠ D ．18k <- 二、填空题13．已知方程x 2+3x -1=0的两个实数根分别为α、β，则（α-1）（β-1）=________． 14．如果菱形的两对角线的长分别是关于x 的一元二次方程2240x mx ++=的两实数根，那么该菱形的面积是____．15．2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡190张，设全班有x 名同学则可列方程为________．16．如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为xm ，由题意列得方程__________________________．17．若m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，则2020﹣m 2+3m ＝_____．18．有一个人患了流感，两轮传染后共有225人患了流感，则平均每轮传染______人． 19．一元二次方程2310x x -++=的根的判别式的值是______．20．如图，把矩形纸片ABCD （BC CD >）沿折痕DE 折叠，点C 落在对角线BD 上的点P 处；展开后再沿折痕BF 折叠，点C 落在BD 上的点Q 处；沿折痕DG 折叠，点A 落在BD 上的点R 处．若4PQ =，7PR =，则BD =___________．三、解答题21．解方程：（1）3x （x +1）＝3x +3．（2）2x 2+3x ﹣1＝0．22．解方程：3（x ﹣2）2＝x （2﹣x ）．23．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x 2+x ＝0的两个根是x 1＝0，x 2＝﹣1，则方程x 2+x ＝0是“邻根方程”；（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．①x 2﹣x ﹣12＝0；②x 2﹣9x +20＝0；（2）已知关于x 的方程x 2+（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值． 24．（1）计算：113669669669434⨯-⨯+⨯； （2）解方程：2230x x --=．25．解方程：（1）x 2-3x +2＝0 （2）22410y y --=．26．解方程（1）(3)26x x x +=+； （2）22350x x --=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m 、n 的值，由此可求得答案．【详解】解：由（x +m ）2＝3，得：x 2+2mx +m 2﹣3＝0，∴2m ＝4，m 2﹣3＝n ，∴m ＝2，n ＝1，∴（m ﹣n ）2015＝1，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．A解析：A【分析】关系式为：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可．【详解】解：本次比赛共有x 个参赛棋手， 所以可列方程为：12x （x -1）=45． 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．3．B解析：B【分析】利用一元二次方程根的定义，代入变形计算即可．【详解】∵x m =是方程210x x +-=的根，∴210m m +-=，∴21m m +=，∴22020m m ++=2021，故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，熟练把方程的根转化为所含字母的一元二次方程是解题的关键．4．C解析：C【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【详解】A.含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B.当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C.由已知方程得到：x²+x-3=0，该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；D.含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．5．C解析：C【分析】先将原方程整理为2(21)2(21)0x x +-+=，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论．【详解】解：2(21)2(21)x x +=+， 移项，得2(21)2(21)0x x +-+=，分解因式，得(21)(21)0x x +-=，则210x +=或210x -=， 解得：1211,22x x =-=． 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法及步骤是解题的关键． 6．C解析：C【分析】把x=0代入方程，得到220k k +-=，解得k 值后，验证二次项系数不为零，判断即可．【详解】∵x 的一元二次方程()221620k x x k k -+++-=有一个根是0， ∴220k k +-=，且k-1≠0，解得k= -2或k=1，且k≠1，∴k= -2，故选C ．【点睛】本题考查了已知一元二次方程的一个根探解字母系数问题，熟练运用根的定义，一元二次方程的定义是解题的关键．7．A解析：A【分析】计算根的判别式，根据k 的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．【详解】解：∵一元二次方程240x x k +-=，∴△= 22444b ac k -=+=16+4k ，∵40k -<<，∴1640k -<<，∴16+4k ＞0，∴△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差依次判断即可．【详解】解：A. 打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件，正确，不符合题意；B. 了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，正确，不符合题意；C. 一元二次方程2210x x -+=中，24440b ac ∆=-=-=，有两个相等的实数根，故原说法错误，符合题意；D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是20.36S =甲，20.54S =乙，甲的射击成绩稳定，正确，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差，注意当0∆=时，一元二次方程有两个相等的实数根．9．A解析：A【分析】先依据一元二次方程的定义得到a 式的取值范围．【详解】解：∵a 是方程2210x x --=的一个根，∴2210a a --=，即221a a -=，∴原式=22(2)2a a -=+∵459， ∴23<<，∴425<+<，即224a a -+的值在4和5之间，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，估算．掌握整体代入法是解题关键．10．B解析：B【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．【详解】分为两种情况：①当腰长是4时，设底边为a ，依题意得：a+4=12，解得：a=8，即三边为4，4，8，不能构成三角形，舍去；②底边为4，设腰长为b，依题意得：b+b=12，∴腰长为b=6，即三边为4，6，6，∴m=6×6=36；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，掌握根与系数的关系并能进行分类讨论是解此题的关键．涉及等腰三角形的问题容易漏解或多解，要特别注意．11．C解析：C【分析】根据方程根的定义，回代原方程中，解关于a的方程求解即可.【详解】∵x的方程2210ax ax-+=的一个根是1-，∴2(-1)2(-1)10a a⨯-⨯⨯+=，解得 a=13 -，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟记根的定义是解题关键.12．A解析：A【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．【详解】解：当k=0时，x-1=0，解得：x=1；当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k-1）=0有实根，∴△=（2k+1）2-4k×（k-1）≥0，解得18k≥-且k≠0，综上：k的取值范围是18 k≥-，故选A．本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．二、填空题13．3【分析】结合题意根据一元二次方程根与系数关系的性质可得；根据整式运算性质得将代入式子中通过计算即可得到答案【详解】∵方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为αβ∴∴故答案为：3【点睛】本题考查了一解析：3【分析】结合题意，根据一元二次方程根与系数关系的性质，可得+αβ、αβ；根据整式运算性质，得()()()111αβαβαβ--=-++，将+αβ、αβ代入式子中，通过计算即可得到答案．【详解】∵方程x 2+3x -1=0的两个实数根分别为α、β∴+3αβ=-，1αβ=- ∴()()()()1111313αβαβαβ--=-++=---+=故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程、整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数关系的性质，从而完成求解．14．12【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积接着通过菱形面积公式求解即可【详解】解：设的两根为则一元二次方程的两实数根为菱形的两对角线的长菱形的面积===12故答案为：12【点睛】本题主要考解析：12【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积，接着通过菱形面积公式求解即可．【详解】解：设2240x mx ++=的两根为12x x 、，则1224x x =，一元二次方程的两实数根12x x 、为菱形的两对角线的长，∴菱形的面积=1212x x =1242⨯=12． 故答案为：12．本题主要考查一元二次方程的韦达定理，还涉及菱形的面积运算，属于基础题，熟练掌握韦达定理及菱形的面积公式是解决本题的关键．15．x(x-1)=190【分析】根据题意x 名同学每个人送出（x-1）张贺卡由此列出方程【详解】由题意得故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用正确理解题意是解题的关键解析：x(x-1)=190【分析】根据题意x 名同学，每个人送出（x-1）张贺卡，由此列出方程．【详解】由题意得(1)190x x -=，故答案为：(1)190x x -=．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．16．【分析】设道路的宽为将6块草地平移为一个长方形长为宽为根据长方形面积公式即可列方程【详解】设道路的宽为由题意得：故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用掌握长方形的面积公式求得6块草地平移 解析：(302)(20)786x x --=⨯【分析】设道路的宽为xm ，将6块草地平移为一个长方形，长为()302-x m ，宽为()20x m -．根据长方形面积公式即可列方程(302)(20)786x x --=⨯．【详解】设道路的宽为xm ，由题意得：(302)(20)786x x --=⨯，故答案为：(302)(20)786x x --=⨯．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．17．2021【分析】先根据意元二次方程根的定义得到m2＝3m ﹣1然后把m2＝3m ﹣1代入2020﹣m2+3m 中后合并即可【详解】解：∵m 是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根∴m2﹣3m+1＝0∴m2解析：2021【分析】先根据意元二次方程根的定义得到m 2＝3m ﹣1，然后把m 2＝3m ﹣1代入2020﹣m 2+3m 中后合并即可．【详解】解：∵m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，∴m 2﹣3m +1＝0，∴m 2＝3m ﹣1，∴2020﹣m 2+3m ＝2020﹣（3m ﹣1）+3m＝2020﹣3m +1+3m＝2021．故答案为2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题．18．14【分析】如果设每轮传染中平均每人传染了x 人那么第一轮传染中有x 人被传染第二轮则有x （x+1）人被传染已知共有225人患了流感那么可列方程然后解方程即可【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x 人则解析：14【分析】如果设每轮传染中平均每人传染了x 人，那么第一轮传染中有x 人被传染，第二轮则有x （x+1）人被传染，已知“共有225人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x 人，则第一轮传染中有x 人被传染，第二轮则有x(x+1)人被传染，又知：共有225人患了流感，∴可列方程：1+x+x(x+1)=225，解得，114x =，216x =-（不符合题意，舍去）∴每轮传染中平均一个人传染了14个人．故答案为14．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系．19．13【分析】根据△=b2-4ac 计算可得答案【详解】解：∵a=-1b=3c=1∴△=32-4×(-1)×1=13故答案为：13【点睛】本题主要考查根的判别式熟记判别式（△=b2-4ac ）是解题关键解析：13【分析】根据△=b 2-4ac 计算可得答案．【详解】解：∵a=-1，b=3，c=1，∴△=32-4×(-1)×1=13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟记判别式（△=b2-4ac）是解题关键．20．13【分析】由折叠的性质可得CD=PDAD=DRBC=BQ由勾股定理可得（CD+7+CD4）2=（CD+7）2+CD2可求CD=5由勾股定理可求解【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC∠C=解析：13【分析】由折叠的性质可得CD=PD，AD=DR，BC=BQ，由勾股定理可得（CD+7+CD-4）2=（CD+7）2+CD2，可求CD=5，由勾股定理可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠C=90°，由折叠的性质可得：CD=PD，AD=DR，BC=BQ，∵PQ=4，PR=7，∴PQ=BQ-（BD-PD）=BC-BD+CD=4，PR=AD-PD=BC-CD=7，∴BD=BC+CD-4，BC=CD+7，∵BD2=BC2+CD2，∴（CD+7+CD-4）2=（CD+7）2+CD2，∴CD1=5，CD2=-4（舍去），∴BC=12，∴13=，故答案为：13．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．三、解答题21．（1）x1＝1，x2＝﹣1；（2）x1，x2．【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可．【详解】解：（1）3x（x+1）＝3x+3，3x（x+1）﹣3（x+1）＝0，3（x +1）（x ﹣1 ）＝0，x ﹣1＝0，x +1＝0，x 1＝1，x 2＝﹣1．（2）2x 2+3x ﹣1＝0．a ＝2，b ＝3，c ＝﹣1，∵△＝9+8＝17，∴x ＝34-，∴x 1，x 2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是采用适当的方法解方程．22．x 1＝2，x 2＝32． 【分析】先移项，再提取公因式（x-2），可得两个一元一次方程，解方程即可得答案．【详解】3（x ﹣2）2＝x （2﹣x ）移项得：3（x ﹣2）2+x （x ﹣2）＝0，提取公因式得：（x ﹣2）（3x ﹣6+x ）＝0，∴x ﹣2＝0或3x ﹣6+x ＝0，解得：x 1＝2，x 2＝32． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．23．(1)②是“邻根方程”,(2) m ＝0或﹣2【分析】（1）解方程求得方程的根即可判断；（2）解方程得x ＝﹣m 或x ＝1，根据题意﹣m ＝1+1或﹣m ＝1﹣1，解得m ＝0或﹣2．【详解】解：（1）①分解因式得：（x ﹣4）（x +3）＝0，解得：x ＝4或x ＝﹣3，∵4≠﹣3+1，∴x 2﹣x ﹣12＝0不是“邻根方程”；②分解因式得：（x ﹣4）（x ﹣5）＝0，解得：x ＝4或x ＝5，∵5＝4+1，∴x 2﹣9x +20＝0是“邻根方程”；（2）分解因式得：（x +m ）（x ﹣1）＝0，解得：x ＝﹣m 或x ＝1，∵方程程x 2+（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程，∴﹣m ＝1+1或﹣m ＝1﹣1，∴m ＝0或﹣2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法，“邻根方程”的定义，熟练掌握因式分解法是解题的关键．24．（1）446；（2）11x =-，23x =【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可得到答案；（2）运用因式分解法解方程即可．【详解】解：（1）113669669669434⨯-⨯+⨯ 131669443⎫⎛=⨯+- ⎪⎝⎭ 26693=⨯ 446=；（2）2230x x --=(1)(3)0x x +-=10x +=，30x -=∴11x =-，23x =．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及运用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．25．（1）121,2x x ==；（2）121,122y y =+=- 【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用公式法求解即可；【详解】（1）∵x 2-3x +2＝0∴(x-1)(x-2)=0∴121,2x x ==；（2）∵22410y y --= ∴a=2，b=-4，c=-1，∴b 2-4ac=16+8=24，∴=1，∴1211y y ==． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．26．（1）122,3x x ==-；（2）152x =；21x =- 【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可．【详解】解：（1）(3)26x x x +=+， (3)2(3)0x x x +-+=，(2)(3)0x x -+=，20x -=或30x +=，122,3x x ==-；（2）22350x x --=，2,3,5a b c ==-=-，224(3)42(5)49b ac -=--⨯⨯-=，x == 125,12x x ==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是根据方程的特征选择恰当的方法进行解方程．。