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第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。
试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t2 + 2t + 3）/3 In = A(n) − A(n − 1)= (n2 + 2n + 3) − ((n − 1)2 + 2(n − 1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <n); (2)Ir = 2r(0 < r < n). 解:()n n-1t 11I A (n )A (t)I I I n (n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+・・・(2)1t 11I A (n )A (t) 22nn k k t I ++=+=-==-∑3. 已知累积函数的形式为:2a (t) at b=+。
若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。
解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)/a(5)= 100 × 3 = 300. 4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :(1) A(t) = 100 + 5t; (2)tA (t) 100(1 0.1)=+.解：(1)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)=5120≈ 4.17% i10 =(A(10) − A(9))/A(9)=5145≈ 3.45% (2)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)()()()544109109100(1 0.1)100(1 0.1)10%100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1)+-+==++-+=-==+5.设()n A 4 1000, i 0.01n==. 试计算A(7) 。
第二章 年金 部分习题参考答案证明：(1)(1)(1)(1)(1)(1)[]()m nn m m n m n m n v v v v v v i iv v i i a a i i⌝⌝----=---=⨯--=⨯-=⨯-证明：n n n-t t n t t n tttt nnnnn nn t t tt t t t t t t t n na S a a v a a v a =a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a viv a v v v--+=+----（1-）（1-）（1-）（1-）6. 解：由公式得：mn m+n mva =a a-71118777v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=1=0.08299---也即：（1+）解得：7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：5712120.08 0.0818187121000(10.08)1000(10.08)100037.45024 1.0839169.84S S S -=+=+=⨯⨯=12. 解：根据题意，有1010301030101000a 1000a v =a a v K K +-又由于，则上式经整理得：10v =1/21030101030101030101030101111(1)a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)8221800K K ----====--+-=解得：14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式: nn a =a v a ∞∞+根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：n n n a a Ra =Rv a 22RR ∞∞++又由于三人所领取的年金现值相等，有:nnn n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以，19. 根据题意：22i i 2222222i i 222105105i i 22105i 2i 21051051000=1700011==171=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15escart t=f =-0.00117fS S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）-1+（）-1则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。
第二章利息论2.1复习笔记一、利息与利息率1．利息（1）利息的含义利息，从其形态上看，是因为货币所有者贷出货币资金而从借贷者手中获得的报酬；从另一方面看，它是借贷者使用货币资金必须支付的代价；从今天的信用经济社会看，它是一种借贷成本，也是一种放贷收益。
（2）利息的来源从资本运动的表面看，一个人有一笔闲置货币，将它贷出，经过一个约定的时期后，借者把它收回，他在归还时，不仅还了本金，还支付了一笔额外的货币——利息。
这一过程可简记为G—G＇，G 为最初贷出的货币额，G＇=G+△G，△G 即为利息。
从这里可以看到△G 是由G 带来的，或者说，利息是由货币生出来的，货币具有自行增值的能力。
实际上，货币资本若不转换成生产资本，不经过生产过程，绝不可能自行增值。
所以借贷资本的完整公式应当写成：这个公式可分成三个阶段：①G—G ，资本使用权的让渡；②......''m AG W P W G P --，资本生产和流通过程，即真正的增值过程；③G＇—G＇，货币本金和增值额（利息）的回流。
利息实质上是利润的一部分，是利润的特殊转化形式。
2．利息率利息率简称利率，是指在一定时期内的利息额与借贷资本额的比率。
按计算利息的期限单位把利率分为年利率、月利率和日利率。
年利率是以年为单位计算利息，按本金的百分之几表示；月利率是以月为单位计算利息，按本金的千分之几表示；日利率是以日为单位计算利息，按本金的万分之几表示。
3．利息的计算（1）单利计算。
单利计算是指在计算利息额时，不论借贷期限长短，仅按本金计算利息，所生利息不再加入本金重复计算利息。
其计算公式为：I=P·n·r式中：I为利息，P为本金，n为计算周期数，r为每期利息率。
我国居民储蓄和国库券都按单利计算。
借贷活动中，往往要求计算本金与利息之和，即借一笔款后，经过若干时间还款总额是多少。
这里的还款总额包括本金和利息，简称本利和。
以s记本利和，则单利本利和的计算公式为：S=P·（1+n·r）为鼓励长期储蓄，稳定经济，回笼货币，并维护储户个人利益，中国人民银行曾于1988年9月10日起，对3年以上定期储蓄给予保值贴息。
第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity ）年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。
但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。
二、年金的分类1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。
本节重点：年金的定义。
本节难点：年金的分类。
第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。
本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式23...n nv v v v a=++++(1)11n nv v v v i--==-二、理解1n n v ia +=三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：4000 58%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。
如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。
若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。
解：201045aa =20101145v v i i--=100.25v =i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式2311...n nv v v v a -=+++++(1)11n nv v v d--==-二、na与na的关系1、(1)n ni a a =+（可用公式展开证明）2、11nn aa -=+ （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。
1、
证明： ()
n
m
m n i v
v a a -=-;
证明：
11()()
m n
n
m
m n i i i i v v v v a a --
-=-=-
2、化简：n t t n
n
a
s a
s
--
解：
()()()()()()()1
111
1111
1111111t
n t
n
t
t
n t t n n n n
n
n
i i
i
i
i v
i i i a s a
s
v i i n ------+=+=+=----+++++++
3、设2,n n x y a a ==，用x 、y 来表示d; 解：
,
()()()2222221122111211n n n n n
n v a x xi v x y i x y i
xi yi i d i x x x y v yi v a y i ⎧-==⎪⎧-=--⎪⎪⇒⇒-=-⇒=⇒==⎨⎨++---=⎪⎪⎩
==⎪⎩
4、设,m
n x y
a s ••== 证明：
1m n
vx y
iy a
++=
+；
证明：
()()()()()()111111111111m m m m n n
n
n v i a x v xiv
xiv yi xv y i a i iy i s y v yi i -+-⎧-+⎪==⇒=----+⎪∴==⎨++-⎪=
=⇒=-⎪⎩
5、证明：2322..
..
..
1
..
..
..
n
n
n
n
n n
s
s
s s
s
s
+
-
=;
证明：
()()()()()()()()()()
2323222222111111
111111
111111
11
n n n
n n n
n n n n
n
n n n
n
n
s s s i i i s s s i i i i i i i +-+-+-+
-=+-+-+-+-⎡⎤+-+⎣⎦
=+++
=+-
6年金a 的给付情况是：1—10年，每年给付1000；11-20年，每年给付2000元；21-30年，每年给付1000元；年金b 在1-10年，每年给付k 元；11-20每年给付0；21-30，每年给付k 元，若a 与
：
b 相等，知道=，计算k
解：100030a +10001010v a =k 30a -k 1010v a 又因10v = 解答得k=1800
7 某人希望采取零存整取的方式累积2000，前n 年，每年末存入50，后n 年，每年末存入100，不足部分在2n+1年末存入，正好达到2000的存款本息和。
设年利率为%计算n 及超出或者不足2000的差额 解:50n s 2+50n s =2000 解答得n= 所以n=9
（5018s +509s ）()i +1+x=2000
!
解答得 x=
8 从1998年起，知道1998年底，默认每年一月一号和一月七号在银行存入一笔款项，七月一号的存款要比一月一号的多%，并且与下一年的一月一号相等，每年计息两次且年名义利率为10%。
；在1998年十二月三十一号，本息为11000 ，计算第一次存款
解：x
（2005.1+10172181025.105.105.11025.105.11025.10519.11025.1⨯++⨯+⨯+⨯ ）=11000
因为1025.1=205.1
X （10*2005.1+10*2105.1）=11000 解答得 x=
9. ()1.0n Ia =55，1
.0n a =利用近似计算
解；()()()x f x x f x x f '⋅∆+≈∆+ ，
'
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=1.01
.0102
.0002.0n n
n a a a
≈
10.某期末付年金付款如下：单数年末，每次付款100元，双数年末每次付款200元，共20年。
若在某时间t 一次性付3000元的现值与前面的年金现值相等。
若利率i>0，写出t 的表达式。
解：t νννννν⋅=+++++3000)222(10020432
222202
4
20
202022020
20
22(2)(1)100()100()10010030001t
a a a a a a a νννννννν
νν⎡⎤+-+++
+=+=+=⋅=⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
()2
20
2
230t
a a ννν+=
2202(2)ln 30ln a a t ννν⎡⎤
+⎢
⎥
⎣⎦=
11.某年末付永续年金首次付款额为1，第二次为2，…，直到付款额增加到n ，然后保持不变。
计算该永续年金现值。
解：()
()n
n n
n n
n n
n a n a a n I a Ia n a i
i i d ννν∞∞
-=+=
+==
12.%
13.
某n 年期连续年金在t 时刻(
)
0t n ≤≤付款()1kt -，其现值为
f g h --，其中f
为连续支付的每期付款1单位的永续年金的
现值，g 为延续n 年，每年支付()1kn -的连续支付的永续年金的现值，计算h 。
解：
()()()
()
20111ln ln ln 1
1n
n n n
t
n k kn f g h kt dt f kt g νννννννδ
νδ
⎧
--⎪--=-=++⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=
⎪⎪⎩
⎰
()
2
1n k h νδ-=
14.若
11t t δ=
+，写出n a 的表达式。
解：()01ln 11n
n a dt n t ==++⎰
14.证明 ()()()()1
()()m m m m I a m i d ∞=
-
解：
'
()(
)
()()
()()()()()()1111
()
lim
lim (1)m n
n m m n m m m n m m m m n n a n n I
a i i d i i d m i d υυ∞
→∞
→∞-⎡⎤-==-==⎢⎥+⎡⎤-⎣⎦⎣⎦
15.甲在2025年1月1日需要50000元资金以及一个期初付、
每半年领取一次的为期十五年的年金，每次领取款项为k 。
这些款项需要从2000年1月1日起，每年初存入银行k 元，共25年，存入款项时每年计息2次的年名义利率为4%，领取年金时，每年计息2次的年名义利率为3%，计算k 。
解：
0.0250300.0750.02
25000
2605.998
k s k s a k ⋅=⋅+⇒=
16.延期一年连续变化的年金共付款13年，在时刻t 时，年付款率为t 2-1,t 时刻的利息力为（1+t)-1
,计算该年金现值。
解：
14
2
14
14
211
1
1
(0)(1)(1)(1)(
)84.52t
V t t dt t dt t -=-+=-=-=⎰⎰
17.计算：（1）1
()
n
t
i Ia =∑ （2)
1
()
n
t
i Da =∑
解：
1
2
2
1
1
(1)(1)2(1).()n
t
t
n
n
n
n t t n t i i n i a ti a t n i a n Ia i
i
i υυυ===+---+-+==
=
∑∑∑
12
21
1
11(1)22(1)(2).()t
t n n
n
n
t
i n
t i i i i t a n n i n a t ti Da i
i i i υυ-====-+-+---====∑∑
∑∑。
