五年级上册数学方阵问题

植树问题——“方阵问题”教课内容：人教版教科书五年级上册数学广角第108 页例 3 及部分练习。

教课目的：1、经过操作、察看与沟通，研究关闭图形中间隔摆列的简单规律，并将其应用到显示生活中解决问题。

2、让学生利用已有知识，解决围棋中的数学识题，并在解决问题中认识关闭图形的植树棵树的规律：间隔总数=最外层总数。

3、感觉角上有重复计数问题的特点，提升解决这种问题的基本能力。

培育学生运用直观图示解决问题的意识与能力。

4、初步培育学生从实质问题中研究规律，找出解决问题的有效方法的能力。

5、让学生感觉方阵问题在平时生活中的宽泛应用，培育孩子们的审美能力。

6、经过小组合作沟通，培育学生仔细聆听别人建议，乐于与人合作，从不同角度赏识别人的优秀心态。

教课要点：1、从关闭曲线（方阵）中商讨植树问题的过程。

2、掌握解决方阵问题最优化的思路和方法。

教课难点：1、从简单问题下手，商讨研究和解决方阵问题过程。

2、用数学的方法解决实质生活中的简单问题，特别是知道总数求最外层的数量。

教课准备： 3×3 格、 4×4 格、 5×5 格方格纸、围棋子若干粒学情及教材剖析：解读教材，我们能够看到，不论是主题情境仍是做一做的问题，都是在研究：角上有重复计数的数学识题。

但教课参照在“教材说明”时却指出：“例 3 则借助围棋盘来商讨关闭曲线 ( 方阵 ) 中的植树问题。

”但是在“教课建议”详细睁开时，主要仍是在论述角上有重复计数的数学识题。

由于，教材的学习情境其实不适适用来研究关闭曲线中的植树问题。

假如要让学生经过“围棋盘最外层摆放的棋子数等于最外层每两个棋子间的间隔数，最外层每边有18 个间隔，最外层总合摆放的棋子数是 18×4=72”经过这样的方式去求“最外层一共能够摆放几个棋子” ，其一学生没有相应的学习需求；其二要实现从“棵数”到“段数”的转变，再从“段数”到“棵数”的转变，从“关闭图形上的植树问题”转变为“一端种一端不种的直线上的植树问题” ，对于学生而言是拥有相当的难度。

第18讲方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。

2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少8个。

3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。

如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？7、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。

这个队列共有多少人？9、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。

女生有72人参加表演，男生有多少人？三、针对练习1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边12人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。

方阵问题同学们要参加运动会入场式，要实行队列操练，解放军排着整齐的方队接受检阅等，无论是训练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这个类的数学问题，今天我们将共同研究和分析这类问题。

士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

方阵的基本特点：(1)方阵不论哪一层，每边上的人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2。

(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系；四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例1.三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？分析：根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数=四周人数÷4+1，能够求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就能够求了。

解：(1)方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数：6×6=36(人)答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。

例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子？分析：(1)方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，能够求出最里层每边的个数，就能够求出最里层一周放棋子的总数。

(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个空心方阵共用棋子多少个。

解：(1)最里层一周棋子的个数是：(15-2-2-1)×4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是：(15-3)×3×4=144(个)答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。

小学数学典型应用题归类精讲方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）内边人数＝外边人数－层数× 2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解 22×22＝484（人）答：参加体操表演的同学一共有484人。

例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。

解 10*10－（10－3×2）*（10－3×2）＝84（人）答：全方阵84人。

例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）答：这队学生共160人。

例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。

例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。