2019-2020学年北京人大附中九年级(上)月考数学试卷(12月份)

北京市海淀区中国人民大学附属中学2019-2020学年九年级月考数学试题一.选择题1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选B ．点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.二次函数2y x =的图象向左平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A.22y x =+ B.22y x =-C.2(2)y x =+ D.2(2)y x =-【答案】C【解析】【分析】根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵二次函数2y x =的图象向左平移2个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，0），∴新的图象的二次函数表达式是：2(2)y x =+；故选择：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．3.在△ABC 中，∠C＝90°，以点B 为圆心，以BC 长为半径作圆，点A 与该圆的位置关系为（）A.点A 在圆外B.点A 在圆内C.点A 在圆上D.无法确定【答案】A【解析】∵△ABC 中，∠C＝90°，∴BC<AB ，∵⊙B 的半径为BC，∴点A 在⊙B 外，故选A.4.抛物线y ＝2x 2+4x ﹣4的对称轴是()A.直线x ＝﹣1B.直线x ＝1C.直线x ＝2D.直线x ＝﹣2【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可.【详解】解：y ＝2x 2+4x ﹣4中，∵a ＝2，b ＝4，c ＝﹣4，∴对称轴为：x ＝﹣2b a ＝﹣422⨯＝﹣1.故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握对称轴的公式x ＝﹣2b a 是解题的关键.5.如图，在⊙O 中，点C 是»AB 上一点，若∠AOB ＝126°，则∠C 的度数为()A.127°B.117°C.63°D.54°【答案】B【解析】【分析】作圆周角∠ADB，使D在优弧上，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可.【详解】解：如图：作圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB＝126°，∴∠D＝12∠AOB＝63°，∵∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝180°﹣63°＝117°，故选：B.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，灵活的将数形结合是解题的关键.6.二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（）A.﹣3＜x ＜0B.x ＜﹣3或x ＞0C.x ＜﹣3D.0＜x ＜3【答案】A【解析】【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x 的取值范围即可．【详解】由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax 2+bx+c＞mx+n 的x 的取值范围是﹣3＜x＜0．故选A．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合准确识图是解题的关键．7.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC ＝2，AE CE ＝1，则弧BD 的长是()A.39B.239C.33D.233π【答案】B【解析】【分析】连接OC ，先根据勾股定理逆定理判断出△ACE 的形状，再由垂径定理得出CE ＝DE ，故 BCBD =，由锐角三角函数的定义求出∠A 的度数，故可得出∠BOC 的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论．【详解】连接OC ．∵△ACE 中，AC ＝2，AE =CE ＝1，∴AE 2+CE 2＝AC 2，∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD ．∵sin A 12CE AC ==，∴∠A ＝30°，∴∠COE ＝60°，∴CE OC =sin ∠COE ，即12OC =，解得：OC 3=．∵AE ⊥CD ，∴ BC BD =，∴ 2360π31809BD BC ⨯===．故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．8.已知一个二次函数图象经过P 1（﹣3，y 1），P 2（﹣1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点，若y 3＜y 2＜y 4，则y 1，y 2，y 3，y 4的最值情况是（）A.y 3最小，y 1最大B.y 3最小，y 4最大C.y 1最小，y 4最大D.无法确定【答案】A【解析】【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【详解】∵二次函数图象经过P 1（-3，y 1），P 2（-1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点，且y 3＜y 2＜y 4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P 1（-3，y 1）离对称轴的距离最大，P 3（1，y 3）离对称轴距离最小，∴y 3最小，y 1最大，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．二.填空题9.点（2，－3）关于原点对称点P′的坐标为.【答案】（－2,3）【解析】试题分析：两点关于原点对称，则两点的横纵坐标分别互为相反数.考点：点关于原点对称.10.请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的表达式：_____________．【答案】22y x =-+(答案不唯一)【解析】【分析】把（0,2）作为抛物线的顶点，令a=-1，然后利用顶点式写出满足条件的抛物线解析式．【详解】解：因为抛物线的开口向下，则可设a=-1，又因为抛物线与y 轴的交点坐标为（0,2），则可设顶点为（0,2），所以此时抛物线的解析式为y=-x 2+2．故答案为y=-x 2+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式.11.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点．若∠B ＝110°，则∠ADE 的度数为_____．【答案】110°．【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解.【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠B ＝110°∴∠ADE=∠B ＝110°故填：110°.【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.12.在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，若﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4，则y1_____y2.(用“＜”、“＝”或“＞”号连接)【答案】＜【解析】【分析】根据二次函数的性质即可求解.【详解】解：由y＝x2可知，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4，∴0＜﹣x1＜2＜x2，∴y1＜y2.故答案为＜.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的增减性比较函数值的大小是解题的关键.13.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．【答案】16【解析】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∴DE=DA+EB，∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB．∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA=PB=8，∴△PDE的周长=16．故答案为16．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：______．【答案】△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．【解析】【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．【详解】解：△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．故答案为△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB．【点睛】考查了坐标与图形变化-旋转，平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值_____．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】写出函数图象x轴下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，1＜x＜3时，y＜0．故答案为2．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．16.如图，⊙O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，BED α∠=(090)α︒<<︒．在①BOD α∠=，②90OAB α∠=︒-，③12ABC α∠=中，一定成立的是____________（填序号）．【答案】①③【解析】【分析】根据AB=CD 证明 AC BD =,得∠ABC=∠BCD,再根据圆周角定理及推论即可得出结论.【详解】解:∵AB=CD,∴ AB CD =,∴ AB BC CD BC -=-,即 AC BD =,∴∠ABC=∠BCD=12∠BOD,∴∠BED=∠ABC+∠BCD=2×12∠BOD=∠BOD,∵BED α∠=,∴BOD α∠=,故①正确;②无法证明;∵∠ABC=12∠BOD,∴∠ABC=12 α,故③成立,综上,答案为①③.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．三.解答题17.如图，∠DAB ＝∠EAC ，AB ＝AD ，AC ＝AE.求证：BC ＝DE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】求出∠DAE ＝∠BAC ，根据SAS 推出△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质得出即可.【详解】证明：∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAB+∠BAE ＝∠EAC+∠BAE ，∴∠DAE ＝∠BAC ，在△BAC 和△DAE 中，AB ADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAC ≌△DAE ，∴BC ＝DE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活利用题中条件证全等是解题的关键.18.已知一抛物线过点(﹣3，0)、(﹣2，﹣6)，且对称轴是x ＝﹣1.求该抛物线的解析式.【答案】y ＝2x 2+4x ﹣6【解析】【分析】先利用对称性得到抛物线与x轴另一交点是(1，0)，则可设交点式y＝a(x+3)(x﹣1)，然后把(﹣2，﹣6)代入求出a的值即可.【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线过点(﹣3，0)∴抛物线与x轴另一交点是(1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，把(﹣2，﹣6)代入得﹣6＝a•(﹣2+3)•(﹣2﹣1)，解得a＝2，∴抛物线解析式为y＝2(x+3)(x﹣1)，即y＝2x2+4x﹣6.【点睛】本题考查了抛物线的解析式，利用题中所给的点坐标选择合适的解析式的设法是解题的关键，表达形式有一般式、交点式、顶点式.19.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2﹣102…y…﹣3﹣4﹣35…(1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标.【答案】(1)y＝x2+2x﹣3，顶点坐标为(﹣1，﹣4)；(2)与x轴的交点坐标为(﹣3，0)，(1，0).【解析】【分析】(1)由待定系数法即可得出答案；(2)求出y＝0时x的值，即可得出答案.【详解】解：(1)由题意，得c＝﹣3.将点(2，5)，(﹣1，﹣4)代入，得423534 a ba b+-=⎧⎨--=-⎩解得12 ab=⎧⎨=⎩∴y＝x2+2x﹣3.顶点坐标为(﹣1，﹣4).(2)当y＝0时，x2+2x﹣3=0，解得：x＝﹣3或x＝1，∴函数图象与x轴的交点坐标为(﹣3，0)，(1，0).【点睛】本题考查了二次函数的解析式及与x轴的交点，熟练掌握待定系数法求二次函数表达式是解题的关键.20.下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程已知：⊙O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．作法：如图①作⊙O的直径AC；②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；③连接BO并延长交⊙O于点D；所以四边形ABCD就是所求作的矩形.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA=OC同理OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°（）（填推理的依据）∴四边形ABCD是矩形∵AB==BO，∴四边形ABCD四所求作的矩形【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得．【详解】（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA=OC同理OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°（直径所对圆周角是直角）∴四边形ABCD是矩形∵AB=AO=BO，∴四边形ABCD即为所求作的矩形，故答案为直径所对圆周角是直角，AO．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的性质．21.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD外角∠DAF的平分线.(1)求证：AM是⊙O的切线.(2)若C是优弧ABD的中点，AD＝4，射线CO与AM交于N点，求ON的长.【答案】(1)证明见解析；(2)ON＝3.【解析】【分析】(1)根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝12∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝12∠FAD，于是得到结论；(2)证明△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠BAD＝12∠CAD，∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，∴∠DAM＝12∠FAD，∴∠BAM＝12(∠CAD+∠FAD)＝90°，∴AB⊥AM，∴AM是⊙O的切线；(2)解：∵AC＝AD，C是优弧ABD的中点，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴CD ＝AD ＝4，60CAD ACD ︒∠=∠=由（1）知AB 垂直平分CD ，则AB 平分CAD ∠∴CE ＝DE ＝2，1302CAE CAD ︒∠=∠=OC OA= 30ACO CAE ︒∴∠=∠=30OCE ACD ACO ︒∴∠=∠-∠=在Rt OCE 中，设OC x =，则12OE x =根据勾股定理得222OE CE OC +=，即2221()22x x+=解得3x =∴OC ＝OA ＝3，∵∠ANO ＝∠OCE ＝30°，∴ON ＝2OA ＝3.【点睛】本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角的性质，灵活利用圆与三角形的相关性质是解题的关键.22.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）【答案】42a 【解析】【分析】连接OC,由题意知AB 6a =,OC OB 3a,OE a ===,AB CD ⊥于E ，根据勾股定理可求出CE 的值,即可求出CD 的值.【详解】解：如图，连接OC ．由题意知0.8 3.226AB a a a a =++=．3OC OB a ∴==．OE OB BE a ∴=-=．由题意可知AB CD ⊥于E ，∴2CD CE=.在Rt OCE中，CE===．CD∴=．【点睛】本题考查通过建模把实际问题转化为数学模型，这充分体现了数学的实用性．23.有这样一个问题：探究函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的图象与性质.小东对函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是_______；(2)下表是y与x的几组对应值.x…﹣2﹣10123456…y…m﹣24﹣600062460…①m＝_____；②若M(﹣7，﹣720)，N(n，720)为该函数图象上的两点，则n＝_____；(3)在平面直角坐标系xOy中，A(x A，y A)，B(x B，﹣y A)为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示.①标出点B的位置；②画出函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(0≤x≤4)的图象.③写出直线y＝12x﹣1与②中你画出图象的交点的横坐标之和为______.【答案】(1)全体实数；(2)①-60；②11；(3)①见解析；②见解析；③0.【解析】【分析】(1)函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是全体实数；(2)①把x＝﹣2代入函数解析式可求得m的值；②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点(2，0)对称，再根据点M、N的坐标即可求出n值；(3)①找出点A关于点(2，0)对称的点B1，再找出与点B1纵坐标相等的B2点；②根据表格描点、连线即可得出函数图象；③根据图象的性质以及直线的性质即可求得.【详解】解：（1）x取任何数都可以，因此函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是全体实数（2）①当x＝﹣2时，y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)＝﹣60.故答案为：﹣60.②观察表格中的数据可得出函数图象关于点(2，0)中心对称，∴﹣7+n＝2×2，解得：n＝11.故答案为：11.(3)①作点A关于点(2，0)的对称点B1，再在函数图象上找与点B1纵坐标相等的B2点.②根据表格描点、连线，画出图形如图所示.③函数图象关于点(2，0)中心对称，且直线y＝12x﹣1经过此点，∴直线y＝12x﹣1与图象的交点的纵坐标化为相反数，∴交点的纵坐标之和为0，故答案为0.【点睛】本题考查了函数的三种表示，列表法、图像法、解析式，熟练掌握这三者间的联系是解题的关键.24.已知直线l：y=12x+1与抛物线y＝ax2﹣2x+c(a＞0)的一个公共点A恰好在x轴上，点B(4，m)在抛物线上.(Ⅰ)用含a的代数式表示c.(Ⅱ)抛物线在A，B之间的部分(不包含点A，B)记为图形G，请结合函数图象解答：若图形G在直线l下方，求a的取值范围.【答案】(Ⅰ)c＝﹣4a﹣4；(Ⅱ)0＜a≤5 4.【解析】【分析】(1)先利用一次函数解析式求出A点坐标为(﹣2，0)，然后把A点坐标代入抛物线解析式即可得到a与c的关系式；(2)先分别计算出x＝4时所对应的一次函数值和二次函数值，然后利用图形G在直线l下方得到12﹣12a≤3，然后解不等式即可.【详解】解：(Ⅰ)当y＝0时，12x+1＝0，解得x＝﹣2，则A点坐标为(﹣2，0)，把A(﹣2，0)代入y＝ax2﹣2x+c得4a+4+c＝0，所以c＝﹣4a﹣4；(Ⅱ)当x＝4时，y＝ax2﹣2x+c＝16a﹣8﹣4a﹣4＝12a﹣12，则B(4，12a﹣12)，当x＝4时，y＝12x+1＝3，因为图形G在直线l下方，所以12﹣12a≤3，解得a≤5 4，所以a的取值范围为0＜a≤5 4.【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合，灵活的将函数图像与其解析式相结合是解题的关键. 25.如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）.（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.【答案】（1）①602α︒+；，理由见解析【解析】【分析】（1）当0°＜α＜30°时，由∠BQE=60°+2α可得∠QEC=120°+α，再利用△QAF≌△QEC可得QF=QC，由等腰三角形三线合一的性质可得∠ACQ=30°，得到△QCF为等腰三角形，再利用解直角三角形即可得出结果;(2)由旋转的性质可得线段CE，AC，CQ 之间的数量关系.【详解】①画出的图形如图9所示．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB．∵∠DAQ=α，∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．∵线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴QE =QA．∴QB=QE．可得1802BQE QBE ∠=︒-∠()180260602αα=︒-︒-=︒+．②CE AC +=．证法一：如图10，延长CA 到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC 于点H．∵∠BQE=60°+2α，点E 在BC 上，∴∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+(60°-α)=120°+α．∵点F 在CA 的延长线上，∠DAQ=α，∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．∴∠QAF=∠QEC．又∵AF =CE，QA=QE，∴△QAF≌△QEC．∴QF=QC．∵QH⊥AC 于点H，∴FH=CH，CF=2CH．∵在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在CD 上，∴∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴3cos cos302CH CQ HCQ CQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴CE AC AF AC CF +=+=23CH CQ ==．即3CE AC CQ +=．思路二：如图11，延长CB 到点G，使得BG=CE，连接QG，可得△QBG≌△QEC，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=3CQ =．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，3AC CE CQ -=．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质及特殊的三角函数值等知识点，本题综合性较强，有一定的难度.26.在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若P′为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足r≤PP′≤2r ，则称P′为点P 关于⊙C 的限距点，如图为点P 及其关于⊙C 的限距点P′的示意图.(1)当⊙O 的半径为1时.①分别判断点M(3，4)，N(52，0)，T(12)关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为(2，0)，DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上.若点P 关于⊙O 的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；(2)保持(1)中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E→F→D→E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为(1，0)，半径为r ，请从下面两个问题中任选一个作答.问题1：若点P 关于⊙C 的限距点P′存在，且P′随点P 的运动所形成的路径长为πr ，则r 的最小值为__________.问题2：若点P 关于⊙C 的限距点P′不存在，则r 的取值范围为_________.【答案】(1)①点M 、点T 关于⊙O 的限距点不存在，点N 关于⊙0的限距点存在，坐标为(1，0)；②﹣1≤x≤﹣12或x ＝1；(2)问题1：9；问题2：0＜r ＜16.【解析】【分析】(1)①根据限距点的定义即可判断.②分三种情形：①当点P 在线段EF 上时，②当点P 在线段DE 、DF(不包括端点)上时，③当点P 与点D 重合时，分别说明即可解决问题.(2)问题1：如图2中，△PP′C 是等边三角形，点P 在PP′上运动时，有限距点，列出不等式即可解决.问题2：如图2中，当点H 不存在限距点时，点P 就不存在限距点，列出不等式即可解决.【详解】解：(1)①如图M(3，4)，N(52，0)，T(1，)55,,2MO NO TO ∴=====当⊙O 的半径为1时即1,22r r =='15142MM MO =-=-=>，点M 的限距点不存在；'111TT TO =-=<，点T 的限距点不存在；'511 1.52NN NO =-=-=，1 1.52<<，点N 的限距点存在即为'(1,0)N 所以点M 、点T 关于⊙O 的限距点不存在，点N 关于⊙O 的限距点存在，坐标为(1，0).②∵点D 坐标为(2，0)，⊙O 半径为1，DE 、DF 分别切⊙O 于E 、F ，2,1,90OD OE OED ︒∴==∠=1cos 2OEEOD OD ∴∠==60EOD ︒∴∠=13cos 60,sin 6022OG OE EG OE ︒︒∴==== 1(,22E ∴由对称可得F(12，﹣2)∴切点坐标为(12，2)，(12，﹣2)，如图所示，不妨设点E(12，2)，点F(12，﹣2)，EO 、FO 的延长线分别交⊙O 于点E′、F′，则E′(﹣12，﹣32)，F′(﹣12，32).设点P 关于⊙O 的限距点的横坐标为x ，①当点P 在线段EF 上时，直线PO 与⊙O 的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x 满足﹣1≤x≤﹣12.②当点P 在线段DE 、DF(不包括端点)上时，直线PO 与⊙O 的交点P′满足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故点P 关于⊙O 的限距点不存在.③当点P 与点D 重合时，直线PO 与⊙O 的交点P′(1，0)，满足PP′＝1，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x ＝1.综上所述点P 关于⊙O 的限距点的横坐标x 的范围为﹣1≤x≤﹣12或x ＝1.(2)问题1：如图中，∵△DEF是等边三角形，点C是△DEF的外接圆的圆心，∵若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，∴图中△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，∵PC∥ED，∴PCED＝CHHD＝13，∴PC＝3 3，由题意：r≤33﹣r≤2r，∴33 96r ，∴r的最小值为3 9 .问题2：如图中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，∵HC＝1 2，∴12﹣r＞2r，∴r＜1 6，∴0＜r＜16时点P的限距点不存在.故答案分别为39，0＜r＜16.【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，且是知识迁移创新题，正确理解限距点的定义是解题的关键.。

2019-2020学年度第一学期初三年级数学练习 1一、选择题(本题共24分，每小题3分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ） A. (1,3)B. (1,3)-C. (1,3)-D. (1,3)--2. 一次函数y= -5x+3的图象不经过的象限是 （ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，与AB 交于点F ，则DF 的长为（ ）A. 5B. 6C. 22D. 34. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是 ( ) A. x 2+2＝0B. （x ﹣1）2＝0C. x 2+2x ﹣1＝0D. x 2+x+5＝05. 在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量己居于世界前列．2015 年和2017年我国能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为 （ ）A. ()45.112172.9x -=B. ()45.112172.9x +=C. ()245.11172.9x -=D. ()245.11172.9x +=6. 要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两条对角线是否互相垂直平分 C. 测量其中三个内角是作都为直角D. 测量两条对角线是否相等7. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A. 0a >，函数值y 有最大值B. 该函数的图象关于直线1x =对称C. 当3x =-和1x =时函数值y 都等于0D. 当2y =-时，自变量x 的值等于08. 运算能力是一项重要的数学能力，王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩，(气泡圆的圆心横，纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高)；以下说法中： ①甲同学的第一次测试成绩高于乙同学的第一次测试成绩； ②5位同学中，第一次测试成绩比第二次测试成绩高的有2人； ③五位同学的前两次测试成绩之和均超过了100 分； ④同学的第三次测试成绩高于乙同学． 其中合理的是 （ ）A. ①③B. ③④C. ②③D. ①④二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 将二次函数y=2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 10. 如图，在ABCD 中，BC=7，CD=4，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，则DE 的长为__________．11. 若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝_____．12. 如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，3)，B(4，3)，若一次函数y=x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围是__________．13. 若m是方程x2 +x-3= 0的一个根，则代数式(m+1)2 +(m+1)(m-1)的值为__________．14. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝80°，则∠ECF的度数是________．15. 已知二次函数y=x2+ bx的最小值为-4，若关于x的方程x2+bx-2m=0有实数根，则m的取值范围__________．16. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是射线AC上一动点(不与A，C重合)，点F在正方形ABCD的外角平分线CM上，且CF=AE，连接BE，EF，BF下列说法：①的值不隨点E的运动而改变②当B，E，F三点共线时，∠CBE=22.5°；③当△BEF是直角三角形时，∠CBE=67.5°；④点E在线段AC上运动时，点C到直线EF的距离的最大值为1；其中正确的是__________（填序号）．三、解答题 (本题共60分，第17-19 越，每小题5分，第20-23 趣，每小题6分，第2426趣，每小题7分)17. 解方程：2410x x --=．18. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=-x 2 +bx +c 的对称轴为x=1，且它经过点A(3， 0)． (1)求该二次函数的解析式；(2)在坐标系中画出该二次函数的图象(不用列表)．19. 如图，四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AC= AD ， E ， F 分别是AC ， CD 的中点，连接BE ， EF ， BF ．求证：∠1=∠2．20. 己知关于x 的一元二次方程mx 2-(m-3)x-3=0(m ≠0)． (1)求证：不论m为何值，这个方程都有两个实数根．(2)若此方程的两根均为整数，求正整数m 的值，21. 如图，△ABC 中， AB=BC ，过A 点作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ． (1)求证：四边形ABCD 菱形；(2)连接AC 与BD 交于点O ，过点D 作DE ⊥BC 与BC 的延长线交于E 点，连接EO ，若CE=3， DE=4，求OE 的长．22. 平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+4与直线y=kx 交于点A ，与y 轴交于点B ． (1)求点B 的坐标；(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点，记△AOB 内部(不含边界)的区域为w ． ①当12k =-时， 根据函数图象，求区域W 中的整点个数； ②若区域W 中恰好没有整点，结合图象，直接写出k 的取值范围．23. 某学校七，八两个年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，学校在七，八年级举行了一次冬奧知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩(百分制)，分别从两个年级各随机抽取20名学生的成绩，进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息； a ．七、八年级的样本成绩分布如下：b ．七年级成绩在60-69 - - 组的是:61， 62，63， 6S ， 66，68，69 ．c ．七，八年级成绩的平均数、中位数、优秀率，合格率如下：根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m 的值；(2)小军成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是年级的学生(选填“七”或“八”)；(3)可以推断出年级的竞赛成绩更好，理由是(至少从两个不同的角度说明)；(4)根据样本数据，可以估计八年级全体学生的优秀人数为人．24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2- 4ax+ 3a-3的顶点为点A．(1)求点A的坐标(用含a的代数式表示)(2)点B的坐标为(-1，2)，将线OB沿x轴向右平移5个单位得到O'B'①直接写出点O'和B'的坐标②若抛物线y= ax2 -4ax+ 3a-3与四边形BOO'B'恰有4个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．25. 如图1，点B，C分别是∠MAN的边AM，AN上的点，满足AB=BC，点P为射线AB上的动点，点D为点B关于直找AC的对称点，连接PD交AC于点E；交BC干点F．(1)图1中补全图形．(2)求证：∠ABE=∠EFC．(3)当点P运动到满足PD⊥BE的位置时，在射线AC上取点Q，使得AB=BQ，此时DECQ是否是一个定值，若是请求出该定值，者不是在请说明理由．26. 在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和图形M，它们关于原点O的“中位形”定义如下，图形G上的任意一点P，图形M上的任意一点Q，作△OPQ平行于PQ的中位线，由所有这样的中位线构成的图形，叫图形G和图形M关于原点O的“中位形”．已知直线y＝12x＋b分别与x轴，y轴交于A、B，图形S是中心为坐标原点，且边长为2的正方形．（1）如图1，当b＝2时，点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是（请直接写出答案）；（2）如图2，若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点，求b的取值范围；（3）如图3，当b＝﹣6时，图形S沿直线y＝x平移得到图形T，若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围．。

北京人大附中2019届九年级上学期12月月考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（）A．﹣7B．7C．﹣5D．53．（2分）如图，DE∥BC，AD：DB＝2：3，EC＝6，则AE的长是（）A．3B．4C．6D．104．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．（2分）如图，点A在双曲线y＝上，B在y轴上，且AO＝AB，若△ABO的面积为6，则k的值为（）A．6B．﹣6C．12D．﹣126．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徵主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学7．（2分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9B．12C．14D．188．（2分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为250mg/LC．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑70min后才能基本消除疲芳D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用跑活动方式来放松二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）sin A＝，则锐角A＝度．10．（2分）如图，AB∥CD，AB＝CD，线段AD与BC交于点M，△AMB的周长为2，则△CMD的周长为．11．（2分）已知点P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系为y1 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）12．（2分）将抛物线y＝x2，沿x轴向左平移1个单位后，得到的物线的解析式是．13．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BAC＝．14．（2分）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴y轴的正半轴上，若反比例数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是．15．（2分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果，那么称线段AB被点C黄金分割．黄金分割经常被应用在建筑雪等艺术领域．如图2，在“附中学子故宫行”活动中，同学们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的美轮美奂，太和门位于太和殿于内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为．16．（2分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论，其中正确的是（填序号）①BD⊥CE②∠DCB﹣∠ABD＝45°③CE﹣BE＝AD④BE2+CD2＝2（AD2+AB2）三、解答题（本题共6分，第17-22题，每小题5分，第236题，每小题5分，第27-题，每小题5分）17．（5分）计算：tan60°﹣4sin30°cos45°18．（5分）如图，在由边长为1个单位的长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点（1）在给定网格中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到请△A'B'C'，请画出△A'B'C'；（2）B'C'的长度为单位长度，△A′B′C′的面积为平方单位．19．（5分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝2，AB＝6，求AC的长．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若m是满足条件的最大整数，求方程的根．21．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的解析式．22．（5分）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝；②下降阶段：当x＞5时，y．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，过点B做⊙O的切线BC，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连结DO 并延长交CB的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接AC，若BE＝4，DE＝8，求线段AC的长．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例数y＝的图象过点A（6，1）．（1）求反比例数的表达式；（2）过点A的直线与反比例数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交点交于点P．①若点P为原点，直接写出点B的坐标；②若PA＝2PB，求点P的坐标．25．（6分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E，已知∠A＝30°，AB＝4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD＝xcm，AE＝ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在如图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE＝AD时，AD的长度约为cm．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x 轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．（7分）如图，∠MON＝α（0＜α＜90°），A为OM上一点（不与O重合），点A关于直线ON的对称点为B，AB与ON交于点C，P为直线ON上一点（不与O，C重合）将射线PB绕点P顺时针旋转β角，其中2α+β＝180°，所得到的射线与直线OM交于点Q这个问题中，点的位置和角的大小都不确定，在这里我们仅研究两种特殊情况，一般的情况留给同学们深入探索（1）如图1，当α＝45°时，此时β＝90°，若点P在线段OC的延长线上①依题意补全图形；②求∠PQA﹣∠PBA的值；（2）如图2，当α＝60°，点P在线段CO的延长线上时，用等式表示线段OC，OP，AQ之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的⊙C和点P，给出如下定义若在⊙C上存在一点Q，使得△PCQ是以CQ为底边的等腰三角形且底角∠PCQ≤60°，则称点P为⊙C的“邻零点”，（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（﹣2，0），P2（1，﹣1），P3（0，3）中，⊙O的“邻零点”是；②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的“邻零点”，求点P的横坐标x P的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为4，直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，若线段AB上的点都是⊙C的“邻零点”，直接写出圆心C的横坐标t的取值范围．2018-2019学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用已知画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，∴sin A＝＝，故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．2．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（）A．﹣7B．7C．﹣5D．5【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y＝（x﹣5）2+7∴当x＝5时，y有最小值7．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．3．（2分）如图，DE∥BC，AD：DB＝2：3，EC＝6，则AE的长是（）A．3B．4C．6D．10【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例的性质可计算出AE的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝4．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了平行线分线段成比例定理．4．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝45°可得出∠OAC＝45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵OA＝OC，∠ACO＝45°，∴∠OAC＝45°，∴∠AOC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴∠B＝∠AOC＝45°．故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．5．（2分）如图，点A在双曲线y＝上，B在y轴上，且AO＝AB，若△ABO的面积为6，则k的值为（）A．6B．﹣6C．12D．﹣12【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为3，所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值．【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AB＝AO，△ABO的面积为6，＝|k|＝3，∴S△ADO又反比例函数的图象位于第一、三象限，k＞0，则k＝6．故选：A．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．也考查了等腰三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．6．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徵主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．（2分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9B．12C．14D．18【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【解答】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴，即，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．8．（2分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为250mg/LC．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑70min后才能基本消除疲芳D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用跑活动方式来放松【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；D、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）sin A＝，则锐角A＝45度．【分析】根据sin45°＝解答即可．【解答】解：∵sin45°＝，∴锐角A＝45°．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．10．（2分）如图，AB∥CD，AB＝CD，线段AD与BC交于点M，△AMB的周长为2，则△CMD的周长为6．【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∵AB＝CD，△AMB的周长为2∴，∴△CMD的周长为6，故答案为：6【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的周长之比等于相似比解答．11．（2分）已知点P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系为y1＞y2（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】直接把点P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）代入反比例函数y＝，求出y1，y2的值，并比较大小即可．【解答】解：∵P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣，y2＝＝﹣2．∵﹣＞﹣2，∴y1＞y2．故答案为＞．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．（2分）将抛物线y＝x2，沿x轴向左平移1个单位后，得到的物线的解析式是y＝（x+1）2．【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题即可．【解答】解：∵将抛物线y＝x2，沿x轴向左平移1个单位，∴y＝（x+1）2．故得到的抛物线的函数关系式为：y＝（x+1）2．故答案为：y＝（x+1）2．【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．13．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BAC＝25°．【分析】连接OB，根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得到∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，再根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠BAC的度数．【解答】解：连接OB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝130°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝25°．【点评】此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理、等边对等角以及三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．14．（2分）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴y轴的正半轴上，若反比例数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是0＜k≤9．【分析】由图象可知，当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，又图象位于第一象限才可能与正方形OABC的边有公共点，进而求出k的取值范围．【解答】解：由题意，可得B（3，3），当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，此时k＝3×3＝9，又k＞0，所以k的取值范围是0＜k≤9．故答案为0＜k≤9．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象与性质，正方形的性质．理解反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值是解题的关键．15．（2分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果，那么称线段AB被点C黄金分割．黄金分割经常被应用在建筑雪等艺术领域．如图2，在“附中学子故宫行”活动中，同学们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的美轮美奂，太和门位于太和殿于内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为x2＝100（100﹣x）．【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．【解答】解：设太和门到太和殿的距离为x丈，由题意可得，x2＝100（100﹣x），故答案为：x2＝100（100﹣x）．【点评】本题考查了黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．16．（2分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论，其中正确的是①③④（填序号）①BD⊥CE②∠DCB﹣∠ABD＝45°③CE﹣BE＝AD④BE2+CD2＝2（AD2+AB2）【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，∵∠DCB﹣∠DCA＝∠ACB＝45°，显然∠ABD≠∠ACD，故②错误，∵CE﹣BE＝BD＝BE＝DE＝AD，故③正确，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故①正确，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．∴BE2+CD2＝2（AD2+AB2），故④正确，故答案为①③④【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．三、解答题（本题共6分，第17-22题，每小题5分，第236题，每小题5分，第27-题，每小题5分）17．（5分）计算：tan60°﹣4sin30°cos45°【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝×﹣4××＝3﹣2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）如图，在由边长为1个单位的长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点（1）在给定网格中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到请△A'B'C'，请画出△A'B'C'；（2）B'C'的长度为3单位长度，△A′B′C′的面积为9平方单位．【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；（2）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求：（2）如图所示：B'C'的长度＝＝3；∵A′C′＝3，∴△A′B′C′的面积为＝×3×6＝9平方单位，故答案为：3，9．【点评】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．19．（5分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝2，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴ACD∽△ABC；（2）解：∵ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝12，解得，AAC＝2．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若m是满足条件的最大整数，求方程的根．【分析】（1）根据判别式的意义得到（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，然后解不等式得到m的范围；（2）取满足条件的最大整数代入方程，再解方程即可．【解答】解：（1）根据题意知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得m＜；（2）当m＝1时，方程为x2+x＝0，解得x1＝﹣1，x2＝0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的解析式．【分析】（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2即可得到结论；（2）把抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）代入抛物线的解析式即可得到结论．【解答】解：（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；（2）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2，即抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．22．（5分）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝9x+15；②下降阶段：当x＞5时，y＝．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数以及反比例函数的解析式；（2）利用y＝30代入结合函数增减性得出答案．【解答】解：（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y＝kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以，解得：，所以y＝9x+15，②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝，由于图象过点（5，60），所以m＝300．则y＝；故答案为：9x+15；＝（2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x＝，因为y随x的增大而增大，所以x＞，当x≥5时，y＝＝30，得x＝10，因为y随x的增大而减小，所以x＜10，10﹣＝，答：可加工min．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，过点B做⊙O的切线BC，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连结DO 并延长交CB的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接AC，若BE＝4，DE＝8，求线段AC的长．【分析】（1）证明△COB≌△COD，得到∠ODC＝∠OBC＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）根据切割线定理求出DF，根据勾股定理求出CB，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：在△COB和△COD中，，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）由切割线定理得，BE2＝EF•ED，即42＝8EF，解得，EF＝2，∴FD＝DE﹣EF＝6，∴AB＝DF＝6，在Rt△EDC中，DE2+DC2＝EC2，即82+BC2＝（4+BC）2，解得，BC＝6，∴AC＝＝6．【点评】本题考查的是切线的判定定理，切割线定理，全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例数y＝的图象过点A（6，1）．（1）求反比例数的表达式；（2）过点A的直线与反比例数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交点交于点P．①若点P为原点，直接写出点B的坐标；②若PA＝2PB，求点P的坐标．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出反比例函数表达式；（2）①根据中心对称的性质即可求得；②作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，通过证得△APC∽△BPD，得出＝＝2，求得B的横坐标坐标，代入解析式求得坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式，令x＝0，即可求得P的坐标．【解答】解：（1）把（6，1）代入反比例函数解析式，得1＝，∴m＝6；（2）①由于直线过原点，该函数为正比例函数，∵正比例函数和反比例函数图象都是关于原点中心对称的，∴两图象的交点关于原点成中心对称．∴点B、点A关于原点成中心对称．∵A点的坐标为（6，1），∴B点的坐标为（﹣6，﹣1）．②作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，∵AC∥BD，∴△APC∽△BPD，∴＝，∵AP＝2PB，∴AC＝2BD，∵AC＝6，∴BD＝3，∴B的横坐标为﹣3，把x＝﹣3代入y＝得y＝﹣2，∴B（﹣3，﹣2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（6，1），B（﹣3，﹣2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，∴P的坐标为（0，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及待定系数法求函数解析式，待定系数法求函数解析式是本题的关键．25．（6分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E，已知∠A＝30°，AB＝4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD＝xcm，AE＝ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在如图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE＝AD时，AD的长度约为 2.4或3.3cm．【分析】（1）（2）根据题意测量、作图即可；（3）满足AE＝AD条件，实际上可以转化为正比例函数y＝【解答】解：（1）根据题意，测量得1.2∴故答案为：1.2（2）根据已知数据，作图得：（3）当AE＝AD时，y＝，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD＝2.4或3.3故答案为：2.4或3.3【点评】本题以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x 轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．【分析】（1）直接根据对称轴公式x＝﹣求解可得；（2）将解析式配方成顶点式得其顶点A坐标（1，3﹣a）及对称轴与x轴交点B坐标（1，0），由△AOB 为等腰直角三角形即OB＝AB可得1＝3﹣a，求得a＝2，据此可得答案；（3）先根据抛物线对称性知x1+x2＝2且y1＝y2＞1，由直线L与双曲线交于点R知y3＞1，即＞1，据此得x3＜6；依据知点R一定位于对称轴x＝1上或右侧，即x3≥1，从而得出答案．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，故答案为：x＝1；（2）∵y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2+3﹣a，∴顶点A坐标为（1，3﹣a），。

2019-2020学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共16分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．方程x2﹣x＝0的解是（）A．x＝0B．x＝1C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝13．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（）A．B．C．D．4．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．它的图象的对称轴是直线x＝2D．当x＝0时，y有最大值为05．如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A'D'＝3，则△ABC与△A'B'C'的面积的比为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：26．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B （2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）7．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在（）A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点8．如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；（2）分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD•CE；所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④二、填空题（本题共16分，每小题3分）9．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ＝2，DB ＝3，DE ＝1，则BC 的长是 ．10．如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为 ．11．已知反比例函数y ＝，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，则m的取值范围是 ．12．若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 ．13．小宇调查了初一年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如频数分布表：若要从每个班级中选取10名身高在160cm 和170cm 之间同学参加学校的广播操展示，不考虑其他因素的影响，则 （填“1班”，“2班”或“3班”）的可供挑选的空间最大．身高/厘米 频数 班级150≤x ＜155155≤x ＜160160≤x ＜165165≤x ＜170170≤x ＜175合计1班 1 8 12 14 5 40 2班 10 15 10 3 2 40 3班51010874014．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝（x ＞0）的图象经过点A ，B ，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，连接OA ，OB ，则△OAC 与△OBD 的面积之和为 ．15．为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.6米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为米．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC﹣AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函y＝（x﹣2020）2﹣1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝﹣2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题0分，第23-26题，每小题0分，第27、28题，每小题0分）17．解方程：x2﹣2x＝2（x+1）．18．如图，已知∠B＝∠C＝90°，点E在BC上，且满足AB＝4，BE＝2，CE＝6，CD＝3，求证：AE⊥DE．19．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．21．某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000m3，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方vm3，共计t天运输完成．（1）请直接写出v关于t的函数关系式；（2）为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？22．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根．（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c ＝0两个相等的实数根的概率．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，2）．（1）求k，m的值；（2）将直线l沿y轴向上平移t（t＞0）个单位后，所得直线与x轴，y轴分别交于点P，Q，与函数y＝（x ＞0）的图象交于点C．①当t＝2时，求线段QC的长．②若2＜＜3，结合函数图象，直接写出t的取值范围．24．如图，在弧AB和弦AB所组成的图形中，P是弦AB上一动点，过点P作弦AB的垂线，交弧AB于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小宇根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cmx/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24 5.486（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．（1）求证：∠F＝∠BAC；（2）若DF∥AC，若AB＝8，CF＝2，求AC的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4的顶点为A，点B，C为直线y＝3上的两个动点（点B 在点C的左侧），且BC＝3．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若△ABC是以BC为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（3）过点A作x轴的垂线，交直线y＝3于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足BC＝3BD，若抛物线与线段BC只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点C关于直线AB的对称点为D，连接BD，CD，过点B作BE∥AC交直线AD于点E．（1）依题意补全图形；（2）找出一个图中与△CDB相似的三角形，并证明；（3）延长BD交直线AC于点F，过点F作FH∥AE交直线BE于点H，请补全图形，猜想BC，CF，BH之间的数量关系并证明．28．新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A 的关联直线．（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝，是⊙O的关联图形的是（请直接写出正确的序号）．（2）如图1，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．（3）如图2，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I 的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．2019-2020学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．【解答】解：x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故选：D．3．【解答】解：A、指针指向灰色的概率为2÷6＝，故选项错误；B、指针指向灰色的概率为3÷6＝，故选项错误；C、指针指向灰色的概率为4÷6＝，故选项正确；D、指针指向灰色的概率为5÷6＝，故选项错误．故选：C．4．【解答】解：二次函数y＝2x2，当x＝﹣1时，y＝2，故它的图象不经过点（﹣1，﹣2），故A选项不合题意；当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B正确；它的图象的对称轴是直线y轴，故C选项不合题意；当x＝0时，y有最小值为0，故D选项不合题意；故选：B．5．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，AD＝2，A'D'＝3，∴＝＝，∴△ABC与△A'B'C'的面积的比＝（）2＝，故选：A．6．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），∴＝，∵A（1，2），∴C（，5）．故选：B．7．【解答】解：如图，观察图象可知，原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，故选：C．8．【解答】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确，∴OP⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC＝45°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴∠AOD＝∠OBC＝45°，∴OD∥BC，故②正确，∴＝＜1，∴OE＜EC，故③错误，连接CD．∵∠DCE＝∠DCO，∠CDE＝∠COD＝45°，∴△DCE∽△OCD，∴＝，∴CD2＝OD•CE，∵∠AOD＝∠DOC，∴＝，∴AD＝CD，∴AD2＝OD•CE，故④正确，故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题3分）9．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB，∵AD＝2，DB＝3，∴AB＝AD+BD＝5，∴1：BC＝2：5，∴BC＝2.5，故答案为：2.5．10．【解答】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴∠AOC为旋转角，∵∠AOB＝45°，∴∠AOC＝135°，即旋转角为135°．故答案为：135°．11．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为：m＞2．12．【解答】解：扇形的面积＝＝3π，故答案为3π．13．【解答】解：身高在160cm和170cm之间同学人数：一班26人，二班13人，三班18人，因此可挑选空间最大的是一班，故答案为：1班．14．【解答】解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，∴S△OAC＝S△OBD＝×2＝1，∴S△OAC+S△OBD＝1+1＝2．故答案为2．15．【解答】解：∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形，∴∠DEF＝∠ACD，∵∠ADC＝∠FDE，∴△ACD∽△FED，∴＝，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝18米，∴＝，∴AC＝9米，∵DG＝1.6米，∴BC＝1.6米，∴AB＝10.6米，故答案为：10.6．16．【解答】解：①∵在x轴正半轴上的任意点（x，y），∴y＝0，∴AC＝BC，∴AB＝BC；②设P（{x 1，），Q（，），则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，x1+；，+，若两个三角形相似，则有＝，∴＝，∵x＞0，∴x 1＝，∴不存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③设P（x 1，（x1﹣2020）2﹣1），Q（，（﹣2020）2﹣1），则对应的直角三角形的直角边分别为x 1+（x1﹣2020）2﹣1，x1；，+（﹣2020）2﹣1，若两个三角形相似，则有＝，∴（x 1﹣）（x1+1﹣20202）＝0，∵x＞0，∴x 1+1＝20202，∴图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④设P（x 1，﹣2x1+2020），Q（，﹣2+2020），则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，﹣x1+2020；，﹣+2020，若两个三角形全等，则有x 1＝﹣+2020，＝﹣x1+2020，∴+x 1＝2020，∵x＞0，∴图象上存在无数对点P，Q，使得它们对应的直角三角形全等；故答案为①③④．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题0分，第23-26题，每小题0分，第27、28题，每小题0分）17．【解答】解：整理得x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣．18．【解答】证明：∵AB＝4，BE＝2，CE＝6，CD＝3，∴，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECD，∴∠A＝∠CED，∵∠B＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∴∠CED+∠AEB＝90°，∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠CED＝90°，∴AE⊥DE．19．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；（2）这个二次函数的图象如图：（3）当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3．故答案为﹣1≤y≤3．20．【解答】解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2＝8，AC2＝8，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OH＝AC＝，即点O到AC的距离为；（2）由圆周角定理得，∠B＝∠AOC＝45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°．21．【解答】解：（1）由题意得：v＝＝；（2）当t＝40时，v＝＝2500，2500﹣2000＝500（m3），答：实际平均每天至少需要比原计划增加500m3土方运输量．22．【解答】（1）证明：∵△＝b2﹣4•c＝b2﹣c＝0，∴将c＝2b﹣1代入得：△＝b2﹣（2b﹣1）＝b2﹣2b+1＝（b﹣1）2≥0，∴方程一定有两个实数根．（2）解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4•c＝b2﹣c＝0，∴b2＝c，满足条件的结果有（1，1）和（2，4），共2种，∴P（b、c的值使方程x2+bx+c＝0两个相等的实数根的概率）＝．23．【解答】解：（1）将点A（3，2）的坐标分别代入y＝kx﹣1（k≠0）与y＝（x＞0）中，得2＝3k﹣1，2＝，∴k＝1，m＝6；（2）①∵直线y＝kx﹣1与y轴交于点（0，﹣1），∴当t＝2时，Q（0，1）．此时直线解析式为y＝x+1，代入函数y＝中，整理得，x（x+1）＝6，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝2，∴C（2，3），∴QC＝＝2．②如图，作CD⊥x轴于D，若＝2时，则＝2，＝3，∵直线解析式系数k＝1，∴OP＝OQ，设OP＝OQ＝a，∴OD＝2a，CD＝3a，∴CD＝＝，∴3a＝，解得a＝1，∴此时t＝1+1＝2，若＝3时，则＝3，＝4，∵直线解析式系数k＝1，∴OP＝OQ，设OP＝OQ＝a，∴OD＝3a，CD＝4a，∴CD＝＝，∴4a＝，解得a＝，∴此时t＝1+，∴若2＜＜3，结合函数图象，得出t的取值范围是1+＜t＜2．24．【解答】解：（1）利用测量法可知：当x＝4时，y2＝4.90．故答案为4.90．（2）函数图象如图所示：（3）函数y1与直线y＝x的交点的横坐标为1.50，函数y1与直线y＝x的交点的横坐标为4.50，故当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为1.50或4.50．故答案为1.50或4.50．25．【解答】（1）证明：∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，∴∠F+∠DBC＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝90°，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠F（2）解：连接CD，∵DF∥AC，∠ODF＝90°，∴∠BEC＝∠ODF＝90°，∴直径BD⊥AC于E，∴AE＝CE＝AC，∴AB＝BC，∵AB＝8，∴BC＝8，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DBC+∠BDC＝90°，∵∠DBC+∠F＝90°，∴∠BDC＝∠F，∵∠BCD＝∠FCD＝90°，∴△BCD∽△DCF，∴，∵BC＝8，CF＝2，∴DC＝4，∴＝4．∵在△BCD中，，∴，∴AC＝2CE＝．26．【解答】解：（1）y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4＝（x﹣a）2+4﹣a，故点A（a，4﹣a）；（2）点A所在的直线为：y＝4﹣x，联立y＝4﹣x与y＝﹣x并解得：x＝1，故两个直线的交点为（1，3）；①当点C的坐标为：（1，3）时，则点B（﹣2，3），点A（﹣2，6），a＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝（x+2）2+6；②当点B的坐标为：（1，3）时，则点A（4，0），则a＝4，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）2；综上，抛物线的表达式为：y＝（x+2）2+6或y＝（x﹣4）2；（3）点A（a，4﹣a），则点D（a，3），BC＝3BD，则点B、C的坐标分别为：（a﹣1，3）、（a+2，3），将抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4与直线y＝3联立并解得：x＝a±，故点E、F的坐标分别为：（a﹣，3）、（a+，3），①当a＝1时，点E、B、C、F的坐标分别为：（1，3）、（0，3）、（2，3）、（1，3），而点A（1，3），此时，抛物线于BC只有一个公共点；②当a＞1时，当点C、F重合时，则a+＝a+2，解得：a＝5；当点B、E重合时，a﹣＝a﹣1，解得：a＝2，故2＜a≤5；综上，a＝1或2＜a≤5．27．【解答】解：（1）如图1所示：（2）与△CDB相似的三角形是△ABE，理由如下：∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CH＝DH，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴AD＝AC，BC＝BD，且AB⊥CD，∴∠ACD＝∠ADC，∠CAB＝∠DAB，∠BCD＝∠BDC，∠DBA＝∠CBA，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，且∠ABC+∠BCH＝90°，∠BAC+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，∴∠DAB＝∠BCD＝∠BAC＝∠BDC，∵AC∥BE，∴∠CAB＝∠ABE，∴∠CDB＝∠ABE，且∠DAB＝∠BCD，∴△BCD∽△EAB；（3）BH•FC＝BC2+CF2，理由如下：如图2，∵∠ACB＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，∵△BCD∽△EAB，∴∠AEB＝∠CBD，∵AE∥FH，∴∠H＝∠AEB＝∠CBD，∵AC∥BE，∴∠CFB＝∠FBH，∴△FCB∽△BFH，∴，∴BF2＝BH•FC，∴BH•FC＝BC2+CF2．28．【解答】解：（1）由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．（2）如图1中，∵直线l1y＝﹣x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM（M为切点），∴TM＝1，TM⊥MB，且∠MNO＝45°，∴△TMN是等腰直角三角形，∴TN＝，OT＝1，∴N（1+，0），把N（1+，0）代入y＝﹣x+b中，得到b＝1+，同法可得当直线l2是临界状态时，b＝﹣+1，∴点N的横坐标的取值范围为﹣+1≤≤+1．（3）如图3﹣1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H（2，0），得到h的最大值为2，如图3﹣2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H（﹣6，0）得到h 的最小值为﹣6，综上所述，﹣6≤h＜0，0＜h≤2．。

2019-2020学年人大附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝22．“垃圾分类，从我做起”，以下四幅图案分别代表四类垃圾，其中图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x+2）2＝7D．（x+2）2＝14．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（）A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x﹣3）2﹣2D．y＝（x+3）2+25．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．38．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二．填空题（共8小题）9．方程x2﹣2x＝0的根是．10．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．11．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx ＝mx+n的解为．12．一个斜边长是8的Rt△AEC，一个斜边长是6的Rt△AFB，一个正方形AEDF，拼成一个如图所示的Rt△BCD，则Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和是．13．如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验的结果．那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性“凹面向上”的可能性．（填“大于”，“等于”或“小于”）．14．若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a b（填“＜”或“＝”或“＞”）．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，得到图形（1）请写出抛物线C2的解析式：．（2）若点P（4037.5，a）在图形G上，则a＝．三．解答题（共12小题）17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）18．下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：直线l．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如图，①在直线l上任取两点O，A；②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于点C；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：在⊙O中，AB为直径，∴∠ACB＝90°（①），（填推理的依据）连接OC∵OA＝OC＝AC，∴∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°（②），（填推理的依据）19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．20．党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；（2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，、△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系（1）点A的坐标为，点C的坐标为．（2）以原点O为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1请在网格内画出△A1B1C1，并写出点A1和B1的坐标，．22．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．23．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF ＝CE，连接AF．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．24．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米/时） 051015202530刹车距离（米）0.10.30.611.62.1（1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； （3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．25．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝40°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB ＝2cm ，设BD 为x cm ，BD '为y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数） （1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表： x /cm0.50.71.01.52.02.3y/cm 1.7 1.3 1.10.70.9 1.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y＝x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x+a和l2：y＝﹣x+b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1．①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB＝，则GE的长为，并简述求GE长的思路．28．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB＝60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t＝﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN＝30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP＝90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥P A，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．。

2018-2019学年北京市人民大学附属中学九年级第一学期月考数学试卷一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A. 以PA为半径的圆B. 以PB为半径的圆C. 以PC为半径的圆D. 以PD为半径的圆【答案】C【解析】【分析】切线的性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线，即可求.【详解】由切线的性质定理可知：答案为C.【点睛】本题考查的知识点是切线的性质，解题关键是熟记切线的定义及性质.2.二次函数y=(x-2)2+1的对称轴表达式是A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称轴是直线x=b,顶点坐标分别为(b, c) 判断即可.【详解】解：二次函数y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2,故选:A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质.3.下列k的值中,使方程x2-4x+k=0有两个不相等实数根的是A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据判别式的意义得到Δ= >0, 然后解不等式即可.【详解】解：关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根,Δ=>0,解得k<4.k的值可以是3,故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式.4.利用圆内接正多边形,可以设计出非常有趣的图案.下列图案中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】解：A.此图形不是中心对称图形, 是轴对称图形, 故此选项错误;B.此图形是中心对称图形, 不是轴对称图形, 故此选项正确;C.,此图形不是中心对称图形, 但是轴对称图形, 故此选项错误;D.图形是中心对称图形, 也是轴对称图形, 故此选项错误.故选:B.【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的定义，中心对称图形的定义是旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义把此图形沿着某一条直线折叠，两边能完全重合的图形.5.用配方法解方程x2-4x-2=0,配方正确的是A. (x-2)2=2B. (x+2)2=2C. (x-2)2=6D. (x+2)2=6【答案】B【解析】x2-2x-2=0，x2-2x+1-1-2=0，x2-2x+1=3，(x-1)2=3;故选B。

2023-2024学年北京市人大附中丰台校区九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列四个图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是()A. B.C.D.3.如图，圆心角，则的度数是()A. B. C. D.4.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案.如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转角度，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是()A. B.C. D.5.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是()A.B.C.D.6.如图，AB是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与交于G，H两点，若的半径是4，则的最大值是()A.5B.6C.7D.87.抛物线上，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x……0123……y……11……则下列结论正确的有()①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，A.1个B.2个C.3个D.4个8.下面三个问题中都有两个变量y与x：①小清去香山观赏红叶，他登顶所用的时间与平均速度；②用绳子围成周长为10m的矩形，矩形的一边长x m与它的面积；③正方形边框的边长x cm与面积；其中，变量y与x之间的函数关系不考虑自变量取值范围可用如图所示的函数图象表示的有()A.①B.②C.③D.②③二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.方程的解是______.10.一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的圆心角度数为______，此扇形的面积为______.11.如图，AB是半径为4的的弦，于点C，交于点D，若，则弦AB为______.12.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______.13.写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式______.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为______.15.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾短直角边长为5步，股长直角边长为12步，问该直角三角形能容纳的圆内切圆的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为______步.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点、，的半径为为坐标原点，点P在直线AB上，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______.三、计算题：本大题共1小题，共5分。

北京人大附中2019届九年级上学期12月月考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（）A．﹣7B．7C．﹣5D．53．（2分）如图，DE∥BC，AD：DB＝2：3，EC＝6，则AE的长是（）A．3B．4C．6D．104．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．（2分）如图，点A在双曲线y＝上，B在y轴上，且AO＝AB，若△ABO的面积为6，则k的值为（）A．6B．﹣6C．12D．﹣126．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徵主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学7．（2分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9B．12C．14D．188．（2分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为250mg/LC．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑70min后才能基本消除疲芳D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用跑活动方式来放松二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）sin A＝，则锐角A＝度．10．（2分）如图，AB∥CD，AB＝CD，线段AD与BC交于点M，△AMB的周长为2，则△CMD的周长为．11．（2分）已知点P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系为y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）12．（2分）将抛物线y＝x2，沿x轴向左平移1个单位后，得到的物线的解析式是．13．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BAC＝．14．（2分）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴y轴的正半轴上，若反比例数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是．15．（2分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果，那么称线段AB被点C黄金分割．黄金分割经常被应用在建筑雪等艺术领域．如图2，在“附中学子故宫行”活动中，同学们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的美轮美奂，太和门位于太和殿于内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为．16．（2分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论，其中正确的是（填序号）①BD⊥CE②∠DCB﹣∠ABD＝45°③CE﹣BE＝AD④BE2+CD2＝2（AD2+AB2）三、解答题（本题共6分，第17-22题，每小题5分，第236题，每小题5分，第27-题，每小题5分）17．（5分）计算：tan60°﹣4sin30°cos45°18．（5分）如图，在由边长为1个单位的长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点（1）在给定网格中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到请△A'B'C'，请画出△A'B'C'；（2）B'C'的长度为单位长度，△A′B′C′的面积为平方单位．19．（5分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝2，AB＝6，求AC的长．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若m是满足条件的最大整数，求方程的根．21．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的解析式．22．（5分）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝；②下降阶段：当x＞5时，y．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，过点B做⊙O的切线BC，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连结DO并延长交CB的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接AC，若BE＝4，DE＝8，求线段AC的长．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例数y＝的图象过点A（6，1）．（1）求反比例数的表达式；（2）过点A的直线与反比例数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交点交于点P．①若点P为原点，直接写出点B的坐标；②若PA＝2PB，求点P的坐标．25．（6分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E，已知∠A＝30°，AB＝4cm，在点D 由点A到点B运动的过程中，设AD＝xcm，AE＝ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在如图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE＝AD时，AD的长度约为cm．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．（7分）如图，∠MON＝α（0＜α＜90°），A为OM上一点（不与O重合），点A关于直线ON的对称点为B，AB与ON交于点C，P为直线ON上一点（不与O，C重合）将射线PB绕点P顺时针旋转β角，其中2α+β＝180°，所得到的射线与直线OM交于点Q这个问题中，点的位置和角的大小都不确定，在这里我们仅研究两种特殊情况，一般的情况留给同学们深入探索（1）如图1，当α＝45°时，此时β＝90°，若点P在线段OC的延长线上①依题意补全图形；②求∠PQA﹣∠PBA的值；（2）如图2，当α＝60°，点P在线段CO的延长线上时，用等式表示线段OC，OP，AQ之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的⊙C和点P，给出如下定义若在⊙C上存在一点Q，使得△PCQ是以CQ为底边的等腰三角形且底角∠PCQ≤60°，则称点P为⊙C的“邻零点”，（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（﹣2，0），P2（1，﹣1），P3（0，3）中，⊙O的“邻零点”是；②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的“邻零点”，求点P的横坐标x P的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为4，直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，若线段AB上的点都是⊙C的“邻零点”，直接写出圆心C的横坐标t的取值范围．。

2020-2021学年度第一学期初三年级数学练习32020.12考生须知1.本试卷共7页,共三道大题,25道小题,满分100分。

考试时间100分钟2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效4.在答题卡上,选择题、作图题用2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答5.考试结束,将答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题(本题共24分，每小题3分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有．．一个1.《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求,于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善坡乡环境，保障人体健康.下列垃圾分类标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）可回收垃圾其他垃圾有害垃圾厨余垃圾（A）（B）（C）（D）2.如图，已知D ，E 分别在直线AB ，AC 上，且DE ∥BC ，若21=AB AD ，则ACAE的值是（）A.21B.31 C.2D.913.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I (单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.则用电阻R 表示电流I 的函数表达式为（）A.RI 3=B.RI 6－= C.RI 3－= D.RI 6=4.一元二次方程x x 22=的根是（）A.=x 2B.=x 0C.=1x 2，=2x 0D.221==x x 5.如图，⊙O 的半径为1，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B.连接OA ，OB ，AB ，PO ，若∠APB=60°，则△PAB 的周长为（）A.36 B.33 C.6D.36.如果A(2，1y )，B(3，2y )两点都在反比例函数xy 1=的图象上,那1y 与2y 的大小关系是（）A.1y ＜2y B.1y ＞2y C.1y =2y D.无法确定7.如图，以点O 为圆心，AB 为直径的半圆经过点C ，若C 为AB 的中点，若AB=4，则图中阴影部分的面积是（）A.ΠB.2+2πC.2πD.2+π8.小宇在利用描点法画二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示：x …01234…y…4－13…接着，他在描点时发现，表格中只有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A.34==y x B.3==y x C.12－==y x D.40==y x 二、填空题(本题共24分，每小题3分)9已知34=y x ，则yyx +=.10.如图，点P 在反比例函数xky =（0＜x ）的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴点M ，PN ⊥y 轴于点N ，若矩形PMON 的面积为2，则k 的值为.11.如图,在△ABC 中，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则ABNM CMNS S 四边形△=.12.在平面直角坐标系xOy 中，点A(a ，b )(a >0，b >0)在双曲线xk y 1=上.点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线xk y 2=上，则21k k +的值为.13.如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，C 是弧BD 的中点，若∠ODC=50°，则∠BAC 的度数为.14.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交，对角线AC 于点F ，若AB=4，AD=3，则CF 的长为.15.已知关于x 的二次函数242+=x mx y －与x 轴有公共点，则m 的取值范围是.16.如图，△ABC 是等边三角形，AB=3，点D 在AC 上，AD=2CD ，点E 在BC 的延长线上，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接AF ，若AF ∥BE,，则AF 的长为.三、解答题(本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解方程：9242－－x x x =.18.如图，已知AE 平分∠BAC ，ACADAE AB =.(1)求证:∠E=∠C ；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE 的长.19.已知二次函数342+=x x y －.(1)直接写出这个函数的顶点坐标；(2)在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；(3)当0≤x ≤3时，y 的取值范围是.20.已知关于x 的方程()0222=+++m x m x .(1)求证:方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根大于1，求m 的取值范围.21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：3－mx y =过点A(3，0)(1)求直线l 的表达式；(2)直线l 与y 轴交于点B ，点C 是双曲线xny =与直线l 的一个公共点，①若n =4，点C 在第一象限，求ACAB的值；②若1<ACAB<3，结合图象，直接写出n 的取值范围.22.如图，AB 为⊙O 的直径,点C 在OO 上，直线CP 是⊙O 的切线，过点A 作CP 的垂线，垂足为D ，交BC 的延长线于点E.(1)求证：AE=AB ；(2)若AB=10，BC=6，求线段CD 的长.23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线122－－mx mx y 与y 轴的交点为A.(1)求抛物线的对称轴和点A 坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点B(2，0)，记抛物线与直线AB 所围成的封闭区域为图形W(不含边界)①当m =1时，直接写出图形W 内的整点个数；②若图形W 内恰有1个整点，结合函数图象，求m 的取值范围.24.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AD 为BC 边上的高线，E 为AD 上一点,满足DE=DC ，连接BE.（1）求证：BE=AC ；（2）取线段BC 的中点M ，连接并延长ME 到点F ，使得CF=CA ，①依题意补全图形；②证：∠CFE=∠BM ；③连接AF ，若AF ∥BC 成立，直接写出CDBD的值.25.在平面直角坐标系xOy中，对于已知的点P和图形W，若对图形以上任意两点MPM≤3PN成立，则称图形W为点P的“关联图形”.（1）已知点A(0，1)，B(1，0)①如图1，点C的坐标为(-2，0)，则点A到线段BC上的点的最短距离为，线段BC.(填“是”或“不是”)点A的“关联图形”；②点Q为x轴上一个动点，若线段BQ是点A的“关联图形”，求点Q的横坐标x的取值范围；Q（2）⊙T的圆心为(t，0)，半径为2，直线1y 与x轴，y轴分别交于G，H两点，x－若在线段GH上存在点P，使得⊙T是点P的“关联图形”，直接写出t的取值范围.图1图2备用图。

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称的图形是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）3．如图，在⊙O，AB为⊙O直径，C为上一点，若∠CAB＝23°，则∠ABC的度数为（）A．23°B．46°C．57°D．67°4．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣4＝0的一个根是1，则k的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（A．B．2C．3D．不能确定6．用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，原方程可变形为（）A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x+3）2＝7 D．（x﹣3）2＝27．一副三角板如图1放置（有一条边重合），如图2把含45°的直角三角板ACD绕点A顺时针旋转30°，得到△AC′D′，若BC＝2，则△BCC′的面积为（）A．2﹣3 B．3﹣C．4﹣6 D．6﹣28．北京海淀区某中学经过食堂装修后重新营业，同学们很高兴品尝各种美食菜品某同学想要得到本校食堂最受同学双迎的菜品，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的菜品；②去食堂收集同学吃饭时选择的菜品名称和人数；③绘制扇形图来表示各个种类产品所占的百分比；④整理所收集的数据，并绘制频数分布表；正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①二．填空题（共8小题）9．在平面直角坐标系xOy中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标为．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥BC于点D，以点A为圆心，AD为半径画⊙A．则点B与⊙A的位置关系为（填“在圆内”．“在圆上”或“在圆外”）11．若点A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+b上，若y1＞y2，请写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．12．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，点F为⊙O上一点，且满足∠AFC＝22.5°，AB＝8，则CD的长为．13．若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根为．14．在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：班级平均分中位数方差甲班92.5 95.5 41.25乙班92.5 90.5 36.06 数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下：①这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；②甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少；③乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小．上述评估中，正确的是．（填序号）15．如图，点P（a，b）为直线y＝x﹣1上一个动点，点P绕原点逆时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则a的取值范围是．16．如图，线段AB为⊙O的一条弦，以AB为直角边作等腰直角△ABC，直线AC恰好是⊙O的切线，点D为⊙O上的一点，连接DA，DB，DC，若DA＝3，DB＝4，则DC的长为．三．解答题（共10小题）17．解方程：3x＝x（x+5）﹣818．如图，点D是等边△ABC的边BC上的点，以AD为边作等边△ADE，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝20°，求∠AEC的度数．19．已知关子x的一元二次方程x2﹣（2a+2）x+2a+1＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根：（2）若该方程两个根x1，x2满足x12﹣x22＝0，求a的值20．如图，点C是半圆O上的一点，AB是⊙O的直径，D是的中点，作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．求证；AF＝DF下面是小明的解法，请帮他补充完整（包括补全图形）解：补全半圆O为完整的⊙O，连结AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）∵D是AC的中点；∴＝；∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径；∴＝（）（填推理的依据）；∴＝；∴∠ADF＝∠FAD（）（填推理的依据）；∴AF＝DF（）（填推理的依据）；21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝x2﹣bx+c与直线y2＝kx+m相交于A（﹣1，0），B（3，4）两点．（1）请分别求出抛物线解析式和直线的解析式；（2）直接写出y1﹣y2的最小值．22．如图，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的长．23．如图，AB是⊙O的直径，过点A的直线PC交⊙O于A，C两点，AD平分∠PAB，射线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥PA于点E．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）若AB＝10，ED＝2AE，求AC的长．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣的对称轴与x轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若抛物线与x轴交于P，Q两点，且PQ＝2，求抛物线解析式；（3）点B的坐标为（0，），若该抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象直接写出a的取值范围．25．如图，△ABC是等边三角形，平面上的动点P满足PC⊥AB，记∠APB＝α．（1）如图1，当点P在直线BC上方时，直接写出∠PAC的大小（用含α的代数式表示）；（2）过点B作BC的垂线BD，同时作∠PAD＝60°，射线AD与直线BD交于点D．①如图2，判断△ADP的形状，并给出证明；②连结CD，若在点P的运动过程中，CD＝AB．直接写出此时α的值．26．在平面上，对于给定的线段AB和点C，若平面上的点P（可以与点C重合）满足，∠APB＝∠ACB．则称点P为点C关于直线AB的联络点．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）．（1）在P1（2，2），P（1，0），R（1+，1）三个点中，是点O关于线段AB的联络点的是．（2）若点P既是点O关于线段AB的联络点，同时又是点B关于线段OA的联络点，求点P的横坐标m 的取值范围；（3）直线y＝x+b（b＞0）与x轴，y轴分交于点M，N，若在线段BC上存在点N关于线段OM的联络点，直接写出b的取值范围．。

23．
；24．1：1：2；DH=BF+CG；BF=DH+CG；1＜y≤2；25．5；7； ﹣
；﹣ ；
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22．（5 分）如图 1，给定锐角三角形 ABC，小明希望画正方形 DEFG，使 D，E 位 于边 BC 上，F，G 分别位于边 AC，AB 上，他发现直接画图比较困难，于是他 先画了一个正方形 HIJK，使得点 H，I 位于射线 BC 上，K 位于射线 BA 上，而 不需要求 J 必须位于 AC 上．这时他发现可以将正方形 HIJK 通过放大或缩小得 到满足要求的正方形 DEFG．
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特别地，权重为 1、1 的直角距离，又称为等权重距离，则记为 d（M，N），例
如：d（（1，0），（4，7））=|1﹣4|+|0﹣7|=10．
根据以上定义，回答以下问题：
（1）d（（0，0），（﹣3，﹣2））=
，d3，2（（0，0），（﹣1，2））=
．
（2）P 为直线 y=2x+4 上一动点，求 OP 的等权重距离的最小值及此时 P 点的坐
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五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）
23．（7 分）已知关于 x 的二次函数 y1=x2﹣（m+3）x+m+2，y2=﹣x2+bx+c． （1）求证：方程 x2﹣（m+3）x+m+2=0 必有实根；
（2）若 m 为整数，y1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标 a 满足 5＜a＜7，求 m 的值；
（3）在第（2）问的条件下，小明利用函数图象解关于 x 的不等式 y1＜y2，正确 解得该不等式的解集为 3＜x＜4，求 y2 的解析式．

北京人大附中2019 届九年级上月考数学试卷(12 月)含答案解析一、选择题（本题共32 分，每小题 4 分）1．反比例函数y=的图象不一定经过点( )A ．（﹣ 3， 1） B．（﹣ 3，﹣ 1）C．（ 1，3）D．（，2）2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A ．B．C．D．3．随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是( )A ．B．C．D．4．如图，⊙ O 的直径 AB=8 ，弦 DE 经过 OB 的中点 C 且 DE ⊥ OB，则弦 DE 的长为 ( )A ． 3B． 2C． 4D． 65．如图，正△ ABC 的边长为3，以 A 为圆心， AB 为半径作弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．B．C．﹣D． 36．如图，四边形ABCD 中， AB=AC=AD ，∠ CBD=23 °，则∠ CAD 为 ( )A ． 47°B ． 46°C． 45°D． 44°7．如图， AB 为⊙ O 的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦 CD⊥AB ，∠ OCD 的平分线交⊙ O 于点 E，当点 C 在左半圆（不包括 A ，B 两点）上移动时，关于点 E 的说法：①到 CD 的距离始终不变；② 位置始终不变；③ 始终平分；④位置随点 C 的移动而移动，正确的是 ( )A ．①②B．②③C．②D．④8．如图，正△ ABC 的边长为 3，点 N 在 AC 从点 A 出发，沿 A →B→C 的方向运动，到达点边上且 AN ： NC=1 ： 2，三角形边上的动点M C 时停止．设点 M 运动的路程为 x，y=MN 2，则 y 关于 x 的函数图象大致为( )A ．B．C．D．二、填空题（本题共16 分，每小题 4 分）9．如图， DE ∥BC ， AD ： DB=2 ： 3， EC=6，则 AE 的长是 __________．10．在 Rt△ABC 中，∠ C=90 °，AC=5 ， AB=13 ， tanA 的是 __________ ．11．如，用一个交叉卡（OA=OB ， OC=OD ）量零件的内孔直径AB ，若 OC：OA=1 ： 2，且量的CD=12mm ，零件的内孔直径AB 是 __________mm ．12．如，△ ABC 中， AB=AC=1 ，∠ ABC=72 °， BB 1平分∠ ABC 交 AC 于 B1， B1做 B1B 2∥BC 交 AB 于 B2，作 B2B 3平分∠ AB 2B 1交 AC 于 B3， B3作 B 3B4∥ BC 交 AB 于B4，⋯段 B1B 2的度 __________ ，段 B 2n﹣1B2n的度 __________ ．三、解答（本共30 分，每小 5 分）13．用配方法解方程：．14．算： 3sin30°2cos 45°+2tan60°cos30°．15．如，△ ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，且∠ BAC= ∠ DAE=90 °，找出一条与段 CE 相等的段（以中已知点的端点），画出条段并出明．16．已知 m 是方程 x 2﹣ x ﹣3=0 的根，求代数式（ 1+） ?（ m ﹣ 3）的值．17．如图，半径为 5 的⊙ O 中， AB 是直径，弦 BC=8 ，OD ⊥ AB 交 BC 于 D ，求 CD 的长及△ OCD 的面积．18．列方程或方程组解应用题：150 元，双人间每天每间 140 元，为了某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50 人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了 一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510 元，则该旅行团 住了三人间和双人间客房各多少间？四、解答题（本题共20 分，每小题 5 分）19．如图，直线 y=﹣ 2x+1 分别交 x 轴， y 轴于点 A ， B ，交反比例函数 y= 的图象于点 C ， CB ： BA=2 ： 1．（1）求反比例函数 y= 的解析式；（2）若点 P 在 y 轴上且以点 B ， C ，P 为顶点的三角形与 △ AOB 相似，直接写出点 P 的坐标．20．如图，已知，在△ ABC 中，∠ ABC=90 °， BC 为⊙ O 的直径， AC 与⊙ O 交于点 D，点E 为 AB 的中点， PF⊥BC 交 BC 于点 G，交 AC 于点 F．（1）求证： ED 是⊙ O 的切线；（2）如果 CF=1， CP=2， sinA=，求⊙ O的直径BC．21 ．据报道，历经一年半的调查研究， PM 2.5 源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为 PM 2.5 的最大来源，一辆车一天行驶 20 千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放 0035 千克污染物．以下是相关的统计图、表：年全年空气质量等级天数统计表空气质量等级优良轻度污中度污重度污严重污染染染染天数（天）41 135 84 47 45 13（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“年全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到 0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100 辆机动车，了解到其中每天出行超过 20 千米的有 40 辆．已知年机动车保有量已突破 520 万辆，请你通过计算，估计年一天中出行超过 20 千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？22．如图 1，给定锐角三角形ABC ，小明希望画正方形 DEFG ，使 D， E 位于边 BC 上，F， G 分别位于边 AC ， AB 上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK ，是的 H， I ，位于射线 BC 上， K 位于射线 BA 上，而不需要求 J 必须位于 AC上．这是他发现可以将正方形HIJK 通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG ．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图 2，给定锐角三角形ABC ，画出所有长宽比为 2： 1 的长方形 DEFG ，使 D ， E 位于边 BC 上， F， G 分别位于边AC ， AB 上．（2）已知三角形 ABC 的面积为 36， BC=12 ，在第（ 1）问的条件下，求长方形 DEFG 的面积．五、解答题（本题共22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23．已知关于 x 的二次函数 y 1=x 2﹣（ m+3） x+m+2 ， y 2=﹣ x 2+bx+c ．（1）求证：方程 x 2﹣（ m+3 ） x+m+2=0 必有实根；（2）若 m 为整数， y 1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标 a 满足 5＜ a ＜ 7，求 m 的值；（3）在第（ 2）问的条件下，小明利用函数图象解关于x 的不等式 y 1 ＜y 2，正确解得该不等式的解 集为 3＜ x ＜4，求 y 2 的解析式．24．过正方形 ABCD 的顶点 A 任作一条直线 l （ l 不过点 B ，C ， D ） ，过点 B ，C ，D 作 l的垂线段 BF ，CG ，DH ．（ 1）如图 1，若直线 l 过线段（ 2）如图 2，若直线 l 与线段BC 的中点 E ，则 BF ： CG ： DH=__________ ．BC 相交于点 E ，则 BF ， CG ， DH 满足等量关系式 __________，请证明你的猜想；（3）如果直线 l 与线段 CB 的延长线相交，直接写出BF ， CG ， DH 满足的等量关系式__________，在直线 l 旋转一周的过程中（ l 不过点 B ， C ， D ），直接写出 y=的取值范围 __________．25．定义：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M （ x M ， y M ）， N （ x N ， y N ），对于给定的实数 a ， b ，作 a|x M ﹣x N |+b|y M ﹣ y N |为 M ， N 的权重为 a ， b 的直角距离，记为 d xy （ M ，N ），例如： d 2， 3（（ 1， 0），（ 4， 7）） =2|1﹣4|+3|0﹣ 7|=27． 特别地，权重为 1、1 的直角距离，又称为等权重距离，则记为 d （ M ，N ），例如： d（（ 1， 0），（ 4， 7）） =|1﹣4|+|0﹣ 7|=10． 根据以上定义，回答以下问题：（1） d （（ 0， 0），（﹣ 3，﹣ 2）） =__________， d 3， 2（（ 0， 0），（﹣ 1， 2）） =__________ ．（2） P 为直线 y=2x+4 上一动点，求 OP 的等权重距离的最小值及此时 P 点的坐标； （3） P 为直线 y=2x+4 上一动点， Q 为以 O 为圆心的单位圆上的动点，则 d （ P ， Q ）的最 小值是 __________ ，d 3，2（ P ， Q ）的最小值是 __________．-学年人大附中九年级（上）月考数学试卷（12 月份）一、选择题（本题共32 分，每小题 4 分）1．反比例函数 y= 的图象不一定经过点( )A ．（﹣ 3， 1） B．（﹣ 3，﹣ 1）C．（ 1，3）D．（， 2）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论．【解答】解： A 、∵（﹣ 3）×1=﹣3≠3，∴函数图象不过此点，故本选项正确；B、∵（﹣ 3）×（﹣ 1） =3，∴函数图象过此点，故本选项错误；C、∵3×1=3 ，∴函数图象过此点，故本选项错误；D、∵×2=3，∴函数图象不过此点，故本选项错误．故选 A ．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A ．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解： A 、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选 A ．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是( )A ．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共 4 种情况，正面都朝上的情况数有 1 种，所以概率是．故选 B ．【点评】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．4．如图，⊙ O 的直径 AB=8 ，弦 DE 经过 OB 的中点 C 且 DE ⊥ OB，则弦 DE 的长为 ( )A ． 3B． 2C． 4D． 6【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接 OD ，先求出OD 及 OC 的长，再由勾股定理求出DE 的长即可．【解答】解：连接 OD，∵⊙ O 的直径 AB=8 ，弦 DE 经过 OB 的中点 C 且 DE ⊥ OB，∴O D=4 ， OC=2， DE=2CD ．∵CD===2，∴DE=2CD=4．故选： C．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧是解题的关键．5．如图，正△ ABC 的边长为3，以 A 为圆心， AB 为半径作弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．B．C．﹣D． 3【考点】扇形面积的计算．【分析】根据等边三角形的面积公式求出正△ ABC 的面积，根据扇形的面积公式S= 求出扇形的面积，求差得到答案．【解答】解：∵正△ABC 的边长为3，∴正△ ABC 的面积为×3×= ，扇形 ABC 的面积为= ，则图中阴影部分的面积是﹣．故选： C．【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．6．如图，四边形ABCD 中， AB=AC=AD，∠ CBD=23°，则∠CAD为()A． 47°B ． 46°C． 45°D． 44°【考点】圆周角定理．【分析】先根据四边形 ABCD 中， AB=AC=AD 可知， B、 C、 D 三点在以 A 为圆心， AD 为半径的圆上，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形 ABCD 中， AB=AC=AD ，∴B 、 C、 D 三点在以 A 为圆心， AD 为半径的圆上．∵∠ CBD=23 °，∴∠ CAD=2 ∠CBD=46 °．故选 B ．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图， AB 为⊙ O 的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦 CD⊥AB ，∠ OCD 的平分线交⊙ O 于点 E，当点 C 在左半圆（不包括 A ，B 两点）上移动时，关于点 E 的说法：①到 CD 的距离始终不变；② 位置始终不变；③ 始终平分；④位置随点 C 的移动而移动，正确的是 ( )A ．①②B．②③C．②D．④【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】连接 OE，由 CE 平分∠ OCD ，得到∠ 1=∠ 2，而∠ 1=∠ E，所以有 OE∥ CD，则OE⊥AB ，即可得到 OE 平分半圆 AEB ．【解答】解：连 OE，如图，∵CE 平分∠ OCD ，∴∠ 1=∠ 2，而OC=OE ，有∠ 1=∠ E，∴∠ 2=∠ E，∴OE∥ CD ，∵点 O 到 CD 的距离在变，∴点 E 到 CD 的距离发生变；故①错误；又∵弦 CD ⊥AB ，∴OE⊥ AB ，∴OE 平分半圆AEB ，即点 E 是半圆的中点，∴点 E 位置始终不变；故② 正确．故选 C．【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．8．如图，正△ ABC 的边长为 3，点 N 在 AC 边上且 AN ： NC=1 ： 2，三角形边上的动点M 从点 A 出发，沿 A →B→C 的方向运动，到达点 C 时停止．设点M 运动的路程为x，y=MN 2，则 y 关于 x 的函数图象大致为 ( )A ．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y 随 x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：∵等边三角形ABC 的边长为3， N 为 AC 的三等分点，∴AN=1 ．∴当点 M 位于点 A 处时， x=0， y=1 ．①当动点 M 从 A 点出发到 AM=0.5 的过程中， y 随 x 的增大而减小，故排除 D ；②当动点 M 到达 C 点时， x=6 ， y=4，即此时 y 的值与点M 在点 A 处时的值不相等．故排除A 、C．故选： B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断 y 的变化情况．二、填空题（本题共16 分，每小题 4 分）9．如图， DE ∥BC ， AD ： DB=2 ： 3， EC=6，则 AE 的长是 4．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，即=，然后利用比例性质求AE ．【解答】解：∵ DE ∥ BC ，∴=，即=∴A E=4 ．故答案为 4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10．在 Rt△ABC 中，∠ C=90 °，AC=5 ， AB=13 ，则 tanA 的值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得BC 的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，AC=5 ， AB=13 ，由勾股定理，得BC===12 ，tanA==，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．11．如图，用一个交叉卡钳（OA=OB ， OC=OD ）测量零件的内孔直径AB ，若 OC：OA=1 ： 2，且量的CD=12mm ，则零件的内孔直径AB 是 24mm．【考点】相似三角形的用．【】算．【分析】由于 OC： OA=OD ： OB=1 ：2，加上∠ COD= ∠ AOB ，可判断△COD ∽△ AOB ，然后利用相似比开始算出AB ．【解答】解：∵ OC：OA=OD ： OB=1 ： 2，而∠ COD= ∠ AOB ，∴△ COD ∽△ AOB ，∴= = ，∴A B=2CD=2 ×12mm=24mm ．故答案 24．【点】本考了相似三角形的用：利用点和盲区的知构建相似三角形，用相似三角形的比相等的性求物体的高度或度．12．如，△ ABC 中， AB=AC=1 ，∠ ABC=72 °， BB 1平分∠ ABC 交 AC 于 B1， B1做 B1B 2∥BC 交 AB 于 B2，作 B2B 3平分∠ AB 2B 1交 AC 于 B3， B3作 B 3B4∥ BC 交 AB 于B4，⋯段 B1B 2的度，段B2n﹣1B2n的度（）n﹣2．【考点】相似三角形的判定与性．【分析】因 B1作 B 1B2∥BC 交 AB 于 B2，于是得到△ AB 2B1∽△ ABC ，得到成比例，因AB=AC=m ，∠ ABC=72 °， BB 1平分∠ ABC 交 AC 于 B1，所以△ BCB 1和△B 2B1B 是等腰三角形，根据余弦定理，可求出BC 的，根据相似三角形段成比例，可求出 B 2B1的，同理，可求得段【解答】解：∵ AB=AC=1 ，∠ ABC=72 °， BB 1平分∠ ABC 交 AC 于 B 1，∴△ BCB 1和△B 2B1B 是等腰三角形，∵ B 1作 B1B 2∥BC 交 AB 于 B2，∴= ，2 2 22AB ?ACcos36 °，∵BC =AB +ACB2n﹣1B 2n的度．∴BC=，设 B 2B 1 是 x ，则 B 2B 是 x ．∴= ，∴x=即： B 1B 2=．同理可求出 B 2n ﹣ 1B 2n =（ n ﹣ 2） ．故答案为：，（）n ﹣ 2．【点评】 本题考查相似三角形的判定和性质，关键是知道相似三角形的对应线段成比例，以及余弦定理求出 BC 的长，找出规律求出值．三、解答题（本题共30 分，每小题 5 分）13．用配方法解方程：．【考点】 解一元二次方程 -配方法．【分析】 先把常数项﹣ 3 移项后；然后等上的两边同时乘以 2 把二次项的系数化为 1；最后左右两边同时加上一次项系数﹣ 4 的一半的平方． 【解答】 解：由原方程，得x 2﹣ 2x=3 ，等上的两边同时乘以 2，得2x ﹣4x=6 ，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x 2﹣4x+4=10 ，配方得（ x ﹣ 2） 2=10． ∴ ， ∴，．【点评】 本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法． 配方法的一般步骤：（ 1）把常数项移到等号的右边；（ 2）把二次项的系数化为 1；（ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．14．计算： 3sin30°﹣ 2cos 45°+2tan60°cos30°．【考点】 特殊角的三角函数值． 【分析】 将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】 解：原式 =3× ﹣ ×（ ）2+2× ×= ﹣．【点评】 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．15．如图， △ ABC 与 △ADE 都是等腰直角三角形，且∠ BAC= ∠ DAE=90 °，请找出一条与线段 CE 相等的线段（以图中已知点的端点），画出这条线段并给出证明．【考点】 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】 连接 BD ，则 BD=CE ，证明 △AEC ≌△ ADB 即可． 【解答】 解：连接 BD ，则 BD=CE ；理由：∵△ ABC 与 △ADE 都是等腰直角三角形，∴ A B=AC ， AE=AD ，∵∠ BAC= ∠DAE=90 °， ∴∠ BAD= ∠ CAE ，在△ AEC 和 △ADB 中，，∴△ AEC ≌△ ADB （ SAS ）， ∴BD=CE ．【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．16．已知 m 是方程 x 2﹣ x ﹣3=0 的根，求代数式（ 1+ ） ?（ m ﹣ 3）的值．【考点】 分式的化简求值；一元二次方程的解．m 是方程 x 2﹣ x ﹣ 3=0 的根【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据【解答】解：原式 =?（m﹣ 3）=，2∵m 是方程 x ﹣ x﹣ 3=0 的根，∴原式 ==1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．如图，半径为 5 的⊙ O 中， AB 是直径，弦 BC=8 ，OD ⊥ AB 交 BC 于 D ，求 CD 的长及△ OCD 的面积．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E，根据相似三角形的判定定理可得出△ ODE∽△ BOE，再由相似三角形的对应边成比例可求出OD 的长，由勾股定理得出DE 的长，进而得出CD 的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，∵B C=8 ，∴C E=BE=4 ，OE=3 ．∵OD ⊥AB ，∴∠ BEO= ∠OED=90 °，∵∠ ODE+ ∠ OBE=90 °，∠ ODE+ ∠DOE=90 °，∴∠ DOE= ∠ OBE ，∴△ ODE∽△ BDO ，∴=，即=，解得DE=，∴CD=CE ﹣ DE=4 ﹣=，∴S△OCD= CD ?OE=× ×3=．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．列方程或方程组解应用题：某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间150 元，双人间每天每间 140 元，为了吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50 人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510 元，则该旅行团住了三人间和双人间客房各多少间？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】本题中的等量关系有两个：三人间所住人数+二人间所住人数 =50 人；三人间费用×0.5+二人间费用×0.5=1510 ，据此可列方程组求解．【解答】解：设三人间和双人间客房各x 间、 y 间，根据题意，得，解得．答：该旅行团住了三人间和双人间客房各8 间、 13 间．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出 2 个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）19．如图，直线 y=﹣ 2x+1 分别交 x 轴， y 轴于点 A ， B ，交反比例函数y= 的图象于点C， CB ： BA=2 ： 1．（1）求反比例函数 y= 的解析式；（2）若点 P 在 y 轴上且以点 B， C，P 为顶点的三角形与△ AOB 相似，直接写出点 P 的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由直线的解析式求得 A 、 B 的坐标，进而根据CB ：BA=2 ： 1 求得 C 的纵坐标，将 C 坐标代入直线y= ﹣ 2x+1 中求出横坐标，代入反比例函数y=，确定出反比例解析式；（2）分两种情况分别讨论即可求得．【解答】解：（ 1）∵直线y=﹣ 2x+1 分别交 x 轴， y 轴于点 A ， B ，∴A （，0），B（0，1），∵CB ： BA=2 ： 1，∴=，作CD⊥ x 轴于 D ，则 CD ∥OB ，∴△ ACD ∽△ ABO ，∴= ，∴= ，∴C D=3 ，把y=3 代入 y= ﹣ 2x+1，解得 x= ﹣1，∴C（﹣ 1， 3），代入 y=得，3=，∴k= ﹣ 3，∴反比例函数y=的解析式为y=﹣；（2）当△CPB ∽△ AOB 时，则= ，即 = ，∴B P=2 ，∴O P=OB+BP=1+2=3 ，∴P（ 0， 3）；当△ PCB∽△ AOB 时，则= ，∵OA=，OB=1，∴AB==，∵CB ： BA=2 ： 1，∴CB=，∴=，∴P B= ，∴O P=PB+0B= +1= ，∴P（ 0，）；故 P 的坐标为（ 0， 3）或（ 0，）．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形相似的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．如图，已知，在△ ABC 中，∠ ABC=90 °， BC 为⊙ O 的直径， AC 与⊙ O 交于点 D，点E 为 AB 的中点， PF⊥BC 交 BC 于点 G，交 AC 于点 F．（1）求证： ED 是⊙ O 的切线；（2）如果 CF=1， CP=2， sinA= ，求⊙ O 的直径 BC ．【考点】 切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 【专题】 几何综合题．【分析】 （1）连接 OD ，证 OD ⊥ DE 即可．易证∠ ADB=90 °，又点 E 为 AB 的中点，得 DE=EB ．根据等腰三角形性质可证 ∠ODE= ∠ OBE=90 °，得证；（2）可证∠ A= ∠ DBC ，所以要求 BC 需先求 DC ．结合已知条件，证明 △ PDC 与 △FPC 相似可求 CD ，得解．【解答】 （1）证明：连接 OD ．∵BC 为直径，∴△ BDC 为直角三角形． 在 Rt △ ADB 中，E 为 AB 中点，∴ BE=DE ， ∴∠ EBD= ∠ EDB ．又∵ OB=OD ，∴∠ OBD= ∠ ODB ，∵∠ OBD+ ∠ ABD=90 °，∴∠ ODB+ ∠ EDB=90 °． ∴ED 是⊙ O 的切线．（2）解：∵ PF ⊥BC ，∴∠ FPC=90°﹣∠ BCP （直角三角形的两个锐角互余）．∵∠ PDC=90 °﹣∠ PDB （直径所对的圆周角是直角），∠ PDB= ∠ BCP （同弧所对的圆周角相等），∴∠ FPC=∠ PDC （等量代换）． 又∵∠ PCF 是公共角， ∴△ PCF ∽△ DCP ． ∴= ，则 PC 2=CF?CD （相似三角形的对应边成比例）． ∵CF=1 ， CP=2，∴CD=4 ．可知 sin ∠DBC=sinA=，∴= ，即 = ，∴直径 BC=5 ．【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，难度偏上．21．据报道，历经一年半的调查研究，PM 2.5 源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为 PM 2.5 的最大来源，一辆车一天行驶 20 千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放 0035 千克污染物．以下是相关的统计图、表：年全年空气质量等级天数统计表空气质量等级优良轻度污中度污重度污严重污染染染染天数（天）41 135 84 47 45 13（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“年全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到 0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100 辆机动车，了解到其中每天出行超过 20 千米的有 40 辆．已知年机动车保有量已突破 520 万辆，请你通过计算，估计年一天中出行超过 20 千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表；列表法与树状图法．【分析】（1）用单位 1 减去其他原因所占的百分比即可确定答案；（2）用重度污染和严重污染的天数除以所有的天数即可确定出现的频率；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（ 1） 31.1；（2）≈0.16．该年度重度污染和严重污染出现的频率共是0.16．（3）=7 280 0，20 千米的机动车至少要向大气里排放72800 千克污染物．估计年一天中出行超过【点评】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体等知识，解题的关键是能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息．22．如图 1，给定锐角三角形ABC ，小明希望画正方形 DEFG ，使 D， E 位于边 BC 上，F， G 分别位于边 AC ， AB 上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK ，是的 H， I ，位于射线 BC 上， K 位于射线 BA 上，而不需要求 J 必须位于 AC上．这是他发现可以将正方形HIJK 通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG ．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图 2，给定锐角三角形ABC ，画出所有长宽比为2： 1 的长方形 DEFG ，使 D ， E 位于边 BC 上， F， G 分别位于边 AC ， AB 上．（2）已知三角形 ABC 的面积为 36， BC=12 ，在第（ 1）问的条件下，求长方形DEFG 的面积．【考点】位似变换．【分析】（1）如图 2，先画长方形 HIJK ，使得 HI=2HK ，并且 H ， I 位于射线 BC 上， K 位于射线 BA 上，连结 BJ 并延长交 AC 于点 F，再将长方形 HIJK 通过放大可得到满足要求的长方形DEFG ；如备用图，先画长方形HIJK ，使得 HK=2HI ，并且 H ， I 位于射线BC 上， K 位于射线BA 上，连结BJ 并延长交AC 于点 F，再将长方形HIJK 通过放大可得到满足要求的长方形DEFG ；（2）作△ABC 的高 AM ，交 GF 于 N ．由三角形ABC 的面积为36，求出 AM=6 ．再设AN=x ，由 GF∥BC ，得出△ AGF ∽△ ABC ，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式 = ，由此求出 x 的值，进而求解即可．【解答】解：（ 1）如图 2 与备用图1，长方形DEFG 即为所求作的图形；（2）在长方形 DEFG 中，如果 DE=2DG ，如备用图 2，作△ ABC 的高 AM ，交 GF 于 N ．∵三角形 ABC 的面积 = BC ?AM= ×12AM=36 ，∴A M=6 ．设AN=x ，则 MN=6 ﹣ x， DG=MN=6 ﹣x， DE=GF=2 （ 6﹣x） =12﹣2x．∵GF∥ BC ，∴△ AGF ∽△ ABC ，∴= ，∴= ，解得 x=3 ，∴D G=6 ﹣ x=3， DE=2DG=6 ，∴长方形 DEFG 的面积 =6×3=18；在长方形 DEFG 中，如果 DG=2DE ，同理求出 x= ，∴DG=6 ﹣ x=，DE= DG= ，∴长方形 DEFG 的面积 =× =．故长方形 DEFG 的面积为 18 或．【点评】 本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据题意作出符合要求的长方形 DEFG 是解题的关键．五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23．已知关于 x 的二次函数 y 1=x 2﹣（ m+3） x+m+2 ， y 2=﹣ x 2 +bx+c ．（1）求证：方程 x 2﹣（ m+3 ） x+m+2=0 必有实根； （2）若 m 为整数， y 1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标a 满足 5＜ a ＜ 7，求 m 的值； （3）在第（ 2）问的条件下，小明利用函数图象解关于 x 的不等式 y 1 ＜y 2，正确解得该不等式的解集为 3＜ x ＜ 4，求 y 2 的解析式．【考点】 二次函数与不等式（组）；抛物线与 x 轴的交点．【分析】 （1）利用根的判别式即可得出结论；（2）根据 y 1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标 a 满足 5＜a ＜ 7 可知当 x=5 时， y 1＜ 0，当x=7 时， y 1 ＞0 求出 m 的取值范围，再由 m 为整数即可求出 m 的值； （3）先求出当 x=3 ，x=4 时 y 1 的值，再由 y 2 也经过此点即可得出结论． 【解答】 解：（221）∵△ =[ ﹣（ m+3）] ﹣ 4（ m+2） =（ m+1） ≥0，∴方程 x 2﹣（ m+3） x+m+2=0 必有实根； （2）∵ y 1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标 a 满足 5＜ a ＜ 7，且抛物线开口向上，∴f （5）＜ 0， f （7）＞ 0，∴，解得 3＜ m ＜ 5．∵m 为整数， ∴ m =4 ；（3）∵由（ 2）知， m=4，22∴关于 x 的二次函数 y 1=x ﹣（ m+3） x+m+2 可化为 y 1=x ﹣ 7x+6 ，2∵二次函数 y 2=﹣ x + bx+c 经过（ 3，﹣ 6），（ 4，﹣ 6）， ∴，解得，∴y 2 的解析式为 2﹣ 72．y 2=﹣ x +25x【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．24．过正方形 ABCD 的顶点 A 任作一条直线 l （ l 不过点 B，C， D），过点 B， C，D 作 l 的垂线段 BF ，CG，DH ．（1）如图 1，若直线 l 过线段 BC 的中点 E，则 BF ： CG： DH=1 ： 1： 2．（2）如图 2，若直线 l 与线段 BC 相交于点 E，则 BF ， CG， DH 满足等量关系式DH=BF+CG ，请证明你的猜想；（3）如果直线l 与线段 CB 的延长线相交，直接写出BF， CG， DH 满足的等量关系式BF=DH+CG ，在直线l 旋转一周的过程中（l 不过点 B ， C， D），直接写出y=的取值范围1＜ y≤2．【考点】四边形综合题．【分析】（1）如图 1 所示：设AB=2a ，根据题意得：BE=a ，由勾股定理可求得AE= a，由面积法可求得 BF 和 HD 的长度，然后再证明△ BFE≌△ CGE，得到BF=CG ，从而可求得答案；（2）如图 2 所示：先根据同角的余角相等，证明∠ADH= ∠ FBE= ∠ GCE，由锐角三角函数的定义可得到，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得：，由 AD=BC ，于是可得到DH=BF+CG ；（3）如图 3 所示：先证明∠ABF= ∠ HDE= ∠ GCE，由锐角三角函数的定义可得到，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得，由 AB=DC 于是得到 BF=DH+CG ；如图 4、 5 所示可求得 BF+CG+DH 的最大值为 2BD ，最小值为 BD ，从而可求得 y 的范围．【解答】解：（ 1）如图 1 所示：连接ED ．设AB=2a ，根据题意得： BE=a ．在 Rt△ ABE 中， AE=，∵，即：，∴BF=．在△ BFE 和△ CGE 中，，∴△ BFE ≌△ CGE．∴BF=CG ．∵，即，∴HD=．∴B F ： CG： DH=1 ：1：2．（2） DH=BF+CG ．理由：如图 2 所示：∵∠ ADH+ ∠ DAH=90 °，∠ BAH+ ∠DAH=90 °，∴∠ ADH= ∠ BAH ．同理∠ FBE= ∠BAH ．∴∠ ADH= ∠ FBE ．∵B F ⊥ AE ， GC⊥AE ，∴BF ∥ GC．∴∠ FBE= ∠ GCE．∴∠ ADH= ∠ FBE= ∠GCE．∴．由可知：，∴，即．∴．∴．∵AD=BC ，∴DH=BF+CG ．（3） BF=DH+CG ．理由：如图 3 所示：根据题意可知：∠ABF= ∠ HDE= ∠ GCE．∴．∴．∴，即．∴．∴．∵AB=DC ，∴BF=DH+CG ．如图 4 所示：当直线经过点 C 时， BF+DH+CG 有最小值，最小值=BD ，∴y=1 ．如图 5 所示：BF+DH+CG 有最大值，最小值=2AC=2BD ，∴y=2 ．∵直线 l 不经过点 B 、C、 D，∴y 的取值范围是：1＜y≤2．。