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微观粒子的散射理论微观粒子的散射理论是量子力学中的重要研究领域之一。
散射是指当微观粒子与其他粒子或势场相互作用时，其运动状态发生改变的过程。
通过研究散射过程，我们可以了解粒子之间的相互作用以及粒子的性质。
1. 散射理论的基本原理散射理论的基本原理是基于量子力学的波粒二象性。
根据波粒二象性，微观粒子既可以被看作粒子，也可以被看作波动。
在散射过程中，我们可以将微观粒子的运动状态用波函数描述。
2. 散射截面散射截面是描述散射过程中粒子与目标之间相互作用的一个重要物理量。
散射截面越大，表示粒子与目标之间的相互作用越强。
散射截面的计算可以通过量子力学的散射理论进行。
3. 散射振幅散射振幅是描述散射过程中粒子的波函数发生变化的一个重要物理量。
散射振幅可以通过散射理论的计算得到。
散射振幅的大小和相位可以反映粒子与目标之间的相互作用。
4. Born近似Born近似是散射理论中常用的一种近似方法。
Born近似假设散射过程中粒子与目标之间的相互作用很小，可以忽略。
在Born近似下，散射振幅可以通过目标的散射势场和粒子的波函数计算得到。
5. 散射实验散射实验是研究散射理论的重要手段。
通过散射实验，我们可以测量散射截面和散射振幅，从而验证散射理论的准确性。
散射实验可以使用不同的粒子和目标，例如电子和原子核的散射实验。
6. 散射理论的应用散射理论在物理学的各个领域都有广泛的应用。
例如，在核物理中，散射理论可以用于研究原子核的结构和性质；在凝聚态物理中，散射理论可以用于研究电子在晶体中的散射行为。
总结：微观粒子的散射理论是量子力学中的重要研究领域，通过研究散射过程，我们可以了解粒子之间的相互作用以及粒子的性质。
散射理论的基本原理是基于量子力学的波粒二象性，散射截面和散射振幅是描述散射过程的重要物理量。
Born近似是散射理论中常用的一种近似方法，散射实验是验证散射理论的重要手段。
散射理论在物理学的各个领域都有广泛的应用。
通过深入研究微观粒子的散射理论，我们可以更好地理解微观世界的奥秘。
光的散射与散射理论光的散射是指当光线与物体表面相互作用时，光线发生方向的变化，从而在各个方向上扩散的现象。
散射理论则是用于解释光在散射过程中的物理现象和行为的理论框架。
本文将探讨光的散射原理以及相关的散射理论。
1. 光的散射原理光的散射是由于光线与物体表面发生碰撞或遇到不均匀介质时，其传播方向发生改变的现象。
散射可以分为弹性散射和非弹性散射两种类型。
1.1 弹性散射弹性散射是指在光与物体碰撞后，光的能量和频率不发生改变，但传播方向发生偏转的现象。
这种散射发生在比较小的颗粒或分子上，如气体的分子、悬浮在空气中的微粒等。
弹性散射的角度与入射角度相等，这符合反射定律。
1.2 非弹性散射非弹性散射是指在光与物体碰撞后，光的能量和频率发生变化的现象。
这种散射通常发生在光线经过较大分子或表面粗糙的物体时。
非弹性散射会导致光的频率发生变化，产生色散的效应，使光具有不同的波长和颜色。
2. 散射理论散射理论是用于解释光散射现象的理论框架，其中最重要的是散射方程和散射截面。
2.1 散射方程散射方程描述了光在与物体相互作用时传播方向的变化。
根据散射方程，可以计算出光在某一方向上的散射强度。
最常用的散射方程是著名的光的散射方程-拉德方程（Rayleigh Equation），适用于小尺寸比较小的颗粒的弹性散射。
2.2 散射截面散射截面是描述光与物体散射相互作用的物理量，表示单位面积上散射的光子数。
散射截面与散射器的大小、形状、材料以及光的波长等因素有关。
根据散射截面的大小，可以推断出物体对光的散射强度及方向分布的信息。
3. 应用与意义散射理论在多个领域中得到了广泛的应用，具有重要的科学研究价值和工程应用价值。
3.1 大气散射大气中的气体分子和悬浮微粒对太阳光的散射是引起蓝天和彩虹的重要原因。
通过研究大气散射，可以了解大气中的颗粒分布、浓度和物理特性等，对气象学和环境科学具有重要意义。
3.2 光学材料设计光的散射性质对于光学材料的设计和应用具有决定性的影响。
光学现象中的散射理论解析光学是研究光的传播、转换和控制的科学，而散射则是光在遇到物质时发生的一种现象。
散射是光学中一个重要的研究对象，它不仅在日常生活中普遍存在，而且在科学研究和工程应用中也有着广泛的应用。
本文将从理论角度解析光学现象中的散射现象。
散射是指光在遇到物质时，由于物质的微观结构和性质的影响，光的传播方向发生改变的现象。
光线在传播过程中会与物质中的粒子相互作用，导致光的能量重新分布。
这种重新分布的现象就是散射。
散射现象的发生是由于光与物质中的原子、分子或粒子相互作用而产生的。
散射现象可以分为弹性散射和非弹性散射两种。
弹性散射是指光与物质相互作用后，光的能量和频率不发生变化，只是传播方向发生改变。
非弹性散射则是指光与物质相互作用后，光的能量和频率发生变化。
在实际应用中，我们更多地关注弹性散射现象。
散射理论的解析需要考虑光与物质相互作用的微观机制。
根据光与物质相互作用的特点，可以将散射分为几种不同的类型。
其中，光线散射是最常见的一种类型。
光线散射是指光与物质中的微小不均匀性相互作用后，光的传播方向发生改变。
这种散射现象可以解释为光在物质中的传播路径被微小不均匀性所扰动，从而导致光的传播方向发生改变。
在光线散射中，散射角度与入射角度之间存在一定的关系。
根据散射角度与入射角度的关系，可以将散射分为正向散射和背向散射两种。
正向散射是指散射角度小于入射角度的散射现象，而背向散射则是指散射角度大于入射角度的散射现象。
这种散射现象在大气中的存在尤为明显，例如太阳光在大气中的散射现象就是一种正向散射。
除了光线散射，还有一种重要的散射现象是拉曼散射。
拉曼散射是指光与物质相互作用后，光的频率发生变化。
这种散射现象是由于光与物质中的分子或晶格相互作用而产生的。
拉曼散射可以提供物质的结构信息和分子振动信息，因此在化学分析和材料科学领域有着广泛的应用。
散射现象不仅在自然界中普遍存在，而且在科学研究和工程应用中也有着广泛的应用。
第七讲散射理论一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流散射中心如：原子物理中的α粒子散射实验。
2、散射的分类：弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。
非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。
在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。
3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。
例如在α粒子的散射实验中，有22cot 422M b Ze θυπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体之中。
环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。
且2222401()()4sin 2Ze d d M σθπευΩ= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。
设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即1(,)()dn q N d θϕ=Ω显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。
微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。
将(,)q d θϕΩ对所有方向积分，得20(,)(,)sin Q q d q d d ππθϕθϕθθϕ=Ω=⎰⎰⎰Q 称为总散射截面。
4、散射的量子力学描述上面关于微分散射截面和总散射截面的定义，在量子力学中同样适用。
下面我们来讨论量子力学中如何通过解薛定谔方程来定散射截面。
取散射中心为坐标原点，用()U r表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体系的薛定谔方程可写为：222U E mψψψ-∇+= 式中m 是入射粒子的质量，E 是它的能量，为简单起见，令222222(4)(5)2()()(6)mE p k p km m m V r U r υ=====则（3）式改写为：22[()]0k V r ψψ∇+-=（7）通常我们观察被散射的粒子都是在离开散射中心很远的地方，所以只需讨论r →∞时ψ的行为就够了，假设r →∞时，()0U r →，即在粒子远离散射中心时，两者之间的相互作用趋于零。
这样，在无穷远的地方，波函数应由两部分组成：一部分是描写入射粒子的平面波1ikx Ae ψ=；另一部分是描写散射粒子的球面散射波：2(,),ikxe f rψθϕ=这个波是由散射中心向外传播的。
12(,),ikrikzr e Ae f rψψψθϕ→∞−−−→+=+ （8） 这里考虑的是弹性散射，所以散射波的能量没有改变，即波矢k 的数值不变，上式中的),(ϕθf 仅是θϕ和的函数，而与r 无关，可以证明，（8）式在r →∞时满足方程（7）。
在（8）式中取1A =，则21ψ=，这表明每单位体积只有一个入射粒子，入射波的几率流密度是11111111[][]22z i i J ik ik m z z mψψψψψψψψυ****∂∂=-=--=∂∂（9）其实，这就是入射粒子流强度N ,散射波的几率流密度是：222222222[](,)[](,)22r i i ik ik J f f m r r m r r rψψυψψθϕθϕ**∂∂=-=--=∂∂ （10）它表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数，故单位时间穿过面积dS 的粒子数是 222(,)(,)r dn J dS f dS f d r υθϕυθϕ===Ω （11）因为N υ=，比较（11）与（1）两式，可知微分散射截面是2),(),(ϕθϕθf q = （12）所以知道了),(ϕθf ，就可求得(,)q θϕ，),(ϕθf 称为散射振幅。
),(ϕθf 的具体形式通过求薛定谔方程（7）的解并要求在r →∞时解具有（8）的形式而得出。
后面几节将具体讨论如何求方程（7）的解。
二、中心力场中的弹性散射（分波法）下面将给出在中心力场作用下，粒子的散射截面的一个普遍的计算方法——分波法。
1、散射粒子所满足的薛定谔方程在中心力场的情况下，势能()U r 只与粒子到散射中心的距离r 有关，与r的方向无关，所以方程（7）可写为：22[()]0k V r ψψ∇+-= （13） 取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们讨论问题中的旋转对称轴，波函数ψ和散射振幅f 都与ϕ角无关。
由3.3节的讨论我们知道方程（13）的一般解可写为： (,,)()(,)l lm lmr R r Y ψθϕθϕ=∑现在ψ既与ϕ无关，所以0m =，因而（13）的一般解为：(,,)()(cos )l l lr R r P ψθϕθ=∑ （14）这个展开式中的每一项称为一个分波，()(cos )l l R r P θ是第l 个分波，每一个分波都是方程（13）的解，通常称0,1,2,3l = 的分波分别为,,,s p d f 分波。
(cos )l P θ是勒让德多项式，径向波函数()l R r 满足下列方程：[同(3.3.8)式]2222()1(1)()[()]()0l l dR r d l l r k V r R r r dr dr r++--= (15) ()l R r 的求解参见P158-160页。
我们只给出相关结论：2221()()=(21)(cos )sin lilll q f l P e kδθθθδ∞==+∑220004()2()sin (21)sin l l l l Q q d q d l Q k ππθπθθθδ∞∞===Ω==+=∑∑⎰⎰式中： 224(21)sin l l Q l kπδ=+ 是第l 个分波的散射截面。
2、光学定理因为(1)1l P =，所以(0)f 的虚部是：201Im (0)(21)sin l l f l k δ∞==+∑因而： 4Im (0)Q f kπ=上式称为光学定理，它表明向前(0)θ=散射振幅的虚部与总散射截面成正比，反映了散射中几率流守恒的物理意义。
3、分波法适用的条件：（参见《量子力学导论》P351-352）l ka ≤ (a 为势场作用范围)，即入射粒子的能量222k m很小。
4、散射问题（分波法）小结：（1） 散射就是入射粒子与靶核的弹性碰撞过程。
（2） 散射截面1(,)dnq N d θϕ=Ω反映了入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布情况。
(即表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，) （3） 运用分波法求散射截面的思想(,)(,)l Q q f θϕθϕδ→→→其中：2),(),(ϕθϕθf q =，(,)f θϕ通过解薛定谔方程并于：渐进解12(,),ikrikzr e Ae f rψψψθϕ→∞−−−→+=+比较而得到。
往往由相移l δ决定(,)f θϕ。
（4） 分波法适用的条件：l ka ≤ (a 为势场作用范围)，即入射粒子的能量222k m很小。
（,l m b υ 而max max ,,m ab a l m a l ka υυ∴→=） 练习：6.1；6.2；6.3三、方形势阱与势垒所产生的散射作为应用分波法的一个例子，我们讨论低能粒子受球对称方形势阱的散射，入射粒子能量很小，它的德布罗意波长比势场作用范围大得多，质子和中子的低能散射可以近似的归结为这种情况。
以a 表示方形势阱的范围，于是粒子的势能可写为：()0Ur a U r r a≤⎧=⎨⎩在势阱的情况下00U ≤，因为1,1,a ka k即所以只需讨论s 波散射(0)l =就够了，在方程： 2222(1)[()]0l l d u l l k V r u dr r ++--= 中令0l =得22222200(1)00(2)l l l l d u k u r dr d u k u r dr'+=≤+=式中22202222,mU mE k k k '==- ， 方程（1）、（2）的解是：00()sin(),(3)()sin(),u r A k r r a u r A kr r a δδ''=+≤⎫⎬=+⎭由波函数的标准条件，()0u r R r r==在处为有限，所以00,r a δ'==在处1()du u r dr 为连续，得： 0cot()cot k ka k k a δ''+= （4） 由此得到相移0arctan[tan ]kk a ka k δ'=-'（5） 由公式（6.2.16），总散射截面为22002244sin sin [arctan(tan )]k Q Q k a ka k k k ππδ'===-'（6） 在粒子能量很低0k →的情况下，因为0x →时arctan x x ≈，所以（5）式可简化为000tan [1]1k aka k aδ≈- 式中0k k '=≈（6）式化为2222000220tan 44sin 4(1)k a Q a k k k aππδδπ≈≈≈- （7） 如果散射场不是势阱而是方形势垒，即00U ，那么在（7）式中将0k 换成0,0ik k →时总截面为22004(1)thk aQ a k aπ≈- （8） 当0U →∞时，0k →∞，于是000001k a k ak a k a e e thk a e e---=→+代入（8）式得24Q a π≈在这种情况下，总散射截面等于半径为a 的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的硬球的最大截面面积，即为2a π，所以在量子力学中计算得到的截面是经典值的4倍。
四、玻恩近似。
