初中数学实数与二次根式的基本概念进阶(含解析)

一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。

例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。

② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。

③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。

④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。

⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。

⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。

判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。

⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。

第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。

2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。

3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。

二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。

2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。

3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。

一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。

三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。

开平方运算是已知指数和幂求底数。

2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。

3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。

考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。

2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。

3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。

5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

二次根式的概念与运算二次根式是数学中的一个重要概念，它与根式和平方根密切相关。

在本文中，我们将介绍二次根式的定义、运算法则以及一些常见的例题，帮助读者更好地理解和运用二次根式。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a是一个非负实数。

在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。

二次根式有以下几个基本特点：1. 当被开方数a为非负实数时，二次根式有意义，结果为一个实数；2. 当被开方数a为负实数时，二次根式无意义，即不存在实数解。

二、二次根式的运算法则1. 二次根式的相加减法则：对于两个二次根式，若它们的被开方数相同，则它们可以直接相加或相减。

例如：√2 + √2 = 2√2；5√3 - 2√3 = 3√32. 二次根式的乘法法则：对于两个二次根式，可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行乘法运算，并将结果相乘。

例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √63. 二次根式的除法法则：对于两个二次根式，可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行除法运算，并将结果相除。

例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3三、二次根式的化简在进行二次根式的运算过程中，我们常常需要对二次根式进行化简，使得结果更简洁。

在化简二次根式时，可以利用以下的方法：1. 因式分解法：将被开方数进行因式分解，然后利用乘法法则将二次根式化简。

例如：√(8) = √(2 × 2 × 2) = 2√22. 合并同类项法：对于具有相同根号下的数的二次根式，可以合并为同一个二次根式。

例如：5√3 + 3√3 = 8√3四、二次根式的应用举例下面我们来举一些常见的二次根式的应用例题，帮助读者更好地理解和运用二次根式的概念和运算法则。

例题一：计算下列各式的值，并化简结果：√12 + 2√3解：首先对被开方数进行因式分解：√12 = √(2 × 2 × 3) = 2√3将化简后的结果代入原式：2√3 + 2√3 = 4√3例题二：化简下列各式：5√6 - √24解：对被开方数进行因式分解：√24 = √(2 × 2 × 2 × 3) = 2√6将化简后的结果代入原式：5√6 - 2√6 = 3√6总结：本文介绍了二次根式的定义、运算法则，以及二次根式的化简方法。

初三上册数学二次根式的知识点总结除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初三上册数学二次根式的知识点总结，希望对大家的学习有一定帮助。

知识点一：二次根式的概念形如a(a0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a0是a为二次根式的前提条件，如5，(x2+1)，(x-1) (x1)等是二次根式，而(-2)，(-x2-7)等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。

知识点三：二次根式a(a0)的非负性a(a0)表示a的算术平方根，也就是说，a(a0)是一个非负数，即0(a0)。

注：因为二次根式a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a0)的算术平方根是非负数，即0(a0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若a+b=0，则a=0,b=0;若a+|b|=0，则a=0,b=0;若a+b2=0，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式(a) 的性质(a)2=a(a0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若a0，则a=(a)2，如：2=(2)2，1/2=(1/2)2.知识点五：二次根式的性质a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即a2=|a|=a (a若a 是负数，则等于a的相反数-a,即a2=|a|=-a (a﹤0);2、a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义;3、化简a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。

初三数学二次根式一、学习目标1.二次根式的定义、最简二次根式、同类二次根式；2.二次根式的运算。

二、知识点讲解二次根式定义一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

注意被开方数可以是数，也可以是代数式。

被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。

二次根式的判断方法根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。

2. 零的平方根是零；3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。

如负数a的平方根是±i。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示。

6. 当a≥0时，（）22；（）2与2中a取值范围是整个复平面。

7. （）2=a任何一个数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质可以进行因式分解。

8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内。

算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。

有理化因式注意①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式；④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式。

分母有理化在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。

分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程最简二次根式①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。

②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1， 则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。

知识点睛.实数的基本概念1.无理数的概念:(1) 定义：无限不循环小数叫做无理数. (2) 解读:1) 无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环 2) 无理数的常见类型:① 具有特定意义的数。

如 n 等;② ……(每相邻两个1之间依次多一个2)等;③ 开方开不尽的数，如72, V 4等.那么，是否所有带根号的数都是无理数呢3) 有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数 和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理2.实数的概念及分类:(1) 定义：有理数和无理数统称为实数. (2) 分类:①按定义分：实数有理数整数---有限小数或无限循环小数无理数——无限不循环小数oC n 匚k 、/ri fi n次根式的基本概念(3) 实数的性质:(4) 实数和数轴上的点是——对应的.n 是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是 n 因为直径为1的圆的周长为n(5) 实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。

(6) 实数中非负数的四种形式及其性质:形式：①a 0 :②a 20 :③需0 ( a 0「④掐中a 0.性质：①非负数有最小值0;②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于 0,则每个非负数都等于0.(7) 实数中无理数的常见类型:①所有开丕尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数; ②圆周率n 及含有n 的数是无理数，例如：2 n 1等; ③ ... .(一)根据实数的定义解题:【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数哪些是正实数131 …，n —廂,23,呵,…(相邻两个2之间0的个数逐次加1), 循,旷05.【例2】在实数0,1,血，0.1235中无理数的个数是(正实数正有理数 正无理数②按性质分：实数0负实数负有理数 负无理数①相反数：a 与b 互为相反数b 0. ②绝对值:a, a 00,a 0 或|a a,a 0a,a a,aa, a 0 a,a 0C. 242,79,3.14,0.61414,0.1001000100001L 这 7 个实数中，无理数的个数A . 0【拓展】n,227是(C. 2A . 0B . 1 【例3】下面有四个命题：① 有理数与无理数之和是无理数. ② 有理数与无理数之积是无理数.③ 无理数与无理数之和是无理数. ④ 无理数与无理数之积是无理数. 请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的， 【例4】判断正误，在后面的括号里对的用(1) 无理数都是开方开不尽的数.() (2) 无理数都是无限小数.((3) 无限小数都是无理数.( (4) 无理数包括正无理数、零、(5) 不带根号的数都是有理数 (6) 带根号的数都是无理数.( (7) 有理数都是有限小数.( ) ) 负无理数 .( 并说明理由。

二次根式知识点一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq0)＼）的式子叫做二次根式。

其中，＼（a\）叫做被开方数。

需要注意的是，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。

例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）都是二次根式。

而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数，不符合定义。

二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a<0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。

例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。

2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq0\））这一性质表明，先开方再平方，结果就是被开方数本身，但前提是被开方数必须是非负的。

比如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。

3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq0\））这意味着，两个非负实数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。

例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4 ＼times 3} ＝＼sqrt{4} ＼times ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）4、＼（＼sqrt{＼frac{a}｛b}｝＝＼frac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq0\），＼（b>0\））这表示，非负实数的商的算术平方根等于被除数和除数的算术平方根的商。

比如，＼（＼sqrt{＼frac{8}｛2}｝＝＼frac{＼sqrt{8}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼frac{2\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 2\）三、二次根式的化简1、把被开方数分解质因数，将能开得尽方的因数移到根号外。

知识点一:二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．注意理解：1、定义是从结构形式上定义的,必须含有二次根号。

根指数省略不写.不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。

2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子.但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的.、4、形如b （a 的式子也是二次根式，b 与是相乘关系，当b 是分数时，写成假分数。

5、式子（a表示的是非负数。

6、+b （a 和形式是含有二次根式的式子,不能叫二次根式。

二次根式定义： 【例1】下列各式22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+,其中是二次根式的是_________（填序号)． 变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是( ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个3、下列的式子一定是二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．4、式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ;⑥ ；⑦ ⑧ 中是二次根式的代号为( ） A ．①②④⑥ B ．②④⑧C ．②③⑦⑧D ．①②⑦⑧【例2】若是正整数,最小的整数n 是（ )A ．6B ．3C ．48D ．2变式练习： 1、已知: 是整数，则满足条件的最小正整数n 的值是（ )A ．0B ．1C ．2D ．52、二次根式 是一个整数,那么正整数a 最小值是 ．注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。

（a，2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数,分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0。

【例3】来式子有意义的x 的取值范围是 源：学＊科＊网Z*X ＊X*K]变式练习：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x 〉3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42221x x -+-x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义,那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在( ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【例4】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式练习：1、若11x x ---2()x y =+,则x －y 的值为（ ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。

二次根式知识点归纳二次根式是指含有平方根的式子，一般形式为√a，其中a为非负实数。

下面将对二次根式的知识点进行归纳：1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的式子，a为非负实数。

2. 简化二次根式：对于二次根式√a，如果a可以写成两个数的乘积，其中一个因数的平方是a，那么就可以将二次根式简化为这个因数。

3. 二次根式的运算：- 加减法：只有当二次根式的根数相同才能相加或相减。

即√a ± √b = √a ±√b。

- 乘法：二次根式的乘法可以按照分配律进行计算，即√a * √b = √(a * b)。

- 除法：二次根式的除法可以借助有理化的方法进行计算，即√a / √b = √(a / b)。

4. 二次根式的合并：- 同根式的合并：当两个二次根式的根数相同且系数相同时，可以合并为一个二次根式。

例如：3√2 + 2√2 = 5√2。

- 合并同类项：当两个二次根式的根数和系数都相同时，可以合并为一个二次根式。

5. 化简含有二次根式的表达式：- 分解因式法：对于含有二次根式的表达式，可以利用分解因式的方法将其化简为乘积的形式。

- 有理化法：利用有理化的方法将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。

6. 二次根式的平方与立方：- 二次根式的平方：(√a)^2 = a。

- 二次根式的立方：(√a)^3 = a * √a。

7. 二次根式的应用：- 几何意义：二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或面积，例如表示一个正方形的对角线长度。

- 物理意义：在物理问题中，二次根式可以用来表示某些量的大小，例如速度的大小。

以上是关于二次根式的一些基本知识点的归纳总结。

掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和运用二次根式。

二次根式深度理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。

它由一个数与一个根号组成，常见的形式为√a，其中a是一个非负实数。

二次根式的特点之一是它可以表示正数、负数以及零。

二次根式的重要性在于它能够描述许多自然现象和数学问题。

例如，在几何学中，二次根式可以用来求解直角三角形中的斜边长；在物理学中，它可以表示物体的加速度、速度等；在代数学中，二次根式是许多方程的解。

本文的目的是帮助读者深入理解二次根式的概念、性质和运算，并探索二次根式在数学中的更多应用。

在接下来的部分，我们将首先介绍什么是二次根式，包括它的定义和一些基本性质。

然后，我们将进一步探讨二次根式的运算，包括加减乘除等操作。

最后，我们将总结二次根式的重要性，并深入思考二次根式在数学中的意义，以及对其进行进一步的探索和研究的可能性。

通过对二次根式的深入理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题，提高数学能力，培养逻辑思维和创造力。

二次根式是数学中的一个精彩且复杂的主题，希望这篇文章能够帮助读者更好地理解和应用二次根式，在数学学习中取得更好的成绩。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和探讨二次根式的深度理解：1. 引言：在本部分将对本文的主题进行概述，说明文章的目的以及结构安排。

2. 正文：本部分将详细介绍二次根式的相关内容，包括二次根式的定义、性质和运算。

具体来说，将从以下几个方面进行阐述：2.1 什么是二次根式：本节将对二次根式的概念进行解释和说明，包括二次根式的定义和基本形式。

2.2 二次根式的性质：本节将介绍二次根式的一些重要性质，如二次根式的非负性、分离性、加减性等，通过理解这些性质可以更好地掌握和运用二次根式。

2.3 二次根式的运算：本节将详细介绍二次根式的运算方法，包括二次根式的加减乘除以及乘法公式和除法公式的推导和应用。

二次根式的定义和基本性质二次根式，也称为平方根，是数学中常见的一种运算。

它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍二次根式的定义，并探讨其基本性质。

在此之前，我们先来了解一下二次根式的定义。

二次根式的定义：二次根式是指一个数的平方根，如√x表示x的平方根，其中x为一个非负实数。

当x小于0时，√x是一个虚数。

在计算平方根时，我们通常提取其中的正根，即非负实数解。

基本性质：1. 非负数的平方根：对于非负实数a，它的平方根√a是一个非负实数。

例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。

2. 平方根的乘法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√(a * b) = √a * √b例如，√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 63. 平方根的除法：对于非负实数a和b（b不等于0），有以下运算规则：√(a / b) = √a / √b例如，√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.54. 平方根的加法与减法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√a ± √b 通常不能进行化简，可以合并成一个复合根。

例如，√2 + √3 无法化简，但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √55. 平方根的乘方：对于非负实数a和正整数n，有以下运算规则：(√a)^n = a^(1/n)例如，(√9)^2 = 9^(1/2) = 36. 平方根的传递性：对于非负实数a和b，如果a小于b，则√a小于√b。

例如，√4小于√9，因为4小于9。

通过以上基本性质，我们可以在实际问题中用到二次根式。

例如，在几何学中，可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积；在代数学中，平方根可以用来求解方程的解等。

需要注意的是，对于负数的平方根，我们引入了虚数单位i。

虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。

负数的平方根被称为虚数，属于复数的一种。

虚数在物理学和电气工程等领域有着重要的应用。

二次根式：从基本概念到应用解析概述:在数学中，二次根式是初中阶段的重要内容之一。

它不仅涉及数学基础知识，还有广泛的应用领域。

本文将详细介绍二次根式的定义、性质以及解题方法，并探讨其在实际生活中的应用。

通过阅读本文，您将对二次根式有更深入的理解。

一、二次根式的定义与性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

在二次根式中，根号下的数被称为被开方数。

二次根式的值是使得该值的平方等于被开方数的非负实数。

2. 二次根式的性质- 二次根式的值是非负实数。

- 二次根式的平方等于被开方数。

- 二次根式可以进行加减乘除运算。

二、二次根式的解题方法1. 化简二次根式当二次根式中的根号下含有可以分解的因子时，我们可以利用数的性质将其化简。

例如，√12可以化简为2√3。

2. 合并二次根式当二次根式中的根号下含有相同的因子时，我们可以将其合并。

例如，√7 + √7可以合并为2√7。

3. 有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们可以通过有理化分母的方法将其转化为有理数。

例如，1/√2可以有理化为√2/2。

4. 求解二次根式的值对于给定的二次根式，我们可以利用数的性质和运算法则求解其具体的数值。

例如，求解√9就是求解方程x²=9的解，得到x=±3。

三、二次根式的应用1. 几何应用二次根式在几何学中有广泛的应用。

例如，勾股定理中的斜边长度就是两个直角边平方和的二次根式表达。

2. 物理应用二次根式在物理学领域也有重要的应用。

例如，牛顿第二定律中的动能公式K=1/2mv²中，速度的平方根就是动能的二次根式。

3. 经济金融应用在经济金融领域，二次根式经常用于计算利率、复利等涉及到指数增长的问题。

总结归纳:本文通过对二次根式的定义、性质、解题方法以及应用的详细介绍，使读者对二次根式有了更深入的了解。

二次根式作为初中数学的重要内容，不仅能够帮助我们理解数学的基本概念，还可以应用于几何学、物理学以及经济金融等实际领域。

二次根式知识点总结及习题带答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

二、取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

三、二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

（）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

六、与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2ab a·b（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则：b ba a（b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。