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1-专题一：基本初等函数图像及其性质

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1.指数函数图像及其性质2.对数函数对数的定义①若(0,1)xa N a a=>≠且，则x叫做以a为底N的对数，记作log ax N=，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③常用对数与自然对数常用对数：lg N，即10log N；自然对数：ln N，即logeN（其中 2.71828e=…）．3.对数函数图像及其性质定义域(0,)+∞值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x=时，0y=．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><< a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．4.幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y xα=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象1xyO(1,0)1x=logay x=1xyO(1,0)1x=logay x=（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象 分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则 幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qp α=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为 奇数q 为偶数时，则qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇 非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方， 若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x = 上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．5.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线， 对称轴方程为,2b x a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --．6.二次函数图像及其性质7.一元二次函数表达式形式顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k ，定点坐标（h,k ）解析式f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域[4ac －b 24a ，＋∞)(－∞，4ac －b 24a ]单调性在x ∈(－∞，－b2a ]上单调递减在x ∈[－b2a ，＋∞)上单调递增在x ∈(－∞，－b2a ]上单调递增在x ∈[－b2a ，＋∞)上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数顶点(－b 2a ，4ac －b 24a )对称性图象关于直线 x ＝－b2a 成轴对称图形分解式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2), 一元二次方程的两根为x1，x2一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)．8.反函数互为反函数的两个图像关于y=x 成轴对称关系；原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域专题一基本初等函数图像及其性质练习一一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(新课标全国卷)下列函数中，既是偶函数，又是在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A．y＝x3B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|2．(广东卷)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数3．(湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足下列关系 f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 D ．a 24．(山东卷)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的(B)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(全国卷)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )A ．－12B ．－146．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意给定的a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝b *a ； (2)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(3)对任意a ，b ∈R ，(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )－2c .关于函数f (x )＝(3x )*13x 的性质，有如下 说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为奇函数；③函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，⎝⎛⎭⎫13，＋∞.其中所有正确说法的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x >0，0 x ＝0，x 2＋mx x <0为奇函数，若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，则a 的取值范围是 ．8．(上海卷)设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[－10,10]上的值域为．9．对方程lg(x＋4)＝10x根的情况，有以下四种说法：①仅有一根；②有一正根和一负根；③有两个负根；④没有实数根．其中你认为正确说法的序号是．三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，x∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数f(x)的值域为[0,9]．过动点P(t，f(t))作x轴的垂线，垂足为A，连接OP.(1)求函数f(x)的解析式；(2)记△OAP的面积为S，求S的最大值．12．(13分)(上海卷)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足a·b≠0.(1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．专题一 基本初等函数图像及其性质 练习二一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ）A ．B ．1-=xC ．21=x D ．21-=x 2．已知1,10-<<<b a ，则函数b a y x +=的图象不经过 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3．函数62ln -+=x x y 的零点必定位于区间 （ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．给出四个命题：（1）当时，n x y =的图象是一条直线；（2）幂函数图象都经过（0，1）、（1，1）两点；（3）幂函数图象不可能出现在第四象限；（4）幂函数n x y =在第一象限为减函数，则n 。

其中正确的命题个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数x a y =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为 （ ）A ．21B ．2C ．4D ．41 6．设是奇函数，当时，,log )(2x x f =则当时，=)(x f ( )A ．x 2log -B ．)(log 2x -C ．x 2logD ．)(log 2x --7．若方程2（）+4023=-+m mx 的两根同号，则的取值范围为 （ ）A ．12-<<-mB ．12-<≤-m 或132≤<m C ．1-<m 或32>m D ．12-<<-m 或132<<m 8．已知是周期为2的奇函数，当10<<x 时，.lg )(x x f =设),23(),56(f b f a ==),25(f c =则 A ．c b a << B ． c a b << C ． a b c << D ． b a c <<9．已知01<<<<a y x ，则有 （ ）A ．0)(log <xy aB ．1)(log 0<<xy aC ．1<0)(log <xy aD ．2)(log >xy a10．已知10<<a ，,0log log <<n m a a 则 （ ）A ．m n <<1B ．n m <<1C ．1<<n mD ．1<<m n11．设,22lg )(x x x f -+=则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 （ ） A ．()4,0()0,4⋃- B ．)4,1()1,4(⋃-- C ．()2,1()1,2⋃-- D ．()4,2()2,4⋃--12．已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,)31C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,71D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,71二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

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六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数定义域 R RR [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞)R[0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；x yO OxOxyy5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数定义域 R值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

基本初等函数的图像与性质

基本初等函数的图像与性质

在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。

一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。

它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。

二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。

幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。

3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。

② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。

③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。

2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；3y1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1(1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；.当10<<a 时，a 值越大，xa y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==xf x xxx g ⎪⎫⎛=1)((4)()n n n b a ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

高数总结：基本初等函数图像及其性质

高数总结：基本初等函数图像及其性质

⾼数总结：基本初等函数图像及其性质基本初等函数图像及其性质⼀、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数n4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为⼤于零的⼀切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的⼀切实数。

三、指数函数xa y =(x 是⾃变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[⽆界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上⽅； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的⼤⼩⽐较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ?=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越⼤，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=?m n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a amnm nm yxf x xxx g ?=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [⽆界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式⼦N a log 叫做对数式。