【期末复习专题卷】人教版数学八年级上册专题03 解答题一、解答题（共36小题）1．（2022秋•蕲春县期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B ＝40°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．2．（2022秋•贵州期中）如图，已知：AD、CE是△ABC的高．试判断∠1与∠2的关系．并说明理由．3．（2022秋•香坊区校级期中）如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠1+∠2＝180°，求证：∠AGF＝∠ABC．4．（2022秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABD＝30°，∠ACB ＝80°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．5．（2022秋•孝义市期中）如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC，AD与BE相交于点P，∠ABC＝70°，∠C＝40°，求∠CAD和∠DPE的度数．6．（2022秋•西乡塘区校级期中）按要求完成下列各小题．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数．（2）如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠EAF 的度数．7．（2022秋•西城区校级期中）三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成这个定理的证明．已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．8．（2022秋•甘井子区期中）如图，点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且2AE＝AD+AB．求证：∠1+∠2＝180°．9．（2022秋•海淀区校级期中）如图．在△ABC和△AEF中，AE＝AB，AC＝AF，∠CAF ＝∠BAE．求证：△ABC≌△AEF．10．（2022秋•广安区校级期中）如图，已知DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，AD＝BC，DE＝BF．求证：（1）△AED≌△CFB；（2）AB∥DC．11．（2022秋•通山县期中）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝7，BC＝24，CE＝25．（1）求△ABC的周长；（2）求△ACE的面积．12．（2022秋•扬州期中）如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC＝2，∠BAC＝40°；（1）求∠BAD的度数；（2）若∠ADG＝115°，求△CDG的面积．13．（2022秋•阳信县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E是BC上不与点B，C 重合的两点，且AD＝AE．（1）求证：BD＝CE．（2）过点B作BF∥AE交AD的延长线于点F，求证：△BDF是等腰三角形．14．（2022秋•北仑区期中）如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN 内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．（1）求证：△ABE≌△CAF；（2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．15．（2022秋•姑苏区期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6），B（﹣1，2），C（﹣5，4）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．并写出点A1的坐标 ．（2）在第（1）题的变换下，若点M（m，n）是线段AC上的任意一点，那么点M 的对应点M1的坐标为 ．（3）在y轴上找一点P，使PA＝PB，则P点坐标为 ．16．（2022秋•扬州期中）如图，在等边△ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D 在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝3，求CD的长．17．（2022秋•通山县期中）如图，在△ABC中，BC＝38．DG，EF分别垂直平分AB，AC，垂足分别为G，F，求△DAE的周长，18．（2022秋•阳信县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（2）在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹）．19．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，BD是等腰三角形ABC底边AC上的高线，DE∥BC，交AB于点E，求证：△BED是等腰三角形．证明：∵AB＝BC，BD⊥AC∴∠1＝∠ （等腰三角形 ）∵ED∥BC∴∠1＝∠ （ ）∴∠ ＝∠ （等量代换）∴BE＝ED（在同一个三角形中， ）即△BDE是等腰三角形．20．（2022秋•临湘市期中）如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD．（1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数；（2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．21．（2022秋•北仑区期中）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC 于点E，∠B＝69°，∠FAE＝18°，求∠C的度数．22．（2022秋•任城区期中）因式分解：（1）x3+10x2+25x；（2）a4﹣8a2b2+16b4．23．（2022秋•如东县期中）已知（a m）n＝a4，（a m）2÷a n＝a3．（1）求mn和2m﹣n的值；（2）已知4m2﹣n2＝15，求m+n的值．24．（2022秋•朝阳区校级期中）（1）计算：（a4）3+a8•a4；（2）计算：[（x+y）m+n]2；（3）已知2x+3y﹣2＝0，求9x•27y的值．25．（2022秋•望城区期中）望城区某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，规划将一长为（9a﹣1）米、宽为（3b﹣5）米的矩形场地打造成居民健身场所．具体规划为：在这个场地中分割出一块长为（3a+1）米、宽为b米的矩形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用于作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．（1）求安装健身器材的区域面积；（2）在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，那么当a＝9，b＝15时，建设该居民健身场所所需地面费用为多少？26．（2022秋•西乡塘区校级期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．27．（2022秋•安溪县期中）对于形如x2+2ax+a2可用“配方法”将它分解成（x+a）2的形式，如在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，它不会改变整个式子的值，其变化过程如下：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这种“因式分解”的方法称为“配方法”．请完成下列问题：（1）利用“配方法”分解因式：x2+4xy﹣5y2；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC 的周长；（3）在实数范围内，请比较多项式2x 2+2x ﹣3与x 2+3x ﹣4的大小，并说明理由．28．（2022秋•鲤城区校级期中）我们知道，通过计算几何图形的面积可以解释代数恒等式的正确性，同样，利用几何图形的面积也可以解释不等式的正确性．请解答下列问题：（1）如图1，可以写出代数恒等式：（a +b +c ）2＝ ；若a +b +c ＝11，ab +bc +ac ＝38，则a 2+b 2+c 2＝ ；（2）如图2，两个边长为a 、b 、c 的直角三角形和一个直角边为c 的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，请根据梯形的面积推导a 、b 、c 之间的数量关系（要求写出推导过程）；（3）如图3，已知线段的长度a 、b 、c 、a '、b '、c '满足a +a '＝b +b '＝c +c '＝k ．试画出一个几何图形，并在图形中标出线段的长度a 、b 、c 、a '、b '、c '，使得该几何图形的面积可以解释不等式ab '+bc '+a 'c ＜k 2．（不要求尺规作图）29．（2022秋•任城区期中）先化简，再求值：（1―x 1x 1）÷2x 2x 22x 1，x 取一个合适的值代入．30．（2022秋•西城区校级月考）计算：（1）(x 2y )2⋅xy x 2―xy 2xy 2÷2x ；（2）a 2b 3•（a 2b ﹣2）﹣2．31．（2022秋•沙坪坝区校级期中）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作10天可完成；若甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了m 天，每天需付施工费3万元，乙工程队做另一部分工程用了n 天，每天需付施工费1.4万元，若m ，n 都是正整数，乙工程队做的时间不到17天，求出此项工程总施工费用的最小值．32．（2022秋•贵港期中）先化简，再求值（1）(x 1x 21+x x 1)÷x 1x 22x 1，其中x =―12；（2）a 4a 24÷(4a 2―a ―2)，其中a 满足a 2﹣2a ﹣1＝0．33．（2022秋•文登区期中）计算：（1）x x 24―12x 4+1x 2；（2）3x 3―x 3x 3•x 23x x 26x 9；（3）（2a 1a 1―a +1）÷+1．34．（2022秋•三台县期中）我们知道：12×23=13，12×23×34=14，……，（1）12×23×34×⋯⋯×n n 1= ．（2）试根据上面规律，计算：（119―1）（120―1）（121―1）……（12011―1）．35．（2022秋•九龙坡区校级期中）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．（1）求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？（2）小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行，已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的57，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的54，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？36．（2022秋•淅川县期中）阅读下列文字，并解决问题．已知x 2y ＝3，求2xy （x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x ）的值．分析：考虑到满足x 2y ＝3的x ，y 的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x 2y ＝3整体代入．解：2xy （x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x ）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．请你用上述方法解决问题：（1）已知ab＝2，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值；（2）已知x―1x =3，求x2+1x2的值．参考答案一、解答题（共36小题）1．解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠B＝40°，∠C＝72°，∴∠BAC＝68°，∵AE平分∠BAC，∠BAC＝34°，∴∠BAE＝∠CAE=12∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝74°，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝16°．2．解：∠1＝∠2，理由如下：∵AD、CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∴∠1+∠B＝900，∠2+∠B＝900，∴∠1＝∠2．3．证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠AED＝90°，∴BF∥DE，∴∠2+∠3＝180°，又∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠3，∴GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC．4．解：∵∠BDC是△ABD的外角，∠A＝40°，∠ABD＝30°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°，∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ACB＝40°，∴∠DCE=12∴∠BEC＝∠BDC+∠DCE＝110°．5．解：∵△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝40°，AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°；∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=1∠ABC＝35°，2∵∠BPD＝90°﹣∠CBE＝55°，∴∠DPE＝180°﹣∠BPD＝180°﹣55°＝125°．6．解：（1）解：设边数为n，根据题意，得（n﹣2）×180°＝360°+900°，所以（n﹣2）×180°＝1260°，所以n﹣2＝7，所以n＝9．答：这个多边形的边数是9．（2）正五边形内角和为540°，∴其每个内角为540°÷5＝108°．∵长方形每个内角为90°，∴∠F＝90°，∴∠ABC＝108°，∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∴∠BAF＝180°﹣∠F﹣∠ABF＝180°﹣90°﹣72°＝18°，∠EAF＝∠EAB+∠BAF＝108°+18°＝126°．7．证明：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝∠ACB+∠ACD，∴∠A+∠B＝∠ACD．8．证：∠1与∠2互补．法1：作CF⊥AN于F（如图），∵∠3＝∠4，CE⊥AM，∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°，∴△ACF ≌△ACE （AAS ），∴AF ＝AE ．∵2AE ＝AD +AB∴AE =12（AD +AB ）=12（AF ﹣DF +AE +EB ）＝AE +12（BE ﹣DF ），∴BE ﹣DF ＝0，∴BE ＝DF ，∴△DFC ≌△BEC （SAS ），∴∠5＝∠2，∵∠1+∠5＝180°，∴∠1+∠2＝180°；法2：在AM 上截取AF ＝AD ，连接CF （如图），∵∠3＝∠4，AC 为公共边，∴△ADC ≌△AFC （SAS ），∴∠1＝∠5，∵2AE ＝AD +AB ，∴AE =12（AD +AB ）=12（AF +AE +EB ）=12（AE ﹣EF +AE +EB ），∴EB ﹣EF ＝0，∴EF ＝EB ，又∵CE ⊥AB ，∴BC ＝FC ，∴∠2＝∠6，∵∠5+∠6＝180°，∴∠1+∠2＝180°．9．证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF＝∠BAC，在△ABC和△AEF中，AB=AE∠BAC=∠EAF，AC=AF∴△ABC≌△AEF（SAS）．10．证明：（1）在Rt△AED与Rt△CFB中，AD=BCDE=BF，∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）；（2）∵△AED≌△CFB，∴AE＝CF，∴AF＝CE，在△AFB与△CED中，AF=CE∠AFB=∠CED，DE=BF∴△AFB≌△CED（SAS），∴∠BAF＝∠DCE，∴AB∥DC．11．解：（1）∵△ABC≌△CDE，CE＝25，∴AC＝CE＝25，∵AB＝7，BC＝24，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝7+24+25＝56；（2）∵∠B＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵△ABC≌△CDE，∴∠ECD＝∠CAB，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE＝25，∴△ACE的面积=12×25×25=6252．12．解：∵BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC＝2，∴AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝40°，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝20°；（2）∵∠ADG＝115°，∴∠DGC＝180°﹣∠CAD﹣∠ADG＝45°，在Rt△CDG中，∴∠CDG＝90°﹣45°＝45°，∴∠DGC＝∠CDG，∴CD＝CG，∵DC＝2，∴CG＝2，∴△CDG的面积=12×2×2=2．13．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED，∴∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC∠ABD=∠CAB=AC，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE．（2）证明：∵BF∥AE，∴∠FBD＝∠AED，∵∠FDB＝∠ADE＝∠AED，∴∠FBD＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△BDF是等腰三角形．14．（1）证明：∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，同理：∠BAE＝∠ACF，在△ABE和△CAF中，∠ABE=∠CAFAB=AC，∠BAE=∠ACF∴△ABE≌△CAF（ASA）；（2）EF+CF＝BE，理由如下：∵△ABE≌△CAF，∴AE＝CF，BE＝AF，∵AE+EF＝AF，∴CF+EF＝BE．15．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（3，6）；（2）点M（m，n）关于y轴的对称点M1的坐标为（﹣m，n）；故答案为：（﹣m，n）；（3）P点坐标为（0，5）；故答案为（0，5）．16．解：过点E作EF⊥CD于点F，∵△ABC是等边三角形，边长为1，AE＝3，∴BE＝AE﹣AB＝2，∠ABC＝60°，∵EF⊥CD，∴∠EFB＝90°，∴∠BEF＝90°﹣60°＝30°，BE＝1，∴BF=12∴CF＝BF+BC＝2，∵ED＝EC，EF⊥CD，∴DF＝CF＝2，∴CD＝DF+CD＝4．17．解：∵DG，EF分别垂直平分AB，AC，∴AD＝BD，AE＝EC，∴△DAE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝38．18．解：（1）如图，△A1OB1为所求，A1（1，2），B1（﹣2，1）；（2）如图，点P为所作．19．证明：∵AB＝BC，BD⊥AC，∴∠1＝∠2（等腰三角形三线合一），∵DE∥BC（已知），∴∠DBC＝∠EDB（两直线平行，内错角相等），∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝DE（在同一个三角形中，等角对等边），∴△BDE是等腰三角形．故答案为：2；三线合一；3；两直线平行，内错角相等；2；3；等角对等边．20．解：（1）连接BD并延长，交AC于H，∵DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，DC＝DB，∴∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC，∴∠ADH＝∠DAB+∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB+∠DBC＝2∠DBC，∴∠ADC＝2∠ABC＝80°，∵DA＝DB，DC＝DB，∴DA＝DC，∴∠ACD＝∠CAD=1（180°﹣80°）＝50°；2（2）∠B+∠ACD＝90°，理由如下：∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∴2∠ACD+2∠ABC＝180°，∴∠ACD+∠ABC＝90°．21．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC+∠EAF＝∠EAC+18°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠FAC＝2∠EAC+36°＝2∠C+36°，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴69°+2∠C+36°+∠C＝180°，解得∠C＝25°．22．解：（1）原式＝x（x2+10x+25）＝x（x+5）2；（2）原式＝（a2﹣4b2）2＝（a+2b）2（a﹣2b）2．23．解：（1）∵（2m）n＝4，（a m）2÷a n＝a3，∴2mn＝22，a2m﹣n＝a3，∴mn＝2，2m﹣n＝3；（2）∵4m2﹣n2＝15，∴（2m+n）（2m﹣n）＝15，∵2m﹣n＝3，∴2m+n＝5，联立得2m+n=5 2m―n=3，解得m=2 n=1，∴m+n＝3．24．解：（1）原式＝a4×3+a8+4＝a12+a12＝2a12；（2）原式＝（x+y）2（m+n）；（3）9x•27y＝（32）x•（33）y＝32x•33y＝32x+3y，由2x+3y﹣2＝0，可得2x+3y＝2，原式＝32＝9．25．解：（1）（9a﹣1）（3b﹣5）﹣b（3a+1）＝27ab﹣45a﹣3b+5﹣3ab﹣b＝24ab﹣45a﹣4b+5（平方米），答：安装健身器材的区域面积为（24ab﹣45a﹣4b+5）平方米；（2）根据题意，得需要总费用为100b（3a+1）+50（24ab﹣45a﹣4b+5）＝300ab+100b+1200ab﹣2250a﹣200b+250＝1500ab﹣2250a﹣100b+250，当a＝9，b＝15时，总费用为1500×9×15﹣2250×9﹣100×15+250＝181000（元），答：建设该居民健身场所所需地面费用为181000元．26．解：（1）∵x+y＝8，∴（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，又∵x2+y2＝40，∴2xy＝64﹣40，∴xy＝12，答：xy的值为12；（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，则m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，∴（4﹣x）2+（x﹣5）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）＝1+16＝17；（3）设AE ＝a ，FG ＝b ，则AB ＝6＝a +b ，由题意可知S 1+S 2＝a 2+b 2＝18，∵（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，∴36＝18+2ab ，∴ab ＝9，∴阴影部分的面积为12ab =92，答：阴影部分的面积为92．27．解：（1）原式＝x 2+4xy +4y 2﹣4y 2﹣5y 2＝（x +2y ）2﹣9y 2＝（x +2y +3y ）（x +2y ﹣3y ）＝（x +5y ）（x ﹣y ）；（2）∵a 2+b 2+c 2+50＝6a +8b +10c ，∴a 2﹣6a +9+b 2﹣8b +16+c 2﹣10c +25+50﹣9﹣16﹣25＝0，则（a ﹣3）2+（b ﹣4）2+（c ﹣5）2＝0，∵a ，b ，c 是△ABC 的三边长，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴C △abc ＝3+4+5＝12；（3）2x 2+2x ﹣3﹣（x 2+3x ﹣4）＝2x 2+2x ﹣3﹣x 2﹣3x +4＝x 2﹣x +1=x 2―x +14―14+1=(x ―12)2+34∵(x ―12)2≥0，∴(x ―12)2+34≥34，∴2x 2+2x ﹣3＞x 2+3x ﹣4．28．解：（1）图1中最大的正方形面积S ＝（a +b +c ）2，最大的正方形面积是由3个小正方形的面积，6个小长方形的面积相加得到的，∴S ＝（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ；当a +b +c ＝11，ab +bc +ac ＝38时，112＝a 2+b 2+c 2+2×38，解得a 2+b 2+c 2＝45，故答案为：a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ，45；（2）∵S 梯形=12×（a +b ）（a +b ）=12（a +b ）2，S 梯形=12×c 2+2×12×ab =12c 2+ab ，∴12c 2+ab =12（a +b ）2，∴a 2+b 2＝c 2；（3）∵a +a '＝b +b '＝c +c '＝k ，∴以k 为边长作正方形，如图所示，∵S 正方形＝k 2，∴由题可知ab '+bc '+a 'c ＜k 2．29．解：原式＝（x 1x 1―x 1x 1）•(x 1)22(x 1)=2x 1•(x 1)22(x 1)=x 1x 1，由分式有意义的条件可知：x 可取0，∴原式=11=―1．30．解：（1）原式=x 24y 2•xyx 2―12y •x 2=x 4y ―x 4y＝0．（2）原式＝a2b3•（a﹣4b4）＝a﹣2b7=b7a2．31．解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为1x，乙工程队的工作效率为（110―1x），依题意得：5×1x +20（110―1x）＝1，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴1÷（110―1x）＝1÷（110―115）＝30．答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．（2）由题意得：m15+n30=1，整理得：2m+n＝30，∴m＝15―12n，设此项工程总施工费用为w，则w＝3m+1.4n＝3×（15―12n）+1.4n＝﹣0.1n+45，∵﹣0.1＜0，∴w随n的增大而减小，当n最大时，w最小，∵n＜17，m，n都是正整数，∴n的最大值为16，∴当n＝16时，w的最小值＝﹣0.1×16+45＝43.4，答：此项工程总施工费用的最小值为43.4万元．32．解：（1）原式=x1x(x1)(x1)(x1)⋅(x1)2x1=(x1)(x ⋅(x1)2x1＝x﹣1，当x=―12时，原式=―12―1=―32；（2）原式=a 4a 24÷=a 4(a 2)(a 2)⋅a 2a 24a =a 4(a 2)(a 2)⋅a 2a(a 4) =―1a(a 2) =―1a 22a ，∵a 2﹣2a ﹣1＝0，∴a 2﹣2a ＝1，当a 2﹣2a ＝1时，原式=―11=―1．33．解：（1）原式=x (x 2)(x 2)―12(x 2)+1x 2=2x 2(x 2)(x 2)―x 22(x 2)(x 2)+2x 42(x 2)(x 2) =3x 62(x 2)(x 2) =32x 4；（2）原式=3x 3―x 3x 3•x(x 3)(x 3)2=3x 3―xx 3 =3x x 3＝﹣1；（3）原式＝（2a 1a 1―a 21a 1）÷(a 2)2a 1+1=•a 1(a 2)2+1=a(a 2)a 1•a 1(a 2)2+1=―a a 2+a 2a 2 =―2a 2．34．解：（1）12×23×34×⋯⋯×n n 1=1n 1，故答案为：1n 1；（2）（119―1）（120―1）（121―1）……（12011―1）＝（―1819）×(―1920)×（―2021）×……×（―20102011）=―182011．35．解：（1）设小伟在平路上跑步的平均速度是x 米/分钟，则小伟在平路上步行的平均速度是14x 米/分钟，依题意得：280014x +2800x =50，解得：x ＝280，经检验，x ＝280是原方程的解，且符合题意．答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟．（2）设这段坡路的总路程是y 米，则上坡路程是23y 米，下坡路程是13y 米，依题意得：23y 57×280+13y 54×280=9，解得：y ＝2100．答：这段坡路的总路程是2100米．36．解：（1）∵ab ＝2，∴（2a 3b 2﹣3a 2b +4a ）•（﹣2b ）＝﹣4a 3b 3+6a 2b 2﹣8ab＝﹣4•（ab ）3+6•（ab ）2﹣8ab＝﹣4×23+6×22﹣8×2＝﹣4×8+6×4﹣8×2＝﹣32+24﹣16＝﹣24；（2）∵x ―1x =3，∴x 2+1x 2＝（x ―1x ）2+2＝32+2＝9+2＝11．。
八年级数学三角形专题训练一、三角形的基本概念1. 三角形的定义题目：下列图形中，属于三角形的是（）选项：A. 由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形；B. 由三条线段组成的图形；C. 由不在同一直线上的三条直线组成的图形。
解析：三角形的定义是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
选项B中只说三条线段组成的图形，没有强调首尾顺次相接和封闭，选项C中说三条直线是错误的，所以答案是A。
2. 三角形的分类题目：三角形按角分类可分为（）选项：A. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；B. 等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；C. 直角三角形、等腰三角形、锐角三角形。
解析：三角形按角分类分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
选项B是按边分类，选项C分类混乱，所以答案是A。
二、三角形的三边关系1. 定理内容题目：已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是（）解析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
设第三边为x，则5 3<x<5+3，即2<x<8。
2. 应用解析：对于①，3+4 = 7<8，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。
对于②，5+6 = 11>10，6 + 10=16>5，5+10 = 15>6，且10 5 = 5<6，10 6=4<5，6 5 = 1<10，满足三边关系，可以组成三角形。
对于③，5+5 = 10<11，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。
三、三角形的内角和定理1. 定理内容题目：三角形的内角和等于（）选项：A. 90°；B. 180°；C. 360°。
解析：三角形内角和定理表明三角形的内角和等于180°，所以答案是B。
2. 应用题目：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数。
八年级数学上册第十五章第3节分式方程解答题专题训练(33)一、解答题x-6 x(2)已知关于x的一元二次方程-x2+-x-m^2无实数根，求m的取值范围.2 32.某书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用12000元购书若干本，并按该书定价70元出售，很快售完.由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%,他用15000元所购该书数量比第一次多10本.(1)求两次购书的价格分别是多少？(2)若第二次购书按定价售出200本时，出现滞销，于是决定打折出售剩下这批书，那么该商家最低打几折才能保证剩下书的利润率不低于5% ?、 4 1 23.解方程：——-—I—= ；-2x x x-24.某校为美化校园，计划对面积为1100m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成. 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为200m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天。
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.35万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？5.足球是世界第一运动，参与足球运动可以锻炼身体，陶冶情操.“高新美少年，阳春蹴鞠忙”，让学生走出教室，走进阳光，让每一位学生健康、快乐成长，是高新一中初中校区一直秉承的理念.本月，我校第四届校园足球联赛落下了帷幕，并取得了四满成功.为了举办本次活动，我校在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2600元，购买乙种足球共花费1328元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2.5倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花18元.求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元？6.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分10kg,甲型机器人分类800千克垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等.(1)两种机器人每小时分别分类多少垃圾？(2)现在两种机器人共同分类500kg垃圾，工作2小时后，甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后，乙型机器人还需工作多长时间才能完成？7.解下列分式方程,、x + 1 4 1（2）------------ — = 1X-1 X' -1&某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：王老师说:"篮球的单价比排煤的单价多30元李老师说:“用1000元购买的排球个数和用】600元氏买 J的至■直个豪相等同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元.9.解方程（组）：2x+7y=53x+y = -210.某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1. 2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？11.为了迎接暑假的学生购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表甲乙进价（元/双）m m-20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.（1）求m的值（2）由于资金有限，该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双，要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价-进价）不少于21700元，且总利润应不超过22300元，求该专卖店共有几种进货方案（只需计算种数,不用列举各种方案）？（3）在⑵的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50〈a〈70）元出售，乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货. 12.端午节期间，某校"慈善小组"筹集善款600元全部用于购买粽子到福利院送给老人.购买大枣粽子和豆沙粽子各花300元，已知大枣粽子比豆沙粽子每盒贵5元，结果购买的 大枣粽子比豆沙粽子少2盒.请求出两种口味的粽子每盒各多少元？13. 解方程：(每小题3分，共6分)16. 根据《佛山-环西拓规划方案》，三水区域内改造提升的道路约37公里，届时，沿线 将串联起狮山、乐平、三水新城、水都基地、白堀等城镇节点，在这项工程中，有一段 4000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成.已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队 每天完成的工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少 用20天.求甲、乙两个工程队平均每天各完成多少米？17. 桐梓县"四抓四到位"确保教育均衡发展，加速城区新、扩建项目工程・，加快建设某间 小学，公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建 校工程的时间是乙工程队的2倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要60•天.(1) 甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？(2) 若甲、乙两队共同工作了 10天后，乙队因其他工作停止施工，由甲队单独继续施 工，要使甲队总的工作量不少于乙队已做工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少 天？ 18. 解分式方程：(2) ---------- = ------- . 2x-l x+219. 台风“天鸽”登录珠海，距离珠海市180千米处的某武警部队立即派车前往救灾，按 原计划速度匀速行驶60千米后，接上级通知，需紧急赶往目的地.于是以原速度的1.2倍 匀速行驶，结果比原计划提前12分钟到达，求原计划的行驶速度.20. 解分式方程：,、x , 3 , 、 x+1 4 , (1) ---------- 1 — ----------- . (2) --------------- z ---- — 1. x — 1 2x — 2 x — 1 x — 121. 某校为了开展“阳光体育〃活动，购进一批体育用品.经了解，长绳的单价比短绳的单 价多5元，用12000元购进的长绳与用8000元购进的短绳的数量相等.问购进的长绳和14.按要求计算:(2)解分式方程：Y1 5+23 15.解下列方程：(1) ----------- 1 = ------ (2)— ------- =— x+2 x-2 x 2 + x x + 1小淇: 105 140------ 1 ------x 0.8%= 40；小尧:亜x0.8 14040 — y短绳的单价分别是多少元.22.甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同.已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字，则乙每分钟打________ 个字.23.关于x的方程：竺学一X-1 1-X(1)当a = 3时，求这个方程的解；(2)若这个方程有增根，求a的值.24.计算或解方程：(1)［―右］十［—六) (2)甘一士［ = 125.现用A、B两种机器人来搬运化工原料.A型机器人比B型机器人每小时少搬运3kg, A 型机器人搬运40kg与B型机器人搬运60kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？26.某服装店用960元购进一批服装，并以每件46元的价格全部售完•由于服装畅销，服装店又用2220元，再次以比第一次进价多5元的价格购进服装，数量是第一次购进服装的2倍，仍以每件46元的价格出售.(1)该服装店第一次购买了此种服装多少件？⑵两次出售服装共盈利多少元？27.2019年8月.山西龙城将迎来全国第二届青年运动会，盛会将至，整个城市已经进入了全力准备的状态.太职学院足球场作为一个重要比赛场馆.占地面积约24300平方米.总建筑面积4790平方米，设有2476个座位，整体建筑简洁大方，独具特色.2018年3月15日该场馆如期开工，某施工队负责安装该场馆所有座位，在安装完476个座位后，采用新技术，效率比原来提升了25%.结来比原计划提前4天完成安装任务.求原计划每天安装多少个座位.28.某县为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，保护生态环境，某村计划在荒山上植树1200棵，实际每天植树的数量是原计划的1. 5倍，结果比原计划提前了5天完成任务，求原计划每天植树多少棵？29.下面是小淇、小尧对一道中考题目的部分解答.题目：刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元.几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg.这种大米的原价是多少？根据以上信息，解答下列问题.⑴小淇同学所列方程中的X表示 _____ ,小尧同学所列方程中的y表示_______ ；(2)在上述两个方程中任选一个求解，并回答题目中的问题.30.长春外国语学校为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？【答案与解析】一、解答题1. （1） x=-12 ； （2） m< -----18分析：（1）去分母后解整式方程即可，注意要检验；（2）根据方程无实数根，结合根的判别式即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可 得出结论.详解：（1）方程两边乘以x （x-6）得：90x=60（x-6）,解得：x=—12.经检验：x=-12是原方程的根.分式方程的根为x=—12.（2） •••关于x 的一元二次方程丄_? +丄兀—加=2没有实数根，2 3点睛：本题考查了解分式方程以及根的判别式，熟练掌握"当厶<0时，方程没有实数根" 是解题的关键.2. （1）第一次购书的进价是50元，第二次购书的进价是60元；（2）该商家最低打九折才能保证剩下书的利润率不低于5%（1） 设第一次购书的单价为x 元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每 本书的批发价已比第一次提高了 20%,他用15000元所购该书的数量比第一次多10本，列 出方程，求出x 的值即可得出答案；（2） 设该商家打y 折，依题意列出不等式，解不等式即可（1）设第一次购书的单价为x 元，则第二次购书单价是（1+20%） x 元，12000 15000x +1°=（l + 20%）x解得：x = 50,经检验，x = 50是原方程的解, /.（1+20%） x=60答：第一次购书的进价是50元，第二次购书的进价是60元;（2） 150004-60=250 （本） 解：设该商家打y 折，依题意得：® 話 60）x （詈°-200）,（罟200）x60x5%解得：y>9答：该商家最低打九折才能保证剩下书的利润率不低于5%.•.△=（*）2_4X *X （—加―2）<0,解得: 37 m < ------- , 18 37 的值取值范围为m<- —18根据题意得:【点睛】此题考查了分式方程的应用、不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等 量关系是解决问题的关键.3. 原分式方程无解.按照去分母、移项、合并同类项的步骤求解即可.方程两边同时乘以x(x-2),得：4+(兀—2)= 2%x = 2检验：当x = 2时，x(x-2)= 0•••原分式方程无解.【点睛】此题主要考查分式方程的求解，熟练掌握，即可解题.4. (1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是50m\ 25m 2； (2)至少安排甲队 工作20天.(1) 设乙工程队每天能完成绿化的面积是xrr?,则甲工程队每天能完成绿化的面积是 2xm 2,根据"独立完成面积为200加$区域的绿化时，甲队比乙队少用4天"列出方程，再解 即可；(2) 根据题意可得等量关系：绿化总费用=甲队的绿化总费用+乙队的绿化总费用，根据 "使这次的绿化总费用不超过8万元"列出不等式求解即可.解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xrrA解得：x=25, 经检验x=25是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是25x2=50 (m?),答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是50n?、25m 2；(2)设至少应安排甲队工作y 天.根据题意得：解得y>20,所以至少安排甲队工作20天.【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用.解决此题的关键是正确理解题意，找 出题目中的等量关系和不等量关系，据此列出方程或不等式.5.购买一个甲种足球、一个乙种足球各需65和83元 设一个甲种足球需要x 元，根据题意列出方程即可求出答案.解：设一个甲种足球需要x 元，根据题意得:型一型=4 x 2x0.35y + 1100 —50y25 x 0.25 <8•I 一个乙种足球需要(x+18)元,解得：x = 65, 经检验，x = 65是原方程的解, /.x+18 = 83,答：购买一个甲种足球、一个乙种足球各需65和83元【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题 型.6. (1)甲型机器人每小时分类40kg 垃圾.乙型机器人每小时分类30kg 垃圾；(2)甲型 机器人退出后乙型机器人还需要工作12小时.(1) 设甲型机器人每小时分类xkg 垃圾.则乙型机器人每小时分类(x- 10) kg 垃圾，根 据工作时间=工作总量十工作效率结合甲型机器人分类800千克垃圾所用的时间与乙型机 器人分类600kg 垃圾所用的时间相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得 出结论；(2) 根据乙型机器人还需工作时间=剩余的工作总量宁乙型机器人的工作效率，即可求出 结论.解：(1)设甲型机器人每小时分类xkg 垃圾.则乙型机器人每小时分类(x- 10) kg 垃 圾， , 800 600依逆思，得： ---- =X x-10解得：x=40,经检验，x=40是原方程的根，且符合题意,.•.X - 10=40 - 10 = 30. 答：甲型机器人每小时分类40kg 垃圾.乙型机器人每小时分类30kg 垃圾.(2) [500 - (40+30) X214-30 = 12 (小时).答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作12小时.【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.2 7. (1) x=—； (2)无解 3(1) 先去分母化为整式方程，再解方程求出解后检验即可;(2) 先去分母化为整式方程，再解方程求出解后检验即可.3- x _ 14+7_2 2 (3-x) =4+x6-2x=4+x-3x=-2由题意可知:型竺 x % + 182x=—,3经检验，x= |•是原分式方程的解, •••原分式方程的解是x=|；(X +1)2-4= X2-1%2 + 2尢 +1 — 4 = — 12x=2x=l,检验：当x=l时，x2-l=0, /.x=l不是原分式方程的解，•••分式方程无解.【点睛】此题考查解分式方程，首先将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解后需检验是否符合分式方程，再确定分式方程的解.8.排球的单价为50元，则篮球的单价为80元.设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x+30)元，根据总价宁单价=数量的关系建立方程求出其解即可.设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x+30)元，根据题意，列方程得：1000 1600x x + 30解得：x=50.经检验，x=50是原方程的根，当x=50 时，x+30=80.答：排球的单价为50元，则篮球的单价为80元.【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，总价夕单价=数量的数量关系的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是关键.(1)利用加减消元法解方程组即可；(2)去分母、移项、解出X的值，最后验根即可.2x + 7y = 5 ①(1)\ …3x + y = -2(2)②x7-①得：19x=-19,解得x=-l把x=-l代入②解得：y=lx = -l ・・・原方程组的解为｛ °卜=12x + 5 1 （2） ----- = _ x-3 2去分母得：2（2x+5）=x-3,去括号得：4x+10=x-3,移项得：3x=-13,13系数化为1得：X=-y.经检验，x=——是原方程的解.【点睛】本题考查解二元一次方程组及分式方程，解二元一次方程组的主要思想是消元，其解法有 加减消元法和代入消元法等，解分式方程主要是转化思想，把分式方程转化为整式方程求 解，注意，解分式方程时，最后要检验是否为增根.10. （1）购入B 种原料每千克的价格最高不超过10元；（2）这种产品的批发价为50 元.（1）设B 种原料每千克的价格为x 元，则A 种原料每千克的价格为（x + 10）元 根据使 每件产品的成本价不超过34元列出不等式求解即可；（2）设这种产品的批发价为a 元， 则零售价为（a + 30）元，根据“用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元 通过零售价购买该产品的件数相同，”正确列出分式方程即可.（1）设B 种原料每千克的价格为X 元，则A 种原料每千克的价格为（X + 10）元， 根据题意得：1.2（兀+10）+兀34, 解得：兀，10.答：购入B 种原料每千克的价格最高不超过10元.（2）设这种产品的批发价为a 元，则零售价为（a+30）元,解得：a = 50, 经检验，a = 50是原方程的根，且符合实际.答：这种产品的批发价为50元.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量 间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程.11. （1） m=100； （2）共有11种方案；（3）①当50<a<60时，应购进甲种运动鞋 105双，购进乙种运动鞋95双；②当a=60时，所有方案获利都一样；③当60<a<70 时，应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双.（1）根据用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同，构根据题意得: 10000 a 16000a + 30建方程即可解决问题；(2) 根据题意，列出不等式组即可解决问题；(3) 设总利润为 W,则 W= (240-100-a) x+80 (200-x) = (60-a) x+16000 (95<x<105), 分三种情况：①当50<a<60时，②当a=60时，③当60<a<70时，进行讨论.解：(1)依题意得，2400 ,整理得，3000 (m-20) -2400m,解得 m=100, m m-20 经检验，m=100是原分式方程的解，所以，m=100； (2) 设购进甲种运动鞋x 双，则乙种运动鞋(200-x)双，(240 —100)x + (160 — 80)(200-%)> 21700①根据题思得，［go_go)* + (160-80)(200-x)< 22300②解不等式①得，x>95,解不等式②得，x<105,所以，不等式组的解集是95<x<105,Tx 是正整数,105-95+1=11, /.共有11种方案；(3) 设总利润为 W,则 W= (240-100-a) x+80 (200-x) = (60-a) x+16000 (95<x<105),① 当50<a<60时，60-a>0, W 随x 的增大而增大，所以，当x=105时，W 有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95 双； ② 当a=60时，60-a=0, W=16000, (2)中所有方案获利都一样；③ 当60<a<70时，60-a<0, W 随x 的增大而减小，所以，当x=95时，W 有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双.【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，掌握一元 一次不等式组的应用和分式方程的应用.12. 30； 25.试题分析：方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解.本题根据购买大枣粽子和 豆沙粽子各花300元，结果购买的大枣粽子比豆沙粽子少2盒，得到等量关系：购买豆沙 粽子的盒数-2=大枣粽子的盒数，由此列出方程，解方程即可.试题解析：设豆沙粽子每盒x 元，则大枣粽子每盒(x+5)元.解得 Xi=-30, X2=25.经检验血=-30, X2=25是原方程的解，但Xi=-30不符合题意，舍去.当 x=25 时，x+5=30.答：大枣粽子每盒30兀，51沙粽子每盒25兀.考点：分式方程的应用.13. ｛解析｝试题分析:根据题意可知分式方程的解法步骤：去分母(同乘以最简公分母)， 化为整式方程，解方程，检验，得到原方程的解.试题解析：(1)去分母，得2xx2 + 2 (x+3) =7,解得，x=-, 6经检验，x=Z 是原方程的解. 6依题意得^X300尤+5’(2)方程两边同乘(x-2)得，l-x=-l-2 (x-2), 解得，x=2.检验，当x=2时，X —2=0,所以x=2不是原方程的根，所以原分式方程无解.考点：解分式方程2a14. (1) ----------- ； (2)无解；(3) 1 a-b(1) 先把括号内的分式通分化简，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可;(2) 先把分式方程化为整式方程求出x 的值，再代入最简公分母进行检验即可；(3) 根据绝对值、二次根式以及平方差公式计算，再合并即可.,2a —b b 、 2b —a (1)( ------------------ )- --------------- a + b a — b a + b_ (2a - b\a -b)- b(a + b)a +b (Q + b)(a - b) -(a - 2b)2a(a - 2b) a + b(Q + b)(o-b) a-2b laa-b (2)方程两边同乘(x-3)，得 x-2 = 2(x-3)+ l,x-2 = 2x-6 +1解得：x = 3 ,检验：当x = 3时，最简公分母x-3 = 0,所以x = 3不是原方程的解，所以原方程无解；=5-2^6+276-4 =1【点睛】本题考查了分式的化简，实数的混合运算，解分式方程，解分式方程要注意：(1)解分式方 程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；(2)解分式方程一定注意-(3+同(3-同⑶ |2^6-5| + 12要验根.15. (1) x=— : (2)分式方程无解. 3根据解一元一次方程的方法去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤求出 x 的值即可.解：(1)去分母得：x 2 - 2x - X 2+4=X +2,经检验% = |是分式方程的解；(2)去分母得：5x+2=3x,解得：x= - 1,经检验x= - 1是增根，分式方程无解.【点睛】考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.注意检验.16.甲工程队平均每天完成200米，乙工程队平均每天完成100米.设乙工程队平均每天完成x 米，则甲工程队平均每天完成2x 米，根据工作时间=总工作量* 工作效率结合甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用20天，即可得 出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论.设乙工程队平均每天完成x 米，则甲工程队平均每天完成2x 米，解得：x=100, 经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意,.•.2x=200. 答：甲工程队平均每天完成200米，乙工程队平均每天完成100米.【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.17. (1)甲工程队单独完成建校工程需要180天，乙工程队单独完成建校工程需要90天(2)甲队至少再单独施工30天(1)根据题意可设乙工程队单独完成建校工程需要x 天,则甲工程队单独完成建校工程需 要2x 天，利用甲乙合作工作量之和等于1,可列方程:60解得:x=90,所以 2x=180. (2)根据题意可设甲队再单独施工y 天,然后根据题意得:需兰 > 咯^，解得:y230. 180 90(1)设乙工程队单独完成建校工程需要X 天,则甲工程队单独完成建校工程需要2x 天, 根据题意得：60 (4占)，=1,x 2x解得：x=90,经检验,x=90是原方程的解，且符合题意，2x=180.根据题意得: 4000 x 4000 2x'=1,答:甲工程队单独完成建校工程需要180天，乙工程队单独完成建校工程需要90天.(2)设甲队再单独施工y天，根据题意得:孕艮啓x2,180 90解得：y>30,答:甲队至少再单独施工30天.【点睛】本题主要考查分式方程的应用,不等式的应用，解决本题的关键是要熟练确定题目中的等量关系，正确列出方程和不等式.18.(1)方程无解；(2) x=13.(1)两边都乘以最简公分母(x+2) (x-2),把分式方程化为整式方程求解，求出x的值后要代入原方程验根；(2)两边都乘以最简公分母(x+2) (2x-l),把分式方程化为整式方程求解，求出x的值后要代入原方程验根(1)两边同乘以(x+2) (x-2)得：x (x+2) - (x+2) (x-2) =8,去括号，得：x2+2X-X1 +4=8,移项、合并同类项得：2x=4,解得：x=2.经检验，x=2是方程的增根，方程无解.(2)由题意可得：5 (x+2) =3 (2x-l),解得：x=13,经检验，当x=13 时，(x+2) 乂0, 2X-1H0,故x=13是原方程的解.【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验.19.原计划的行驶速度为100千米/时.解题时利用“计划用时-实际用时小时”这一等量关系列出分式方程求解即可.60解：设原计划的行驶速度为x千米/时，, 180-60 180-60 12n则： ----------------- =一，x 1.2% 60解得x=100,经检验：x=100是原方程的解，且符合题意，所以x=100.答：原计划的行驶速度为100千米/时.【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据已知条件列出分式方程式解题的关键.20. （1） -； （2） x=l （是增根）4试题分析：（1）方程左右两边同时乘以2x —2,解出x 以后验证是否为增根即可；（2） 方程左右两边同时同时乘以x 2-l,解出x 以后验证是否为增根即可.试题解析：2x+2x —2=3, 4x=5,5 x 二一, 4 经检验X=』是分式方程的解;4(2)(x+1) 2-4=X 2-1, X 2+2X +1—4=x 2 —1, x=l,经检验，x=l 是分式方程的增根，所以方程无解.点睛：解分式方程先将分式方程化为整式方程，解出X 以后一定要验证X 是否为方程的增 根.21. 短绳的单价是10元，则长绳的单价是15元.设短绳的单价是x 元，用相等关系"用12000元购进的长绳与用8000元购进的短绳的数量 相等"，列分式方程求解，注意检验.解：设短绳的单价是x 元，则长绳的单价是（x+5）元，由题意，得 12000x + 58000= ------- , 5 解得：x=10,经检验，x=10是原方程的根x+5=15 元，答：短绳的单价是10元，则长绳的单价是15元.22. 45设乙每分钟打字X 个，甲每分钟打（X + 5）个，根据题意可得:饕=弓，去分母可得：(1) X x-l 2x-21000x = 900(x+5)，解得% = 45，经检验可得:x = 45，故答案为：45.23. (1) x=—2；(2) a=—3. Q . -1 ry (1)将沪3代入,求解丄〒一一=1的根，验根即可， x-1 1-x (2) 先求出增根是x=l,将分式化简为ax+l+2=x —1,代入x=l 即可求出a 的值.Q . 1 r\解：⑴当a=3时，原方程为上〒一一=1, x-1 1-x方程两边同乘x —1,得3x+l+2=x —1,解这个整式方程得x=—2,检验：将 x=—2 代入 x —1 = —2—1 = —3/0,•••x=—2是原分式方程的解.(2)方程两边同乘x ―1,得ax+l+2=x —1,若原方程有增根，则x —1=0,解得x=l,将x = l 代入整式方程得a+1+2=0,解得a= —3.【点睛】本题考查解分式方程，属于简单题，对分式方程的结果进行验根是解题关键.8尢424. (1) ----------- ； (2) x=l9y分析：(1)先算乘方，然后把除法转化为乘法约分化简；(2)两边都乘以最简公分母(x+l)(x-l),把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程要验根；y 2 8x 6 8x 4二・——x --- = ------- -----9x 2 y 3 9y '(2)两边都乘以最简公分母(x+l)(x-l)，得 (x + 1)2 - 4 = x 2 -1 .*.X 2+2X +1-4=X 2-1Z2x=2,x = 1.点睛：本题考查了分式的混合运算和分式方程的解法，熟练掌握分式运算的相关法则和解 分式方程的步骤是解答本题的关键.25. A 型机器人每小时搬运6千克化工原料分析：首先设A 型机器人每小时搬运x 千克化工原料，则B 型机器人每小时搬运(x+3)千克 化工原料，根据题意列出分式方程，从而得出答案.详解: (1)原式=詁。
