高等几何第一章体会
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第一章心得体会
0817010001 聪
让我们回顾这一章，先从几个问题出发：
1、在这一章中，蕴含了的最主要的数学思想是什么？
2、怎样运用仿射几何的知识解题，它的常用方法有哪些？怎样才能构造一
道能在运用仿射知识的题目?
3、对于课本12页里面的一句话：相似变换总能分解为一个正交变换与一个
位似变换的乘积。
这句话应该怎样理解？
4、从变换的角度看，欧氏几何为什么是特殊的仿射几何？
在我们中学时，我们就接触过这样的两种思想：特殊，一般。
老师经常嘴上念着：从一般到特殊，再从特殊到一般。
但是那时这种思想还没深入人心。
而通过高等几何，我们可以随处发现特殊与一般的思想，它无处不在。
我们通过序言的学习，已经大概明白了射影几何比仿射几何大，仿射几何比欧氏几何大。
例如，在射影几何中就有无穷远点与无穷直线、齐次坐标一说，而欧氏几何没有；又如在欧氏几何中的某些变换不存在二重点时，与此相对应的射影几何的射影变换有可能存在二重点。
从中我们就可以得出它们蕴含了一般与特殊的思想：欧氏几何是特殊的仿射几何，仿射几何是欧氏几何的一般情况；仿射几何是特殊的射影几何，射影几何是仿射几何的一般情况。
但是，对于研究的性质方面来说，欧氏几何的内容比仿射几何的内容多，仿射几何比射影几何的内容多。
因此，凡是在仿射几何、射影几何中成立的性质在欧氏几何中也成立。
让我们考虑怎样运用射影几何的知识解题。
射影几何的变换比欧氏几何的变换多，因此我们构造映射：
''''
Φ→
V V x y
:,
这里的Φ我们规定为仿射变换，'V为仿射几何。
而'x，'y为仿射几何里面
'y为'x在仿射变换Φ下对应的元素。
通过这个映射我们可以怎样解决的元素，且
问题呢？我们可以这样思考：我们一般要证明的问题是让它在欧氏几何中成立，如果它在仿射几何中成立，那么自然在欧氏几何中成立；而如果它在欧氏几何中成立，它不一定在仿射几何中成立。
因此变换这一观点非常重要。
就如对于一个欧氏空间上的椭圆，我们用欧氏几何的正交变换，只能由椭圆变到椭圆。
而如果我们考虑的是仿射几何，我们用仿射变换，能由椭圆变到圆，也能由圆变到椭圆。
因此，我们突出的一点是仿射变换，而对于仿射几何的常用方法，常用的工具是仿射坐标系与仿射变换。
下面我们以求证任意三角形的三条中线交于一点为例。
虽然此证法在高中以及平面解析几何中至少有3种证法，此外还可以用德萨格逆定理来解决此问题，但是这里，我们规范地用仿射知识两种方法给出解答。
首先，采用仿射坐标系的方法。
我们画出图形，如图一：
Ｂ
x轴
(图一)
对于仿射几何的任何三角形，我们可以通过仿射变换，得到图一的仿射坐标系，使它满足AF、BE、CD是中线，且有坐标B(0,0);F(1,0);C(2,0);D(0,2);E(1,1);则我们可以求得CD的方程为x+2y-2=0;BE的方程为x-y=0;AF的方程为2x+y-2=0，我们设
AF、BE的交点为O1，BE、CD的交点为O2，AF、CD的交点为O3，则我们可以联立方程，解得O1(2/3,2/3); O2 (2/3,2/3); O3 (2/3,2/3),则此三角形的三条中线交于一点，则由仿射变换保结合性，得到仿射几何中任意三角形的中线交于一点。
再由仿射几何成立的性质，在欧氏几何也成立，故得到在欧氏几何里面的任意三角形的中线交于一点。
接下来，我们我们用仿射变换的方法来解决此问题。
对于仿射几何的任意三角形，我们可以通过仿射变换变成正三角形，我们得到此正三角形如图二。
(图二)
对于此正三角形，我们可以假设AF、BE交于O1，BE、CD交于O2，AF、CD的交于O3，通过计算，我们可以得到AO1/ O1F=BO1/ O1E=2,且A O2/ O2F=CO2/ O2D=2,则由上面两式子，得到A O1/ O1F=A O2/ O2F=2，则O1= O2，同理可以得到O1= O3，则可以得到这三条直线交于一点。
则由仿射变换保结合性，得仿射几何下的任意的三角形的三条中线共点，故欧氏几何下的任意三角形的三条中线交于同一点。
通过这两个解法，我们可以体会到这里的思想，在一般情况的仿射几何性质成立下，得出此性质也满足特殊情况的欧氏几何。
此外，我们把一般的三角形转化成正三角形，也用了特殊与一般的思想。
而我们应该怎样构造一道能在运用仿
射知识的题目呢？我们的思维就是考虑在经过仿射变换后，图形此时满足的结合性与保单比方面做文章，从而构造出题目。
接下来，让我们再考虑一下一些特殊的仿射变换。
我们给出一般的仿射变换Φ的表达式：
'111213
'
212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎨=++⎩
111221220a a a a ∆=≠ 我们可以把它改写成：
1121''132312
22
(,)(,)(
)(,)a a x y x y a a a a =+ 其中Φ=112112
22
(
)a a a a
此外，根据课本的定义，我们有相似变换的定义为：
'111
'
112
(1)x a x b y d y b x a y d λλλ⎧=-+=±⎨=++⎩ 故此时我们让11a =1a ，12a =1b λ-，21a =1b ，22a =1a λ，故此时有：
1112222211a a a b +=+ 12112222222211()()a a b a a b λλ+=-+=+ 我们令1122a b +=2ρ，则112221
a a +=122222a a +=2ρ 且
111221221111()0
a a a a a
b b a λλ+=-+=
故由上面分析，我们可以用等价的说法定义相似变换，下面给出定义：
对于仿射变换Φ：'111213'212223
x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎨=++⎩ 111221220a a a a ∆=
≠ 其中Φ=112112
22
()a
a a a
如果它满足112221
a a +=1222
22a a +=2ρ(ρ≠0) 且 11122122a a a a +=0，则称它为相似变换。
由此，我们可以根据课本对正交变换的定义，得出正交变换是特殊的正交变换，此时满足ρ=1。
而正交变换有哪些类型呢?在正交变换下让我们来考虑这个问题：
由Φ=112112
22
(
)a a a a ，则：
111222
21
11122122112111
1222122221
2211122122
22T
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫ΦΦ== ⎪
⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=1001⎛⎫
⎪⎝⎭ 则1Φ=±，当1Φ=时，则可令11a =cos ϕ，12a = sin ϕ，21a =sin ϕ-，22a =cos ϕ，
则可以得到正交变换的第一种类型：
'13
'
23
cos sin sin cos x x y a y x y a ϕϕϕϕ⎧=++⎨=-++⎩ 而当1Φ=-时，我们可令11a =cos ϕ，12a =sin ϕ，21a =sin ϕ，22a =cos ϕ-， 则可以得到第二类正交变换的类型：
'13
'
23cos sin sin cos x x y a y x y a ϕϕϕϕ⎧=++⎨=-+⎩
至此，我们得到了两类正交变换的类型。
下面我们再来讨论一下为什么相似变换总能分解为一个正交变换与一个位似变换的乘积。
我们令正交变换Φ=112112
22
(
)a a a a ，我们由课本可得位似变换为：
'13'23x kx a y kx a ⎧=+⎨=+⎩ 则可以得到位似变换1Φ=00k k ⎛⎫
⎪⎝⎭
故1ΦΦ=11211222(
)a a a a 00k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=11
21
1222
()ka ka ka ka 则只需验证'111213
'212223
x ka x ka y a y ka x ka y a ⎧=++⎨=++⎩是否满足上面的定义
由11222221
k a k a +=122222
22k a k a +=2k ，且11122122ka ka ka ka +=0，最后令k ρ=，则可得到相似变换可以分解成一个正交变换与一个位似变换的乘积。
此外不难验证，相似变换也可以分解成一个位似变换与一个正交变换的乘积。
最后，我们从变换的角度归纳一下为什么欧氏几何是特殊的仿射几何。
从变换的角度来看，仿射几何里面的变换比欧氏几何多。
就如欧氏平面到自身的变换，是以两点距离不变为特征的，因此位似变换就不属于通常的欧氏平面到自身的变换，它不保距离，而它在仿射变换的范畴内。
而欧氏几何与运动、度量有关，例如旋转、平移、中心对称、反射，其中我们不难验证旋转、平移、中心对称满足上面提到的第一类正交变换，反射符合上面的第二类正交变换。
因此，欧氏几何是从正交变换的角度出发的，故它是特殊的仿射几何。
