编号学士学位论文凸函数及其应用学生姓名：艾木拉姑丽·吐尔逊学号：20060101025系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006-1班指导教师：托乎提·塞都拉完成日期：2011 年 5 月10 日1摘要函数凸是一种非常重要的函数.它是研究函数，作出函数图象的基础，因此论文中首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，然后讨论凸函数的充要条件或充分条件.提出凸函数的9种常用的判别法，并给出每一个定理的证明，最后应用凸函数概念证明几个重要不等式.关键词：有界；单调；连续；可导；凸函数；Lagrange 定；Lepshitiz 条件；Jensen 不等式；2目 录摘要 .............................................................................................................................1 引言 .............................................................................................................................1 1.凸函数的定义与几何意义 .....................................................................................1 2.凸函数的判别法 .. (3)定理1............................................................................................................................ 3 定理2............................................................................................................................ 4 定理3............................................................................................................................ 5 定理4............................................................................................................................ 6 定理5............................................................................................................................ 6 定理6............................................................................................................................ 8 定理7............................................................................................................................ 9 定理8............................................................................................................................ 9 定理9.. (10)3.凸函数的应用 ....................................................................................................... 11 总结 ...........................................................................................................................17 参考文献 ...................................................................................................................18 致谢 (19)1引言讨论函数()y f x =的性态，仅仅知道函数()y f x =在区间I 严格增加还不够.因为函数()y f x =在区间I 严格增加还有不同的方式.函数的凹，凸性是研究函数性质（形态）的重要方法，且证明有些不等式的有力工具.为了掌握好函数的所有性质，首先要讨论函数凸性的充分条件与充要条件，因此本文中提出了凸函数的几种常用的判别法. 1.凸函数的定义与几何意义设函数()f x 在区间I 上有定义、从几何上来看、若()y f x =的图像上任意两点()()11,x f x 和()()22,x f x 之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上）、则称该函数是凸（凹）.参见图1.这个概念用解析的语言可以表述成 定义1；定义2：设函数()f x 在开区间I 有定义，若()12,,0,1x x I λ∀∈∀,有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦〈1〉则称()f x 在区间I 是下凸函数或简称函数()f x 在区间I 是凸的﹒()121x x x λλ=+-若定义中则221,x x x x λ-=-1211x x x x λ--=-则不等式〈1〉可以改写为()()()()1212fx f x fx f x x x x x--≤--2这就是凸函数的另一种定义﹒ 凸函数的几何意义： 当()0,1λ∈时点()()122211x x x x x x λλλλ=+-=--表示了区间()12,x x 中的某一点，即()12,x x x λ∈﹒在下图中弦12A A 的方程是：()()()12121fx f x y f x x x +=+-将x x λ=代入上式得()()()3231BA f x f x λλ=+-但()4BA f x =因此不等式〈1〉在几何上表示为34BA BA ≥也就是说，曲线()y f x =在弦12A A 下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状﹒（图1）除了凸函数上面的定义意外，还可以给出连续函数()f x 在区间I 上为凸函数的的等价性定义；定义1'：()f x 在区间I 上有定义且连续()f x 称为I 上的凸函数，如果21,x x ∀I ∈,有⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f ()()⎪⎭⎫⎝⎛+≤221x f x f f将“≤”改为“〈”.定义2'：()f x 在区间I 上有定义且连续()f x 称为I 上的凸函数，如果Ix x x n ∈∀,...,,21，有()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≤⎪⎭⎫⎝⎛+++n x f x f x f f n x x x f n n (2121)x)x ()()21f x λ-图13例1： 证明()2f x x =在R 上是严格凸函数﹒ 证明：事实上()1212,,,0,1x x R x x λ∀∈≠∀∈且有()()()()()()()()()()()()()()22221211222222222212121122222212221212121121111111f x x x x x x x x x x x x x x x x x x fx f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-=+-+-⎡⎤⎣⎦<+<+-++-⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦=+-=+-即函数()2f x x =在R 上是严格凸函数﹒2.凸函数的判别法定理1设()f x 于(,)a b 上可微 ，则()f x 严格下凸⇔()f x '是严格增加﹒ 证明：()⇐根据Lagrange 中值定理对一切()1212,,,x x a b x x ∈≠及01t <<必存在()()1122,,t t x x x x ξξ∈∈和使得()()()()121t f x tf x t f x ---()()()()()121t t t f x f x t f x f x =-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()112212211(1)0t t t f x x t f x x t t f f x x ξξξξ''=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''=---<⎡⎤⎣⎦（ ()()12f f ξξ''<）()()()()121t f x tf x t f x ∴<+-由凸函数定义()f x 在(),a b 是函数﹒()⇒任取()12,,x x a b ∈满足12x x <我们来证明4()()()()12,f x f x f x a b '''<及在严格增加，设ξη<从(),x ξη∈知存在数01t <<使得()11t x t ξη=-+，根据()f x 的严格下凸条件得】()()()()1f t f x tf ξη<-+即()()()()f fx f f x xxξηξη--<--上式表明λ的函数()()()f fx xλψλλ-=-在()12,x x 严格增加.由此可见()()x x ψψ+<-记起()()11x f x ψ'+=并类次可()()22x f x ψ'+=∴()()()12f x f x f x '''<⇒在(),a b 严格增加﹒定理2函数()f x 在区间I 可导则()f x 在区间I 可导，则()f x 在I 是凸函数的充要条件是()()()()1221121,x x I f x f x f x x x '∀∈≥+-有证明：()⇒若()f x 在I 是凸函数，则由定理1有()f x '在I 上单调增加12,x x I∴∀∈ ()12x x <有()()()()2121f x f x f x x ξ'-=-()()()12121xx f x x x ξ'<<≥- ()()()()21121f x f x f x x x '∴≥+-同法可证明12x x >时也有()()()()21121f x f x f x x x '>+-()⇐若()()()()1221121,x x I f x f x f x x x '∀∈≥+-有令()3121x x x λλ=+- ()01λ<<则()()()131221211,x x x x x x x x λλ-=---=-∴对13,x x I∈有()()()()13313f x f x f x x x '≥+-()()()()33121f x f x x x λ'=+--5对()()()()()()()23233233321,x x I f x f x f x x x f x f x x x λ''∈≥+-=+-有从而()()()()()()()()()()()()()()()()()()133122332112312111111f x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x f x x λλλλλλλλλλλλ≥+--'-≥-+--∴+-≥=+-即()f x 在I 是凸函数. 定理3若函数()f x 在区间(),a b 上二阶可微且()0f x ''≥，则()f x 下凸. 证明：在区间(),a b 内任取两点()1212,x x x x <， 令120120202x x x x x x +=+-=即函数()f x 在0x 的泰勒公式是()()()()()()2000012f x f x f x x x f c x x '''=+-+- ()0c x x 是与之间当1x x =时()()()()()()21001011012fx fx f x x x f c x x '''=+-+- ()10x c x <<当2x x =时()()()()()()22002022012fx fx f x x x f c x x '''=+-+-02x c x <<()()()()()()()()()()()()()()221200*********2201102201222122fx f x f x f x x x x f c x x f c x x fx f c x x f c x x ⎡⎤'''''∴+=++-+-+-⎣⎦⎡⎤''''=+-+-⎣⎦()()()()()()()()2212110220,00,00x a b f x f c f c f c x x f c x x ''''''''''∀∈>∴≥≥-+-≥ 有即于是()()()()()()1212022f x f x f x f x f x f x ++≥≤或因此()(),f x a b 在内是凸﹒6定理4设函数()f x 在开区间I 可导，函数()f x 在I 上是凸⇔曲线()y f x =位于它的任意一点切线的上方.证明：()⇒0x I ∀∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 的切线方程： ()()()()000y x f x f x x x '=+- 从而()()()()()()000f x y x f x f x f x x x '-=---()()()()()()()00000f x x f x x x f f x x x ξξ''=---''=--⎡⎤⎣⎦其中ξ在x 与0x 之间.若函数()f x 在I 是凸，根据定理1，则()()00f f x x x ξ''--与同号，于是x I ∀∈，有()()0f x y x -≥即曲线()y f x =在其上任意点()()00,x f x 的切线上方.()⇐若0,x x I ∈，有()()()()()()0000f x y x f x f x f x x x '-=---≥当0x x <时有()()()000fx f x f x x x -'≤- ，当0x x >时有()()()000fx f x f x x x -'≥-于是x I ∀∈且()()()()121212fx f x fx f x x x x x x x x--<<≤--有 因此函数()f x 在I 上凸.定理5()f x 在(),a b 上为下凸函数的充要条件是对一切()123,,,x x x a b ∈ ()123x x x <<恒有x7()()()()()()213132213132fx f x fx f x fx f x x x x x x x ---≤≤--- ；证明：如图所示在曲线()y f x =上自左至右任取三点,,P Q R 则两两相连所得线段的斜率满足PQ PR Q R K K K ≤≤ （ 图-2）()⇒设3221313111x x x x x x x x λλ--=<-=--则 ，令()2131x x x λλ=+- 则根据()f x 的凸函数有()()()()()131311fx f x x fx f x λλλλ=+-≤+-⎡⎤⎣⎦ （1）()()3221133131x x x x fx fx x x x x --=+-- （2）进而得到()()()()()()312321213x x f x x x f x x x f x -≤-+- （3）()()()()()()3213122130x x f x x x f x x x f x ∴---+-≥()()()()()()()()3112113122130x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥ 或 ()()()()()()()()3213222122130x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥ 从而()()()()()()31212132x x f x f x x x f x f x --≤--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()21312131fx f x fx f x x x x x --∴≤-- 同法可证 ()()()()31323132fx f x fx f x x x x x --∴≤--()⇐由123,,x x x 在(),a b 上任意性，可以得到凸函数的定义2故()f x 在(),a b 上为一凸函数.8定理6()f x 在区间I 上为凸函数x I ⇔∀∈，当12x x x <<时有 ()()()11221101x fx x f x x f x ≥.证明：()⇒()1212,,,x x x I x x x f x ∀∈<<且在区间I 上可导，由定义()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦（1）设()121x x λλλ=+- 1211x x x x λ--=- 不等式（1）可以改写为()()()21122121x x x x fx fx fx x x x x --=+-- （2） 设12x x x <<将不等式（2）不等号两边乘上210x x ->有()()()()()()21112120x x f x x x f x x x f x -+-+-≥ （3）或可以改写为行列式的形式()()()1122111x fx x f x x f x ≥ ，()⇐()()()11221101x fx x f x x f x ≥ 设12x x x <<由于()()2121x x x x x x -=-+-，（3）或改写为()()()()()()()()21121120x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥或()()()()1212fx f x fx f x x x x x--≤-- ∴函数()f x 是凸函数.9定理7若函数()f x ，()g x 在区间I 上为凸函数，则()()f x g x +也在I 上为凸. 证明：因为()(),f x g x 在区间I 上为凸函数.∴对定义区间内任意两点12,x x 及()0,1λ∀∈，有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦及()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦不等式两边分别相加得()()()()()()()12121122111f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦按定义()()f x g x +为凸函数.定理8若()f u 是单调增加的凸函数，且()u x ψ=为凸函数，则复合函数()f x ψ⎡⎤⎣⎦也是凸函数.证明：()u x ψ= 是凸函数，12,x x ∀有()()121222x x x x ψψψ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（由凸函数的定义）又因为()f x 是单调增加的凸函数，所以12,x x ∀有()()()()121212222f x f x x x x x f f ψψψψψ+⎡⎤⎡⎤+⎡⎤⎡+⎤⎛⎫⎣⎦⎣⎦≤≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（()()1212122x x x x ψψψ+⎛⎫+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭）所以复合函数()f u ψ⎡⎤⎣⎦也是凸函数.10定理9函数()f x 在区间I 上为凸⇔12,,n x x x I ∀∈ 有()()()112211221212n n n n n n t f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t +++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭其中 ()122,,,,0nn t t t ≥>证明：()⇐若12,,,n x x x I ∀∈ 有 ()()()112211221212n n n n n nt f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t +++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭()12,,,0nt t t > 则2n =时有()()112211221212t f x t f x t x t x f t t t t +⎛⎫+≤ ⎪++⎝⎭()12,0t t >令12,1t t t t ==- （0<t<1）有()()()()121211f tx t x tf x t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦ 由定义知函数()f x 在I 上为凸. 必要性()⇒若()f x 在I 为凸函数，则12,x x I ∀∈有()()()()121211f tx t x tfx t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦ ()01t << 12,0t t ∴∀>令112t t t t =+ 则2121t t t t -=+ 则()()112211221212t f x t f x t x t x f t t t t +⎛⎫+≤⎪++⎝⎭ 即2n =是不等式成立.设1n k =-时有11()()()112211112211121121k k k k k k t f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t ------+++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭()121121,,,,,,,0k k x x x I t t t --∀∈> ，n k =时有()()112211121112211121121121.()()k k k k k k k k k k k k k k t x t x t x t t t t x t x t x t x t x t t t f f t t t t t t t t --------+++⎡⎤++++⎢⎥⎡⎤+++++++⎢⎥=⎢⎥++++++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()112211*********.k k k k k k k kt x t x t x t t t ft x t t t t t t t -----⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭≤++++()()()112211121()k k k k k kt fx t f x t f x t f x t t t t ---++++≤++++即n k =是不等式成立，所以定理是正确的.3.凸函数的应用例2： ()f x 为区间I 上的凸函数,1,2,,x I n ιι∈= 10,1nιιιλλ=>=∑这时有()()()()11221122n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤+++ . 证明：（用数学归纳法） 当2n =是凸函数的定义 12λ=时112λλ==()()()11221122f x x f x f x λλλλ+≤+成立.当1n k =-时0a ι> 111k a ιι-==∑ 有12()()()()112211112211k k k k f x x x f x f x f x αααααα----+++≤+++ 成立当n k = 时 11nιιλ==∑时只各项 1kιιλαλ=-就有()()1122111122111.1k k k k k k k k k kx x x f x x x x f x λλλλλλλλλλ----⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦()()11221111k k k k k kx x x f f x λλλλλλ--⎡⎤+++=-+⎢⎥-⎣⎦()()()()()1122111.k k k k k fx f x f x f x λαααλ--≤-++++⎡⎤⎣⎦()()()()112211k k k k f x f x f x f x λλλλ--=++++()()()()11221122n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ∴+++≤+++例3:设:()f x 在区间（a ，b ）内为凸函数，并且有界，试证()lim x af x +→与()5lim x f x →均存在.证明：不妨设()f x M ≤，根据()f x 的凸性知，()00,,x a b a x x ∀∈<<时()()()()()()00000fx f x fx f x fx Mk x x x x xx a---==>---是x 的单调有界函数，从而存在()()00lim ,x afx f x A x x +→-=-，而(),x a b ∈ ()()()()()0000fx f x f x x x fx x x -=-+-则()()()000lim x af x a x f x →=-+例4：设0i a >，0i b >（1,2,...,i n =）证明：11111nnnp qp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑其中110,,1p q qp<<+∞+=此不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当2p q ==时，13又称为始瓦茨（Schwarz ）不等式或柯西不等式；证明：令 ()16f x x =则()()0;011121''>∀<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x xq q x f q 因此()f x 为()0,+∞上的严格凹函数，于是若10,,1ni i i i x t o t =>>=∑ 则有()q n n q nn q qx t x t xt xt xt 1111122111......++≤+++ 现取1pii np ii a t a==∑，q i i pib x a =并且代入不等式，得()q p i ni qq nqni nn a bbb a b a 1111111......⎪⎭⎫ ⎝⎛∑++≤∑++==整理即得q p i ni p p i ni i i ni b a b a 11111⎪⎭⎫⎝⎛∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∑<∑==-；例5：由()ln f x x = 的凸性,利用Jensen 不等式来导出平均值不等式. 解:由于()210,f x x=-<故()fx 在()0,+∞上是凹函数,对于凹函数詹森不等式()()()()1...............1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≤++ 应取反向,设()0,0,1,2,,;i x i n >=⋅⋅⋅并取()1,1,2,,i i n nλ==⋅⋅⋅显示有11ni i λ==∑把它们代入反向的（1）式，得到()111lnln ln lnnn x x x x nn+⋅⋅⋅+≥+⋅⋅⋅+=由于()ln f x x =是递增函数，因此得到1nx x n⋅⋅⋅≤再由()1ln ln g x x x=-=为—凹函数，类似地又有1111111ln ln ln ln nn x x nn x x +⋅⋅⋅+⎛⎫-≤-+⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭又得14111nn x x ≤+⋅⋅⋅+1111nnx x n nx x ⋅⋅⋅≤≤+⋅⋅⋅+例6：设()f x 为区域(),a b 内的凸函数，试证：()f x 在I 的一内闭区间[](),,a b αβ⊂上满足来布尼兹（Lipschitz ）条件.证明：首先我们要清楚来布尼兹（Lipschitz ）条件，称()f x 在[],αβ满足 来布尼兹（Lipschitz ）条件，是存在L ，使[]12,,x x αβ∀∈有()()1212fx f x L x x -≤-即()()1212f x f x Lx x -≤-曾有凸函数关于增量比值的性质：()()1212fx f x x x --是关于x 的增函数实际上，有关增量的结论，一般还有如下四个结论是等价的()123x x x <<（1）()f x 在[],αβ上凸函数； （2）()()()()21312131fx f x fx f x x x x x --≤--；（3）()()()()31322131fx f x fx f x x x x x --≤--；（4）()()()()21322132fx f x fx f x x x x x --≤--；15上面式（1）（2）（3）均表明()()00fx f x x x --对固定的1x 而言，是关于x 的增函数的结论的变形形式.则由于[](),,a b αβ⊂，故有在0h >使得[](),,h h a b αβ-+⊂ 12x x <且[]12,,x x αβ∈时，取32x x h =+尤式（4）知()()()()213221fx f x fx f x M m x x hh---≤≤-，其中,M m 分别表示f 在[],h h αβ-+上的上，下确界，则()()1221..................M m f x f x x x h--≤-（1）12x x >，则可取32x x h =-，有()()()()21212121fx f x M m M m fx f x x x x x hh---≤⇒-≤--当21x x = 21x x =时不等式（1）成立.变换21,x x 的位置，不等式（1）成立，故[]12,,x x αβ∀∈有()()1221M m fx f x x x h--≤-；例7：设()f x 是区间[],a b 上的凸函数，则()()()122b af a f b a b f f x dx b a++⎛⎫≤≤⎪-⎝⎭⎰证明：由()f x 的凸性保证了积分()ba f x ⎰有意义当,2a b x b +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2a b a b x a +⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦且有()()22a b f a b x f x f +⎛⎫+-+≥⎪⎝⎭因为()()2a b baaf x dx fx dx +=⎰⎰令x a b μ=+-，得16()()()22a bbb aa b bf x dx f a b d f a b dx μμμ++=-+-=+-⎰⎰⎰从而()()()()22222bbb aa b a ba ba b f x dx f a b x f x dx f dx a b f ++++⎛⎫⎛⎫=+-+≥=-⎡⎤⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰于是()12b aa b f fx dx b a+⎛⎫≤⎪-⎝⎭⎰作变换()()t b x b a =-÷-，则有()()()()()()()()()()()1111112b af a f b f x dx f a t b dt b a t a t b dt b a tf a t f b dt b a +=+-=-⋅+-≤-+-=-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰从而()()()12b af a f b f x dx b a+≤-⎰例8：设0,0,p q >>求证：当2o xπ<<时sin cos px qx <证：原式可以变形为22sin cos 1pqp qx x p q p q +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取对数又可变性为22sin cos 1ln ln ln px px p q p p q q p q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()ln g x x =的凹性，即证；17总结凸函数是研究函数性质的重要工具，作出函数图象与证明不等式的一种方法.因此本文中主要讨论凸函数概念与凸函数的9种常用的判别法.应用凸函数解决问题或证明一个不等式时首先选取本文中的适当的一种凸函数判别法，然后利用此种方法讨论已知函数的凸性，最后按照函数的凸性来证明原不等式.18参考文献[1] 毛羽辉.数学分析选论（上册）[M].北京：科学出版社.2004：66～72[2] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏．数学分析指导书[M]．高等教育出版社.2004：169～171[3] 谢惠民，恽自求，易法槐，钱定边．数学分析习题课讲义（上册）[M]．高等教育出版社.2004：243～245[4] 方企勤．数学分析（上册）[M]．北京大学数学系.1986：197～206[5] 欧阳光中，姚允龙．数学分析（上册）[M]．复旦大学出版社.1991：195～199[6]陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中．数学分析（上册）[M]．高等教育出版社.1978：193～200[7]刘玉璉，傅沛仁，林玎，刘宁 ．数学分析（上册）[M].高等教育出版社.2003：256～262[8]任胜健.数学分析（第一册）[M].北京大学出版社.2009:218～225[9]牛庆银.数学分析选论[M].科学出版社.2004:66～72[10]李胜宏.数学分析[M].浙江大学出版社.2009:197～20319 致谢在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高.在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批准了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢他的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束.非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础.此致敬礼：艾木拉姑丽.吐尔逊 2011-5-10。
