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第1节细胞生活的环境1.体液分为细胞内液和细胞外液，细胞外液包括血浆、组织液和淋巴等。
2．内环境就是由细胞外液构成的液体环境。
3．不属于内环境的一些液体：尿液、原尿、消化液、汗液、泪液、体腔液、关节液等。
4．血浆与组织液、淋巴的主要差别在于血浆中含有较多的蛋白质。
5．内环境是细胞与外界环境进行物质交换的媒介。
体内细胞生活在细胞外液中[自读教材·夯基础］1．体液(1)含义：人体内含有的大量以水为基础的液体.（2)组成错误!2．内环境(1）概念：由细胞外液构成的液体环境。
(2)组成及关系:（3)作用：是体内细胞生活的直接环境.1．探究下列液体是否构成内环境，并说明理由。
①汗液②尿液③血浆④消化液⑤细胞质基质提示：③构成内环境;①②④⑤不构成内环境。
理由:①②④虽然来自于体液,但它们能与外界直接接触，属于体外环境,不是内环境；⑤位于细胞内部,属于细胞内液，也不属于内环境.2．手和脚有时会磨出水泡甚至血泡,思考血泡与水泡的成分是否相同。
提示：不相同。
血泡的成分中有血液,水泡的成分是组织液。
3．判断下列细胞生活的内环境。
①红细胞②肝细胞③毛细淋巴管壁细胞④毛细血管壁细胞提示：①红细胞——血浆；②肝细胞——组织液;③毛细淋巴管壁细胞—-组织液和淋巴；④毛细血管壁细胞--组织液和血浆。
［跟随名师·解疑难］1．内环境成分的位置关系上图中①为细胞内液，②为血浆，③为组织液,④为淋巴，②③④共同组成了内环境。
2．内环境成分的内在联系（1)组织液、血浆间的双向交换：当血浆流经毛细血管时，水和一切能够透过毛细血管壁的物质都可以在毛细血管动脉端渗出，进入组织细胞间隙而成为组织液，绝大多数的组织液在毛细血管静脉端又可以重新渗入到血浆中，因此组织液和血浆之间可进行双向物质交换。
（2）组织液、淋巴间的单向交换及淋巴、血浆间的单向交换:少量的组织液还可以渗入毛细淋巴管，形成淋巴，淋巴经淋巴循环由左右锁骨下静脉汇入血浆中。
第一单元分数乘法教材分析教学内容：与实验教材的主要区别突出强调分数乘法意义的两种形式，增加例2，作为教学“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”的铺垫。
解决“求一个数的几分之几是多少”的实际问题不单独编排，而是结合分数乘法的意义、计算进行教学。
增加分数与小数的乘法。
增加连续求一个数的几分之几的实际问题。
求比一个数多（或少）几分之几的实际问题由两个例题缩减为一个。
“倒数的认识”由“分数乘法”单元移到“分数除法”单元。
本单元是在整数乘法、分数的意义和性质的基础上进行教学的，同时又是学习分数除法和百分数的重要基础。
与整数、小数的计算教学相同，分数乘法的计算同样贯彻《标准》提出的让学生在现实情景中体会和理解数学的理念，通过实际问题引出计算问题，并在练习中安排一定数量的解决实际问题的内容，以丰富练习形式，加强计算与实际应用的联系，培养学生应用数学的意识和能力。
根据本套教材的编写思路，本单元将解决一些特殊数量关系问题的内容单独安排。
即把解决“求一个数的几分之几是多少”和稍复杂的求“比一个数多或者少的几分之几是多少”这一类问题组成”解决问题”一个小节，通过教学使学生理解这类问题的数量关系，掌握解题思路。
与整数、小数的计算教学相同，教材体现结合具体情境体会运算意义的要求。
不再单独教学分数乘法的意义，而是通过解决实际问题，结合计算过程去理解计算的意义。
同时也不再呈现分数乘法的计算法则，简化了算理推导过程的叙述及解决问题思路的提示，通过直观与操作等手段，在重点关键处加以提示和引导，这样可以为学生探索与交流提供更多的空间。
教学目标：1. 理解分数乘法的算理并掌握分数乘法的计算方法，会进行分数乘法计算。
2. 理解乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并会应用这些运算定律进行一些简便计算。
3. 使学生理解分数乘法应用题中的数量关系，会解答求一个数的几分之几是多少和求比一个数多（或少）几分之几的实际问题。
教学重点：1. 理解分数乘法的意义和算理，掌握分数乘法的计算方法，会进行分数乘法计算。
第1节现代生物进化理论的由来1。
拉马克进化学说的主要内容是：用进废退和获得性遗传。
2．拉马克进化学说的主要意义在于否定了神创论和物种不变论。
3．达尔文自然选择学说的主要内容是:过度繁殖、生存斗争、遗传和变异、适者生存。
4．达尔文自然选择学说能解释生物进化的原因及物种多样性的形成.5．达尔文自然选择学说的局限性表现为：①不能解释遗传和变异的本质。
②不能解释物种大爆发现象。
③对生物进化的解释局限于个体水平。
拉马克的进化学说［自读教材·夯基础］1．主要观点2．意义(1)是历史上第一个比较完整的进化学说。
(2）否定了神创论和物种不变论，奠定了科学生物进化的基础.请利用拉马克的观点解释长颈鹿脖子长的原因.提示：长颈鹿主要以树叶为食，要想获得足够的食物就天天伸长脖子去取食高处的树叶，由于“用进废退"从而形成了现在的长颈鹿.［跟随名师·解疑难]对拉马克进化学说的理解（1)用进废退：凡是没有达到其发展限度的每一种动物，它的任何器官，如果比较持续地使用，则会逐渐增强，并且发达起来。
相反，任何器官如不经常使用,则会逐渐衰弱，其功能减退，最后导致器官的退化或消失。
(2）获得性遗传：在环境条件的影响下，一个动物经常使用某种器官或经常不使用某种器官的结果是发展某器官或丧失某器官，这种获得的变异可以通过生殖遗传给后代。
(3）拉马克进化学说的“用进废退”“获得性遗传”的观点具有科学的局限性。
他过于强调环境的变化直接导致物种的改变,实际上，环境的变化如果未引起遗传物质的改变,就不会使生物产生可遗传的变异。
达尔文的自然选择学说［自读教材·夯基础］1．自然选择学说的主要内容2．对自然选择学说的评价（1）21．请利用达尔文自然选择学说解释长颈鹿的形成。
提示:长颈鹿在繁殖后代中发生了变异,有的长颈鹿脖子长,有的脖子短。
在干旱的草原上，只有脖子长的才能获得更多食物，在代代相传过程中，有利变异(脖子长)逐渐积累，最后形成了长颈鹿物种.2．如何理解自然选择学说四点内容之间的关系?提示：①过度繁殖为自然选择提供了更多的原材料，加剧了生存斗争；②生物进化是通过生存斗争来实现的，生存斗争是生物进化的动力；③生物的变异是不定向的，具有有利变异的个体在生存斗争中易取得胜利而得以生存，微小有利的变异通过遗传得以累积和加强，产生适应环境的新类型；④适者生存是自然选择的结果.［跟随名师·解疑难］1．对达尔文的自然选择学说的理解（1）内容：过度繁殖、生存斗争、遗传变异和适者生存。
四川省教育厅关于印发《四川省2017-2018学年中小学教学用书目录》的通知正文：----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------四川省教育厅关于印发《四川省2017-2018学年中小学教学用书目录》的通知川教〔2017〕39号各市（州）教育行政部门,新华文轩出版传媒股份有限公司：根据《教育部办公厅关于2017年中小学教学用书有关事项的通知》（教材厅函〔2017〕2号）（以下简称《通知》）精神，我厅编制了《四川省2017-2018学年中小学教学用书目录》（以下简称《目录》），现印发给你们。
请各地按照我省中小学教学用书管理的有关规定和要求，切实做好2017年秋季和2018年春季全省普通中小学教学用书的报订、征订和供应工作。
一、《目录》内容本《目录》由《四川省2017-2018学年义务教育教学用书目录》（附件1）、《四川省2017-2018学年普通高中教学用书目录》（附件2）、《四川省2017-2018学年体育运动学校、特殊教育学校义务教育教学用书（部分）目录》（附件3）、《四川省2017—2018学年普通中小学挂图、磁带、光盘等教学资源目录》（附件4）组成。
二、义务教育阶段教学用书的报订、征订工作（一）义务教育国家课程相关学科（除《道德与法治》《语文》《历史》和小学《科学》之外）仍使用《四川省2016-2017学年普通中小学教学用书目录》（川教〔2016〕50号文件印发）公布的教材。
义务教育《道德与法治》《语文》《历史》和小学《科学》因教育部对部分册次教材审定工作尚未最终结束，上述教材使用工作将另行通知。
（二）各级教育行政部门要继续按照《四川省教育厅关于做好义务教育免费教材报订工作的通知》(川教〔2009〕99号）要求，高度重视义务教育免费教材报订工作，加强领导，确保相关工作落实到位。
课题2胡萝卜素的提取胡萝卜素的基础知识1．种类（1）划分依据：双键的数目。
(2）类型：分为α、β、γ三类，最主要的组成成分是β—胡萝卜素。
2．用途（1)治疗因缺乏维生素A 而引起的各种疾病.（2)广泛地用作添加剂。
（3）使癌变细胞恢复成正常细胞。
3．性质1．胡萝卜素不溶于水，易溶于石油醚等有机溶剂，可用萃取法提取。
2．胡萝卜素有α、β、γ三类,其中β—胡萝卜素是最主要的组成成分。
3．提取胡萝卜素的流程：胡萝卜→粉碎→干燥→萃取→过滤→浓缩→胡萝卜素。
4．萃取的效率主要取决于萃取剂的性质和使用量，原料颗粒的大小、含水量、萃取的温度和时间等条件对萃取的效率也有影响。
5．萃取过程避免明火加热，应采用水浴加热。
6．对提取的胡萝卜素可通过纸层析进行鉴定.胡萝卜素是橘黄色结晶，化学性质比较稳定，不溶于水，微溶于乙醇，易溶于石油醚等有机溶剂.4．提取途径（1）一是从植物中提取;(2）二是从大面积养殖的岩藻中获得；(3）三是利用微生物的发酵生产.胡萝卜素有防治癌症的作用，能否快速大量生产胡萝卜素？采用什么技术?提示：能。
发酵技术。
[跟随名师·解疑难]1．胡萝卜素的分布胡萝卜素广泛存在于植物的叶、茎和果实中，最早是在胡萝卜中分离得到的。
除胡萝卜外，绿色蔬菜和黄玉米、小米等粮食中也含有一定量的胡萝卜素。
2．胡萝卜素的理化性质胡萝卜素为橘黄色结晶，不溶于水,易溶于石油醚等有机溶剂,在橄榄油和苯中的溶解度为0。
1 g/100 mL，在氯仿中的溶解度为4。
3 g/100 mL。
胡萝卜素在弱碱条件下比较稳定，在酸中不稳定，在光照和含氧条件下也不稳定。
胡萝卜素低浓度时为黄色，高浓度时为橙红色。
重金属离子，特别是铁离子,可促使胡萝卜素退色.胡萝卜中的胡萝卜素85％为β—胡萝卜素，其结构式为:胡萝卜素提取的实验设计[自读教材·夯基础]1．提取方法与流程（1)提取方法：根据胡萝卜素易溶于有机溶剂的特点，可以采用有机溶剂萃取的方法来提取。
第6课辛弃疾词两首爱国1．当他豪放的栖居被入侵者的铁骑恣意践踏时,他选择了“南飞”，去做一只梦想收复失地的带着乡愁的鸟儿,他相信，他满腔的热血可以燎原，终有一日，山河收复，失雁北归。
他是数着步子踏上那块宫台紫殿的，他站得笔直,两眼急切地望向北方.他不知道，他曾经魂牵梦绕的家乡只是空中楼阁；他梦中千千万万次的奔跑，却只沉睡在那个唤做幻梦的地方；他絮絮念叨的战场容不了他闪着金光的铁戟。
辛弃疾的战场是没有硝烟的，一颗拳拳的爱国之心是他唯一的武器.2．爱国就是苏武的持节南望。
当大漠的风将沧桑刻上他的双手，当大漠的霜雪染白了他的双鬓，他依然手握节毛尽落的旄节,眼睛跨越千山万水，寻找着回家的方向。
叛将卫律的威胁不能让他容色稍变，匈奴千金封侯的许诺不能让他动摇，因为他心中装着两个字——祖国.为了这两个字，他把“生是大汉人，死是大汉臣”的信条铭记心间.于是我知道了，爱国需要一种坚毅的品格，它使我们无论如何都不能背叛自己的祖国。
3．岳飞怀着“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血"的壮志，却被皇上的十二道金牌召回临安,英雄再难以倾力保家卫国。
纵然是“白了少年头,空悲切”的哀痛令人心酸，也敌不过朝野中奸佞小人的流言蜚语，最终只能背负着“莫须有”的罪名被害.但他在那一刻化成了忠诚报国之魂。
岳飞的爱国呐喊摇撼了祖国的大好河山，让我们看到了“精忠报国"的铮铮铁骨,让我们听到了满腔热血的澎湃……南宋豪放派代表词人——辛弃疾辛弃疾(1140—1207），字幼安,号稼轩,历城（今山东济南）人.南宋豪放派代表词人，与苏轼齐名,世称“苏辛”。
又是爱国词派的代表。
曾多次上书，陈抗金复国方略，都未被采纳。
历官江西、湖南、湖北安抚使,但都不久于职.终以报国无路，忧愤而死。
辛弃疾的词作现存六百二十余首，内容极为丰富，其中抒写爱国思想之作占有极大分量。
他继承和发展了苏轼所开创的豪放词派，著有《稼轩长短句》.1．《水龙吟·登建康赏心亭》“水龙吟"是词牌名。
潍水学校初中部2017-2018学年第二学期第一次家长课程开课活动的通知一、家长课程开课时间2018.5.11（本周五）上午8:30—10:00（七、九年级）下午4:00——5:30（八年级，因学生英语人机对话考试，下午具体开始时间再行通知）二、学校有关处室准备工作1、LED显示屏内容：2017-2018学年第二学期第一次家长课程开课（刘长波）2、家长课程作业（各级部根据授课内容准备）3、引导服务工作。
（1）门口引导。
老师（6人，每级部1人），（提前到门口，刘光辉主任负责安排门口引导，各级部主任提前将名单报安全办）（2）设立教学楼引导台，教师及学生志愿者各1人，（各级部主任负责安排）。
4、7:45前领导干部校门口迎接（非级部领导全部靠门口，其他靠级部班级）。
5、授课结束后，家长到广场领学生后即可直接离校。
6、各级部设置好家长课程作业及作业纸，当堂完成并收回（级部主任安排收齐）。
7、各级部到学生工作部领取家长课程教材，每班一本。
教材为单位统一配发，循环使用，（会后各级部主任负责收齐并交回学生工作部）。
8、学生工作部安排好照相（冯晨辉、卢文超两位老师负责，会议召开后的分工拍照:冯晨辉（ABC座）、卢文超（DEF座））。
要求必须有家长进门全景照、并精选几张代表性的开课照片2-4张、（照片中要呈现出题板书、授课教师及家长，并且照片显示日期要与实际开课日期吻合一致），照片注明“**学校**班级”。
9、教师周五正常到岗，7:40前签到，值班组负责教职工考勤。
（无特殊情况一律不得请假，有特殊情况者，需提前向教学管理部请假）。
10、各级部主任负责把任课教师分到所任教班级，要求各任课教师要到其所有任教班级发言，对学生的学习向家长提出要求和建议。
杜绝做一个家长课程开课的旁观者。
三、班主任准备事宜及家长课程开课流程：1、各班提前准备录制学生学习或活动影像或图片，在电视上进行展示，让家长看到自己孩子在校学习、生活等活动照片（要求：每名学生均需提前给自己的家长写一封信，放置在自己的座位上——表达自己的内心感受和对父母、老师的感恩）。
东华大学教务处通知教函2018年1号签发:姚卫新2017-2018学年第二学期本科生开学通知2017-2018学年第二学期本科生开学事项安排如下。
一、注册时间与地点1．本科生(含延长学年学生)注册于2018年3月3日(星期六)12:00-16:00进行。
2．注册采取电子注册方式，请同学务必带好校园卡和学生证。
注册必须本人到场，不得冒名代替，一经发现，将予以通报批评。
3．学生报到、注册章加盖同步完成；注册系统将于注册当日(3月3日)下午16点准时关闭，并以此作为各学院注册率数据统计依据。
两校区注册地点如下安排。
延安路校区：4．注册请假及注册补办(1)学生因故不能按时到校注册，须及时请假并提供必要的证明材料。
假期一般不得超过两周。
未请假或请假逾期未注册者，除因不可抗力等正当事由以外，按照《学生手册》相关规定处理。
(2)学生请假，应当将请假单交所在学院审核。
请病假需有校医院证明，请事假要有充足的理由。
准假要从严掌握，请假三天以内由辅导员审批；三天以上一周以内由本科教学副院长审批；一周以上由本科教学副院长签署意见，交教务处审批。
(3)对于未能及时注册但提供了相应证明材料的学生，学校安排补注册。
补注册时间：2018年3月5日-3月9日、3月12日-3月16日松江校区：行政楼249室 9:00-16:00延安路校区：中心大楼北翼256室 9:00-11:30,13:30-16:00二、本科生上课安排1．2018年3月5日(星期一)开始上课，开学第一、二周为课程补退选时间，具体时间见教务处网上通知。
2．2014级学生请关心自己的学习进度，对前三年培养计划中规定的必修课程，尚未取得学分且下学期未开设的，请于第一周的周二前到自己所在学院的本科教务员处登记，学院汇总结果于第一周的周五前报教务处教学研究与质量科，由教务处统筹安排，并视情况决定是否列入开课计划。
3．申请自学方式修读课程的学生，须在开课后两周内填写《自学申请表》(从教务处主页上的“下载专区”栏目中下载)，须经任课教师同意，所在学院批准，开课学院备案。
第2课诗_两_首离别1．苏东坡云:人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全.可见离别总是人生难以避免的一件事.但谈到离别，莫不是一丝愁绪在眉间。
柳永便指出：多情自古伤离别，更那堪，冷落清秋节。
人若越多情，便越是在离别之际难舍难分,也越伤感。
李煜说:剪不断，理还乱，是离愁，别是一般滋味在心头。
2．翻开灿若星河的古今诗词,数不胜数的当算离别诗了。
王勃壮怀高歌：无为在歧路，儿女共沾巾.柳永则声情哀怨：今宵酒醒何处?杨柳岸、晓风残月.江淹却千帆过尽一言蔽之:黯然销魂者，惟别而已矣。
还有人捶胸顿足：扬鞭哪忍匆匆！当今又有汪国真低吟：人生一瞬百年，哪堪去去还还.无论身在何处,只祈如水如船。
又来了席慕蓉温柔的警语：如果离别能够勾起我们因聚在一起而引起的疏忽的细节，离别真的不好吗？如此种种情思，真是美不胜收。
涵咏不同时代不同人生的感悟，会让你有意外的收获。
“雨巷诗人”—-戴望舒戴望舒（1905～1950），现代诗人。
原名戴朝安，又名戴梦鸥，戴望舒为笔名. 浙江杭县(今杭州市余杭区）人。
1924年，戴望舒考入上海大学文学系。
1925年，转入震旦大学学习法语。
1926年戴望舒与施蛰存、杜衡等人创办《璎珞》旬刊，发表诗作《凝泪出门》.1928年发表《雨巷》并与施蛰存、杜衡、冯雪峰创办《文学工场》.1929年4月，他的第一本诗集《我的记忆》正式出版,这本诗集也是戴望舒早期象征主义诗歌的代表作，其中最为著名的诗篇就是《雨巷》。
《雨巷》得到叶圣陶的极力推荐（盛赞他“替新诗开创了一个新纪元”），成为传诵一时的名作，他也因此被誉为“雨巷诗人”。
1936年10月，戴望舒与卞之琳、孙大雨、梁宗岱、冯至等人创办了《新诗》月刊，这是中国近代诗坛上最重要的文学期刊之一。
1949年6月，戴望舒参加了在北平召开的中华文学艺术工作代表大会。
后担任新闻出版总署国际新闻局法文科科长，从事编译工作。
1950年戴望舒在北京病逝，享年45岁.主要作品：诗集《我的记忆》（包括《旧锦囊》《雨巷》《我的记忆》三辑)《望舒草》《灾难的岁月》等.浪漫主义诗人--徐志摩徐志摩(1897～1931)，现代诗人、散文家。
---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 2017-2018学年第一学期教学工作例会纪要山课件5k J.om 7 2017-2018学年第一学期教学工作例会纪要9月4日上午，教务处在学校办公楼一会议室组织召开了2017～2018学年第一学期第一次教学工作例会。
党委书记罗成翼、副校长雷xx、谭献良出席会议，各二级学院院长、党委副书记,分管教学、学科竞赛及实验室工作副院长和教学科研办主任，学生处、团委、工程训练中心、教学质量监控与评价中心以及督导团负责人参加会议。
会议由雷xx主持。
纪要如下：一、教学工作通报1/ 81. 通报了人才培养方案制（修）订情况。
目前各二级学院已按照《xx城市学院关于修订本科专业人才培养方案的指导意见》，认真细致地对2017版本科人才培养方案进行了修订，较好地落实了学校2017版本科专业人才培养方案修订工作推进会的精神和要求。
2. 通报了新专业申报情况。
根据《教育部高等教育司关于2017年度普通高等学校本科专业设置工作的通知》（教高司函〔2017〕26号）和《转发教育部高等教育司关于2017年度普通高等学校本科专业设置工作有关问题的说明》(湘教通〔2017〕252号）文件精神，我校今年申报了“电气工程及其自动化”和“小学教育”2个本科专业，经公示后申报材料已报至省教育厅。
3. 通报了银校合作和中央财政支持地方高校发展专项资金项目情况。
项目申报为避免重复建设，前期论证充分，申报严格把关，程序规范合理，力求发挥项目资金的最大效益。
二、开学及近段教学工作安排---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 1. 开学工作学生报到注册。
1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1 正 弦 定 理正弦定理[提出问题]如图，在Rt △ABC 中，A ＝30°，斜边c ＝2.问题1：求△ABC 的其他边和角． 提示：B ＝60°，C ＝90°，a ＝1，b ＝ 3. 问题2：试计算a sin A ，b sin B ，c sin C的值，三者有何关系？ 提示：a sin A ＝2，b sin B ＝3sin 60°＝2，c sin C＝2，三者的值相等． 问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ 提示：是．如图，∵sin A ＝ac ， ∴a sin A＝c . ∵sin B ＝b c ，∴bsin B＝c .∵sin C ＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.问题4：在钝角△ABC 中，B ＝C ＝30°，b ＝3，试求其他边和角． 提示：如图，△ACD 为直角三角形，C ＝30°，AC ＝3，则AD＝32，CD＝32，BC＝3·AB＝3，∠BAC＝120°.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足．问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？提示：成立．[导入新知]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C.2．解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难]对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.已知两角及一边解三角形[例1]在△[解]A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由bsin B＝asin A得b＝a sin Bsin A＝8×sin 60°sin 45°＝46，由asin A＝csin C得c＝a sin Csin A＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．∴A＝45°，b＝46，c＝4(3＋1)．[类题通法]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角； (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 解：∵A ＝45°，C ＝30°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°. 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°， ∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64，∴b ＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6.已知两边及一边的对角解三角形[例2] (1)△ABC 中，已知b ＝3，B ＝60°，c ＝1； (2)△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2. [解] (1)由正弦定理知sin C ＝c sin B b ＝1×sin 60°3＝12，故C ＝30°或C ＝150°.∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝150°不符合题意，舍去．∴A ＝90°，a ＝b 2＋c 2＝2.故a ＝2，A ＝90°，C ＝30°.(2)由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32.故C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1.当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1.故b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°. [类题通法]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b .解：由a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝π4或A ＝3π4.又∵c ＞a ， ∴C ＞A ， ∴只能取A ＝π4，∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin B sin C＝6·sin5π12sin π3＝3＋1. 判断三角形的形状[例3] 在△C ，试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(R 为△ABC 外接圆半径)∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°. ∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B.∴2sin B cos C ＝2sin 2 B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形． [类题通法]1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[活学活用]在△ABC 中，若b ＝a cos C ，试判断该三角形的形状． 解：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝bsin B ＝2R ，(R 为△ABC 外接圆半径)∴sin B ＝sin A ·cos C . ∵B ＝π－(A ＋C )， ∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos A sin C ＝0，∵A ，C ∈(0，π)，∴cos A ＝0， ∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．1.警惕三角形中大边对大角[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b ×sin A a ＝2×sin 60°23＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝30°，或B ＝150°.∵b ＜a ，根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，∴B ＝150°不符合条件，应舍去，∴B ＝30°.[答案] 30° [易错防范]1．由sin B ＝12得B ＝30°或150°，而忽视b ＝2＜a ＝23，从而易出错．2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍． [成功破障]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对应的边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求ac 的值.解：由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32.由条件b ＝6，a ＝23，b ＞a 知B ＞A . ∴B ＝60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°. 在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，c ＝43，∴ac ＝23×43＝24.②当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－120°＝30°， ∴A ＝C ，则有a ＝c ＝2 3.∴ac ＝23×23＝12.[随堂即时演练]1．(广东高考)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得BC sin A ＝ACsin B， 即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.2．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 的值为( ) A ．－223 B.223 C ．－63D.63解析：选D 根据正弦定理a sin A ＝b sin B 可得15sin 60°＝10sin B， 解得sin B ＝33， 又因为b <a ，所以B <A ，故B 为锐角， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝63. 3．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2 C ，则△ABC 是________三角形． 解析：由已知得sin 2 A －sin 2 B ＝sin 2 C ，根据正弦定理知 sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R，所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2. 所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角4．(全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝______.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.答案：21135．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a ＝5，b ＝4，A ＝120°； (2)a ＝7，b ＝14，A ＝150°； (3)a ＝9，b ＝10，A ＝60°.解：(1)sin B ＝b sin 120°a ＝45×32＜32，所以△ABC 有一解．(2)sin B ＝b sin 150°a＝1，所以△ABC 无解． (3)sin B ＝b sin 60°a ＝109×32＝539，而32＜539＜1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的B 的取值范围为60°＜B ＜90°；当B 为钝角时有90°＜B ＜120°，也满足A ＋B ＜180°， 所以△ABC 有两解．[课时达标检测]一、选择题1．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin Bsin A C.sin C cD.c sin C解析：选C 由正弦定理得a sin A ＝c sin C， 所以sin A a ＝sin C c.2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不确定解析：选A ∵sin A >sin B ， ∴2R sin A >2R sin B ， 即a >b ，故A >B .3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对边长是( )A ．4B ．12 3C ．4 3D ．12 解析：选D 若设120°角所对的边长为x ， 则由正弦定理可得x sin 120°＝46sin 45°，于是x ＝46·sin 120°sin 45°＝46×3222＝12，故选D.4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：选B 由正弦定理易知A ，C ，D 正确． 对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ， 可得A ＝B ，或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B ，或A ＋B ＝π2，∴a ＝b ，或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误. 二、填空题6．(北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________. 解析：在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B ，有3sin 2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22. 因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4.答案：π47．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得 a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120° ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 38．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin A BC ＝5sin 120°7＝5314.可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114.∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：3314三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∴0°<A <120°，0°<C <120°且 A ＝120°－C . ∵a ＋2b ＝2c ，由正弦定理得sin A ＋2sin B ＝2sin C ， ∴sin(120°－C )＋62＝2sin C ， 即32cos C ＋12sin C ＋62＝2sin C ， ∴32sin C －32cos C ＝62. ∴sin(C －30°)＝22. ∵－30°<C －30°<90°， ∴C －30°＝45°，C ＝75°. sin C ＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24.10．(天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．解：(1)由a sin 2B ＝3b sin A 及正弦定理得 2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ， 所以cos B ＝32，所以B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin [π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6 ＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.11．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin Acos A.又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．12．已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，A ，B 为两内角，试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B .∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得：sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角， ∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π. ∴A －B ＝0，即A ＝B . 故△ABC 为等腰三角形．1.1.2 余 弦 定 理余弦定理[提出问题]在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. 问题1：这个三角形确定吗？ 提示：确定．问题2：你能利用正弦定理求出BC 吗？ 提示：不能．问题3：能否利用平面向量求边BC ？如何求得？ 提示：能．∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，∴|BC ―→|2＝|AB ―→|2＋|AC ―→|2－2AB ―→·AC ―→ ＝|AB ―→|2＋|AC ―→|2－2|AB ―→||AC ―→|cos A ＝4＋9－2×2×3cos 60° ＝7. ∴|BC ―→|＝7.问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b ，c ，A 表示a?提示：能．[导入新知]余弦定理余弦定理公式表达a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．已知三角形的三边解三角形[例1](1)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角；(2)a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C的大小．[解](1)由c>b>a，知C最大，∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12，∴C ＝120°.(2)∵a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，∴设a ＝x ，则b ＝3x ，c ＝2x (x >0)． 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 223x ·2x ＝32，∴A ＝30°.同理cos B ＝12，cos C ＝0，∴B ＝60°，C ＝90°. [类题通法]已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． [活学活用]在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和另外两角的余弦值． 解：∵a >c >b ，∴A 为最大角，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵0°<A <180°，∴A ＝120°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋52－322×7×5＝1314；cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32＋72－522×7×3＝1114.已知三角形的两边及其夹角解三角形[例2] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，解此三角形． [解] 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60° ＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b ＝4 6.法一：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝96＋16(3＋1)2－642×46×4(3＋1) ＝22， ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. 法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B， ∴8sin A ＝46sin 60°，∴sin A ＝22.∵b ＞a ，c ＞a ， ∴a 最小，即A 为锐角． 因此A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. [类题通法]已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题[在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好．[活学活用]在△ABC 中，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形． 解：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°)＝8－4 3 ＝(6－2) 2， ∴c ＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(23)2＋(6－2)2－(22)22×23×(6－2)＝22.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°， 从而B ＝120°.法二：由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝22×6－246－2＝22.∵a ＜b ，∴A ＜B ， 又∵0°＜A ＜180°，∴A 必为锐角，∴A ＝45°，从而得B ＝120°.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形[例3] 在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求A ，C ，a . [解] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形． 由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3. [类题通法]已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．[活学活用]已知在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.解析：A 为b ，c 的夹角，由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍)．答案：5判断三角形的形状[例4] 在△＝2sin B cos A ，试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .代入sin C ＝2sin B cos A ， 得c ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc .整理得a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.故C ＝π3.又因为a ＝b ，所以△ABC 为等边三角形． [类题通法]判断三角形的形状的方法判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状．[活学活用]在△ABC 中，若cos A ＝sin Bsin C，试判断其形状． 解：由cos A ＝sin Bsin C 得cos A ＝bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2， 因此△ABC 是以C 为直角的直角三角形．1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长[典例] (12分)如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解题流程][规范解答][活学活用]如图所示，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解：在△ADC 中，cos C ＝ AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又∵0°＜C ＜180°， ∴sin C ＝5314.在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314·2·7＝562.[随堂即时演练]1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．10解析：选A 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋(53)2－2×5×53×cos 30°＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab ＞0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab ＞0得－cos C ＞0，所以cos C ＜0，从而C 为钝角， 因此△ABC 一定是钝角三角形．3．(天津高考改编)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝________. 解析：由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ， 即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°， 化简得AC 2＋3AC －4＝0， 解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)． 答案：14．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则 c ＝________；sin A ＝________.解析：根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2. 因为cos C ＝14，于是sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， 于是，由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝1×1542＝158或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cos A＝22＋22－122×2×2＝78，于是sin A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫782＝158. 答案：21585．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长．解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.[课时达标检测]一、选择题1．在△ABC 中，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径为( ) A.823B.143C.73D.733解析：选D 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝82＋32－2×8×3×12＝49，∴a ＝7.由正弦定理，得asin A＝2R ，∴R ＝733.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9， 所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c .∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°. 故△ABC 是等边三角形．4．(全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3解析：选D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π 解析：选C ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc ， 即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，∴0<A ≤π3.二、填空题6．(福建高考)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，因为0°＜B ＜180°， 所以B ＝90°， 所以AB ＝22－(3)2＝1.答案：17．(北京高考)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c ＝________. 解析：在△ABC 中，∠A ＝2π3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴bc ＝1.答案：18．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则C ＝________. 解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝5k ，c ＝7k ，由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝120°. 答案：120° 三、解答题9．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状． 解：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B ，得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴c 2＋b 2＝a 2.∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形． 又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a ·ca .∴b ＝c .∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．10．(天津高考改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，求cos A 的值．解：由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解：(1)根据正弦定理得 2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0°＜A ＜180°， ∴A ＝60°. (2)由余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60° ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 把 b ＋c ＝4代入得bc ＝3，故bc ＝3.12．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2， 得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22. 所以B ＝45°.1.2应_用_举_例1．2.1正、余弦定理在实际中的应用测量中的基本术语[提出问题]李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中．问题1：李尧家在学校的哪个方向？提示：东南方向．问题2：能否用角度再进一步确定其方位？提示：可以，南偏东45°或东偏南45°.[导入新知]实际测量中的有关名称、术语称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角[化解疑难]解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量．用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节.测量高度问题[例1]如图，是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.[解]在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(3h)2－2·h·3h·32，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB为200米．[类题通法]测量高度问题的要求及注意事项(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解．(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．[活学活用](湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． 答案：1006测量角度问题[例2] 如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile /h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解] 设缉私船用t h 在D 处追上走私船， 则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120° ＝6， ∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°. ∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin 120°103t ＝12， ∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船． [类题通法]解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题；(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去． [活学活用]某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． 解：设护航舰靠近货船所用时间为t 小时．在△ABC 中，根据余弦定理，有 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．所以护航舰靠近货船需要1小时．此时AB＝103，BC＝10，又AC＝10，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.1.探究距离测量问题测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．【角度一】两点间不相通的距离[例1]如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2ab cos α.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长度．[解]在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600×cos 60°＝280 000.∴AB＝2007 m.即A，B两点间的距离为2007 m.【角度二】两点间可视但有一点不可到达[例2]如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法为在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.[解析] ∠ABC＝180°－75°－45°＝60°， 所以由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. [答案] 20 6【角度三】 两点都不可到达[例3] 如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．[解] ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得 BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64km. ∴A ，B 两点间的距离为64km.[随堂即时演练]1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的( ) A ．东偏北45°10′方向上 B ．北偏东45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上 D ．西偏南45°50′方向上解析：选C 如图所示，点Q 在点P 的南偏西44°50′的方向上．2．海上有A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063 海里C ．5 2 海里D ．5 6 海里解析：选D 如图，C ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝10， 由正弦定理得10sin 45°＝BC sin 60°，∴BC ＝56(海里)，故选D.3．如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙两楼，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°，已知甲楼高AB ＝24米，则乙楼高CD ＝________米．解析：过A 作AE ⊥CD (图略)，垂足为E ，ED ＝AB ＝24米，则AE ＝ED tan 60°＝243＝83(米)．在Rt △ACE 中，CE ＝AE ·tan 30°＝83×33＝8(米)，∴CD ＝CE ＋ED ＝8＋24＝32(米)． 答案：324.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．解析：∠ACB ＝180°－45°－75°＝60°， 在△ABC 中，AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠CAB .∴BC ＝120·sin 45°sin 60°＝12023，河宽为BC sin ∠CBA ＝12023sin 75°＝20(3＋3)米.答案：20(3＋3)5.如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：如题中图所示，在△ABC 中， AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角， 则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. [课时达标检测]一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图． 知α＝β，故应选B.2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间的距离为( )A.2a kmB.3a km C ．a kmD ．2a km解析：选A △ABC 中，AC ＝BC ＝a km ，∠ACB ＝90°，AB ＝2a km.3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 3解析：选C 如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°，在△ABB ′中，利用正弦定理可求得BB ′的长度．在△ABB ′中，B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m ， 由正弦定理，得BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝10 2 (m)．∴坡底延伸10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762 海里/小时B ．34 6 海里/小时 C.1722 海里/小时D ．34 2 海里/小时解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝172 6 (海里/小时)．5.如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 海里，则乙船每小时航行( )A ．10 2 海里B ．20 2 海里C ．30海里D ．30 2 海里解析：选D 如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中， 易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302×13＝102＝A 2B 2，∴△A 1A 2B 2为正三角形，∴A 1B 2＝10 2.在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴B 1B 22＝400＋200－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行30 2 海里． 二、填空题6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33， BC ＝2，∠ABC ＝150°.由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7. 则A ，C 两地距离为7 km. 答案：77．(四川高考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈ 0.80，3≈1.73)解析：过A 作BC 边上的高AD ，D 为垂足． 在Rt △ACD 中，AC ＝92， 在△ABC 中，由正弦定理， 得BC ＝AC sin ∠ABC×sin ∠BAC ＝92sin 67°×sin 37° ≈920.92×0.60＝60(m)． 答案：608．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.解析：如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置， 则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°， ∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中，DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin 60°＝15 3 n mile ， AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos 60°＝15 n mile ， 则在Rt △ADB 中，DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan 30°＝5 3 n mile ， 则BC ＝DC －DB ＝153－53＝10 3 n mile. 答案：10 3 三、解答题9．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A ，B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高，由A ，B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，又知AB 的长为40 m ，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度．解：如图所示，由题意，得 ∠ABC ＝45°－30°＝15°， ∠DAC ＝60°－30°＝30°. ∴∠BAC ＝150°，∠ACB ＝15°，∴AC ＝AB ＝40 m ，∠ADC ＝120°，∠ACD ＝30°， 在△ACD 中，由正弦定理，得 CD ＝sin ∠CAD sin ∠ADC·AC＝sin 30°sin 120°·40＝4033(m)． 故转播塔的高度为4033m.10．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解：设B 为塔正东方向一点，AE 为塔，沿南偏西60°行走40 m 后到达C 处， 即BC ＝40， 且∠CAB ＝135°， ∠ABC ＝30°， 如图在△ABC 中， AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠CAB ，即AC sin 30°＝40sin 135°， ∴AC ＝20 2.由点A 向BC 作垂线AG ，此时仰角∠AGE 最大等于30°. 在△ABC 中，∠ACB ＝180°－135°－30°＝15° AG ＝AC sin15°＝20 2 sin 15° ＝10(3－1)．∴AE ＝AG ·tan 30°＝10(3－3)3.即塔高为10(3－3)3m.。
