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振动与波的传播和干涉1.1 振动的概念振动是物体围绕其平衡位置做周期性的往复运动。
1.2 振动的分类（1）自由振动：不受外力的振动。
（2）受迫振动：在外力作用下的振动。
1.3 振动的特点（1）周期性：振动具有固定的周期，即完成一个往复运动所需的时间。
（2）频率：振动的频率是周期的倒数，单位为赫兹（Hz）。
1.4 振动的描述（1）振幅：振动过程中，物体离开平衡位置的最大距离。
（2）角频率：振动的角速度，单位为弧度每秒。
（3）频率：振动的周期数，单位为赫兹（Hz）。
二、波的传播2.1 波的概念波是振动在空间中的传播过程，可以看作是振动能量的传递。
2.2 波的分类（1）机械波：通过介质传播的波，如声波、水波。
（2）电磁波：不需要介质传播的波，如光波、无线电波。
2.3 波的传播特点（1）波动性：波在传播过程中，振动形式不变。
（2）波长与频率的关系：波速=波长×频率。
（3）波速与介质的关系：波速与介质性质有关。
2.4 波的叠加原理（1）同种波的叠加：相位相同的波相互叠加，振幅相加。
（2）不同种波的叠加：振动方向相互垂直的波相互叠加，遵循平行四边形定则。
3.1 干涉的概念干涉是两个或多个波相遇时产生的波的合成现象。
3.2 干涉的条件（1）相干波：频率相同、相位差恒定的波。
（2）相遇：波的传播路径相差一定的距离。
3.3 干涉现象（1）亮条纹与暗条纹：相干波相互叠加时，振动方向相同的点振动加强，形成亮条纹；振动方向相反的点振动减弱，形成暗条纹。
（2）等距条纹：干涉条纹间距相等，与波长成正比。
3.4 干涉的应用（1）双缝干涉：研究光的波动性。
（2）迈克尔孙干涉仪：测量光的波长。
四、中考相关考点4.1 振动与波的基本概念（1）振动的特点及分类。
（2）波的分类及传播特点。
4.2 波的叠加原理（1）同种波的叠加。
（2）不同种波的叠加。
4.3 干涉现象及条件（1）相干波的条件。
（2）干涉现象的产生及特点。
4.4 干涉的应用（1）双缝干涉实验。
振动与波知识点总结一、振动的基本概念振动是物体围绕某一平衡位置来回摆动或者来回重复运动的现象。
振动是物体相对平衡位置的周期性运动，也就是说，振动是由物体周期性地向着某一方向偏离平衡位置，然后再向着相反方向偏离平衡位置并且这个过程一直不断地重复。
振动的基本要素包括振动物体、平衡位置和振动的幅度、周期和频率等。
振动的产生是由于外力的作用或者物体本身的内部力的作用。
二、振动的表征和描述1. 振动的幅度：振动物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离称为振幅，用A表示。
振幅是一个振动过程中最大的位移值，代表了振动物体最大偏离平衡位置的距离。
2. 振动的周期：振动物体完成一个完整的往复运动所需要的时间称为振动周期，用T表示。
振动周期是一个振动过程完成一次往复运动所需要的时间。
3. 振动的频率：振动物体完成一个往复运动所需要的次数称为振动频率，用f表示。
振动频率是一个振动过程在单位时间内完成的往复运动的次数。
4. 振动的角速度：振动物体单位时间内完成的角度偏移称为角速度，用ω表示。
角速度是一个振动过程单位时间内振动物体完成的角度偏移。
5. 振动的相位：描述振动在某一时刻相对于起始位置的位置状态的概念，通常用角度来表示。
相位是一种描述振动物体在振动过程中某一时刻相对于起始位置的相对状态的概念。
三、振动的共振现象当外力的频率与振动系统自身的振动频率相同时，振动系统会出现共振现象。
共振现象会使振动系统产生很大的振幅，甚至导致系统的破坏。
共振现象在实际生活中有很多应用，比如音乐中的共振现象会增加声音的响亮度，而机械振动中的共振现象则可能导致机械系统的破坏。
四、波的基本概念波是由物质的振动或者波的传播介质本身的运动所产生的，波是一种传播能量和动量的方式。
波可以分为机械波和电磁波两种类型。
1. 机械波：需要通过介质来传播的波称为机械波，比如水波、声波等。
2. 电磁波：不需要介质来传播的波称为电磁波，比如光波、无线电波等。
波的传播可以分为横波和纵波两种类型。
精品习 题 六6-1 一轻弹簧在60N 的拉力下伸长30cm 。
现把质量为4kg 物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm ，然后释放并开始计时。
求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。
[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系rad/s 07.74200m 1.0N/m 2001030602=====⨯=-m k A k ω设振动方程为 ()φ+=t x 07.7cos0=t 时 1.0=x φcos 1.01.0= 0=φ故振动方程为 ()m 07.7cos 1.0t x =(2)设此时弹簧对物体作用力为F ，则()()x x k x k F +=∆=0其中 m 2.0200400===k mg x精品因而有 ()N 3005.02.0200=-⨯=F(3)设第一次越过平衡位置时刻为1t ，则()107.7cos 1.00t = 07.5.01π=t第一次运动到上方5cm 处时刻为2t ，则()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322⨯=πt故所需最短时间为：s 074.012=-=∆t t t6-2 一质点在x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A 时作为计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ，再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。
[解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知421=T s精品由于4/2s 8/1,s 81ππνων====-T精品(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方。
t =0时, φcos 5A x =-=t =2s 时， φφωsin )2cos(5A A x -=+==由以上二式得 1tan =φ因为在A 点质点的速度大于零，所以43πφ-= cm x A 25cos /==φ所以，运动方程为：)SI ()4/34/cos(10252ππ-⨯=-t x(2)速度为： )434sin(41025d d 2πππ-⨯-==-t t x v 当t =2s 时 m/s 1093.3)434sin(41025d d 22--⨯=-⨯-==πππt t x v6-3 一质量为M 的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm ，在距平衡位置6cm 处，速度为24s cm ，求：(1)周期T ； (2)速度为12s cm 时的位移。
第六章振动与波考试内容和要求一．机械振动1．机械振动和简谐振动物体（或物体的一部分）在某一位置附近做运动叫做机械振动。
物体在跟位移大小成并且总是指向的力作用下的振动叫简谐振动。
产生机械振动的条件：；产生简谐振动的条件：。
表征振动的物理量振幅A：，单位：，表征振动的。
周期T：，单位：，表征振动的。
频率f：，单位：，表征振动的。
【典型例题】1．一个小球从距离斜面底端h高处由静止释放，沿着两个光滑斜面来回滑动，如图所示，如果在运动过程中小球经过斜面接口处无能量损失，则小球的振动及其周期分别为（）（A）是简谐振动（B）不是简谐振动（C）周期为22hg（1sinα＋1sinβ）（D）周期为22hg（1sinα＋1sinβ）2．（1996全国）下表中给出的是作简谐振动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，0 T/4 T/2 3T/4 T甲零正向最大零负向最大零乙零负向最大零正向最大零丙正向最大零负向最大零正向最大丁负向最大零正向最大零负向最大（A）若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v（B）若丁表示位移x，则甲表示相应的速度v（C）若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v（D）若乙表示位移x，则丙表示相应的速度v2．振动图像【典型例题】3．如图是一个质点的振动图像。
从图像上可知，质点振动的振幅是米，周期是秒，频率是赫，完成20次全振动的时间是秒，它在0.5秒时的位移是米，2.0秒时的位移是米，3.0秒时的位移是米。
4．右图是一弹簧振子做简谐振动的振动图像。
在T/2＋Δt和T/2－Δt两个时刻，下列物理量中相同的是（）（A）速度（B）加速度（C）振子的位移（D）振幅3．弹簧振子弹簧振子做简谐振动的回复力为，F回F合（选填“＝”或“≠”）。
【典型例题】5．如图所示，弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，AB间距20cm，A运动到B需时2s，则振子振动周期为s，振幅为cm，从B开始经过6s，振子通过的路程为cm。
振动和波知识点总结振动和波是物理学中重要的基础概念，它们在自然界中随处可见，从小至分子的振动到大至地球上的地震波都是振动和波的表现。
振动和波的研究不仅在理论物理和工程技术中有着重要的应用，也对我们理解自然界的规律有着重要的意义。
在以下内容中，我将对振动和波的基本知识进行总结，包括定义、特征、分类、数学描述等方面的内容。
1. 振动振动是物体围绕平衡位置做有规律的来回运动的现象。
振动的基本特征包括振幅、周期、频率和相位。
振动可以分为机械振动、电磁振动和声学振动等不同类型。
（1）机械振动机械振动是指物体由于外力的作用，导致物体围绕平衡位置做周期性的来回运动。
典型的机械振动包括弹簧振子、简谐振动、阻尼振动等。
弹簧振子是挂在弹簧上的质点由于弹簧的弹性力而做的振动。
简谐振动是一种特殊的机械振动，它的加速度和位移成正比。
阻尼振动则是在振动过程中受到阻力的影响，振动逐渐减弱并最终停止。
（2）电磁振动电磁振动是指在电场或磁场作用下的振动现象。
最典型的电磁振动包括交流电路中的电磁振荡以及电磁波的传播。
在交流电路中，电容器和电感器的交替充放电导致了电荷和电流的振动。
电磁波是由变化的电场和磁场相互作用而产生的波动，具有能量传递和传播的作用。
（3）声学振动声学振动是指在介质中传播的机械波的形式，它包括了横波和纵波两种类型。
声波在空气、水、固体等介质中的传播都是声学振动的表现。
声学振动的特点是由固体、液体或气体的粒子围绕平衡位置做有规律的运动，从而传播声音。
声波的传播速度与介质的类型有关，例如在空气中的声速比在水中的声速要慢。
振动的数学描述可以借助于正弦函数或复数的方法来进行。
通过正弦函数可以对振动的位移、速度和加速度进行描述，而借助复数则可以对振动的相位和振幅进行描述。
2. 波波是指物质、能量或信息传递的方式，它在空间中按照一定规律传播的现象。
波的特征包括波长、频率、波速和振幅等。
（1）机械波机械波是需要介质来传播的波动，包括了横波和纵波两种类型。
高中物理振动与波振动与波是高中物理学中非常重要的一个内容，贯穿了整个物理学的学习过程。
振动与波在我们的日常生活中无处不在，不仅体现在机械振动、光学波动等方面，也涉及到声音、电磁波等广泛的领域。
本文将详细介绍高中物理中振动与波的相关知识，以帮助同学们更好地理解和掌握这一重要内容。
振动是一种围绕平衡位置周期性往复运动的物理现象，比如弹簧的振动、钟摆的摆动等。
在振动中，存在振幅、频率、周期等基本概念。
振幅是振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离；频率是单位时间内振动完成的次数；周期是振动完成一个完整循环所需的时间。
这些概念是理解振动现象的基础，可以通过简单的实验进行直观的观察和验证。
波是一种能够传播的物理现象，是振动的一种传播形式。
根据传播介质和振动方向的不同，波可以分为机械波和电磁波两种。
机械波需要通过介质传播，比如水波、声波等；而电磁波可以在真空中传播，比如光波、无线电波等。
波的基本特征包括波长、波速、频率等，其中波长是相邻两个波峰之间的距离，波速是波在单位时间内传播的距离，频率是单位时间内波的完整周期数。
在物理学中，振动和波的研究不仅仅停留在基础概念上，还涉及到振动的叠加、波的干涉等更为复杂的现象。
例如，当不同频率的振动叠加在一起时，会产生干涉现象，出现增强或消减的效果，这就是波的干涉。
而在光学领域，光的波动特性也表现出干涉、衍射等现象，这些现象对于光学器件的设计和应用具有重要意义。
另外，在振动与波的学习中，理解能量和能量守恒也是至关重要的。
振动过程中，系统的动能和势能会相互转化，但总能量保持不变。
同样，波传播过程中，能量也会随着波的传播而传递，但总能量仍然保持恒定。
掌握能量的转化规律，有助于更好地理解振动与波的本质。
总的来说，高中物理中的振动与波内容涵盖了丰富多彩的现象和理论，对于培养学生的物理思维和观察能力具有重要意义。
通过实验、模型建立和数学推导，同学们可以深入理解振动与波的内在联系，为将来的学习和科研打下坚实基础。
P.1/33振动与波wzy 简谐振动特征量运动判据)cos(0ϕω+=t A x 判据1判据2判据3kxF −=0d d 222=++C x txωA , ω, ϕ22222020ωωv v +=+=x x A )(arctg 00x ωϕv −=振动曲线、旋转矢量法描述简谐振动)2πcos(d d 0++==ϕωωt A t x v )πcos(d d 02±+==ϕωωt A ta v P.2/33振动与波wzy 振动状态：(1) 给定振动系统,m、ω(T )、k 一定(2) 给定初始条件,A 、ϕ0一定(3) 给定系统后总能量与A 成正比P.3/33振动与波wzy lmO 1. 摆动的理想模型—单摆和复摆1) 单摆(simple pendulum)：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动βττml ma F ==切向运动方程222d d sin t mlmgl θθ=−0sin d d 22=+θθlgt 二、简振模建立自然坐标, 受力分析如图τnθN mgP.4/33振动与波wzy 0sin d d 22=+θθl gt 0sin d d 222=+θωθt⋅⋅⋅−+−=!5!3sin 53θθθθ单摆运动的微分方程非线性微分方程无解析解令lg =2ω得：Q 很小时当θθθ≈sin 0d d 222=+θωθt角谐振动P.5/33振动与波wzy 0d d 222=+θωθtgl T π2π2==ω周期)cos(0m ϕωθθ+=t 由初始条件决定运动方程lg =2ω结论:单摆的振动是简谐振动.注意:(1) θ为振动角位移,不是相位.(2) ω、T 与m 无关,由l 、g 决定.P.6/33振动与波wzy 2) 复摆(compound pendulum ): 绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体由刚体定轴转动定律βI M =22d d sin t Imgh θθ=−0sin d d 22=+θθImght 令Imgh =2ω0sin d d 222=+θωθt——复摆运动的微分方程也是非线性微分方程mgJCohθP.7/33振动与波wzy Q 很小时当θθθ≈sin 0d d 222=+θωθt 角谐振动mghI T π2π2==ω)cos(0m ϕωθθ+=t 由初始条件决定运动方程周期由于小角度摆动都是谐振动,可推广到:一切微振动均可用谐振动模型处理.例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动.大角度摆动规律?P.8/33振动与波wzy 1582年伽利略注意到比萨教堂的吊灯(~20m)摆动：周期似与摆幅无关1602年:周期似与摆锤重量无关周期正比与摆长平方根5.420≅研究学习:如何得知任意形状物体的摆动周期？P.9/33振动与波wzy 简摆simple pendulum实体摆physical pendulum, compound pendulum 圆锥摆conic pendulum 球面摆spherical pendulum 双摆double pendulum 钟摆clock pendulum 扭摆torsional pendulum 弹簧摆spring pendulum 沙摆sand pendulum倒置摆inverted pendulum您知道几种摆？以人命名的摆？P.10/33振动与波wzy 伽利略摆钟1642双摆的轨迹小角度摆动时有两种正则频率P.11/33振动与波wzy 2211x k x k F −=−=证：设物体位移x ,弹簧分别伸长x 1和x 221x x x +=x k k k x 2112+=22212122d d tx m x k k k k x k =+−=−()0d d 212122=++x mk k k k t x 2. 简振模的计算系统的振动为简谐运动例1:证明图示系统的振动为简谐运动,其频率为()mk k k k 2121π21+=νOxxP.12/33振动与波wzy 2211x k x k F −=−=Q 21k F k F k F +=∴21111k k k +=串mk k k k )(2121+=ω()mk k k k 2121π21+=ν21k k k +=并Oxx21x x x +=P.13/33振动与波wzy 下列各运动是否为简谐振动? 振动周期怎样计算?P.14/33振动与波wzy m例2:质量为M 的平板两端用劲度系数均为k 的相同弹簧连到侧壁上,下面垫一个质量为m 的圆柱.求此系统的圆频率.解：2p 212kx E ×=222k 212121c m I x M E v ++=ω&c xv 2=&Rc ω=v 22222212212121⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×+=x m R xmR x M &&&P.15/33振动与波wzy 2228116121x m x m xM &&&++=216321x m M &⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=22k p 16321x m M kx E E E &⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=+=机械能守恒0d d =tE01632122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++xx m M x kx &&&&016321=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+kx x m M &&mM k3816+=ωP.16/33振动与波wzy 例3: 已知一水平放置的振动系统,其弹簧质量为m 、长度为L 、劲度系数为k ,振子质量为M ,求系统的振动周期.解: 设振子位移为x速度：xLl &弹簧l 处的d l 位移：动能：2k d 21d v l E ρ=′20232k61d )2(x m l l x L x m E xL &&=+=′∫+x Ll ld lk x O2d 21⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=x L l l x L m &P.17/33振动与波wzy 系统的能量222216121kx x m x M E ++=&&机械能守恒0d d =tE 061212=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x kx x x m M &&&&031=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+kx x m M &&3/m M k+=ω周期:km M T 3/π2+=P.18/33振动与波wzy 哈密顿(Hamiltonian)原理另一种描述----哈密顿函数H (q i , p i , t )守恒系统, H =E k +E p描述物理系统----拉格朗日函数L (q i , , t )i q&广义坐标广义速度广义动量一个守恒系统, L =E k -E p作用量, 取决于运动过程∫=21d t t t L A 哈密顿原理:当系统从q i 演化到q f ,其真实的轨道总是满足作用量A 取极值的条件,即δA =0.P.19/33振动与波wzy δA =0@扰动δq i , 保持不变⎟⎠⎞⎜⎝⎛t q i d d δab哈密顿原理→稳定性原理(总是选择一条最稳定的轨道)→对称性原理哈密顿正则方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂−=∂∂=i i i i q H tp p H t q d d d d 定义动量牛顿方程P.20/33振动与波wzy 例: 简单弹簧连接体2122221)(2122l x xk m p m p H −−++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=−−−=∂∂−==∂∂=−−=∂∂−=mp p H t x l x x k x H tp m p p H t x l x x k x H t p 22212221111211d d ),(d d d d ,)(d d 脱耦模型:系统由二个无相互作用(脱耦)的准粒子(非真实的粒子)组成,一个是质量为2m 的质心,是一个自由粒子; 另一个是劲度系数为k 质量为m /2的简谐振子.P.21/33振动与波wzy 简单弹簧连接体P.22/33振动与波wzy 定义:振动系统在回复力和阻尼力共同作用下发生的减幅振动.三、阻尼振动vr r γ−=r F 为阻尼系数γ物体速度较小时，rF v x k F v v −=O x x 22tx m kx d d =−−v γmm kγβω==2:20令(β:阻尼因子)0d d 2d d 2022=++x tx t x ωβ动力学方程：02202=++ωβr r 22222442ωββωββ−±−=−±−=r 微分方程的特征方程为：P.23/33振动与波wzy 220202βωβωββ−±−=−±−=i r 1. 小阻尼情况：阻力很小()()ϕωϕβωββ+=+−=−−t A t A x t t cos e cos e 220方程解：220π2βω−=T 周期:220βωω−=0ωβ<P.24/33振动与波wzy 讨论：阻尼较小(β<ω0)时,振动为减幅振动,振幅随时间按指数规律迅速减少.阻尼越大,减幅越迅速.振动周期大于自由振动周期.t A β−e P.25/33振动与波wzy 2. 过阻尼(over damping)情况：阻力很大22ωββ−±−=r ttA A x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−+=202202ee21ωββωββ0ωβ>结论：阻尼较大(β< ω0)时, 振动从最大位移缓慢回到平衡位置, 不作往复运动.P.26/33振动与波wzy 3. 临界阻尼(critical damping)情况0ωβ=βωββ−=−±−=202r tt A A x β−+=e )(21方程解：结论：此时为“临界阻尼”的情况.是质点不作往复运动的一个极限.P.27/33振动与波wzy tx 阻尼较小时过阻尼振动: 阻尼较大时,振动从最大位移缓慢回到平衡位置,不作往复运动.过阻尼临界阻尼振动: 质点不作往复运动的极限状态.临界阻尼阻尼振动曲线：欠阻尼振动:振动为减幅振动,振幅随时间按指数规律迅速减少.阻尼越大,减幅越迅速.振动周期大于自由振动周期.P.28/33振动与波wzy 四、受迫振动共振受迫振动(forced vibration)：系统在周期性的外力(称为策动力)持续作用下所发生的振动.策动力(driving force)：周期性的外力tH F ωcos s =物体在弹性力、回复力、阻力的作用下的运动s F vrF v xk F v v −=OxxP.29/33振动与波wzy t H txkx t x mωγcos d d d d 22+−−=令：h mH mmk ===βγω220t h x t x tx ωωβcos d d 2d d 2022=++()()ϕωϕβωβ+++−=−t A t A x t cos cos e 02200在阻尼较小时,其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解,为P.30/33振动与波wzy()2222204ωβωω+−=hA 22012tanωωωβϕ−−=−()()ϕωϕβωβ+++−=−t A t A x t cos cos e 02200暂态项,经过一端时间以后趋向于零稳定项,代入原方程求得受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成.经一段相当的时间后,阻尼振动衰减到可以忽略不计,这样就成为一余弦振动,其周期为强迫力的周期,振幅、初相位不仅与初条件有关,而且与强迫力的频率和力幅有关.P.31/33振动与波wzy 共振(resonance): 当策动力的频率接近于固有频率时,受迫振动的振幅达到最大值(位移共振)的现象.共振频率：2202βωωτ−=共振振幅：2202βωβτ−=hA 结论: 阻尼系数β越小,共振角频率越接近于系统的固有频率,同时共振振幅也越大.PωAo共振频率ω大阻尼小阻尼阻尼0→P.32/33振动与波wzy TACOMA 大桥情景再现1940年7月1日,桥龄仅4个月的美国Tocama 大桥在一场不算太强的大风中坍塌.风产生的周期性效果导致大桥共振,大桥在风中坚强的摇曳了近一天,最终轰然坠下…P.33/33振动与波wzy 共振小人作业: 6-17，6-19，6-20。
第六章 振动与波振动：来回往复，周期性的运动。
物理量随时间周期性变化，就称该物理量在振动。
机械振动（力学系统的振动）：钟摆；乐器的弦线或簧片；声带；晶体中的原子；核磁共振仪中的试样原子；宇宙。
电磁振动（电磁学系统的振动）：交流电路；微波炉中的电场与磁场；调谐电路。
波动：振动的传播机械波（声波，水波，地震波等）；电磁波 简谐振动的重要性：（1）涉及机械振动的大多数问题，在小幅度振动的情况下，可简化为简谐振动； （2）复杂的振动可以看成是由许多简谐振动合成的；（3）声学、光学、力学、电路、原子物理学都出现简谐振动的微分方程，简谐振动显示着许多物理系统的共同特征。
6.1 简谐振动的基本概念基本内容和要求：（1）掌握简谐振动的解析表示、特征量以及动力学描述；（2）掌握简谐振动几何表示（旋转矢量法），能熟练绘出振动图线和旋转矢量图。
一、简谐振动的运动学描述：解析表示与特征量基本模型：弹簧振子（简谐振子） 1 解析表示 )cos(0ϕω+=t A x2 特征量：A 为振幅，单位m ；ω为角频率，单位rad/s；T 为周期，单位ν为频率，单位0ϕω+t 为相位，单位rad；0ϕ为初相位，单位rad 3 速度与加速度)2cos()sin(00πϕωωϕωω++=+−==t A t A dt dx v )cos()cos(0202πϕωωϕωω++=+−==t A t A dtdv a 注：（1）A v ω=max ；（2）x a 2ω−= 4 振动曲线讨论：如何由振动曲线判断位移与速度？ 由振动曲线的斜率正负判断速度的方向； 由下一时刻的运动趋势判断速度的方向。
二、简谐振动的动力学描述kx F −=这里，k 为正常数（对弹簧来说，k 就是劲度系数）；x 为质点对平衡位置的位移（为平衡位置）；这样的力0=x F 称为线性回复力。
在线性回复力的作用下，质点作简谐振动由牛顿方程 kx dtm −=2 即 x m k dt x d −=22解得 )cos(0ϕω+=t A x0,ϕA 由运动的初始条件（即初速度、初位移）决定。
0000sin cos ϕωϕA v A x −==→00102020tan )(x v v x A ωϕω−=+=−讨论：（1）由能量守恒关系确定振幅A222020*********kx mv kx mv E +=+=（守恒） 在最大位移处，202002212121kx mv E kA +==解得 kA 0= 即 2020)(ωv x A += 此外，在平衡位置，02max 21E mv =，所以 A m E v ω==0max 2 （2）0ϕ象限的确定如果，则0,000<>v x 0ϕ在第一象限；如果，则0,000<<v x 0ϕ在第二象限；如果，则0,000><v x 0ϕ在第三象限；如果，则0,000>>v x 0ϕ在第四象限。
注意：0ϕ象限的确定是本节重点。
（3）如果一个粒子在势场221)(kx x V =中运动，则该粒子一定作简谐振动。
kx dxx dV F −=−=)(小结：振动周期决定于振动系统本身的性质；振幅决定于振动的能量；初相决定于对时间原点的选择。
例1 有N 个劲度系数分别为的轻质弹簧。
（1）将它们串联，求等效的劲度系数；（2）将它们并联，求等效的劲度系数。
N k k k ,...,,21解 （1）N N x k x k x k F −==−=−= (2211))1...11( (2)121N N k k k F x x x x +++−=+++= 即 x k k k F N 1 (111)21+++−=若记等效的劲度系数为K ，则N k k k K 1 (111)21+++= 或 Nk k k K 1...11121+++= （2）x k F x k F x k F N N −=−=−=,...,,2211x k k k F F F F N N )...(...2121+++−=+++=若记等效的劲度系数为K ，则N k k k K +++= (21)例 2 一劲度系数为k 的轻质弹簧，下面挂一质量为的物体。
以弹簧原长处为坐标原点，试求平衡位置，以及物体偏离平衡位置后的运动。
m 解 如图建立坐标系。
)(kmg x k mg kx F +−=−−= 物体以kmg x −=为平衡位置作简谐振动，角频率为mk =ω。
例3 水面上浮沉的木块。
试证明木块作简谐振动，并求振动周期。
设木块的质量为m ，在水面上静止时没入水中的高度为H ，水的密度为0ρ。
解 如图建立坐标系。
木块平衡时，gHS mg 0ρ=木块偏离平衡位置的位移为时，xgSx mgS x H g F 00)(ρρ−=++−=这里为木块截面积。
可见，S gS k 0ρ=g H gSHS k m T πρρππ22200===例4 如图，一质量为的子弹以速度射入静止的弹簧振子（质量为m 1v M ）。
假定碰撞是瞬时的。
以共同运动的时刻为0=t ，求简谐振动的角频率、振幅和初相位。
解 （1）mM k +=ω （2）m M mv v +=10。
因为22021)(21kA v m M =+，所以)(1m M k mv A += 或者，因为A v ω=0，而mM k +=ω，所以)(10m M k mv v A +==ω （3）)cos(0ϕω+=t A x0sin 0cos 0000<−===ϕωϕA v A x 20πϕ=⇒三、简谐振动实例1 单摆一根不能伸缩，长为l 的细绳，上端固定，下端系一个质量为的小球（质点）。
m 受力分析：如图，绳的张力与mg 的径向分力θcos mg 提供向心力；切向分力为θsin mg 。
设质点沿弧线的位移为，则x θl x =。
由切线方向的牛顿方程θsin 22mg dtx d m F t −== 注：分析上面的方程容易得到，加速度与质量无关；摆的周期与质量无关。
摆角很小时，lx =≈θθsin ，方程可写成 x l mg dt x d m −=22等效于一质量为，劲度系数为m lmg k =的弹簧振子。
所以，可以立即得到：lg =ω讨论：（1）单摆的周期与振幅无关。
（2）rad 08727.05max ==o θ，08716.05sin =o， 3!31sin θθθ−=。
（3）在o 5max =θ，上面的单摆周期公式，其精度为万分之五。
（4）应用：测量重力加速度。
2 物体在稳定平衡位置附近的运动设是稳定平衡点。
在0x x =0x x =附近，...)(21)()()(20220000+−+−+===x x dx u d x x dx du x U x U x x x x 在稳定平衡点，势能取极小值，即00==x x dx du ，0022>=x x dx u d 记k dx u d x x ==022，则200)(21)()(x x k x U x U −+= )()(0x x k dxx dU F −−=−= 所以，物体在稳定平衡点附近的小振动可以近似地看成简谐振动。
讨论：0)(000=⇔==x F dx du x x ，00022>⇔>=k dx u d x x 3 LC 谐振电路C Q U U Q C C C =⇒=,22dt Q d L dt di L L −=−=ε因为L C U ε=，所以C Q dtQ d L −=22与弹簧振子的运动方程kx dt x d m −=22作类比 dtdQ i dt dx v Q x C k L m =↔=↔↔↔,1, 立即得到 LC T π2=)cos(0max ϕω+=t Q Q0max ,ϕQ 由初始条件确定。
这里讨论： 对弹簧振子来说，222121kx mv E +=，在振动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒；对LC 谐振电路来说，C Q Li E 222121+=，在谐振过程中，磁场能和电场能相互转化，总的电磁能守恒。
四、简谐振动的运动学描述：旋转矢量表示与振动的相位作匀速圆周运动的质点在某一直径（取作轴）上的投影的运动就是简谐振动。
圆周运动的角速度就等于振动的角频率；圆周运动的半径就等于振动的振幅；初始时刻作圆周运动的质点的矢径与轴的夹角就是振动的初相。
x x （1）参考圆（2）旋转矢量：长度等于振幅；旋转角速度等于振动的角频率；与轴的夹角等于振动的相位。
x )cos()(0ϕω+==t A A x x r)sin()2cos()(00ϕωωπϕωω+−=++==t A t A v v x m r )cos()cos()(0202ϕωωπϕωω+−=++==t A t A a a x m r 讨论：（1）用相位表示简谐振动的质点运动状态 如果，则0,0<>v x ϕ在第一象限； 如果，则0,0<<v x ϕ在第二象限； 如果，则0,0><v x ϕ在第三象限； 如果，则0,0>>v x ϕ在第四象限。
（2）相位差)cos(101ϕω+=t A x ，)cos(202ϕω+=t A x 10201020)()(ϕϕϕωϕωϕ−=+−+=Δt t即两个同频率的简谐振动在任意时刻的相位差总对于其初相位差。
同相：πϕk 2±=Δ，,...2,1,0=k反相：πϕ)12(+±=Δk ，,...2,1,0=k 超前与落后例 一质点作简谐振动，振幅cm A 4=，角频率为12rad/s。
初始时刻cm x 20=，速度为正。
求：（1）振动表达式；（2）从初始位置回到平衡位置的最短时间。
解 （1）)cos(0ϕω+=t A x由已知条件，cm A 4=，s rad /12=ω。
作旋转矢量图，可得30πϕ−=。
所以 )312cos(04.0π−=t x （SI） （2）由旋转矢量图，πππω6523=+=Δt ，所以π725=Δt 秒。
例 一质点作简谐振动，周期为T 。
当它由平衡位置向轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间是多少？x 解 由旋转矢量图，在此过程中相位的变化为3π，所以需要的时间为6T 。
例 一质点作简谐振动，周期为T 。
以余弦函数表达振动时，初相位为零。
在20T t ≤≤的范围内，系统在哪些时刻动能和势能相等？提示：A x kA kx 2221)21(2122±=⇒×= 答案：81T t =，832T t = 例 弹簧振子。
m 4.0max =x ，，N 8.0max =F m/s 8.0max π=v 。
0=t 时，m 2.00=x ，。
求：（1）振动能量；（2）振动表达式。
