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振动与波的传播和干涉1.1 振动的概念振动是物体围绕其平衡位置做周期性的往复运动。
1.2 振动的分类（1）自由振动：不受外力的振动。
（2）受迫振动：在外力作用下的振动。
1.3 振动的特点（1）周期性：振动具有固定的周期，即完成一个往复运动所需的时间。
（2）频率：振动的频率是周期的倒数，单位为赫兹（Hz）。
1.4 振动的描述（1）振幅：振动过程中，物体离开平衡位置的最大距离。
（2）角频率：振动的角速度，单位为弧度每秒。
（3）频率：振动的周期数，单位为赫兹（Hz）。
二、波的传播2.1 波的概念波是振动在空间中的传播过程，可以看作是振动能量的传递。
2.2 波的分类（1）机械波：通过介质传播的波，如声波、水波。
（2）电磁波：不需要介质传播的波，如光波、无线电波。
2.3 波的传播特点（1）波动性：波在传播过程中，振动形式不变。
（2）波长与频率的关系：波速=波长×频率。
（3）波速与介质的关系：波速与介质性质有关。
2.4 波的叠加原理（1）同种波的叠加：相位相同的波相互叠加，振幅相加。
（2）不同种波的叠加：振动方向相互垂直的波相互叠加，遵循平行四边形定则。
3.1 干涉的概念干涉是两个或多个波相遇时产生的波的合成现象。
3.2 干涉的条件（1）相干波：频率相同、相位差恒定的波。
（2）相遇：波的传播路径相差一定的距离。
3.3 干涉现象（1）亮条纹与暗条纹：相干波相互叠加时，振动方向相同的点振动加强，形成亮条纹；振动方向相反的点振动减弱，形成暗条纹。
（2）等距条纹：干涉条纹间距相等，与波长成正比。
3.4 干涉的应用（1）双缝干涉：研究光的波动性。
（2）迈克尔孙干涉仪：测量光的波长。
四、中考相关考点4.1 振动与波的基本概念（1）振动的特点及分类。
（2）波的分类及传播特点。
4.2 波的叠加原理（1）同种波的叠加。
（2）不同种波的叠加。
4.3 干涉现象及条件（1）相干波的条件。
（2）干涉现象的产生及特点。
4.4 干涉的应用（1）双缝干涉实验。
振动与波知识点总结一、振动的基本概念振动是物体围绕某一平衡位置来回摆动或者来回重复运动的现象。
振动是物体相对平衡位置的周期性运动，也就是说，振动是由物体周期性地向着某一方向偏离平衡位置，然后再向着相反方向偏离平衡位置并且这个过程一直不断地重复。
振动的基本要素包括振动物体、平衡位置和振动的幅度、周期和频率等。
振动的产生是由于外力的作用或者物体本身的内部力的作用。
二、振动的表征和描述1. 振动的幅度：振动物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离称为振幅，用A表示。
振幅是一个振动过程中最大的位移值，代表了振动物体最大偏离平衡位置的距离。
2. 振动的周期：振动物体完成一个完整的往复运动所需要的时间称为振动周期，用T表示。
振动周期是一个振动过程完成一次往复运动所需要的时间。
3. 振动的频率：振动物体完成一个往复运动所需要的次数称为振动频率，用f表示。
振动频率是一个振动过程在单位时间内完成的往复运动的次数。
4. 振动的角速度：振动物体单位时间内完成的角度偏移称为角速度，用ω表示。
角速度是一个振动过程单位时间内振动物体完成的角度偏移。
5. 振动的相位：描述振动在某一时刻相对于起始位置的位置状态的概念，通常用角度来表示。
相位是一种描述振动物体在振动过程中某一时刻相对于起始位置的相对状态的概念。
三、振动的共振现象当外力的频率与振动系统自身的振动频率相同时，振动系统会出现共振现象。
共振现象会使振动系统产生很大的振幅，甚至导致系统的破坏。
共振现象在实际生活中有很多应用，比如音乐中的共振现象会增加声音的响亮度，而机械振动中的共振现象则可能导致机械系统的破坏。
四、波的基本概念波是由物质的振动或者波的传播介质本身的运动所产生的，波是一种传播能量和动量的方式。
波可以分为机械波和电磁波两种类型。
1. 机械波：需要通过介质来传播的波称为机械波，比如水波、声波等。
2. 电磁波：不需要介质来传播的波称为电磁波，比如光波、无线电波等。
波的传播可以分为横波和纵波两种类型。
精品习 题 六6-1 一轻弹簧在60N 的拉力下伸长30cm 。
现把质量为4kg 物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm ，然后释放并开始计时。
求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。
[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系rad/s 07.74200m 1.0N/m 2001030602=====⨯=-m k A k ω设振动方程为 ()φ+=t x 07.7cos0=t 时 1.0=x φcos 1.01.0= 0=φ故振动方程为 ()m 07.7cos 1.0t x =(2)设此时弹簧对物体作用力为F ，则()()x x k x k F +=∆=0其中 m 2.0200400===k mg x精品因而有 ()N 3005.02.0200=-⨯=F(3)设第一次越过平衡位置时刻为1t ，则()107.7cos 1.00t = 07.5.01π=t第一次运动到上方5cm 处时刻为2t ，则()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322⨯=πt故所需最短时间为：s 074.012=-=∆t t t6-2 一质点在x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A 时作为计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ，再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。
[解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知421=T s精品由于4/2s 8/1,s 81ππνων====-T精品(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方。
t =0时, φcos 5A x =-=t =2s 时， φφωsin )2cos(5A A x -=+==由以上二式得 1tan =φ因为在A 点质点的速度大于零，所以43πφ-= cm x A 25cos /==φ所以，运动方程为：)SI ()4/34/cos(10252ππ-⨯=-t x(2)速度为： )434sin(41025d d 2πππ-⨯-==-t t x v 当t =2s 时 m/s 1093.3)434sin(41025d d 22--⨯=-⨯-==πππt t x v6-3 一质量为M 的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm ，在距平衡位置6cm 处，速度为24s cm ，求：(1)周期T ； (2)速度为12s cm 时的位移。
第六章振动与波考试内容和要求一．机械振动1．机械振动和简谐振动物体（或物体的一部分）在某一位置附近做运动叫做机械振动。
物体在跟位移大小成并且总是指向的力作用下的振动叫简谐振动。
产生机械振动的条件：；产生简谐振动的条件：。
表征振动的物理量振幅A：，单位：，表征振动的。
周期T：，单位：，表征振动的。
频率f：，单位：，表征振动的。
【典型例题】1．一个小球从距离斜面底端h高处由静止释放，沿着两个光滑斜面来回滑动，如图所示，如果在运动过程中小球经过斜面接口处无能量损失，则小球的振动及其周期分别为（）（A）是简谐振动（B）不是简谐振动（C）周期为22hg（1sinα＋1sinβ）（D）周期为22hg（1sinα＋1sinβ）2．（1996全国）下表中给出的是作简谐振动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，0 T/4 T/2 3T/4 T甲零正向最大零负向最大零乙零负向最大零正向最大零丙正向最大零负向最大零正向最大丁负向最大零正向最大零负向最大（A）若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v（B）若丁表示位移x，则甲表示相应的速度v（C）若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v（D）若乙表示位移x，则丙表示相应的速度v2．振动图像【典型例题】3．如图是一个质点的振动图像。
从图像上可知，质点振动的振幅是米，周期是秒，频率是赫，完成20次全振动的时间是秒，它在0.5秒时的位移是米，2.0秒时的位移是米，3.0秒时的位移是米。
4．右图是一弹簧振子做简谐振动的振动图像。
在T/2＋Δt和T/2－Δt两个时刻，下列物理量中相同的是（）（A）速度（B）加速度（C）振子的位移（D）振幅3．弹簧振子弹簧振子做简谐振动的回复力为，F回F合（选填“＝”或“≠”）。
【典型例题】5．如图所示，弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，AB间距20cm，A运动到B需时2s，则振子振动周期为s，振幅为cm，从B开始经过6s，振子通过的路程为cm。
第六章 振动与波振动：来回往复，周期性的运动。
物理量随时间周期性变化，就称该物理量在振动。
机械振动（力学系统的振动）：钟摆；乐器的弦线或簧片；声带；晶体中的原子；核磁共振仪中的试样原子；宇宙。
电磁振动（电磁学系统的振动）：交流电路；微波炉中的电场与磁场；调谐电路。
波动：振动的传播机械波（声波，水波，地震波等）；电磁波 简谐振动的重要性：（1）涉及机械振动的大多数问题，在小幅度振动的情况下，可简化为简谐振动； （2）复杂的振动可以看成是由许多简谐振动合成的；（3）声学、光学、力学、电路、原子物理学都出现简谐振动的微分方程，简谐振动显示着许多物理系统的共同特征。
6.1 简谐振动的基本概念基本内容和要求：（1）掌握简谐振动的解析表示、特征量以及动力学描述；（2）掌握简谐振动几何表示（旋转矢量法），能熟练绘出振动图线和旋转矢量图。
一、简谐振动的运动学描述：解析表示与特征量基本模型：弹簧振子（简谐振子） 1 解析表示 )cos(0ϕω+=t A x2 特征量：A 为振幅，单位m ；ω为角频率，单位rad/s；T 为周期，单位ν为频率，单位0ϕω+t 为相位，单位rad；0ϕ为初相位，单位rad 3 速度与加速度)2cos()sin(00πϕωωϕωω++=+−==t A t A dt dx v )cos()cos(0202πϕωωϕωω++=+−==t A t A dtdv a 注：（1）A v ω=max ；（2）x a 2ω−= 4 振动曲线讨论：如何由振动曲线判断位移与速度？ 由振动曲线的斜率正负判断速度的方向； 由下一时刻的运动趋势判断速度的方向。
二、简谐振动的动力学描述kx F −=这里，k 为正常数（对弹簧来说，k 就是劲度系数）；x 为质点对平衡位置的位移（为平衡位置）；这样的力0=x F 称为线性回复力。
在线性回复力的作用下，质点作简谐振动由牛顿方程 kx dtm −=2 即 x m k dt x d −=22解得 )cos(0ϕω+=t A x0,ϕA 由运动的初始条件（即初速度、初位移）决定。
0000sin cos ϕωϕA v A x −==→00102020tan )(x v v x A ωϕω−=+=−讨论：（1）由能量守恒关系确定振幅A222020*********kx mv kx mv E +=+=（守恒） 在最大位移处，202002212121kx mv E kA +==解得 kA 0= 即 2020)(ωv x A += 此外，在平衡位置，02max 21E mv =，所以 A m E v ω==0max 2 （2）0ϕ象限的确定如果，则0,000<>v x 0ϕ在第一象限；如果，则0,000<<v x 0ϕ在第二象限；如果，则0,000><v x 0ϕ在第三象限；如果，则0,000>>v x 0ϕ在第四象限。
注意：0ϕ象限的确定是本节重点。
（3）如果一个粒子在势场221)(kx x V =中运动，则该粒子一定作简谐振动。
kx dxx dV F −=−=)(小结：振动周期决定于振动系统本身的性质；振幅决定于振动的能量；初相决定于对时间原点的选择。
例1 有N 个劲度系数分别为的轻质弹簧。
（1）将它们串联，求等效的劲度系数；（2）将它们并联，求等效的劲度系数。
N k k k ,...,,21解 （1）N N x k x k x k F −==−=−= (2211))1...11( (2)121N N k k k F x x x x +++−=+++= 即 x k k k F N 1 (111)21+++−=若记等效的劲度系数为K ，则N k k k K 1 (111)21+++= 或 Nk k k K 1...11121+++= （2）x k F x k F x k F N N −=−=−=,...,,2211x k k k F F F F N N )...(...2121+++−=+++=若记等效的劲度系数为K ，则N k k k K +++= (21)例 2 一劲度系数为k 的轻质弹簧，下面挂一质量为的物体。
以弹簧原长处为坐标原点，试求平衡位置，以及物体偏离平衡位置后的运动。
m 解 如图建立坐标系。
)(kmg x k mg kx F +−=−−= 物体以kmg x −=为平衡位置作简谐振动，角频率为mk =ω。
例3 水面上浮沉的木块。
试证明木块作简谐振动，并求振动周期。
设木块的质量为m ，在水面上静止时没入水中的高度为H ，水的密度为0ρ。
解 如图建立坐标系。
木块平衡时，gHS mg 0ρ=木块偏离平衡位置的位移为时，xgSx mgS x H g F 00)(ρρ−=++−=这里为木块截面积。
可见，S gS k 0ρ=g H gSHS k m T πρρππ22200===例4 如图，一质量为的子弹以速度射入静止的弹簧振子（质量为m 1v M ）。
假定碰撞是瞬时的。
以共同运动的时刻为0=t ，求简谐振动的角频率、振幅和初相位。
解 （1）mM k +=ω （2）m M mv v +=10。
因为22021)(21kA v m M =+，所以)(1m M k mv A += 或者，因为A v ω=0，而mM k +=ω，所以)(10m M k mv v A +==ω （3）)cos(0ϕω+=t A x0sin 0cos 0000<−===ϕωϕA v A x 20πϕ=⇒三、简谐振动实例1 单摆一根不能伸缩，长为l 的细绳，上端固定，下端系一个质量为的小球（质点）。
m 受力分析：如图，绳的张力与mg 的径向分力θcos mg 提供向心力；切向分力为θsin mg 。
设质点沿弧线的位移为，则x θl x =。
由切线方向的牛顿方程θsin 22mg dtx d m F t −== 注：分析上面的方程容易得到，加速度与质量无关；摆的周期与质量无关。
摆角很小时，lx =≈θθsin ，方程可写成 x l mg dt x d m −=22等效于一质量为，劲度系数为m lmg k =的弹簧振子。
所以，可以立即得到：lg =ω讨论：（1）单摆的周期与振幅无关。
（2）rad 08727.05max ==o θ，08716.05sin =o， 3!31sin θθθ−=。
（3）在o 5max =θ，上面的单摆周期公式，其精度为万分之五。
（4）应用：测量重力加速度。
2 物体在稳定平衡位置附近的运动设是稳定平衡点。
在0x x =0x x =附近，...)(21)()()(20220000+−+−+===x x dx u d x x dx du x U x U x x x x 在稳定平衡点，势能取极小值，即00==x x dx du ，0022>=x x dx u d 记k dx u d x x ==022，则200)(21)()(x x k x U x U −+= )()(0x x k dxx dU F −−=−= 所以，物体在稳定平衡点附近的小振动可以近似地看成简谐振动。
讨论：0)(000=⇔==x F dx du x x ，00022>⇔>=k dx u d x x 3 LC 谐振电路C Q U U Q C C C =⇒=,22dt Q d L dt di L L −=−=ε因为L C U ε=，所以C Q dtQ d L −=22与弹簧振子的运动方程kx dt x d m −=22作类比 dtdQ i dt dx v Q x C k L m =↔=↔↔↔,1, 立即得到 LC T π2=)cos(0max ϕω+=t Q Q0max ,ϕQ 由初始条件确定。
这里讨论： 对弹簧振子来说，222121kx mv E +=，在振动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒；对LC 谐振电路来说，C Q Li E 222121+=，在谐振过程中，磁场能和电场能相互转化，总的电磁能守恒。
四、简谐振动的运动学描述：旋转矢量表示与振动的相位作匀速圆周运动的质点在某一直径（取作轴）上的投影的运动就是简谐振动。
圆周运动的角速度就等于振动的角频率；圆周运动的半径就等于振动的振幅；初始时刻作圆周运动的质点的矢径与轴的夹角就是振动的初相。
x x （1）参考圆（2）旋转矢量：长度等于振幅；旋转角速度等于振动的角频率；与轴的夹角等于振动的相位。
x )cos()(0ϕω+==t A A x x r)sin()2cos()(00ϕωωπϕωω+−=++==t A t A v v x m r )cos()cos()(0202ϕωωπϕωω+−=++==t A t A a a x m r 讨论：（1）用相位表示简谐振动的质点运动状态 如果，则0,0<>v x ϕ在第一象限； 如果，则0,0<<v x ϕ在第二象限； 如果，则0,0><v x ϕ在第三象限； 如果，则0,0>>v x ϕ在第四象限。
（2）相位差)cos(101ϕω+=t A x ，)cos(202ϕω+=t A x 10201020)()(ϕϕϕωϕωϕ−=+−+=Δt t即两个同频率的简谐振动在任意时刻的相位差总对于其初相位差。
同相：πϕk 2±=Δ，,...2,1,0=k反相：πϕ)12(+±=Δk ，,...2,1,0=k 超前与落后例 一质点作简谐振动，振幅cm A 4=，角频率为12rad/s。
初始时刻cm x 20=，速度为正。
求：（1）振动表达式；（2）从初始位置回到平衡位置的最短时间。
解 （1）)cos(0ϕω+=t A x由已知条件，cm A 4=，s rad /12=ω。
作旋转矢量图，可得30πϕ−=。
所以 )312cos(04.0π−=t x （SI） （2）由旋转矢量图，πππω6523=+=Δt ，所以π725=Δt 秒。
例 一质点作简谐振动，周期为T 。
当它由平衡位置向轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间是多少？x 解 由旋转矢量图，在此过程中相位的变化为3π，所以需要的时间为6T 。
例 一质点作简谐振动，周期为T 。
以余弦函数表达振动时，初相位为零。
在20T t ≤≤的范围内，系统在哪些时刻动能和势能相等？提示：A x kA kx 2221)21(2122±=⇒×= 答案：81T t =，832T t = 例 弹簧振子。
m 4.0max =x ，，N 8.0max =F m/s 8.0max π=v 。
0=t 时，m 2.00=x ，。
求：（1）振动能量；（2）振动表达式。
