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第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习适用于正项(同号)常数项级数的判别法以下常值级数(数项级数)敛散性的判别法适用于正项级数，也适用于全部项都小于的级数，只要提出一个负号即转换为正项级数，而级数的项乘以负，级数的敛散性不发生变化.另外，由于不对级数的敛散性与和产生影响，因此，一般正项级数仅仅考虑大于的项.1、比较判别法用比较判别法判定级数的敛散性需要有比较收敛或发散的级数，因此，对于常见级数，尤其是之前列出的几何级数、调和级数、p-级数以及和为e的阶乘级数的敛散性要记牢.比较判别法有不等式形式和极限形式，具体结论参见下面列出的课件.【注1】一般依据通项结构寻找比较级数，比如通项中包含有次方项，考虑几何级数比较；包好有的幂级数结构或者n的有理式结构考虑级数（一般值的选取为分母的最高次幂减去分子的最高次幂），有阶乘项可以考虑的阶乘级数比较。
【注2】对于已知了级数收敛、发散或数列收敛、发散条件的抽象级数敛散性的判定与证明一般使用的方法过为比较法的不等式形式，或者拆项的部分和数列判定方法。
2、比值、根值判别法比值、根值判别法只与级数本身的通项有关！当通项中包含有阶乘项一般考虑比值判别法，包含有次方项考虑根值判别法，具体结论参见下面列出的课件.【注1】当两种方法求出的极限都存在时，则极限值相等；当比值判别法极限不存在时，可以考虑根值判别法. 并且有比值法极限存在，则根值法极限一定存在并且相等；但根值法极限存在，比值法极限不一定存在！【注2】特别注意：极限值等于时，敛散性不确定！3、积分判别法积分判别法包括两个方面的处理方式，一种是将级数项转换为积分区间端点为正整数，长度为的积分描述形式，一般再借助比较法，或者部分和数列方法来讨论；一种是将级数通项的替换为，转换为积分区间为上单调递减的非负函数的反常积分来判定其敛散性.一般判定思路如下图所示：参考课件【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！相关推荐●高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！●历届考研真题及详细参考解答浏览菜单中选项●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部下选项。
数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
习题 9-21.判断下列级数的敛散性.<1）； <2）； <3）；<4）； <5）； <6）<）．解：<1）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而调和级数发散，从而也发散；由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
<2）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
<3）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为<），且调和级数发散；则由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而，所以，即，又调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
<4）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论），由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
<5）；因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。
<6）<）．当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，且级数是公比为<）的等比级数，是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=1100!n nn 2．()∑∞=++1332n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=---11121n n n n ；2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3．Λ++-+++-144133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间1．∑∞=13n nn x n；2．∑∞=1!n nx n ；3．()∑∞=-1121n nnx n；4．∑∞=+-112121n n n x；5．∑∞=123n nn x n求下列级数的和函数1．∑∞=-11n n nx；2．121121+∞=+∑n n n x ；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3．x1，30=x ； (B)用定义判断下列级数的敛散性()()∑∞=++043131n n n 判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=+1n )1(1n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞=13n n n ；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=-⋅-11311n n n n ；2．()∑∞=--1n1211n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间1．()∑∞=-121n nnn x ；求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞=--11)1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑∞=-112n n n 的和；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．()13212+-=x x x f ，00=x ；2．()21x x f =，10=x。
无穷级数敛散性练习题（含答案）1.判断级数∑∞=1n n的敛散性。
解：u n =n, s n =1+2+3+…+n, →n lim s n =s ，该极限存在故原级数是收敛的2.判断级数∑∞=121n n的敛散性解：u n=21n,u n =21×21n-1,q =21<1,故原级数是收敛的若q ≥1，则说明级数是发散的3.若级数)(∑∞=-12n n u 是收敛的，求n n u lim ∞→解：有题意可知，)(n n u -∞→2lim =0，则n n u ∞→lim =2 若级数∑∞=1n n u 收敛，则通项n u 必趋于零，即n n u lim ∞→=0反之，未必成立4.证明调和级数∑∞=11n n 是发散的证明：取前2n项和n s 2=1＋21＋31＋41＋…＋n21n s 2=1+21+31+41+51+61+71+81+…+n21=1+21+（31+41）＋（51＋61＋71＋81）＋…+（1211+-n ＋…+n21）>21＋（41+41）+（81+81+81+81）+…+（n21+n21+…+n21)=21+21+21+…+21 =2n n s n 2lim∞→≥2limn n ∞→=+∞，所以该级数是发散的若级数∑∞=1n n u 的通项u n ,当∞→n 时（注意是∞→n ，而不是1→n 或0→n ）n n u ∞→lim ≠0，则级数∑∞=1n n u 是发散的5.p 级数的敛散性，级数∑∞=11n pn，当p ≤1时发散，当p >1时收敛 讨论级数∑∞=+12)1(1n n 的敛散性解：因为2)1(1+n <)1(1+n n ∑∞=+1)1(1n n n ，u n=)1(1+n n =（n 1－11+n ）s n=（1－21+21－31＋31＋…+11-n －n 1）s n=（1－n1），n n s l i m ∞→=1故该级数是收敛的令u n =2)1(1+n ，v n =)1(1+n n6.判别级数∑∞=+1211n n的敛散性解：因为调和级数∑∞=11n n 发散nn n 1112lim+∞→=1,0<1<＋∞故级数∑∞=+1211n n是发散的设级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 都是正项级数，且nn n v u lim∞→=L若L=0,且级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛若L=＋∞且级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散7.p 级数敛散性的经验判别法∑∞=1n nu ，nu 关于n 的有理分式，当分子n 的最高次数为k ，分母n 的最高次数为m 若m －k >1,该级数是收敛的 若m －k ≤1,该级数是发散的例如级数∑∞=+121n n n，k=1,m=2,故该级数是发散的8.比值判别法 设∑∞=1n n u 为正项级数，且nn n u u 1lim+∞→=ρ（n u 中含n a ，n!) 当ρ<1，级数收敛当ρ>1（或ρ=+∞），级数发散 当ρ=1，级数可能收敛也可能发散 判别级数∑∞=1!n n nn 的敛散性解：n u =n n n !nn n n n n n !)1()!1(1lim+∞→++=!)1()1(!1limn n n n n nn n ∙+++∞→ =nnn n n )1(lim+∞→ =nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→1lim=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n 111lim=e1 ρ=e1<1故该级数收敛。
探索级数与收敛性级数收敛与发散判断练习题在数学中，级数是由一系列项组成的无穷序列的和。
级数的收敛性与发散性是在数学分析领域中的重要概念。
本文将通过一些练习题来探索级数的性质，并判断它们的收敛性或发散性。
练习题 1：考虑以下级数：1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ...这是一个等比级数，公比为0.5。
我们知道，等比级数收敛的条件是公比的绝对值小于1。
因此，在这个练习题中，公比的绝对值为0.5，小于1。
因此，这个级数收敛。
练习题 2：考虑以下级数：1 + 2 + 3 + 4 + ...这是一个等差级数，差为1。
我们知道，等差级数是发散的，因为它的项随着索引的增长而线性增长。
因此，这个级数发散。
练习题 3：考虑以下级数：1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...这是一个交错级数，它的每一项交替正负。
解决这类级数的方法是通过部分求和。
我们可以发现，当部分求和的项数是偶数时，它的和是0；当部分求和的项数是奇数时，它的和是1。
因此，这个级数是发散的。
练习题 4：考虑以下级数：1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ...这个级数在练习题 1 中已经出现过了。
这个级数是一个等比级数，公比为0.5。
我们已经知道，这个级数收敛。
练习题 5：考虑以下级数：1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...这个级数是一个阶乘级数。
我们知道，阶乘级数收敛的条件是项趋于零。
这是因为阶乘的增长速度非常快，因此项会随着索引的增大而趋于零。
因此，这个级数收敛。
练习题 6：考虑以下级数：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...这个级数是一个几何级数，公比是1/2。
几何级数收敛的条件是公比的绝对值小于1，而在这个级数中，公比的绝对值是1/2，小于1。
因此，这个级数收敛。
练习题 7：考虑以下级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...这个级数是一个调和级数。
调和级数是发散的，这是因为当 n 趋于无穷大时，调和级数的部分和趋近于无穷大。
