高考数学一轮第5章数列第2节等差数列及其前n项和课件理新人教A版

1 2.3 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)

A级 基础巩固

一、选择题

1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( )

A．30 B．31 C．32 D．33

解析：中间项为an＋1.

S奇＝（a1＋a2n＋1）2·(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.

S偶＝a2＋a2n2·n＝n·an＋1＝480.

所以an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.

答案：C

2．等差数列{an}的公差d＝12且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )

A．52.5 B．72.5 C．60 D．85

解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.

答案：C

3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12为( )

A.310 B.13 C.18 D.19

解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因为S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4.

所以S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.

所以S6S12＝310.

答案：A

4．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )

A．15 B．35 C．66 D．100

解析：易得an＝－1，n＝1，2n－5，n≥2.

|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1， 2 令an>0则2n－5>0，所以n≥3.

所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|

＝－(a1＋a2)＋a3＋…＋a10

＝2＋(S10－S2)

＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]

＝66.

答案：C

第二节 等差数列

2019考纲考题考情

1．等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)。

(2)等差中项

若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝a＋b2。

2．等差数列的有关公式

(1)等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d。

(2)等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋nn－12d或Sn＝na1＋an2。

3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)。

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an。(等和性)

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d。

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列。

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列。 (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列。

(7)S2n－1＝(2n－1)an。

(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd2；

若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)。

1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。

2．等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。

3．等差数列与函数的关系

(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d。若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列。

....

.... 第2节 等差数列及其前n项和

最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.

知 识 梳 理

1.等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b2.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*).

(2)等差数列的前n项和公式

Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d(其中n∈N*).

3.等差数列的有关性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.

(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq.

(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(4)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

4.等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

[常用结论与微点提醒] ....

.... 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 第2讲 等差数列及其前n项和

1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于( )

A．1 B．－1

C．－2 D．3

解析：选C.由题意可得S3＝3a1＋3d＝12＋3d＝6，解得d＝－2，故选C.

2．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为( )

A．24 B．39

C．104 D．52

解析：选D.因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48，所以a4＋a10＝8，其前13项的和为13（a1＋a13）2＝13（a4＋a10）2＝13×82＝52，故选D.

3．(2016·新余质检)在等差数列{an}中，a9＝12a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝( )

A．24 B．48

C．66 D．132

解析：选D.数列{an}是等差数列，故a6＋3d＝12(a6＋6d)＋6，

所以a6＝12.又S11＝11（a1＋a11）2＝11a6，

所以S11＝132.

4．(2016·淮北、淮南模拟)如果等差数列{an}中，a1＝－11，S1010－S88＝2，则S11＝( )

A．－11 B．10

C．11 D．－10

解析：选A.由Sn＝na1＋n（n－1）2d，得Snn＝a1＋（n－1）2d，由S1010－S88＝2，得a1＋92d－a1＋72d＝2，解得d＝2，S1111＝a1＋102d＝－11＋5×2＝－1，所以S11＝－11.

5．(2016·江西省白鹭洲中学高三模拟)等差数列{an}中a10a9＜－1，它的前n项和Sn有最大值，则当Sn取得最小正值时，n＝( )

A．17 B．18

C．19 D．20

解析：选A.由题意知，a1＞0，d＜0，因为a10a9＜－1，