第七章 不等式、推理与证明(答案)

1 答案 第七章 不等式、推理与证明

第一节 不等关系与不等式的解法

基础自测

1．[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×

2．[解析] 因为M＝{x|x2＋3x＋2<0}＝{x|－2

3．[解析] ∵c1c>1d，两边同乘－1，得－1d>－1c>0，又a>b>0，故由不等式的性质可知－ad>－bc>0.两边同乘－1，得ad

4．[解析] 依题意x2＋ax＋1≥0对x∈R恒成立，∴a2－4≤0，∴－2≤a≤2.[答案] D

5．[解析] ∵ax2＋bx＋2>0的解集为x|－12

考点一 不等式的性质及应用

例1:[解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式成立的条件．

[解析] (1)由a－b>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即a>b≥0或a0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．

(2)解法一：取a＝2，b＝12，排除B；取a＝2，b＝1，排除D；a＋1b－b＋1a＝(a－b)＋1b－1a＝(a－b)＋a－bab＝a－bab＋ab，因为a>b>0，所以a－b>0，ab>0, ab＋1>0，故a－bab＋ab>0，即a＋1b>b＋1a，所以A正确；ba－b＋1a＋1＝ba＋－ab＋aa＋＝b－aaa＋<0，所以C错误．

解法二：取a＝2，b＝1，排除D；另外，函数f(x)＝x－1x在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x) 2 ＝x＋1x在(0,1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)未必成立，从而有a－1a>b－1b，即a＋1b>b＋1a，但a＋1a>b＋1b未必成立，故A正确；ba－b＋1a＋1＝ba＋－ab＋aa＋＝b－aaa＋<0，所以C错误． [答案] (1)A (2)A

对点训练

1．[解析] y＝x3为增函数，得a30)为减函数，得1a>1b；y＝ax为减函数(0

2．[解析] 由a1a不成立，选A.

3．[解析] ab2＋ba2－1a＋1b＝a－bb2＋b－aa2＝(a－b)1b2－1a2＝a＋ba－b2a2b2.

∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴a＋ba－b2a2b2≥0.∴ab2＋ba2≥1a＋1b.[答案] ab2＋ba2≥1a＋1b

考点二 不等式的解法

例2:[解题指导] 切入点：不等式的性质及公式法；关键点：化不等式为标准形式．

[解析] (1)A＝{x|2x－x2>0}＝{x|01}，∴∁RB＝{x|x≤1}，则(∁RB)∩A＝{x|0

(2)∵|2x－1|<3，∴－3<2x－1<3.∴－1

又∵2x＋13－x<0，∴(2x＋1)(3－x)<0.

∴x＋12(x－3)>0.∴x<－12或x>3.

∴A∩B＝{x|－13＝x －1

[答案] (1)B (2)D

对点训练

[解] 若a＝0，则原不等式等价于－x＋1<0⇒x>1. 3 若a<0，则原不等式等价于x－1a(x－1)>0⇔x<1a或x>1.

若a>0，则原不等式等价于x－1a(x－1)<0.

①当a＝1时，1a＝1，所以原不等式的解集为Ø.

②当a>1时，1a<1，所以原不等式的解集为 x1a

③当01，所以原不等式的解集为 x1

综上所述，当a<0时，解集为 xx<1a或x>1；

当a＝0时，解集为{x|x>1}；

当0

当a＝1时，解集为Ø；

当a>1时，解集为 x1a

考点三 与不等式恒成立有关的问题

例3:[解题指导] 切入点：应用二次不等式或二次函数的最值求解；关键点：对m的分类讨论．

[解] (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，

若m＝0，显然－1<0；

若m≠0，则 m<0，Δ＝m2＋4m<0，⇒－4

所以－4

(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，即mx－122＋34m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种解法：

解法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]． 4 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，所以m<67，则0

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.

综上所述：m的取值范围是m m<67.

解法二：因为x2－x＋1＝x－122＋34>0，

又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<6x2－x＋1.

因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m<67即可．

所以，m的取值范围是m m<67.

[拓展探究] [解] 由f(x)<0，得mx2－mx－1<0，即(x2－x)m－1<0.

令g(m)＝(x2－x)m－1，则g(m)<0，

对|m|≤1，即－1≤m≤1恒成立．所以 g－，g，即 －x2＋x－1<0，x2－x－1<0，

解得1－52

课时跟踪训练(三十四)

一、选择题

1．[解析] 当c＝0时，选项A不成立；当a>0，b<0时，选项B不成立；当a＝1，b＝－5时，选项C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)a＋b22＋3b24>0，故选D.

2．[解析] 解x2－2x－3<0，得－11.

所以M＝{x|－11}，所以M∩N＝{x|1

3．[解析] 集合A＝{x|0≤x<1}，集合B＝{x|0

5．[解析] 因为(x－1)2<1⇔0

6．[解析] m>x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时f(x)min＝5，∃x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B.

7．[解析]  x＋1<0，x＋x＋－x＋＋1]≤1，或 x＋1≥0，x＋x＋x＋－1]≤1，

∴x<－1或－1≤x≤ 2－1.∴x≤ 2－1. [答案] C

8．[解析] 解不等式得p：12≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，非p是非q的必要不充分条件即为p是q的充分不必要条件，所以 a≤12，a＋1≥1，(等号不能同时取得)，解得0≤a≤12，故选A.

9．[解析] 由ca＋bb＋c>c＋a.由a＋b>b＋c可得a>c；由b＋c>c＋a可得b>a，于是有c

10.解:根据题意,由于1＋2x＋(a－a2)·4x>0对于一切的x∈(－∞,1]恒成立,令2x＝t(00⇔a－a2>－1＋tt2,故可知只要求解－1＋tt2的最大值即可，结合二次函数的性质可知a－a2>－34，所以4a2－4a－3<0，解得实数a的取值范围为－12，32，选C.

二、填空题

11．[解析] 函数y＝log13x2－3x的定义域应保证满足0<4x2－3x≤1，解得－14≤x<0或34

[答案] －2

13．[解析] ∵－π2

又α

又－π2<－β

三、解答题

14．[证明] xx＋a－yy＋b＝xy＋b－yx＋ax＋ay＋b＝bx－ayx＋ay＋b.

∵b>a>0，x>y>0，∴bx>ay，x＋a>0，y＋b>0，∴bx－ayx＋ay＋b>0，

∴xx＋a>yy＋b.

15．[解] (1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b>1且a>0.由根与系数的关系，得

 1＋b＝3a，1×b＝2a，解得 a＝1，b＝2.

(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，

即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.

当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2

当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c

当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为Ø.

所以，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2

当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c

当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为Ø.

16．[解] 解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a，

①当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3，