7不等式及推理证明

●　．　。　．－Ｉ　．　●　专题研究　●镲　利别交　蚴　等或值啊骛惑　筹或　◎陈勇（江苏省淮阴中学　２２３００１）　分式形不等式简称分式不等式，是代数不等式的基本类　型．分式不等式的证明是高中数学的难点之一，也是各类数　学竞赛的重点、难点．其方法多种多样，涉及的知识面广、灵　活度大、技巧性强。是考查学生分析、推理、综合等能力的热　点题型．本文介绍利用重要的不等式证明分式不等式的基本　方法和常用技巧．　１．利用排序不等式　如果所要证明的不等式结构是对称性的，可以考虑用排　序不等式来证明．　例１（１９６３年莫斯科数学竞赛）设ａ，ｂ，ｃ是正实数，求　证：　＋　＋　≥　．　证明不妨设ｎ≥６≥ｃ＞０，￣ｔ］ｂ　１　≥　≥　由排序不等式，知　＋　＋者≥　＋　＋　．（１）　＋　＋　≥击＋　＋　．（２）　（１）＋（２）得　２（　＋　＋　）≥ｓ　＋　＋　≥争・　２．利用例数不等式　倒数不等式：若哦＞０，则∑啦∑　≥ｎ　ｉ：Ｉ‘：Ｉ　ｏ４　例２（１９７９年全国高中数学联赛）设　，卢都是锐角，求　证：—Ｃ　ＯＳ２０Ｌ＋　・　证明　不等式左边＝　１ＣＯＳ，￣Ｏ／＋－－ｓｉｎ　－ｏｒ　ｓｌｎ＂￣＋＿ｓｉｎ南－ｏｒ　ｃｏｓＴＪ．　●　●　‘．。ｃｏｓ２（￣＋ｓｉｎ２ａ・ｓｉｎ　＋ｓｉｎ２ａ・ｃｏｓ　＝１，　由倒数不等式，得　（ｃｏｓ２ａ＋ｓｉｎ２ａ・ｓｉｎ２ｆｌ＋ｓｉｎ２ａ・ｃｏｓ　）・　（　Ｃ０Ｓ一２０／＋　＋　呵１）≥３　＝９．　．‘．原不等式成立．　３．利用柯西不等式　例３如果ａ１＞血２＞…＞ａｎ，ｎ∈Ｎ　且ｎ≥３，求证：　＋—兰一＋…＋（　＝　２　＋　≥０．　ａｌ一Ⅱ２　啦一ｎ３　一ｌ一　ａｎ—ａｌ　证明原不等式等价于　＋　笙　＋…＋（翌＝！　≥　．　ａｌ一Ⅱ２　一毋　ａａ－ｉ—ａｎ　ａｌ—ａｎ　由柯西不等式，得　［（ａ１一啦）＋（啦一　）＋…＋（　一１一％）］・　ｆ上＋＿竺＿＋．．．＋　］≥　Ｌ　ａｌ一啦　啦一　一ｌ一　Ｊ　［１＋２＋・・・＋（ｎ一１）１　：［　］　＝　．　当ｎ≥３时，　≥１，　翌＝　．．．Ｌ＋　２＿　．＋　＝　≥　≥　．　ａｌ－ａ２　８２一∞　一一ａｎ　ａｌ—ａｎ　０１一ａｎ　．・．原不等式成立．　证明分式不等式的基本方法和常用技巧除了上述方法　以外，还有函数法、数列法、换元法、放缩法、数学归纳法等等．　总之，分式不等式证明的题型千变万化、方法灵活多样、技巧　博大精深，需要较高的数学综合能力．　【参考文献】　周沛耕，王博程．数学奥林匹克竞赛标准教材．２００４　（上接９３页）　探究性学习．哪些教学内容对学生的自主学习最有效，哪些　教学内容对学生开展实践活动最恰当，从而选择合适的教学　方法．只有实现教学方法的多样性这一特点，才能够使学生　对学习保持好奇心，从而提高学生的学习兴趣，更好地实现　教学目标．　五、教学评价的科学性　《纲要》对课程评价提出了新的要求：“建立促进学生全　面发展的评价体系．评价不仅要关注学生的学业成绩，而且　要发现和发展学生多方面的潜能，了解学生发展中的需求，　帮助学生认识自我，建立自信．发挥评价的教育功能，促进学　生在原有水平上的发展．”因此，小学低年级数学教学的评价　要以促进学生的全面发展为基础，建立合理的评价体系，实　现教学评价的科学性．在进行教学评价时，要改变以往的根　据考试成绩作为评价学生学习效果的依据，要注意将过程性　评价与形成性评价相结合．要全面地对学生进行科学的评价．　比如，培养创造力是小学数学教学的目标之一，因此，在对学　生进行评价时，应将对创造力的评价纳人到对学生的评价体　系中．　总而言之，小学低年级数学教学只有体现教学目标的全　面性和多元性、教学内容的基础性与趣味性、教学过程的主　体性和创造性、教学方法的多样性以及教学评价的科学性这　五大“新”特点，才能够更有效地在小学数学教学中实现新课　改的要求．　【参考文献】　［１］教育部．基础教育课程改革纲要（试行）（教［２００１］ｌ７　号）［ｚ］．２００１．　『２］张道才．小学数学教学方法改革的新的发展趋势与共　同点［Ｊ］．小学教学研究，１９９８（１２）．　『３］孔凡哲．小学数学教育教学新一轮改革的主要特点　［Ｊ］．山东教育，２０００（１６）．　数学学习与研究２０１０．

教案7 不等式证明

一、课前检测

1．若0x，则xx432的最小值是_________．342

2. 已知1x，1y，且4lglgyx，则yxlglg的最大值为（ B ）

A．4 B．2 C．1 D．41

3. 设a、b是正实数，则下列不等式中不成立的是（ D ）

(A)221abba (B)4)11)((baba

(C)baabba22 (D)abbaab2

4. 设x,y为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为( B )

（A） 6 （B）9 （C）12 （D）15

二、知识梳理

1. ．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分_______________两种形式．比差、比商

(1)作差比较法，它的依据是________________：

babababababa000

它的基本步骤：___________________，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等． 作差——变形——判断

(2) 作商比较法，它的依据是：____________________________

若a>0，b>0，则

babababababa111

它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．

2．综合法：综合法证题的指导思想是___________(“由因导果”)，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．

3．分析法：分析法证题的指导思想是_____________(“由果索因”)，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立。

２０１４年第２期　数学教学　２—３３　

以曲代曲证明不等式　

切线法证明不等式的发展　

４３４３００湖北省公安县第一中学杨先义　

用切线法证明不等式已有过不少研究，例　

如文【１１、ｆ２１．其操作过程是：设ｆ（ｘ）是一个函　

数，用待定系数法决定不等式ｆ（ｘ）≤　ｚ＋　

（或ｆ（ｘ）≥　ｚ＋　）中的常数　和　，然后令Ｘ　分别取ａ、ｂ、ｃ等变量，将所得不等式相加即得　

原不等式．这一解法的几何意义是：函数ｆ（ｘ１　

的图像总在切线Ｙ＝　＋　的下方（或上方１．　

有文献称之为一次估计法，或者称为以直代曲．　但在一些非常相似的情形，这一方法并不能总　

是成功．　

例１（文【３】例２）若ａ、ｂ、ｃ为正数，且ａｂｃ　ｌ，则、／／ｎ　＋ｌ＋、／／６　＋１＋、／／ｃ　＋１≤、／／２ｆｎ＋　

ｂ＋ｃ１．　分析：我们希望建立关于ａ、ｂ、Ｃ的不等　式，这三个不等式结构相同，相加即可．最容易　

想到的当然是、／／０　＋ｌ≥、／／２ｎ，可惜方向不同；　

另一个是￣／ｎ　＋１≥　，方向也不同，这两　、／２　条路都行不通．事实上，用、／／　＋１≤　＋　肯　

定不能成功，因为ｆ（ｘ１＝、／／　０＋１是下凸的函　

数，它的任一条切线都在图像下方，只能有　、／／ｚ　＋１≥　＋　．这就迫使我们作出改变．考　

虑到不等式在ａ＝ｂ＝Ｃ＝１时取等号，希望找　

到一个函数夕（　），它的图像总在ｆ（ｘ）图像的上　

方，且在　＝１处相切．结合原不等式右边的系　

数　，让ｇ（ｘ）有一次项、／／　．除了常数项，　

增加一项　（当然首先要考虑形式简单的函　数），考虑到将来叠加后会　＋、／／６＋　≥　

３　．、／／６．　＝３，所以　前有负号，于是　

尝试令９（　）＝、／／２　＋　（１一　），其中　为待定　

正常数．建立如下辅助不等式：、／／　０＋１≤、／／２　

＋ａ（１一　）．记ｈ（ｚ）＝、／／　０＋１一、／／２　—ａ（１一　

、　），ｈ（ｘ）应当在Ｘ＝ｌ时取最大值０．　求导　）＝＝＝　一　＋　／、，　，’　＋Ｉ　‘、．』一　由　（１）＝０解得　＝、／／２．　证明：首先证明辅助不等式　而≤　

第七篇：不等式、推理与证明

一、选择题

1.【2018北京卷8】设集合{(,)|1,4,2},Axyxyaxyxay则

A对任意实数a，(2,1)A B对任意实数a，（2，1）A

C当且仅当a<0时，（2，1）A D当且仅当32a时，（2，1）A

2.【2018天津卷2】设变量x，y满足约束条件5,24,1,0,xyxyxyy 则目标函数35zxy的最大值为

A. 6 B. 19 C. 21 D. 45

二、填空题

1.【2018全国一卷13】若x，y满足约束条件220100xyxyy，则32zxy的最大值为_____________．

2.【2018全国二卷】14．若,xy满足约束条件25023050xyxyx，，， 则zxy的最大值为__________．

3.【2018北京卷12】若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________．

4.【2018天津卷13】已知,abR，且360ab，则128ab的最小值为 .

5.【2018浙江卷12】若,xy满足约束条件0,26,2,xyxyxy则3zxy的最小值是___________，最大值是___________．

参考答案

一、选择题

1.D 2.C

二、填空题

1. 6 2.9 3.3 4.41 5.−2；8