高等数学同济第五版

解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
>
练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y

y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
>>
<< >>
<<
练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3

14
2. 逆映射与复合映射 g : Rf → X
g f的逆映射, f 映射 称为 的逆映射,记作 ,
定义域: 定义域: Df = Rf
1
1
值域: 值域: Rf = X
1
15
g : X → Y1, f : Y2 → Z ,
Y 其中 1 Y2.
f g: X →Z
16
三 函数
1. 函数的概念
例
圆内接正多边形的周长
, 例如 2x 1, x > 0 f ( x) = 2 x 1, x ≤ 0
y = x2 1
y = 2x 1
24
例 符号函数
1, x > 0 y = sgn( x) = 0, x = 0 1, x < 0
定义域(∞,+∞).
值域{1,0,1}. , ,
y
1
°
x
o
° –1
25
例 取整函数(阶梯曲线) y = [x] 为不超过 x 的最大 整数部分. 如图:
{x a < x < b} 称为开区间 记作(a, b) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, {x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作[a, b] o a
b
x
10
{x a ≤ x < b} {x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间
记作[a, b)
称为半开区间, 称为半开区间 记作(a, b] 以上都是有限区间,以下是无限区间: 以上都是有限区间,以下是无限区间:
反之, 反之, 如果
即 亦即
因此 所以
x A 或 xB x A∩ B
x ∈( A∩ B)C

高等数学同济大学第五版引言高等数学是大学理工科专业中的一门重要课程，它是现代科学和工程技术的基础。

同济大学出版社出版的《高等数学同济大学第五版》是一本经典的教材，被广大理工科学生所使用。

本文将介绍《高等数学同济大学第五版》这本教材的特点、内容和学习方法，旨在帮助读者更好地理解和应用高等数学知识。

特点《高等数学同济大学第五版》教材具有以下特点：1.经典而全面：本书继承了同济大学出版社编写的经典高等数学教材的风格，包含了高等数学的各个分支，如极限、导数、微分方程、级数等，能够满足大部分高等数学课程的需要。

2.知识结构清晰：教材按照逐步展开的方式编写，每一章节都有明确的目标和逻辑结构。

例题和习题设置合理，能够帮助读者逐步深入理解和掌握知识。

3.提供大量习题：教材提供了大量的习题，包括必做题和选做题，能够帮助读者巩固所学知识并提高解题能力。

同时，教材还附带了习题的详细解答，读者可以通过对照解析来查漏补缺。

4.前沿应用案例：教材还融入了一些前沿的应用案例，例如在工程学、经济学和自然科学等领域的应用，能够帮助读者理解高等数学知识在实际问题中的应用价值。

内容《高等数学同济大学第五版》主要分为以下几个部分：第一部分：极限与连续本部分介绍了极限概念及其性质、无穷大与无穷小、函数连续性等内容。

主要涉及极限的定义、极限存在准则、函数连续性与间断点等知识点。

第二部分：导数与微分本部分介绍了函数的导数及其应用、高阶导数与高阶微分、隐函数与参数方程、微分中值定理等内容。

主要涉及导数的定义、导数的应用、中值定理及其应用等知识点。

第三部分：定积分本部分介绍了定积分的概念与性质、定积分的计算方法、定积分的应用等内容。

主要涉及定积分的定义、定积分的计算、曲线下面积与定积分的应用等知识点。

第四部分：不定积分与微分方程本部分介绍了不定积分与不定积分的应用、微分方程的概念、一阶微分方程、高阶线性微分方程等内容。

主要涉及不定积分的定义、不定积分的计算、一阶微分方程与高阶线性微分方程等知识点。

则 A B . ( P46 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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定理 4 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n [ lim f ( x) ] n 例2. 设 n 次多项式
可见 故
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3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
解法 2 令 t 1 , 则 t 0 x
1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t0 t t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
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x U ( x0 )
(详见书P44)
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定理6 . 若 lim xn A , lim yn B , 则有
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
( x 3)( x 1) x 1 lim lim x 3 ( x 3)( x 3) x 3 x 3
x = 3 时分母为 0 !