工程弹塑性力学第五章

应用弹塑性力学习题解答

目 录

第二章 习题答案

设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。

解 该平面的法线方向的方向余弦为

而应力矢量的三个分量满足关系

而法向分量满足关系最后结果为

利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。

解 求出后，可求出及，再利用关系 可求得。

最终的结果为

已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。

解 求主方向的应力特征方程为

式中：是三个应力不变量，并有公式

代入已知量得

为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系

代入数据得，，

已知应力分量中，求三个主应力。

解 在时容易求得三个应力不变量为，

，特征方程变为

求出三个根，如记，则三个主应力为

记

已知应力分量

，是材料的屈服极限，求及主应力。

解 先求平均应力，再求应力偏张量，，

，，，。由此求得

然后求得，，解出

然后按大小次序排列得到

，， 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。

解 特征方程为记，则其解为，

，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系

（a）

（b）

（c）

由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得

，由此求得

对，，代入得

对，，代入得

对，，代入得

当时，证明成立。

解

由，移项之得

证得

第三章 习题答案

取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。 解：由，可得，

由，得

物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。

解：首先求出点的位移梯度张量

将它分解成对称张量和反对称张量之和

转动矢量的分量为

，，

该点处微单元体的转动角度为

电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。

第一章 弹塑性力学基础

1.1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？

解：静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力

状态中扣除静水压力后剩下的部分。

1.2

对照应力张量

与偏应力张量，试问：两者之间的关系？两者主方向之

间的关系？

解：

两者主方向相同。。

1.3 简述应力和应变Lode参数定义及物理意义：

解：



的定义、物理意义：；

1) 表征S

ij的形式；2) 

相等，应力莫尔圆相似，S

ij形式相同；3) 由

可确定

S

1：S

2：S

3。

1.4

设某点应力张量的分量值已知，

求作用在过此点平面上的应

力矢量

，并求该应力矢量的法向分量。

解：该平面的法线方向的方向余弦为

而应力矢量的三个分量满足关系

而法向分量

满足关系最后结果为：

1.5

利用上题结果求应力分量为时，过平

面

处的应力矢量

，及该矢量的法向分量

及切向分量。

解：

求出

后，可求出

及，再利用关系

可求得。

最终的结果为

，

1.6

已知应力分量为，其特征方程为

三次多项式

，求。如设法作变换，把该方程变为形式

，求以及与的关系。

解：求主方向的应力特征方程为

式中：是三个应力不变量，并有公式

代入已知量得

为了使方程变为

形式，可令

代入，正好项被抵消，并可得

关系

代入数据得

，

，

1.7

已知应力分量中

，求三个主应力。

解：

在

时容易求得三个应力不变量为，

，特征方程变为

求出三个根，如记，则三个主应力为

记

1.8

已知应力分量

，

是材料的屈服极限，求

及主应力。

解：

先求平均应力

，再求应力偏张量

，，

，

，

，。

由此求得：

然后求得：

，

，解出

然后按大小次序排列得到

，

，

1.9

已知应力分量中

，求三个主应力，以及每个

主应力所对应的方向余弦。

解：

特征方程为

记

，则其解为，

，

。对应于

的方向余弦

，

，应满足下列关系

（a）

（b）

（c）

由（a）,(b)式，·11

得

，，代入（c）式，得

，由此求得

对

，

，代入得

对

，

，代入得

对

，

，代入得

1.10

当

时，证明成立。

解

：

由，移项之得

研究生课程试题A

课程名称：弹塑性力学 考试时间：120分钟（闭卷）

学生学号： 姓名： 专业：

一、试简述平面应力问题和平面应变问题的异同点。（20分）

二、对于硬化材料，其初始拉伸屈服极限为s，若材料处于平面应力状态（03），当施加应力s21时，材料屈服，然后再施加无限小应力增量1d与2d，且21dd，试分别按Mises屈服条件与Tresca屈服条件判断此过程是加载、卸载还是中性变载。(15分)

三、矩形截面竖柱、厚度为单位值，密度为，受力如图所示。试检验应力函数2323)(FxExCxBxAxy能否成立，并求各系数及应力分量。（20分）

xyOqgqh/2h/2

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四、如图所示的三角形截面水坝，材料的比重为、承受比重为1的液体压力，试写出：1、用直角坐标求解时的应力边界条件；2、用极坐标求解时的应力边界条件。（20分）

xoy1y

五、试求图示由Mises理想弹塑性材料做成的梁受纯弯时的最大弹性弯距eM和极限弯距PM（设拉伸屈服应力为s），并求PM/eM的比值。（10分）

aaMM

六、机动法求图示超静定刚架的极限荷载（各杆的极限弯距PM均相同）。（15分）

2P3P2aaa

第2页 共2页

2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为：

σx=ax+by，σy=cx+dy-γy ， τxy=-dx-ay；

试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。

解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：

OA边：l1=-1 ；l2=0 ；Tx= γ1y ； Ty=0 则σx=-γ1y ； τxy=0

代入：σx=ax+by；τxy=-dx-ay 并注意此时：x=0

得：b=-γ1；a=0；

OB边：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0

则：cossin0cossin0xxyyxy………………………………（a）

将己知条件：σx= -γ1y ；τxy=-dx ； σy=cx+dy-γy代入（a）式得：

1cossin0cossin0ydxbdxcxdyyc

化简（b）式得：d =γ1ctg2β；

化简（c）式得：c =γctgβ-2γ1 ctg3β

2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa

试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx=12×103 σy=10×103 τxy=6×103，且该点的主应力可由下式求得：

222231.2333312101210610222217.08310113710116.0828104.9172410xyxyxyPa

则显然：3312317.083104.917100PaPa

σ1 与x轴正向的夹角为：（按材力公式计算）

22612sin22612102cos2xyxytg