复变答案习题2
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习题二
1. 求映射1wzz下圆周||2z的像.
解：设i,izxywuv则
2222221iiiii()ixyxyuvxyxyxyxyxyxyxy
因为224xy,因此53i44uivxy
因此 54ux,34vy
5344,uvxy
因此2253442uv即222253221uv，表示椭圆.
2. 在映射2wz下，以下z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设eiw或iwuv.
（1）π02,4r； （2）π02,04r;
(3) x=a, y=b.(a, b为实数)
解：设222i()2iwuvxiyxyxy
因此22,2.uxyvxy
(1) 记eiw，那么π02,4r映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即
π04,.2
(2) 记eiw，那么π0,024r映成了w平面上扇形域，即π04,0.2 (3) 记wuiv，那么将直线x=a映成了22,2.uayvay即2224().vaau是以原点为核心，张口向左的抛物线将y=b映成了22,2.uxbvxb
即2224()vbbu是以原点为核心，张口向右抛物线如下图.
3. 求以下极限.
(1) 21lim1zz;
解：令1zt,那么,0zt.
于是22201limlim011zttzt.
(2) 0Re()limzzz;
解：设z=x+yi，那么Re()izxzxy有
000Re()1limlimi1izxykxzxzxkxk
显然当取不同的值时f(z)的极限不同
因此极限不存在.
（3） 2lim(1)zizizz；
解：2lim(1)zizizz=11limlim()()()2zizizizizziziz.
（4） 2122lim1zzzzzz.
解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zzzzzzzzzzz
因此2112223limlim112zzzzzzzzz.
4. 讨论以下函数的持续性：
(1) 22,0,()0,0;xyzxyfzz解：因为220(,)(0,0)lim()limzxyxyfzxy,
假设令y=kx,那么222(,)(0,0)lim1xyxykxyk,
因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，因此f(z)在z=0处极限不存在.
从而f(z)在z=0处不持续，除z=0外持续.
(2) 342,0,()0,0.xyzfzxyz
解：因为33422022xyxxyxyxy,
因此342(,)(0,0)lim0(0)xyxyfxy
因此f(z)在整个z平面持续.
5. 以下函数在何处求导？并求其导数.
(1) 1()(1)nfzz (n为正整数)；
解：因为n为正整数，因此f(z)在整个z平面上可导.
1()(1)nfznz.
(2) 22()(1)(1)zfzzz.
解：因为f(z)为有理函数，因此f(z)在2(1)(1)0zz处不可导.
从而f(z)除1,izz外可导.
2222232222(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)zzzzzzfzzzzzzzz
(3) 38()57zfzz.
解：f(z)除7=5z外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)zzfzzz.
(4) 2222()ixyxyfzxyxy.
解：因为2222222i()ii(i)(i)(1i)(1i)1i()xyxyxyxyxyzfzxyxyxyzz.
因此f(z)除z=0外处处可导，且2(1i)()fzz.
6. 试判定以下函数的可导性与解析性.
(1) 22()ifzxyxy;解：22(,),(,)uxyxyvxyxy在全平面上可微.
22,2,2,yuvvyxyxyxxyxy
因此要使得uvxy， uvyx,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(2) 22()ifzxy.
解：22(,),(,)uxyxvxyy在全平面上可微.
2,0,0,2uuvvxyxyxy
只有当z=0时,即(0,0)处有uvxy,uvyy.
因此f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(3) 33()23ifzxy;
解：33(,)2,(,)3uxyxvxyy在全平面上可微.
226,0,9,0uuvvxyxyxy
因此只有当23xy时，才知足C-R方程.
从而f(z)在230xy处可导，在全平面不解析.
(4) 2()fzzz.
解：设izxy，那么23232()(i)(i)i()fzxyxyxxyyxy
3232(,),(,)uxyxxyvxyyxy
22223,2,2,3uuvvxyxyxyyxxyxy
因此只有当z=0时才知足C-R方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
7. 证明区域D内知足以下条件之一的解析函数必为常数.
(1) ()0fz;
证明：因为()0fz，因此0uuxy,0vvxy.
因此u,v为常数，于是f(z)为常数.
(2) ()fz解析.证明：设()ifzuv在D内解析,那么
()uvuvxyxy
()uvvyxy
,uvuvxyyx
而f(z)为解析函数，因此,uuuvxyyx
因此,,vvvvxxyy即0uuvvxyxy
从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.
(3) Ref(z)=常数.
证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 0uuxy
因为f(z)解析，C-R条件成立。故0uuxy即u=C2
从而f(z)为常数.
(4) Imf(z)=常数.
证明：与（3）类似，由v=C1得0vvxy
因为f(z)解析，由C-R方程得0uuxy,即u=C2
因此f(z)为常数.
5. |f(z)|=常数.
证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论.
若C=0，那么u=0,v=0,f(z)=0为常数.
若C0，那么f(z) 0,但2()()fzfzC，即u2+v2=C2
那么两边对x,y别离求偏导数，有
220,220uvuvuvuvxxyy
利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有
uvuvxyyx
因此00uvuvxxuvvuxx 因此0,0uvxx
即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.
(6) argf(z)=常数.
证明：argf(z)=常数，即arctanvCu,于是222222222()()(/)01(/)()()vuvuuuvuuvvuyyxxvuuuvuuv
得00vuuvxxvuuvyy C-R条件→ 00vuuvxxvuuvxx
解得0uvuvxxyy，即u,v为常数，于是f(z)为常数.
8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.
解：因为f(z)解析，从而知足C-R条件.
222,3uunxymynxxy
223,2vvxlylxyxy
uvnlxy
3,3uvnlmyx
因此3,3,1nlm.
9. 试证以下函数在z平面上解析，并求其导数.
(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i
证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且
222233,6,6,33uuvvxyxyxyxyxyxy
因此f(z)在全平面上知足C-R方程，处处可导，处处解析.
22222()i336i3(2i)3uvfzxyxyxyxyzxx.
(2) ()e(cossin)ie(cossin)xxfzxyyyyyxy.
证明：(,)e(cossin),(,)=e(cossin)xxuxyxyyyvxyyyxy处处可微，且
e(cossin)e(cos)e(cossincos)xxxuxyyyyxyyyyx
e(sinsincos)e(sinsincos)xxuxyyyyxyyyyy
e(cossin)e(sin)e(cossinsin)xxxvyyxyyyyxyyx
e(cos(sin)cos)e(cossincos)xxvyyyxyyyyxyy
因此uvxy, uvyx
因此f(z)处处可导，处处解析.
