第 1 页 共 10 页 中学几何公理体系_公理化方法与中学几何
公理化方法与中学几何 一、公理化方法的意义和作用 所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。
一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。
二、中学几何中的公理化方法 中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的 基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理第 2 页 共 10 页 解教材的实例。从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形 中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图 中学数学教材中的公理系统 中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是
按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述)
定义的叙述 公理的叙述 命题 定理--一推论 公式 各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料 实例、背景
立体几何四大公理八大定理
《立体几何四大公理八大定理篇一》
立体几何，那可是数学里的一座神秘大山。说起立体几何四大公理八大定理，就像是在讲述一个神秘组织的规则一样。
先说说这四大公理吧。公理就像是游戏的基本规则，大家都得默认它是对的，没什么可商量的余地。就像那“如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”这条公理，我刚接触的时候就觉得，这不是理所当然的嘛。可后来仔细一想，这就像在说一个小蚂蚁在一张纸上爬，如果它的两只脚都在纸上，那它整个身子肯定也在纸上啊。这就像生活中的一些道理，看似简单，其实蕴含着很深的意义。
再看那八大定理，我的天呐，就像是迷宫里的一道道关卡。有时候我感觉自己像是在黑暗中摸索的探险家，试图搞清楚这些定理之间的关系。比如说，线面垂直的判定定理，要证明一条直线垂直一个平面，得找平面内两条相交直线都和这条直线垂直。我每次做这种题的时候，就像在玩一场“找不同”的游戏，在复杂的图形里找出那两条特殊的相交直线。
我记得有一次考试，有一道立体几何的大题，就是要用到这些公理和定理。我当时看着那图形，就像看一幅外星来的抽象画一样，完全蒙圈了。我就想，这公理和定理怎么在这时候就像跟我捉迷藏似的呢？也许是我还不够熟练，就像一个新手厨师，虽然知道菜谱上的步骤，但是真到做的时候就手忙脚乱。我开始在脑海里拼命回忆那些公理和定理，就像在翻找一个装满杂物的旧箱子，试图找到那个合适的工具。 可是有时候我又觉得这些公理和定理是不是有点太刻板了呢？我就想啊，在现实生活中，有些东西可没这么规规矩矩的。比如说，我们看到的那些建筑，虽然也是基于立体几何的原理，但有些设计就很奇特，好像有点打破这些公理定理的感觉。但也许这就是理论和实际的差距吧，理论是基础，实际是在这个基础上的创新。就像我们学走路，先得学会基本的步伐，然后才能跳出自己的舞步。
这些公理和定理虽然有时候让我头疼得像要炸开一样，但我也知道，它们就像一把把钥匙，能打开立体几何这个神秘世界的大门。我只能不断地去熟悉它们，就像熟悉自己的好朋友一样，这样才能在立体几何的世界里畅游。我就想问，那些数学大神们，你们是不是一开始也觉得这些公理和定理像个调皮的小精灵，难以捉摸呢？
1.⽴体⼏何中基本概念、公理、定理、推论
⽴体⼏何中基本概念、公理、定理、推论1. 三个公理和三条推论：
（1）公理1：⼀条直线的两点在⼀个平⾯内，那么这条直线上的所有的点都在这个平⾯内.这是判断直线在平⾯内的常⽤⽅法.
（2）公理2：如果两个平⾯有⼀个公共点，它们有⽆数个公共点，⽽且这⽆数个公共点都在同⼀条直线上.这是判断⼏点共线（证这⼏点是两个平⾯的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的⽅法之⼀.
（3）公理3：经过不在同⼀直线上的三点有且只有⼀个平⾯.推论1：经过直线和直线外⼀点有且只有⼀个平⾯.推论2：经过两条相交直线有且只有⼀个平⾯.推论3：经过两条平⾏直线有且只有⼀个平⾯.公理3和三个推论是确定平⾯的依据.2. 直观图的画法（斜⼆侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使045x o y '''∠=(或0135)，x o y '''所确定的平⾯表⽰⽔平平⾯.（2）已知图形中平⾏于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平⾏性不变，平⾏于y 轴的线段平⾏性不变，但在直观图中其长度为原来的⼀半.3. 公理4：平⾏于同⼀直线的两直线互相平⾏.(即平⾏直线的传递性)
等⾓定理:如果⼀个⾓的两边和另⼀个⾓的两边分别平⾏并且⽅向相同,那么这两个⾓相等. (此定理说明⾓平移后⼤⼩不变) 若⽆“⽅向相同”,则这两个⾓相等或互补.4. 空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有⼀个公共点.（2）平⾏直线――在同⼀平⾯内，没有公共点.（3）异⾯直线――不在同⼀平⾯内，也没有公共点.5. 异⾯直线
⑴异⾯直线定义:不同在任何⼀个平⾯内的两条直线叫做异⾯直线.
⑵异⾯直线的判定：连结平⾯内⼀点与平⾯外⼀点的直线,和这个平⾯内不经过此点的直线是异⾯直线.
⑶异⾯直线所成的⾓：已知两条异⾯直线a 、b ,经过空间任⼀点O 作直线a '、b ',使//a a '、//b b ',把a '与b '所成的锐⾓(或直⾓)叫做异⾯直线a 、b 所成的⾓(或夹⾓).
佛山石门中学 高二（2） 邓乐涛
一、符号及一些说明
有三组不同的对象：点，直线，平面
点用A,B,C,D……来表示；
直线用a,b,c,d……来表示；
平面用α,β,γ,δ……来表示。
点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素
那么点，几何元素之间又有一定的相互关系
① 点A在直线a上：
② 点A在平面α上：
③ 直线a在平面α上：（直线的每一点都在平面上）
④ 点B在点A与点C之间：（我自己规定的符号）
⑤ 线段AB与CD相等：（原书是用号的，不过对于我们不常见，所以我用了=号）
⑥ 与相等：
等等……
（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）
在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(x,y)，定义线是，其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。
我这里的关系符号，，并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。
总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何）
公理I关联公理
本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：（为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面）
I1：对于两点A和B，恒有一直线a，使得（存在性）；
I2：对于两点A和B，至多有一直线a，使得（唯一性）；
（对于1,2，我们可以说两点确定一直线）
