弹性力学原理

弹塑性力学作业

姓名：吴福飞

学号：1038020090 弹塑性力学是一门技术基础课程，它是以理论力学、材料力学、高等数学、数理方程等课程为基础，较系统地介绍弹性力学和塑性力学的基本概念、基本理论和基本方法，为进一步学习后续课程（如有限单元法等）打下理论基础。主要有以下内容：

1 弹塑性问题的建立及求解

总体来说，变形连续体力学的边值问题，就是在给定的边界条件下确定物体内的应力场和应变场，而应变场和位移场密切相关。所求得应力场、应变场和位移场应该满足相应的本构方程和边界条件。

对于线性弹性体，在小变形条件下，可以证明其边值问题的解是唯一的：即对任何给定的边界条件及体积力，可唯一确定物体内的应力场、应变场和位移场，与物体的变形历史无关。而且，一组任意线性组合的边界条件及体积力，将对应于相应应力场和位移场的同一线性组合，也即可以应用叠加原理。

对于弹塑性问题则没有上述情况。由于塑性本构方程是非线性的，在求解这类问题时不能应用叠加原理。另外，由于塑性变形是不可逆的，应力的现时值与应变的现时值不存在唯一的关系，也即塑性本构方程与变形历史有关。因此，从本质上说，塑性本构方程只能是增量型的，从而其他基本方程亦应写成增量型。给定某一时刻的边界值，不能确定物体内的应力场和位移场；必须给出从自然状态开始的边界条件（以及体积力）的全部变化过程，才能跟踪给定的加载历史，采用逐步累加（“积分”）的办法，求出给定时刻的（或最终的）应力场和位移场。因此弹塑性力学边值问题的建立与弹性力学不同，它应按增量来建立。由于塑性和弹性一样，不具时间效应，因此弹塑性力学边值问题可以等价地按变率来建立。

1.1 弹性力学边值问题

弹性力学边值问题就是在给定荷载下确定物体内的应力场、应变场和位移场，它们将满足如下的基本方程及给定的边界条件。这里所称“荷载”包括：体积力、面积力（即应力边界条件）及给定的边界位移（即位移边界条件）；由于在部分边界上给定的位移也是对物体的一种干扰，可归于广义的荷载之内。在笛卡儿坐标系下，弹性力学的基本方程包括：

弹性力学理论

弹性力学理论是研究物体在受力作用下的变形和应力分布规律的科学理论。它是应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析至关重要。本文将从理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面对弹性力学进行论述。

一、理论概述

弹性力学理论是力学中的重要分支，它研究的是物体在受力作用下的弹性变形和应力分布规律。从宏观上来看，弹性力学理论可以用于解释物体的形变和变形后的恢复情况。从微观角度来看，弹性力学理论涉及到原子和分子之间的相互作用力，以及它们之间的位移和应力的关系。

二、基本原理

弹性力学理论建立在几个基本原理之上。首先是虚功原理，它表明物体在受力作用下的形变能量等于外力对物体所做的功。其次是共轭原理，说明应力与应变之间存在一一对应的关系。弹性力学还依赖于线性弹性假设，即假设物体的应力与应变之间是线性关系。

三、应力分析

弹性力学理论对于应力分析提供了有力的工具。应力是物体内部的力分布，它可以通过弹性模量、泊松比等参数进行描述。弹性力学理论可以计算各个部位的应力大小和分布情况，从而评估物体在受力下是否会发生破坏。在工程实践中，应力分析是设计结构和材料的重要环节。

四、变形分析

除了应力分析，变形分析也是弹性力学理论的重要内容。变形是物体在受力作用下发生的形状改变，它可以通过应变进行描述。弹性力学理论可以计算物体在受力下的变形情况，包括线性弹性变形和非线性变形等。通过对变形进行分析，可以判断物体是否满足设计要求，以及设计参数的合理性。

五、应用

弹性力学理论在工程领域有广泛的应用。在结构设计中，弹性力学理论可以用于计算各个部位的应力和变形情况，从而预测结构的安全性和可靠性。在材料工程中，弹性力学理论可以评估材料的弹性性能和变形行为，为材料选择和优化提供指导。此外，弹性力学理论还被应用于地质勘探、地震学和生物力学等领域。

结论

弹性力学理论作为应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析具有重要意义。通过理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面的论述，对弹性力学进行了全面介绍。弹性力学理论的进一步研究和应用将推动工程技术的发展，并促进社会经济的进步。

固体力学

固体力学是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支，它主要研究可变形固体在外界因素(如载荷、温度、湿度等)作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律。

固体力学研究的内容既有弹性问题，又有塑性问题；既有线性问题，又有非线性问题。在固体力学的早期研究中，一般多假设物体是均匀连续介质，但近年来发展起来的复合材料力学和断裂力学扩大了研究范围，它们分别研究非均匀连续体和含有裂纹的非连续体。

自然界中存在着大至天体，小至粒子的固态物体和各种固体力学问题。人所共知的山崩地裂、沧海桑田都与固体力学有关。现代工程中，无论是飞行器、船舶、坦克，还是房屋、桥梁、水坝、原子反应堆以及日用家具，其结构设计和计算都应用了固体力学的原理和计算方法。

由于工程范围的不断扩大和科学技术的迅速发展，固体力学也在发展，一方面要继承传统的有用的经典理论，另一方面为适应各们现代工程的特点而建立新的理论和方法。

固体力学的研究对象按照物体形状可分为杆件、板壳、空间体、薄壁杆件四类。薄壁杆件是指长宽厚尺寸都不是同量级的固体物件。在飞行器、船舶和建筑等工程结构中都广泛采用了薄壁杆件。

固体力学的发展历史

萌芽时期 远在公元前二千多年前，中国和世界其他文明古国就开始建造有力学思想的建筑物、简单的车船和狩猎工具等。中国在隋开皇中期(公元591～599年)建造的赵州石拱桥，已蕴含了近代杆、板、壳体设计的一些基本思想。

随着实践经验的积累和工艺精度的提高，人类在房屋建筑、桥梁和船舶建造方面都不断取得辉煌的成就，但早期的关于强度计算或经验估算等方面的许多资料并没有流传下来。尽管如此，这些成就还是为较早发展起来的固体力学理论，特别是为后来划归材料力学和结构力学那些理论奠定了基础。

发展时期 实践经验的积累和17世纪物理学的成就，为固体力学理论的发展准备了条件。在18世纪，制造大型机器、建造大型桥梁和大型厂房这些社会需要，成为固体力学发展的推动力。

弹性力学的变分原理和应用

1. 弹性力学的基本原理

• 弹性力学是研究物体在受力后发生形变，但受力取消后又能恢复原状的力学学科。

• 弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡条件和应变能最小原理。

1.1 胡克定律

• 胡克定律是描述弹性体材料内部应力和应变之间关系的基本规律。

• 胡克定律表述为应力与应变之间成正比，且比例系数为弹性模量。

• 弹性模量是衡量材料弹性性能的物理参数，常见的有杨氏模量、剪切模量等。

1.2 平衡条件

• 在弹性力学中，物体达到平衡时需要满足平衡条件。

• 平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。力的平衡条件要求合外力为零，力矩的平衡条件要求合外力矩为零。

1.3 应变能最小原理

• 应变能最小原理是变分法在弹性力学中的应用。

• 应变能是描述物体变形程度的物理量，应变能最小原理认为在给定边界条件下，物体的平衡状态对应的应变能应该是极小值。

2. 弹性力学的变分原理

• 变分原理是弹性力学中一种重要的数学方法，用于研究力学系统的平衡和稳定性。

• 弹性力学的变分原理主要有广义虚功原理和最小势能原理。

2.1 广义虚功原理

• 广义虚功原理是描述连续介质力学中变形对象平衡状态的数学表述。

• 广义虚功原理要求在满足平衡条件的情况下，任意变形状态与原始状态之间的虚功总和等于零。

• 广义虚功原理能够推导出弹性力学的基本方程，如平衡方程和边界条件。

2.2 最小势能原理

• 最小势能原理是应变能最小原理在弹性力学中的具体应用。 • 最小势能原理认为在给定边界条件下，力学系统的平衡状态对应的势能应该是极小值。

• 最小势能原理可以通过变分法推导出与广义虚功原理等价的弹性力学方程。

3. 弹性力学的应用

• 弹性力学在工程和科学研究中有广泛的应用，以下列举其中一些应用领域。

3.1 结构力学

• 弹性力学在结构力学领域中应用广泛，用于探索材料的力学性能和结构的稳定性。

• 结构力学涉及材料的弹性性质、刚度、变形和应力分布等问题，借助弹性力学的原理可以进行合理的设计和分析。