几何图形的变换

２０１５年第Ｏ６期　（总第１　６　０期）　牡丹江教育学院学报　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＭＵＤＡＮＪＩＡＮＧ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＯＦ　ＥＤＵＣＡＴ１０Ｎ　Ｎｏ．０６，２０１５　Ｓｅｒｉａｌ　ＮＯ．１６０　

基于ＭＡＴＬＡＢ的平面图形的几何变换　

陈　永　胜　（吉林师范大学数学学院，吉林　四平　１３６０００）　［摘　要］　几何变换是将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程，它对于几何学的研究　有重要作用。几何变换还在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络等方面有广泛的应用。文章　探讨了图像的几何变换，包括图像的平移、伸缩、旋转、对称的理论，并在此基础上用ＭＡＴＬＡＢ实现的过程。　［关键词］几何变换；平移；伸缩；旋转；对称；ＭＡＴＬＡＢ　［中图分类号］ＴＰ３１　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１００９—２３２３（２０１５）０６—０１２５—０２　二维平面图形的几何变换是指在不改变图形连线次序　的情况下，对一个平面点集进行的线性变换。一个无论多　么复杂的平面图形都可看成为由一系列直线段组成，而每　一条直线段均由两点所决定，对平面进行几何变换，实质上　是对点做几何变换。图形的几何变换是计算机绘图中极为　重要的一个组成部分。应用ＭＡＴＬＡＢ的界面和丰富、实　用、高效的指令及模块，可以使人掌握平面图形几何变换处　理的基本方法，能够解决相关的工程和科研中的问题＿１］。　几何变换的矩阵表示：　平移变换、缩放变化、旋转变换、对称变换写成如下统　一的形式：｛ｙＸ一＝１１　ｘ＋＇－［－ａ，ｙ＋－＇［－，ｂｌａ２　ａ２２Ｙ　ｂ２　Ｉ　Ｙ—　ｚ十　十　上式可写为如下矩阵表示形式：　［享］一Ａ【　］，Ａ—ｆ　ａｌ　毫ｚ２荤］　对于平移量为（ｚ，ｍ）的平移，对应的矩阵为Ａ—　ｆ１　０　ｚ］　１　０　１　ｍ　Ｉ；以原点为中心，逆时针旋转０角的变换，对应　【０　ｏ　１　Ｊ　ｆｃｏｓＯ—ｓｉｎ０　０］　的矩阵为Ａ—ｌ　ｓｉｎ０　ｃｏｓＯ　０　Ｉ；以原点为中心，顺时针　【０　０　１　Ｊ　ｆ　ｃｏｓ０　ｓｉｎ０　０］　旋转０角的变换，对应的矩阵为Ａ—Ｉ—ｓｉ的ｃｏｓＯ　０　１；　【０　０　１　Ｊ　ｆ　０　０１　比例系数为ｓ，ｔ的缩放，对应的矩阵为Ａ—１　０　ｔ　０　Ｉ；关　【０　０　１　Ｊ　ｆ一１　０　０１　于原点对称的变换，对应的矩阵为Ａ—ｌ　０　—１　０　Ｉ；　ｌ０　０　１　Ｊ　关于ｚ轴对称的变换，对应的矩阵为Ａ—１　０—１０　ｆ１　１　０　０　关于Ｙ轴对称的变换，对应的矩阵为Ａ—　ｙ—ｚ对称的变换，对应的矩阵为Ａ一　；关于直线ｙ—一Ｘ对称的变换，对应的矩阵为　ｆ　ｏ　一１　０　１　Ａ—Ｊ一１　０　０　Ｊ。　【０　０　１　Ｊ　例１将函数ｙ：　的图形向左平移５个单位，然后　向右平移５个单位　。　ｘ一一５：０．１：５；ｙ—Ｘ．　２；ｘｌ—ｘ一５；ｘ２一ｘ＋５；ｐｌｏｔ　（ｘ，Ｙ，ｘｌ，ｙ，　：　，ｘ２，Ｙ，　～．　）；ｘｌａｂｅｌ（　）；ｙｌａｂｅｌ（　）；（见图１）　例２　函数ｙ—ｚ　的图形向上５个单位，然后向下平　移５个单位。　ｘ一一５：０．１：５；ｙ—ｘ．　２；ｙｌ—ｙ＋５；ｙ２一ｙ－－５；　ｐｌｏｔ（ｘ，Ｙ，Ｘ，ｙｌ，　：　，ｘ，ｙ２，　一．　）；ｘｌａｂｅｌ（　）；ｙｌａｂｅｌ（　ｙ，）；　（见图２）　

四下数学图形变换知识点

数学中的图形变换是研究图形在平面或者空间中进行移动、旋转、翻转等操作的数学分支。图形变换在几何学中有着广泛的应用，对于理解和解决几何问题有着重要的意义。本文将重点介绍四下数学中的图形变换知识点，包括平移、旋转、翻转和对称等。

1. 平移变换

平移是指将图形在平面或者空间中沿着指定的方向和距离移动的操作。平移变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。在平面坐标系中进行平移变换时，可以通过平移向量来描述平移的方向和距离。平移变换的数学表示为：

T(P) = P’ = P + v

其中，P是原始图形上的点，P’是平移后的点，v是平移向量。平移向量的坐标表示为(vx, vy)。

2. 旋转变换

旋转是指将图形按照指定的旋转中心和旋转角度进行旋转的操作。旋转变换会改变图形的位置、形状和方向。在平面坐标系中进行旋转变换时，旋转中心可以是坐标原点或者其他点。旋转变换的数学表示为：

R(P) = P’ = (x’, y’) = (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)

其中，P是原始图形上的点，P’是旋转后的点，θ是旋转角度。

3. 翻转变换

翻转是指将图形按照指定的翻转线进行翻转的操作。翻转变换会改变图形的位置、形状和方向。在平面坐标系中进行翻转变换时，翻转线可以是x轴、y轴或者其他直线。翻转变换的数学表示为：

F(P) = P’ = (x’, y’) = (x, -y) （以x轴翻转）

F(P) = P’ = (x’, y’) = (-x, y) （以y轴翻转）

其中，P是原始图形上的点，P’是翻转后的点。

4. 对称变换

对称是指将图形按照指定的对称中心或者对称轴进行对称的操作。对称变换会改变图形的位置、形状和方向。在平面坐标系中进行对称变换时，对称中心可以是坐标原点或者其他点，对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。对称变换的数学表示为：

第40课时 图形的变换（一）

【知识梳理】

1、轴对称及轴对称图形的联系：轴对称及轴对称图形可以相互转化.

区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系，而轴对称图形一个图形自

身的性质；轴对称只有一条对称轴，轴对称图形可能有几条对称轴．

2、通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段

被对称轴垂直平分的性质．

3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简

单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．

4、探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）

的轴对称性及其相关性质．

5、欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物

体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计．

【例题精讲】

1、观察下列一组图形，根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状？

2、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E

是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE

+PB的最小值是 ．

3、如图，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于

AO、BO的对称点，MN分别交OA、OB于E、F.

⑴ 若PEF的周长是20cm，求MN的长.

⑵若∠AOB=30°试判断△MNO的形状，并说明理由

4、将一张矩形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可得到 条折痕．如果对折n次，可以得到 条折痕．

5、做一做:用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.

FEN MAOBP

CABCD6、已知如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5cm，CD=6cm，∠DCB=60º，∠ ABC=90º，等边三角形MNP（N为不动点）的边长为a cm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线l上，NC=8 cm ,将直角梯形ABCD向左翻折180º，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去．

课程题目

图形与变换

所用教材

教材名称：义务教育标准实验版数学 六年级 第 下 册，第 6 章 2 节，

第 5 课时

自用

参考书

《数学教师教学用书——六年级上册》《一点通星级教案》《冠军导练》

课时安排

一课时

教学用具 学生准备直尺、三角板及圆规，正方形纸片、小组内准备三角形、长方形、直角梯形等硬纸贴在木棒上，教师准备一头拴粉笔的一段毛线、小黑板上画好的等边三角形、平行四边形、圆等图形，多媒体课件，实物投影，

教学目标

1、掌握图形与变换的基础知识，进一步认识图形的平移、旋转、轴对称和图形的放大与缩小等变换方法，发展学生的空间观念。

2、能确定轴对称图形的对称轴，能画出轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形，能识别平移和旋转，能将简单图形平移或旋转90度或放大和缩小。

3、通过参加观察、操作、归纳、想象、设计图案等活动，感受几何图体蕴藏的美，产生创造美的欲望，培养学生对数学学科的兴趣与情感，能灵活运用图形变换方法在方格纸上设计图案。

教学重点

1、掌握图形与变换的基础知识。

2、进一步认识图形的变换方法，加深对图形及变换的认识

3、在观察、操作、想象、设计图案等活动中，发展空间观念。

教学难点

图形旋转的进一步认识，设计图案

教学方法

通过谈话引入、创设情境和回顾再现、归纳整理、练习巩固和回忆反思让学生进一步认识相关知识。通过观察、操作、归纳、想象、设计图案，让学生对知识进行升华，形成相关的能力与方法，并提高其情感内涵。

板书设计

图形与变换

特点 注意点 应用

轴对称 对折后

两边完全重合 对应点位置

多条对称轴 剪纸等

平移 沿直线运动 方向 距离 电梯、抽屉等

旋转 绕点或轴运动 方向 角度 吊扇、风车等

放大 大小变化

形状不变 5：1 指边长 放大镜等

缩小 1：5 不是指面积 照像、地图等

教学过程及内容 一、谈话引入，板书课题