2019-2020学年人教A版山西省长治二中高二第一学期期末(理科)数学试卷 含解析

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）

一、选择题

1．命题“若x＞2，则x＞1”的逆否命题是（ ）

A．若x＜2，则x＜1 B．若x≤2，则x≤1

C．若x≤1，则x≤2 D．若x＜1，则x＜2

2．抛物线x2＝8y的准线方程是（ ）

A．x＝ B．y＝2 C．y＝ D．y＝﹣2

3．已知空间向量＝（0，1，1），＝（﹣1，0，1），则与的夹角为（ ）

A． B． C． D．

4．曲线（t为参数）与坐标轴的交点是（ ）

A．（0，）、（，0） B．（0，）、（，0）

C．（0，﹣4）、（8，0） D．（0，）、（8，0）

5．焦点在x轴上，且渐近线方程为y＝±2x的双曲线的方程是（ ）

A．x2﹣＝1 B．＝1 C．＝1 D．y2﹣＝1

6．已知两条直线a，b和平面α，若b⊂α，则a∥b是a∥α的（ ）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

7．已知命题p：∀x∈R，；命题q：∃x0∈R，sinx0＞1，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．￢p∧￢q B．p∧￢q C．￢p∧q D．p∧q

8．已知命题p：a≤x≤a+1，命题q：x2﹣4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，0]∪[3，+∞） B．[0，3]

C．（﹣∞，0）∪（3，+∞） D．（0，3）

9．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则弦|AB|＝（ ） A．8 B． C．16 D．

10．已知直线y＝﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y＝0上，则此椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

11．已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R”，使得x2+2ax+2﹣a＝0，那么命题“p∧q”为真命题的充要条件是（ ）

A．a≤﹣2或a＝1 B．a≤﹣2或1≤a≤2

C．a≥1 D．﹣2≤a≤1

12．已知抛物线C：y2＝8ax（a＞0）的焦点F与双曲线D：（a＞0）的焦点重合，过点F的直线与抛物线C交于点A，B，则|AF|+2|BF|的最小值为（ ）

A．3+4 B．6+4 C．7 D．10

二、填空题

13．若命题p：∃x0∈[﹣1，1]，x02+2x0﹣1≥0，则命题p的否定为

．

14．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l与该抛物线交于两点，过其中一交点A向准线作垂线，垂足为A'，若△AA'F是面积为的等边三角形，则p＝

．

15．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A，B两点，则|AF1|+|BF1|的最小值为 ．

16．椭圆，F1，F2是椭圆的左右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为 ．

三、解答题

17．已知命题p：∀x∈R，|x|+x≥0；q：关于x的方程x2+mx+1＝0有实数根．

（1）写出命题p的否定，并判断命题p的否定的真假；

（2）若命题“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

18．已知圆C的圆心为（1，1），直线x+y﹣4＝0与圆C相切．

（1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点（2，3），且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程．

19．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程表示双曲线．

（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；

（2）若“p或q”是真命题，求实数k的取值范围．

20．在直角坐标系xOy中，曲线（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρ2sin2θ＝3，l与C1交于点M，N．

（1）写出曲线C1的普通方程及直线l的直角坐标方程，并求|MN|；

（2）设P为曲线C2上的动点，求△PMN面积的最大值．

21．已知动圆C过点F（1，0），并与直线x＝﹣1相切．

（1）求动圆圆心C的轨迹方程E；

（2）已知点P（4，﹣4），Q（8，4），过点Q的直线l交曲线E于点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值，并求出此定值．

22．已知N为圆C1：（x+2）2+y2＝24上一动点．圆心C1关于y轴的对称点为C2．点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且•＝0，＝2．

（1）求点M的轨迹方程；

（2）直线l：y＝kx+m与点M的轨迹Γ只有一个公共点P．且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l′与圆x2+y2＝8相交于A，B两点，求△PAB面积的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．命题“若x＞2，则x＞1”的逆否命题是（ ）

A．若x＜2，则x＜1 B．若x≤2，则x≤1

C．若x≤1，则x≤2 D．若x＜1，则x＜2

【分析】根据逆否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．

解：命题“若x＞2，则x＞1”的逆否命题是“若x≤1，则x≤2”，

故选：C．

2．抛物线x2＝8y的准线方程是（ ）

A．x＝ B．y＝2 C．y＝ D．y＝﹣2

【分析】由x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣，则抛物线x2＝8y的准线方程即可得到．

解：由x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣，

则抛物线x2＝8y的准线方程是y＝﹣2，

故选：D．

3．已知空间向量＝（0，1，1），＝（﹣1，0，1），则与的夹角为（ ）

A． B． C． D．

【分析】由已知中向量，，求出两个向量的模和数量积，代入夹角余弦公式，可得答案．

解：∵空间向量＝（0，1，1），＝（﹣1，0，1），

∴与的夹角θ满足，

cosθ＝＝＝，

∴θ＝，

故选：A． 4．曲线（t为参数）与坐标轴的交点是（ ）

A．（0，）、（，0） B．（0，）、（，0）

C．（0，﹣4）、（8，0） D．（0，）、（8，0）

【分析】直接令x＝0与y＝0，分别求出相应的t，从而求得曲线与坐标轴的交点．

解：当x＝0时，t＝，而y＝1﹣2t，即y＝，得与y轴交点为（0，）；

当y＝0时，t＝，而x＝﹣2+5t，即x＝，得与x轴的交点为（，0）．

故选：B．

5．焦点在x轴上，且渐近线方程为y＝±2x的双曲线的方程是（ ）

A．x2﹣＝1 B．＝1 C．＝1 D．y2﹣＝1

【分析】利用焦点在x轴上，且渐近线方程为y＝±2x的双曲线的方程，结合选项，即可得出结论．

解：由题意，焦点在x轴上，且渐近线方程为y＝±2x的双曲线的方程是x2﹣＝1，

故选：A．

6．已知两条直线a，b和平面α，若b⊂α，则a∥b是a∥α的（ ）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【分析】我们先判断a∥b⇒a∥α与a∥α⇒a∥b的真假，然后利用充要条件的定义，我们易得到a∥b是a∥α的关系．

解：当b⊂α是

若a∥b时，a与α的关系可能是a∥α，也可能是a⊂α，即a∥α不一定成立，故a∥b⇒a∥α为假命题；

若a∥α时，a与b的关系可能是a∥b，也可能是a与b异面，即a∥b不一定成立，故a∥α⇒a∥b也为假命题；

故a∥b是a∥α的既不充分又不必要条件

故选：D．

7．已知命题p：∀x∈R，；命题q：∃x0∈R，sinx0＞1，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．￢p∧￢q B．p∧￢q C．￢p∧q D．p∧q

【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．

解：∵x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，

∴log2（x2+2x+3）≥log22＝1，

即命题p是假命题，

∵∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，∴命题q是假命题，

则￢p∧￢q是真命题，其余为假命题，

故选：A．

8．已知命题p：a≤x≤a+1，命题q：x2﹣4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，0]∪[3，+∞） B．[0，3]

C．（﹣∞，0）∪（3，+∞） D．（0，3）

【分析】化简q，根据p是q的充分不必要条件即可得出．

解：命题p：a≤x≤a+1，命题q：x2﹣4x＜0，即0＜x＜4．

由p是q的充分不必要条件，∴，解得0＜a＜3．

故选：D．

9．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则弦|AB|＝（ ）

A．8 B． C．16 D．

【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用抛物线的性质，求出|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2，再结合韦达定理求出即可．

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），A，B到准线的距离分别为dA，dB，

由抛物线的定义可知|AF|＝dA＝x1+1，|BF|＝dB＝x2+1，于是|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2，

由已知得抛物线的焦点为F（1，0），斜率k＝tan60°＝，所以直线AB方程为y＝（x﹣1），

将y＝（x﹣1）代入方程y2＝4x，化简得3x2﹣10x+3＝0．

由求根公式得x1+x2＝，于是|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝＝， 故选：B．

10．已知直线y＝﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y＝0上，则此椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【分析】利用椭圆的点差法即可求得＝，求得椭圆的离心率．

解：设A（x1，y2），B（x2，y2），AB的中点P（x0，y0），由x0﹣2y0＝0，kOP＝，

由“点差法”可得kAB•kOP＝﹣，

所以＝，

椭圆的离心率，

故选：C．

11．已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R”，使得x2+2ax+2﹣a＝0，那么命题“p∧q”为真命题的充要条件是（ ）

A．a≤﹣2或a＝1 B．a≤﹣2或1≤a≤2

C．a≥1 D．﹣2≤a≤1

【分析】p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，可得a≤（x2）min．q：“∃x∈R”，使得x2+2ax+2﹣a＝0，则△≥0，解得a，即可得出命题“p∧q”为真命题的充要条件．

解：p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴a≤（x2）min，∴a≤1．

q：“∃x∈R”，使得x2+2ax+2﹣a＝0，则△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1，或a≤﹣2．

那么命题“p∧q”为真命题的充要条件是，解得a＝1或a≤﹣2．

故选：A．

12．已知抛物线C：y2＝8ax（a＞0）的焦点F与双曲线D：（a＞0）的焦点重合，过点F的直线与抛物线C交于点A，B，则|AF|+2|BF|的最小值为（ ）