直线和平面垂直的判定定理

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直线与平面垂直判定定理新证

作者：池志阳

来源：《数理化学习·高一二版》2013年第01期

立体几何中线面垂直的判定定理有多种证法，本文从高等数学中解析几何关于平面的定义出发，利用集合证明了直线与平面垂直判定定理.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理2推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.

公理3：如果不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线.

解析几何中平面的定义：在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面.

引理：若直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l与α相交.

证明：不妨设α内的两条相交直线a，b都与l垂直.

假设l与α不相交，则lα或l∥α.显然lα是不可能的，于是l∥α.

在α内任取一点A，由公理2推论1，设过l和点A的平面为β，由公理3，设β∩α=c.由l∥α知l∥c.

因为l⊥a且l⊥b，所以c⊥a且c⊥b，又a，b，c同在α内，因为a∥b或a，b重合，这与a，b相交矛盾. 因为l与a相交.证毕.

直线和平面垂直的判定定理：已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.

中学数学课程中的一般证法：由已知及引理，不失一般性设l∩α=B（若l∩α=B′，在α内过B′作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′）.

任取一条直线gα（g≠m，g≠n），不失一般性设g∩α=B.

任取l上一点A，再取一点A′，使AB=A′B.

任取一条直线h，使h交m于C点，交n于D点，交g于E点.

因为l⊥m，l⊥n，AB=A′B，BC=BC，BD=D，所以△ABC≌△A′BC，

直线、平面垂直的判定与性质教学设计(改进稿)

学案内容 设计意图

课前预习学案 根据高三一轮复习特点，知识点以题目形式考查，使学生掌握基本的定义，定理，性质，学生能自己学会的老师不必讲。并课前批阅，帮助老师掌握学情,实现以学定教

1. 判断正误：

(1) 直线a，b，c；若a⊥b，b⊥c，则a∥c.( )

(2) 直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.( )

(3) 若，，，，，则( )

(4) 若，，则；( )

本题主要辨析线面垂直的判定定理和性质定理内容及符号表示

2．已知、、表示三条不同的直线，、、表示三个不同的平面，有下列命题：

其中错误的命题有 .

（1）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )

（2）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )

（3）若，，，则；

本题考查学生对面面垂直的判定及性质的理解及性质定理的符号理解

3.（17年全国Ⅲ卷）在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）

A． B． C． D． 垂直关系中三大关系，线线垂直，线面垂直，面面垂直，通过高考试题激发学生兴趣，检验垂直的关系的源头线线垂直的证明方法掌握情况.为课堂探究其他垂直关系，做好铺垫

请说明原因：

4.（17年全国Ⅰ理科18）

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

通过2017年高考理科真题，激发兴趣，检验线面垂直，面面垂直的判定定理的规范使用情况使用.

课堂学案

最新考纲

1会使用直线、平面垂直的判定定理和性质定理证明线面垂直、面面垂直.

高考热点

1.以选择题形式考查线面、面面位置关系的判定和性质．

2．以解答题的形式考查多面体中的线面垂直或面面垂直，属中档题

为学生指明本部分高考的学习目标，考查形式、难易程度等，可使学生参照目标寻找自身差距.

《直线与平面垂直判定定理》教学反思

《直线与平面垂直的判定定理》是人教版高一数学必修2第二章第三节第一课时的的内容。线面垂直判定是一个非常重要的判定。本节课要达到的目标有1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.

教学的开始，我先复习了直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系。接着引用钢丝与桥面的位置关系，进入课题研究直线与平面垂直这种特殊的位置关系。接着直接给出直线与平面的定义，此处直截了当，但是忽视了给出直线垂直平面，则直线与平面内的任意一条直线都垂直这一性质。

通过创设情境工人安装旗杆，抛出问题如何判断直线与平面垂直？由此进行折纸探究活动，通过动手活动，师生互动得出直线与平面的判定定理。此环节让学生经历定理获得的过程，有助于学生对定理的理解，同时动手活动，有助于激发学生学习的积极性。

例1的设计，难度较低，适合学生初次应用，这样的设计一方面，能让学生在学习完定理后能够进行简单的应用，有助于理解定理，另一方面降低难度让学生体验成功，获得学习的快乐。练习1.是一道比较典型的题目，在此环节，让学生独立完成，最后投影学生的作答情况，通过展示学生的解题过程一方面肯定对的地方，另一方面错的地方引起重视。变式练习，通过证明过得到第二个线面垂直的性质。

本节课能够基本能够完成教学任务，但在语言还不够精炼，环节的过渡还需要完成。

1 直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定与证明方法：

①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.

②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直.

③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.

④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面.

⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.

⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面.

线面垂直的判定

1. 如图，直角ABC△所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点．

（１） 求证：SD平面ABC；

（２） 若ABBC，求证：BD面SAC．

答案：证明：（１）SASC∵，

D为AC的中点，SDAC∴．

连结BD．

在ABCRt△中，则ADDCBD．

ADSBDS∴△≌△，SDBD∴．

又ACBDD，SD∴面ABC．

（２）BABC∵，D为AC的中点，

BDAC∴．

又由（１）知SD面ABC， SDBD∴．

于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．

∴BD面SAC．

2. 如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC. 【探究】 根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.

证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC. ①

∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.

又∵BC平面PBC，PA⊥BC， ②

由①②知，BC⊥PH，