1 直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定与证明方法：
①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.
②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直.
③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.
④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面.
⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.
⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面.
线面垂直的判定
1. 如图，直角ABC△所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点．
（１） 求证：SD平面ABC；
（２） 若ABBC，求证：BD面SAC．
答案：证明：（１）SASC∵，
D为AC的中点，SDAC∴．
连结BD．
在ABCRt△中，则ADDCBD．
ADSBDS∴△≌△，SDBD∴．
又ACBDD，SD∴面ABC．
（２）BABC∵，D为AC的中点，
BDAC∴．
又由（１）知SD面ABC， SDBD∴．
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．
∴BD面SAC．
2. 如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC. 【探究】 根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.
证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC. ①
∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.
又∵BC平面PBC，PA⊥BC， ②
由①②知，BC⊥PH，
直线与平面垂直的判定
[新知初探]
1．直线与平面垂直的定义
(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．
(2)图形语言：如图．
画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.
[点睛]
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
[点睛] 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.
(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.
(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.
[点睛] 把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段． [小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行( )
(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b( )
(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )
1 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。【线面垂直定义】
线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。【判定】
线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。【性质】
线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。【判定】
面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。【性质】
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题
1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】 直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．
【答案】 C
2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )
A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABD
C．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED 2 【解析】 在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.
又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，
故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.
【答案】 D
3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )
A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α
【解析】 当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.
第9章 立体几何（教案） 【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
【教学目标】
知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；
（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．
能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．
【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．
【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．
【教学设计】
在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.
例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.
在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．
两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．
例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面1BAC内找到一条直线AC与平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.
【教学备品】教学课件．
【课时安排】2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程 教师
行为 学生
行为 教学
意图 时间
*揭示课题
9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
*创设情境 兴趣导入
【知识回顾】
如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a和b互相垂直，记作a⊥b．
【想一想】
演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问
介绍
质疑
了解
思考
启发
学生思考
0
第9章 立体几何（教案） 教 学
过 程 教师
行为 学生
行为 教学
意图 时间
题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？ 引导
