齐次线性方程组

非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。非齐次线性方程组解法非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)R(B)，则方程组无解。（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……，Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。非齐次线性方程组解的判别如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解。在有解的情况下，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，非齐次线性方程组有唯一解。如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，非齐次线性方程组有无穷多解，如果有无穷多解，先求所对应齐次线性方程组的基础解系，再求出非齐次线性方程组的一个特解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其对应的齐次线性方程组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解（通解）可表示为：对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的特解。

求齐次线性方程组x1-2x2-x3-4x4=0 2x1-x2 x3-2x4=0的基础解系

解：

1.x1=2x2+3x3-4x4分别取x2 x3 x4 为(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)解得的x1为2 3 -4所以基础解系为（2 1 0 0）（3 0 1 0）（-4 0 0 1）

2.x1=2x2+3x3-4x4分别取x2 x3 x4 为(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)解得的x1为2 3 -4所以基础解系为（2 1 0 0）（3 0 1 0）（-4 0 0 1）

3.设 x1- x2 = y，原方程组化为：y - x3 + x4 = 0 ----(1)y + x3 - 3x4 = 1 ----(2)2y -4x3 +6x4 =-1

----(3)由(1)得：y = x3-x4,，代入(2)(3)得：2*x3 - 4*x4 = 1 ----(4)2*x3 - 4*x4 = 1 ----(5)由此可以看出，4元方程组只有两个约束条件：x1- x2 - x3 + x4 = 0 ----(6)2*x3 - 4*x4 = 1 ----(7)以x4，和x2为自由变量，得到：x3 =2*x4 +1/2；x1 = x2+x4 +1/2；因此，方程组通解为：(x2+x4 +1/2,

x2, 2*x4+1/2, x4)

..

c 线性方程组解的结构（解法）

一、齐次线性方程组的解法

【定义】 r(A)= r

(1) ,,,nr12ξξξ线性无关;

(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示.

则称,,,nr12ξξξ为AX = 0的基础解系.

称nrnrkkk1122Xξξξ为AX = 0的通解 。其中k1,k2,…, kn-r为任意常数).

齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系.

【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则

(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A为mn矩阵）满足()rAn，则只有零解；

(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()rAn.

（注：当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A.）

注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()nrA.

2、非齐次线性方程组AXB的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AXO所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n是未知量的个数，则有：

（1） 当mn时，()rAmn，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数

大于方程的个数就一定有非零解；

（2）当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A；

（3）当mn且()rAn时，若系数矩阵的行列式0A，则齐次线性方程组只有零解；

（4）当mn时，若()rAn，则存在齐次线性方程组的同解方程组；

若()rAn，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0（A为mn矩阵）通解的三步骤

（1）AC行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0.

(2) 求出CX =0的基础解系,,,nr12ξξξ;

(3) 写出通解nrnrkkk1122Xξξξ其中k1,k2,…, kn-r为任意常数.

线性方程组的解法

注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。

一、齐次线性方程组的解法

定理 齐次线性方程组一定有解：

(1) 若齐次线性方程组()rAn，则只有零解；

(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()rAn.（注：当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A.）

注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()nrA.

2、非齐次线性方程组AXB的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AXO所对应的同解方程组。

由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n是未知量的个数，则有：（1）当mn时，()rAmn，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；

（2）当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A；

（3）当mn且()rAn时，此时系数矩阵的行列式0A，故齐次线性方程组只有零解； （4）当mn时，此时()rAn，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“mn”.

例 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.xxxxxxxxxxxxxxxx

解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵

显然有()4rAn，则方程组仅有零解，即12340xxxx.

解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即mn）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即mn），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：23153121327041361247A，知方程组仅有零解，即12340xxxx.