齐次线性方程组

非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。非齐次线性方程组解法非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)R(B)，则方程组无解。（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……，Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。非齐次线性方程组解的判别如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解。在有解的情况下，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，非齐次线性方程组有唯一解。如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，非齐次线性方程组有无穷多解，如果有无穷多解，先求所对应齐次线性方程组的基础解系，再求出非齐次线性方程组的一个特解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其对应的齐次线性方程组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解（通解）可表示为：对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的特解。

齐次线性方程组Ax=0

一、基本理论

齐次线性方程组的Ax=0解集是一个线性子空间, 称为解空间（或零空间），记作N(A).

N(A)的一组基称为方程组的一个基础解系。

解空间的维数：dim N(A) = n - rank(A).

求解齐次线性方程组Ax=0的方法: 利用初等行变换将A化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出基础解系.

二、Matlab实现

实现一：rref(A)将A化成最简行阶梯矩阵. 根据对应方程组写出基础解系.

实现二: 可编写如下函数文件，直接返回解空间的一组基.

function N = nulbasis(A)

[R, pivcol] = rref(A);

[m, n] = size(A);

r = length(pivcol);

freecol = 1:n;

freecol(pivcol) = [];

N = zeros(n, n-r);

N(freecol, : ) = eye(n-r);

N(pivcol, : ) = -R(1:r, freecol);

实现三：Matlab函数null(A)可以返回解空间的一组基，但与上述方法所得结果不同。

三、例子

例. 求解线性方程组

12451234512345123451234525023450223024319803632490xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

输入系数矩阵A

A = [1 2 0 -5 1; 1 2 3 4 -5; 1 2 2 1 -3; 2 4 -3 -19 8; 3 6 -3 -24 9]

A =

1 2 0 -5 1

1 2 3 4 -5

1 2 2 1 -3

2 4 -3 -19 8

- 1 - 齐次线性方程组基础解

齐次线性方程组是一类重要的数学问题，它可以用于描述系统所受的投影决定解决内部状态变化和外部力量作用，也可以描述物理系统状态的变化，是很多工作所充分利用的常见模型。齐次线性方程组也是一类经典数学问题，是数学分析中经常遇到的问题。

齐次线性方程组可以被表示为Ax=0,中，A是一个n×n的实矩阵，x是n维实向量，0是n维零向量。要求Ax=0的解，就是要求A的特征根和特征向量，并解决Ax=0的基础解问题。

解决齐次线性方程组的基础解问题，主要分为以下三个步骤：

1.解A的特征根和特征向量，也就是找出A的特征值和特征向量。这是解齐次线性方程组基础解的基础，找到了A的特征值和特征向量，才能解决齐次线性方程组基础解问题。

2.据A的特征值，将齐次线性方程组化简为若干个非齐次线性方程组。

3.分别求解若干个非齐次线性方程组的基础解，最后将所有的解组合起来，就是齐次线性方程组的基础解。

以上是说明齐次线性方程组基础解的解法。在实践中，我们可以使用数学软件，如matlab、mathcad等，以更快的速度求解齐次线性方程组。

此外，在求解齐次线性方程组的基础解时，我们还可以采取其他的方法，如利用矩阵的分解、变换和特征向量法等。这些方法都可以较快地求解齐次线性方程组的基础解，且无需太多的计算，可 - 2 - 以更好地服务现代工程。

综上所述，齐次线性方程组的基础解是一类重要的数学模型，主要用于描述物理系统状态的变化，在工程中具有重要的应用价值。只有正确掌握了齐次线性方程组的基础解，才能够充分发挥它的优势，为更多的工程工作做出贡献。

求齐次线性方程组x1-2x2-x3-4x4=0 2x1-x2 x3-2x4=0的基础解系

解：

1.x1=2x2+3x3-4x4分别取x2 x3 x4 为(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)解得的x1为2 3 -4所以基础解系为（2 1 0 0）（3 0 1 0）（-4 0 0 1）

2.x1=2x2+3x3-4x4分别取x2 x3 x4 为(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)解得的x1为2 3 -4所以基础解系为（2 1 0 0）（3 0 1 0）（-4 0 0 1）

3.设 x1- x2 = y，原方程组化为：y - x3 + x4 = 0 ----(1)y + x3 - 3x4 = 1 ----(2)2y -4x3 +6x4 =-1

----(3)由(1)得：y = x3-x4,，代入(2)(3)得：2*x3 - 4*x4 = 1 ----(4)2*x3 - 4*x4 = 1 ----(5)由此可以看出，4元方程组只有两个约束条件：x1- x2 - x3 + x4 = 0 ----(6)2*x3 - 4*x4 = 1 ----(7)以x4，和x2为自由变量，得到：x3 =2*x4 +1/2；x1 = x2+x4 +1/2；因此，方程组通解为：(x2+x4 +1/2,

x2, 2*x4+1/2, x4)