等比数列公式及推导
等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
等比数列公式
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：
若通项公式变形为
(n∈N*),当q>0时，则可把a n看作自变量n的函数，点(n,a n)是曲线
上的一群孤立的点。
（2)任意两项a m，a n的关系为
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：当r满足p+q=2r时，那么则有
，即a r为a p与a q的等比中项。
等比数列求和公式
求和公式
求和公式推导公比为q，
等比数列公式_公式总结 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 （2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 (5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an ①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q) ②当q=1时，Sn=n×a1（q=1） 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
赏析等比数列的前n 项和公式的几种推导方法 山东张吉林（山东省莱州五中邮编 261423）等比数列的前n 项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式： 当 q1时，S n a1 (1 q n ) ①或 S n a1a n q② 1q1q 当 q=1 时，S n na1 本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n 项和公式的方法 ---错位相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用, 希望能起到抛砖引玉的效果。 一般地，设等比数列a1 , a2 , a3 ,a n它的前 n 项和是 S n a1a2a3a n 公式的推导方法一： 当 q 1时， 由 S n a1a2a3a n a n a1 q n 1 S n a1a1 q a1 q 2a1 q n 2a1q n 1 得 a1q a1q 2a1 q3a1 q n 1a1q n qS n (1q)S n a1a1q n ∴当 q 1 时，S n a1 (1q n ) ①或S n a1a n q② 1q 1 q 当 q=1 时，S n na1 当已知 a1, q, n时常用公式①；当已知a1, q,a n时，常用公式②. 拓展延伸：若a n是等差数列，b n是等比数列，对形如a n b n的数列，可以用错位相减法求和。 例题数列 a n的前 n 项和 S n n( n1) 2 (n2) 2n 2n 1 ，则2 2 22 S n的表达式为（）． A ．S n2n 12n n 2 B ．S n2n 1n 2 C．S n2n n 2 D ．S n2n 1n 2 解析：由 S n n(n1)2(n2) 2222n 22n 1，①
等比数列公式求和公式 等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。等比数列的求和公式是指将等比数列的前n项求和的公式。下面将详细介绍等比数列和求和公式的相关知识。 一、等比数列的定义 等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。设等比数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式为： an = a * r^(n-1) 其中，an表示等比数列的第n项。 二、等比数列的性质 1. 等比数列的任意项与首项之比等于公比： a2/a1 = a3/a2 = ... = an/a(n-1) = r 2. 等比数列的任意项与末项之比等于公比的n-1次方： an/a1 = r^(n-1) 3. 等比数列的前n项和可以通过公式计算得到。 三、等比数列的求和公式 等比数列的前n项和可以通过求和公式计算得到。设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn，则有以下求和公式： Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r) 四、等比数列求和公式的推导
下面通过推导，来证明等比数列求和公式的正确性。 计算等比数列的前n项和Sn： Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) 将Sn乘以公比r： r * Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n 将等式两边相减： Sn - r * Sn = a - ar^n 化简得： Sn * (1 - r) = a * (1 - r^n) 再将等式两边除以(1 - r)，得到等比数列的求和公式： Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r) 五、等比数列求和公式的应用 等比数列求和公式在数学和实际问题中有着广泛的应用。通过求和公式，我们可以快速求解等比数列的前n项和，从而简化计算过程。在金融、工程、物理等领域中，等比数列求和公式也经常被使用。六、例题解析 下面通过一个例题来说明等比数列求和公式的具体应用。 例题：已知等比数列的首项为2，公比为0.5，求该等比数列的前
等比数列的通项与求和公式 等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项的比值都是一个常数。在等比数列中，我们可以通过一些公式来求解其通项和求和。 一、等比数列的定义与性质 等比数列是指一个数列中，每一项与前一项的比值都是一个常数。这个常数称为等比数列的公比，通常用字母q表示。 对于一个等比数列{a₁, a₂, a₃, ...}，它的公比为q，那么可以得到以下性质： 1. 第n项与第m项的比值等于q的n-m次方，即aₙ/aₙ = q^(n-m)。 2. 等比数列的任意一项都可以表示为第一项乘以公比的n-1次方，即aₙ = a₁* q^(n-1)。 3. 等比数列的前n项和可以表示为第一项乘以公比的n次方减一，再除以公比减一，即Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。 二、等比数列的通项公式的推导 为了推导等比数列的通项公式，我们可以利用等比数列的性质。 假设等比数列的第一项为a₁，公比为q，那么根据等比数列的性质2，第n项可以表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)。 三、等比数列的求和公式的推导 同样地，为了推导等比数列的求和公式，我们可以利用等比数列的性质。 假设等比数列的第一项为a₁，公比为q，那么根据等比数列的性质3，前n项和可以表示为Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。
四、等比数列的应用举例 等比数列的通项公式和求和公式在实际问题中有广泛的应用。以下是一些应用 举例： 1. 财务投资：假设某人每年向银行存入1000元，年利率为5%。那么他每年的 存款金额就可以构成一个等比数列，其中第一项为1000，公比为1.05。通过等比 数列的通项公式，可以计算出第n年的存款金额。而通过等比数列的求和公式，可以计算出n年内的总存款金额。 2. 科学实验：在某个科学实验中，每次实验的结果都是前一次实验结果的一半。这个实验结果就可以构成一个等比数列，其中第一项为1，公比为0.5。通过等比 数列的通项公式，可以计算出第n次实验的结果。而通过等比数列的求和公式，可以计算出前n次实验的总结果。 3. 人口增长：假设某个城市的人口每年增长10%。那么这个城市的人口数量就 可以构成一个等比数列，其中第一项为10000，公比为1.1。通过等比数列的通项 公式，可以计算出第n年的人口数量。而通过等比数列的求和公式，可以计算出n 年内的总人口数量。 总结： 等比数列是一种常见的数列形式，它的通项和求和公式可以通过等比数列的性 质来推导。这些公式在实际问题中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种与等比数列相关的计算问题。通过理解和掌握等比数列的通项和求和公式，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。
等比数列的求和公式 等比数列是一种特殊的数列，其每一项与前一项的比值都相等。在数学中，求等比数列的和是一个基本的问题。 设等比数列的首项为a，公比为r，数列共有n项。 根据等比数列的定义，可以得到等比数列的通项公式为： an = a * r^(n-1) 其中，an表示等比数列的第n项。 当公比不等于1的时候，求等比数列的和可以通过以下方法来推导： 1.假设等比数列的和为S。 2.将等比数列的前n项分别乘以公比r，得到一个新的等比数列： ra, ra^2, ra^3, ..., ra^(n-1) 3.将原等比数列与新等比数列相加，得到： S = a + ra + ra^2 + ra^3 + ... + ra^(n-1) 4.将上述等式两边同时乘以公比r，得到： rS = ra + ra^2 + ra^3 + ... + ra^n 5.将第3步得到的等式减去第4步得到的等式，得到： S - rS = a - ra^n 6将上述等式两边同时除以(1-r)，得到： S = (a - ra^n) / (1-r)
当公比r等于1时，等比数列的和为： S = na 综上所述，得到等比数列的求和公式为： 当r不等于1时： S = (a - ra^n) / (1-r) 当r等于1时： S = na 通过这个公式，可以方便地计算等比数列的和。 举个例子，比如有一个等比数列的首项是2，公比是3，共有5项。 我们可以使用上述公式来计算这个等比数列的和： a=2 r=3 n=5 将这些值代入等比数列的求和公式，得到： S=(2-2*(3^5))/(1-3) 计算出上述表达式的值，得到等比数列的和S为-146 总结：等比数列的求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的和。使 用这个公式时，需要知道等比数列的首项、公比和项数。通过代入这些值，可以方便地求得等比数列的和。
等比数列的概念和计算 等比数列是数学中重要的概念之一，它在各种实际问题中都有广泛 的应用。在本文中，我们将介绍等比数列的概念、性质和计算方法， 帮助读者更好地理解和运用等比数列。 一、等比数列的概念 等比数列是指一系列的数按比例递增或递减的数列。它的特点是每 个数都是前一个数与同一个非零常数的乘积。设首项为a，公比为r， 则等比数列的通项公式为： an = ar^(n-1) 其中，an表示第n个数，r表示公比。 二、等比数列的性质 等比数列有许多有趣的性质，下面我们来介绍几个常见的性质： 1. 公比的性质：对于等比数列，如果公比r>1，那么数列是递增的；如果0 三、等比数列的计算方法 计算等比数列的各项值是数列问题中的重要环节，下面我们将介绍两种常见的计算方法。 1. 递推法：通过已知项计算下一项。首先确定首项a和公比r，然后根据递推关系an = an-1 * r计算每一项的值。这种方法适用于已知首项和公比的情况。 2. 公式法：利用等比数列的通项公式，直接计算任意项的值。首先确定首项a和公比r，然后根据通项公式计算特定项的值。这种方法适用于已知首项和公比，但需要计算某一特定项的情况。 四、应用举例 等比数列在实际问题中有广泛的应用。例如，金融领域中的复利计算就涉及到等比数列。假设你存入一笔本金，每年的利率固定为r，那么n年后的本金总额可以表示为Sn=a(1-r^n)/(1-r)。通过等比数列的计算，可以帮助我们了解到本金随时间的变化情况。 另外，等比数列还可以应用于计算机科学中的数据结构和算法设计中。例如，在排序算法中，通过分治法和递归思想，可以设计出高效的等比数列生成算法。 总结： 通过本文的介绍，我们了解到等比数列的概念、性质和计算方法。等比数列在数学领域和实际问题中都有重要的应用价值。掌握等比数列的相关概念和计算方法，有助于我们解决各种数列问题，提高数学 等比数列前n 项和公式推导过程 等比数列的前n 项和公式： 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n = 当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②. 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是 =n S n a a a a +++321 由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n q a a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴ ∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时， 1na S n = 公式的推导方法二： 由等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-1 2312 根据等比的性质，有 q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S n n n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三： =n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+ ⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 等比定理内容及证明过程： 若a:b=c:d=...m:n （b,d...n ≠0), 则(a+c+...+m):(b+d+...+n)=a:b 称为等比定理。 证明： 假设：a ：b ＝c ：d ＝...＝m ：n =k a=bk,c=dk., ....m=nk 合并k 的同类项：即a+c..+m=k(b+d....n) 所以： （a ＋c ＋...＋m ）：（b ＋d ＋...＋n ）=k 所以： （a ＋c ＋...＋m ）：（b ＋d ＋...＋n ）＝a ：b 等比数列前n项和公式的推导 等比数列是数学中一类重要的数列，它对于对等比数列进行处理具有重要的意义。等比数列的性质，除了是等比外，还可以表示为其前n项和的关系公式，由于等比数列的特殊性本质，前n项和的关系公式也有很强的规律性可以推导出来。 首先，我们来分析等比数列的具体特点，等比数列的一般项通常表示为：an=a1rn-1（n>=2， r≠0）。显然，我们可以看出，a2=a1r，a3=a1r2，a4=a1r3，以此类推，我们可以推断出等比数列的关系项之间存在恒定的关系：an=a1rn-1。 接下来，我们就来推导出等比数列前n项和的公式。等比数列前n项和，我们通常使用Sn来表示，我们也可以将前n项和表示为前n+1项减去最后一项，即：Sn=a1 + a2 + a3 +...+ an-1 +an - an = a1 + a1r + a1r2 +...+ a1rn-2 +a1rn-1 - a1rn-1 = a1(1+r+r2+...+rn-2+rn-1-rn-1)。 我们将1+r+r2+...+rn-2+rn-1-rn-1这个式子分解下来， 1+r+r2+...+rn-2，由于以r为公比的等比数列，任意一项和它前面一项的比值为r，这样1+r+r2+...+rn-2就转化为(1-rn-1)/(1-r)，即：S = a1(1-rn-1)/(1-r)。 上面我们完成了等比数列前n项和的推导，即Sn = a1(1-rn-1)/(1-r)，这是本文要推导的等比数列前n项和的公式，并且由于等比数列的特殊性本质，通过这个公式我们可以很好地对等比数列进行计算处理。 最后，我们来给出一个关于等比数列前n项和的实例题来进行验证，比如说等比数列{an}的通式表达式为an=2n-2，若要求前五项的和，我们很容易可以得出：S5 = 2222222 = 28，同时，使用上面推导出的前n项和的公式Sn = a1(1-rn-1)/(1-r)，我们可以得出：S5 = 21(1-25)/(1-2) = 28，从而说明数列{an}的前五项和正确，也表明我们推导出的等比数列前n项和的公式是正确的。 综上所述，本文我们推导出了等比数列前n项和的公式，即Sn = a1(1-rn-1)/(1-r)，我们也给出了一个实例题来进行验证，最终获得了正确结果，由此可见，我们推导出的等比数列前n项和的公式是正确的。 §2.4 等比数列 第1课时 等比数列的概念及通项公式 学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程 . 知识点一 等比数列的概念 思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点. ①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，1 16，…； ③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，…. 答案 从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数. 梳理 等比数列的概念和特点. (1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0). (2)递推公式形式的定义：a n a n －1＝q (n >1)(或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N *). (3)等比数列各项均不能为0. 知识点二 等比中项的概念 思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？ 答案 设这个数为G ，则G 2＝8 G ，G 2＝16，G ＝±4，所以这样的数有2个. 梳理 等比中项与等差中项的异同，对比如下表： 知识点三 等比数列的通项公式 思考 等差数列的通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式吗？ 答案 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘.根据等比数列的定义得 a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n a n －1＝q (n ≥2). 将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘， 得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝q n －1，化简得a n a 1＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1(n ≥2). 当n ＝1时，上面的等式也成立. ∴a n ＝a 1q n － 1(n ∈N *). 梳理 等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1. 1.常数列既是等差数列，又是等比数列.(×) 2.若a ，b ，c 成等比数列，则a ，c 的等比中项一定是b .(×) 3.若a n ＋1＝qa n ，n ∈N *，且q ≠0，则{a n }是等比数列.(×) 4.任何两个数都有等比中项.(×) 类型一 等比数列的判定 例1 已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，等比数列前n项和公式推导
等比数列前n项和公式的推导
等比数列的概念及通项公式
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