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欧式空间的定义

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欧氏空间

欧氏空间

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5 3 1 0 15
《线性代数与解析几何》 第四章 n维向量
第十七讲
4.5 欧氏空间
(几何空间的推广)
本节在实数域内讨论问题
16
本节主要内容
1. 欧氏空间的概念 2. 规范正交基 3.Schmidt正交化 4. 正交矩阵
17
引言
空间的推广： 几何空间R3 n维实向量空间Rn
度量性质的推广: R3中: 长度夹角内积 Rn中: 内积长度夹角
( )2
+ .
24
3.夹角: 设 ∈, Rn 0, 0
称 arc cos ( , ) , 0
为 与 的夹角. 4.正交: 当(,)=0 时,称 与 正交.
记为⊥ .
因为零向量与任何向量的内积为零.
规定: ∈Rn,必有 0⊥ .
25
4.5.2 规范正交基(自然基的推广)
1.正交向量组:两两正交的非零实向量构 成的向量组称为正交向量组.
正交向量组有一个非常重要的性质.
26
2.正交向量组 线性无关
证 设,2,,m是正交向量组, 若 k1+k22++kmm= 0 两边同i 作内积 (k1++kmm , i ) = 0 即 k1(,i )+k2(2, i )++km(m, i ) = 0 当ij 时(i ,j ) = , 有 ki (i ,i ) = 0 又i 0, 则(i ,i ),从而ki , i =1,2,,m 故 ,2,,m 线性无关.
(, ) a12 a22 L an2
单位向量:长度为1的向量.
20
要推广几何空间中向量夹角的概念, 必须先证明下面著名的不等式.

欧氏空间

欧氏空间
6．为了便于学生记忆,可将欧氏空间的基础性质作如下整理：设v是一个欧氏空间,α、β、γ∈V,k∈R,有：把"内积"的性质及向量的长度、夹角、距离得到的有关性质总结一起.
二． 内容及要求
1、 内容：内积、欧氏空间、向量的长度、向量间的夹角、距离的概念、性质.
2、 重点：内积、欧氏空间的定义.
2．正交基（或标准正交基）的求法的基础是建立在"任一线性无关组可得一正交组（从而得一标准正交组）"之上的,上述证明思想的分析过程可从含两个向量的向量组出发,一般地用归纳法,这样易于接受,从而自然得正交基（标准正交基）的求法.这是本节的难点及重点.施密特正交化公式麻烦.
3．子空间的正交补是子空间的一类特殊的余子空间,其结论上不同于一般向量空间的有限维子空间的余子空间存在不唯一；而正交补存在且唯一.而求正交补的思想同求余子空间类似,不同的在于选标准正交基.
一 教学思考
1．在欧氏空间中讨论线性变换,最主要的是讨论那些与内积有关的线性变换,以后两节即讨论这样两类线性变换.
2．从内容上看本节给出了正交变换的定义及等价叙述（分一般欧空上及有限欧空）,以及中正交变换的类型.从中建立了n 维欧氏空间中正交变换与n 阶正交矩阵的一一对应,此二者是同一事物的两种形式,可以相互借助一方讨论另一方,中的正交变换的形式及相应的矩阵的形式.另外n 维欧氏空间的正交变换是v的自同构映射,等结论.本节易理解不麻烦.
3．为更好的认识正交变换,可总结正交矩阵的若干性质.
Ⅱ）反过来：有了"内积"后,可用此表示行来年感的长度与夹角：.
③ 上述关系启发我们可以先定义"内积",然后利用"内积"定义向量的有关度量问题.

第八章 欧氏空间

第八章 欧氏空间

例3 在R3中，向量 (1, 0, 0), (1, 1, 0) 求 , 的夹角。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0, 则称
与 正交或垂直，记为：
注意： 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
例1 设 (1 , 2 ), (1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) (1 2 )1 (1 2 2 ) 2
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注： (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为 正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则
(3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V
称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
i 1 i 1 i 1 i 1n n n
n
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间

图形学欧氏空间具体概念

图形学欧氏空间具体概念
2. n 维欧氏空间 中的线性变换 σ 是正交变换 维欧氏空间V中的线性变换 交矩阵． 交矩阵．
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则

欧氏空间简介

欧氏空间简介

批第八章欧氏空间本节恒设为实数域。

定义1 设是上的向量空间。

如果有一个规则，使得对于中任意向量都对应中唯一确定的数，将其记为，并且下述条件成立。

1234 若则称为向量与的内积。

而称为欧几里德空间，简称欧氏空间。

第五章所讨论的向量空间便是一个欧氏空间，因为那里的内积定义满足定义1中的所有条件，这是欧氏空间的一个典型代表。

又如，设是定义在闭区间上的所有连续函数所构成的上的向量空间，规定中任意二向量，对应则便成为一个欧氏空间。

这是因为对任意及实数，均有同时，若不是零函数，则故规定的对应是与的内积。

命题1 设为欧氏空间，则对任意及任意，恒有：(1)(2)(3)证明由定义1知而由知。

证毕。

由命题1，利用数学归纳法不难证明：对任意都有现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为定义2 非负实数称为向量长度，记为。

由定义1中的条件4知非零向量的长度恒为正实数。

而由命题1的（3）知零向量的长度为0。

除此之外，还有命题2 对任意实数及，有其中表的绝对值。

由此即知。

定理1 对欧氏空间中的任意二向量恒有而等号成立的充分必要条件是线性无关。

证明当线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设，于是由知当线性无关时，对任意负数均有，从而并即因此必有这也就是，所以这样，便证明了定理的前一结论，又因上面的两种情况分别说明了后一结论的充分性与必要性成立，故知定理得证。

定理2（三角不等式）对于欧氏空间中的任意向量均有证明由定理1得故把定理1 用于前面的具体例子，即可得到关于定积的一个重要的不等式由定理1知，在一般的欧氏空间中，对于任意非零向量，恒有因此有意义，而亦称为与的夹角。

特别地，当时，就是说正交。

显然，按此规定，零向量与任意向量均正交。

由此易知有下述二命题成立。

命题3 设是欧氏空间的一个向量，那么中所有与正交的向量构成的一个子空间。

称之为的正交子空间。

记为。

命题4 设是欧氏空间的一个子空间，那么，中所有与中每个向量均正交的向量构成的一个子空间。

欧式空间

欧式空间

欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。

欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。

，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。

高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质

称为n维向量x与y的夹角 .
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .

定义与基本性质欧氏空间


欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。

习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)

定理 1 （柯西—布涅柯夫斯基不等式）设 V 是欧氏空间，则 , V , 有 （，）
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有

欧氏空间几何意义

欧氏空间几何意义
摘要：
1.欧氏空间的定义与特点
2.欧氏空间在几何中的意义
3.欧氏空间与其他空间的关系
4.欧氏空间在实际应用中的例子
5.总结
正文：
欧氏空间，又称欧几里得空间，是最基本的几何空间之一。

它是由欧几里得创立的，并在其著作《几何原本》中进行了详细阐述。

欧氏空间是指一个具有以下性质的空间：在其中，直线是唯一的折线，所有的直线都可以通过平移相互重合，而且任意两个直线之间存在且仅存在一个公共点。

欧氏空间在几何中的意义深远。

首先，它为我们理解空间中的点、线、面等基本元素提供了理论基础。

其次，欧氏空间中的公理和定理为我们研究空间中的问题提供了丰富的工具。

例如，欧几里得证明了平面上的直线段可以无限延长，但在三维空间中，直线段却有长度。

这个发现引发了数学家们对更高维空间的研究。

欧氏空间与其他空间，如切比雪夫空间、黎曼空间等，有着密切的关系。

切比雪夫空间是一种非欧几里得空间，在其中，直线可以有不同的斜率，从而使得空间中的几何形状与我们熟悉的欧氏空间中的不同。

黎曼空间则是一种弯曲的空间，它的几何性质与欧氏空间有很大的区别。

欧氏空间在实际应用中也有着广泛的例子。

例如，在物理学中，欧氏空间是描述物体运动的基本框架。

在计算机图形学中，欧氏空间是建模和渲染三维场景的基础。

甚至在日常生活中，我们对于空间的认识，如长度、面积和体积的测量，也都离不开欧氏空间的理论支持。

总的来说，欧氏空间是几何学的基础，它不仅为我们理解空间提供了理论框架，而且在实际应用中也发挥着重要作用。

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欧式空间的定义----9af74e36-7160-11ec-a302-7cb59b590d7d
简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得
我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。

大约公元前300年，古希腊数学家欧几里德建立了空间中角度和距离之间关系的定律，现在称为欧几里德几何。

欧几里德首先发展了“平面几何”，以处理平面上的二维物体。

然后他分析了三维物体的“三维几何”。

所有欧几里德公理都被安排到一个抽象的数学空间，称为二维或三维欧几里德空间。

这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n维空间）或有限维实内积空间。

这些数学空间也可以推广到任意维的情况，称为实内积空间（不一定完全），希尔伯
特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里德空间。

为了发展高维欧几里德空间，空间的
性质必须严格表达并扩展到任意维。

虽然这样做的结果是数学非常抽象，但它抓住了欧几
里德空间的基本本质，即平面性。

还有其他类型的空间，比如球面非欧几里德空间，相对
论中描述的四维时空在重力出现时不是欧几里德空间。

有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。

其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。

其二
是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。

欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换
成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。

（参见欧几
里得群）。

欧几里德空间的最后一个问题是，从技术上讲，它不是一个向量空间，而是一个向量
空间作用的仿射空间。

直觉上，区别在于，对于原点应该在这个空间中的什么位置，没有
标准的选择，因为它可以移动到任何地方。

这项技术在本文中基本上被忽略了。

欧几里德空间(euclideanspace)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中
是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。

这个一般化把欧几里德对于距离、以及
相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。

这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以
调查。

内积空间是对欧氏空间的一般化。

内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在包含欧几里德几何和非欧几里德几何的流形定义中起着重要作用。

定
义距离函数的数学动机是定义空间中某个点的起点。

这个基本概念证明了欧几里德空间和
其他流形之间的区别。

微分几何将微分引入迁移率技术和局部欧几里德空间，并讨论了非
欧几里德流形的许多性质。

当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。

欧几里德空间是无穷大的。

设v是实数域R上的线性空间（或向量空间）。

如果在v上定义了正定对称双线性类型G（G称为内积），则v称为（G）内积空间或欧几里德空间（有时仅当v是有限维时，才称为欧几里德空间）。

具体来说，G是V上的二元实值函数，满足以下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2） g（x+y，z）=g（x，z）+g（y，z）
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4） G（x，x）>=0，且G（x，x）=0当且仅当x=0。

其中x，y，Z是V中的任意向量，K是任意实数。

(即定义了内积的实线性空间v为实内积空间或欧几里得空间，简称欧式空间)
1.（经典欧几里德空间e^n）在n维实向量空间R^n中定义内积
(x,y)=x_1y_1+...+x_ny_n，则r^n为欧几里德空间。

（事实上，任意一个n维欧几里德空间v等距同构于e^n。

）
2.设v是[0,1]区间上连续实函数的整体，则v是R上的线性空间。

对于以下内积，它是欧氏空间：（F，g）定义为[0,1]区间上FG的整数值。

欧几里德介绍编辑
亚历山大的欧几里德（希腊语：约公元前330年至公元前275年的
εκλειΔης），古希腊数学家，被称为“几何之父”。

托勒密一世（公元前323-283年）期间，他活跃在亚历山大。

他最著名的著作《原始几何学》是欧洲数学的基础。

他提出了五个假设，并发展了欧几里德几何，这被广泛认为是历史上最成功的教科书。

欧几里德还写了一些关于透视、二次曲线、球面几何和数论的著作。

欧几里德生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。

浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。