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一、匀速圆周运动的基本概念：1、匀速圆周运动的定义质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
2、描述匀速圆周运动快慢的物理量（1）线速度v①物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
②定义：质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度。
③大小：，单位：④方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向。
由于质点做匀速圆周运动时的速度方向不断发生变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
（2）角速度①物理意义：描述质点转过圆心角的快慢。
②定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比值，就是质点运动的角速度。
③大小：单位：。
④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
（3）周期T和频率f①物理意义：周期和频率都是描述物体做圆周运动快慢的物理量。
②定义：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
用T表示，单位：s。
做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率。
用f表示，单位：Hz。
在国际单位制中是，在一些实际问题中常用的是每分钟多少转，用n表示，转速的单位为转每秒，即。
3、线速度、角速度、周期之间的关系（1）线速度和角速度间的关系如果物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在时间t 内通过的弧长是s，半径转过的角度是，由数学知识知，于是有，即。
上式表明：①当半径相同时，线速度大的角速度也大，角速度大的线速度也大，且成正比。
如图（a）所示。
②当角速度相同时，半径大的线速度大，且成正比。
如图（b）所示。
③当线速度相同时，半径大的角速度小，半径小的角速度大，且成反比。
如图（c）、（d）所示。
（2）线速度与周期的关系由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内通过的弧长为，所以有。
上式表明，只有当半径相同时，周期小的线速度大；当半径不同时，周期小的线速度不一定大，所以周期与线速度描述的快慢是不一样的。
（3）角速度与周期的关系由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内半径转过的角度为，则有。
匀速圆周运动（1）匀速圆周运动定义：任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动—理想化模型。
（2）特征物理量：为了描述匀速圆周运动的快慢引入的物理量1. 线速度（矢量）：描述质点做圆周运动的快慢：（1）（比值法定义）单位—m/s（2）方向：圆周轨迹的切线方向2. 角速度（矢量）：描述质点绕圆周运动的快慢（1）（比值法定义）单位—rad/s（2）方向：右手螺旋定则3. 周期T(s)：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期。
4. 频率：作圆周运动的物体单位时间内，沿圆周绕圆心转动的圈数转速n(r/s或r/min)：当单位时间取秒时，转速n与频率f在数值上相等关系：T=1/n4．关系：判断：根据，v与R成正比（F）（3）匀速圆周运动的条件引入：物体做曲线运动的条件：切向力改变速度大小，法向力改变速度方向。
1．条件：（1）初速度；（2）2. 说明：（1）向心力：效果力——只改变速度方向，不改变速度大小，由实际受的性质力提供。
变力——方向始终指向圆心（2）向心力产生的加速度叫做向心加速度，方向指向圆心；向心加速度描述速度方向变化的快慢（四）圆周运动的应用：（1）火车转弯：火车弯道处外轨略高于内轨，火车所受的力和力的合力提供向心力。
（2）汽车过拱桥：汽车在受到的力和力的合力提供向心力。
（3）物体做离心运动的原因是：。
（五）、竖直面内圆周运动的临界问题（1）轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：. 小球能通过最高点的临界条件：，（为支持力）. 当时，有（为支持力）杆当时，有（）当时，有（为拉力）（2）没有物体支持的小球（轻绳模型），在竖直平面作圆周运动通过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用试对右图的两种情境下球在最高点时进行受力分析，得出v临界=v＞v临界时，球能过最高点，绳对球产生力、轨道对球产生力v＜v临界时，球不能过最高点(实际上球还未滑到最高点就脱离了轨道).例1、小球在半径为的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度，周期的关系。
【知识点】高中物理圆周运动及向心力知识点总结一、匀速圆周运动1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周运动。
2.特点：①轨迹是圆；②线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定；③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直的合外力；④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动具有周期性。
3.描述圆周运动的物理量：（1）线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量；其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s，匀速圆周运动中，v的大小不变，方向却一直在变；（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；国际单位符号是rad／s；（3）周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s；（4）频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz；（5）转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r/s，以及r/min．4.各运动参量之间的转换关系：模型一：共轴传动模型二:皮带传动模型三：齿轮传动二、向心加速度1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度。
注：并不是任何情况下，向心加速度的方向都是指向圆心。
当物体做变速圆周运动时，向心加速度的一个分加速度指向圆心。
2.方向：在匀速圆周运动中，始终指向圆心，始终与线速度的方向垂直。
向心加速度只改变线速度的方向而非大小。
3.意义：描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量。
4.公式：5.两个函数图像：三、向心力1.定义：做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力，叫做向心力。
2.方向：总是指向圆心。
3.公式：4.注意：①向心力的方向总是指向圆心，它的方向时刻在变化，虽然它的大小不变，但是向心力也是变力。
②在受力分析时，只分析性质力，而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向心力。
匀速圆周运动知识点复习（一） 匀速圆周运动定义：任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动—理想化模型。
（二） 特征物理量：为了描述匀速圆周运动的快慢引入的物理量1. 线速度（矢量）：（1）t s v /=（比值法定义）单位—m/s（2） 方向：圆周轨迹的切线方向2. 角速度（矢量）：（1）t /ϕω=（比值法定义）单位—rad/s（2） 方向：右手螺旋定则3. 周期T(s)转速n(r/s 或r/min)：当单位时间取秒时，转速n 与频率f 在数值上相等关系：T=1/n4．关系：Rv n T t ====ππϕω22 ωππR Rn TR t s v ====22 判断：根据ωR v =，v 与R 成正比（F ） （三） 匀速圆周运动的条件引入：物体做曲线运动的条件：切向力改变速度大小，法向力改变速度方向。
1． 条件：（1）初速度0v ；（2）R n m R T m v m R v m mR F F v F 22222244,ππωω⋅=⋅⋅=⋅====⊥向合合 2. 说明：（1）向心力：效果力——只改变速度方向，不改变速度大小，由实际受的性质力提供。
变力——方向始终指向圆心（2）向心力产生的加速度叫做向心加速度，方向指向圆心；向心加速度描述速度方向变化的快慢R n R T v R v R a a v a 22222244,ππωω⋅=⋅⋅=⋅====⊥向合合 （四） 匀速圆周运动的性质：变速、变加速曲线运动（五） 匀速圆周运动问题的解题步骤1. 选取研究对象，确定轨道平面和圆心位置2. 受力分析，正交分解列方程3. 求解。
（六） 典型问题：1. 皮带传动与地球2. 自行车问题3. 周期运动4. 气体分子速率的测定5. 向心力实验6. 车辆转弯和火车转弯问题1： 火车转弯问题（1）如图所示是轨道与火车的示意图：工字型铁轨固定在水泥基础上，火车的两轮都有轮缘，突出的轮缘一般起定位作用；（2）若是平直轨道转弯，只能依靠外轨道对火车外轮缘的侧压力提供向心力，该侧压力的反作用力作用在铁轨上，长此以往会对铁轨造成极大的破坏作用，甚至会引起轨道变形，导致翻车事故；（3）实际铁轨采用什么方法减小火车在转弯处对轨道的破坏作用呢？分析：如图所示，实际铁轨在转弯处造得外轨高于内轨，即将外轨垫高，则轨道平面与水平面有一倾角α，火车转弯时，铁轨对火车的支持力N 的方向不再是竖直的，而是斜向轨道内侧，与重力的合力指向圆心，提供火车转往的向心力，满足Rm v m g 20tan =θ，（R 是转弯处轨道半径） 所以θtan 0gR v =（4）讨论：当0v v =时，θtan mg 恰好提供所需向心力，轮缘对内外轨道均无压力；当0v v >时，θtan mg 不足以提供所需向心力，需要外轨道对外轮轮缘施加一个侧压力，补充不足的向心力，此时火车轮缘对外轨道由侧压力；当0v v <时，θtan mg 大于所需向心力，需要内轨道对内轮轮缘施加一个侧压力，此时火车轮缘对内轨道由侧压力；由以上分析可知，为何在火车转弯处设有限速标志。
匀速圆周运动的特点和计算匀速圆周运动是指物体在圆周路径上以恒定速度运动的现象。
它具有以下特点：1.速度大小恒定：在匀速圆周运动中，物体沿圆周路径的速度大小保持不变。
2.速度方向变化：虽然速度大小不变，但物体在圆周路径上运动时，速度方向不断变化，始终指向圆心。
3.向心加速度：匀速圆周运动中，物体受到一个指向圆心的向心加速度，其大小为a=v²/r，其中v为速度大小，r为圆周半径。
4.向心力：向心加速度是由向心力引起的，其大小为F=m*a，其中m为物体的质量。
5.周期性：匀速圆周运动的物体每隔一定时间会回到起点，这个时间称为周期，用T表示。
6.角速度：匀速圆周运动的物体在单位时间内转过的角度称为角速度，用ω表示。
其大小为ω=2π/T。
匀速圆周运动的计算公式如下：1.线速度v与角速度ω、半径r的关系：v=ω*r。
2.向心加速度a与速度v、半径r的关系：a=v²/r。
3.向心力F与质量m、向心加速度a的关系：F=m*a。
4.周期T与角速度ω的关系：T=2π/ω。
5.角速度ω与频率f的关系：ω=2π*f，其中频率f是单位时间内圆周运动的次数。
以上是匀速圆周运动的特点和计算方法的详细介绍，希望能对您有所帮助。
习题及方法：一辆自行车以6m/s的速度在圆形路径上匀速运动，圆形路径的半径为6m，求自行车的向心加速度和向心力。
根据向心加速度公式a=v²/r，将速度v=6m/s和半径r=6m代入，得到向心加速度a=6²/6=6m/s²。
根据向心力公式F=m a，需要知道自行车的质量m，假设自行车质量为m=10kg，将向心加速度a=6m/s²和质量m=10kg代入，得到向心力F=106=60N。
一个物体在半径为5m的圆形路径上做匀速圆周运动，角速度为ω=4π/s，求物体的线速度和周期。
根据线速度公式v=ωr，将角速度ω=4π/s和半径r=5m代入，得到线速度v=4π5=20πm/s。
匀速圆周运动知识归纳圆周运动是高中物体中一种常见的运动，也是高中物理的一个重要知识点．以下就这部分内容需要重点掌握的知识进行归纳．一．知识整理1.匀速圆周运动的定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动．2.描述匀速圆周运动的物理量（1）线速度：v s t=（s 是物体在时间t 内通过的圆弧长），方向沿圆弧上该点处的切线方向，它是描述物体做匀速圆周运动快慢的物理量．（2）角速度：ωθθ=t(是物体在时间t 内绕圆心转过的角度），单位是弧度每秒，符号是rad/s ，它是描述物体做匀速圆周运动快慢的物理量．（3）周期T 和频率f ：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期，周期的倒数叫频率．转速是指做匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数，用n 表示，单位是转每秒，符号是r/s ．它们都是描述物体做匀速圆周运动快慢的物理量．（4）线速度、角速度、周期和频率以及转速间的关系：①v r r Trf rn ====ωπππ222②ωπππ===222T f n ③T f n ==11．（5）向心加速度：描述线速度方向变化快慢的物理量．大小：a v r r r Tf r n r n =====22222222444ωπππ方向：总是沿着半径指向圆心，所以方向时刻在变化，是一个变的加速度．（6）向心力大小：F ma mv r m r rm Tf rm n rm n n ======22222222444ωπππ方向：总是沿着半径指向圆心，所以时刻在变化，向心力是一个变力．3.匀速圆周运动的特点：线速度大小恒定，角速度、周期和频率及转速都是恒定不变的，向心力和向心加速度的大小也都是恒定不变的，但线速度、向心力和向心加速度的方向都时刻在变化．所以匀速圆周运动是一种变加速曲线运动．4.物体做匀速圆周运动的条件：合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．即合外力提供向心力，且时刻等于向心力时，物体就做匀速圆周运动．做圆周运动的物体，若实际提供的向心力小于它所需的向心力时，物体将逐渐远离圆心，做离心运动．做圆周运动的物体，若实际提供的向心力大于它所需的向心力时，物体将逐渐向圆心运动，做逐渐靠近圆心的运动．5.向心力的来源：在匀速圆周运动中，向心力是由物体受到的合外力来提供，且与合外力相等．在非匀速圆周运动中，向心力是由物体受到的合外力在指向圆心方向的分力来提供，且与合外力的这个分力相等，而这个分力只改变物体的速度方向；合外力在切线方向上的另一个分力改变了物体的速度大小．二．典型例题赏析例：如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（）A.球A 的线速度必定大于球B 的线速度B.球A 的角速度必定小于球B 的角速度C.球A 的运动周期必定小于球B 的运动周期D.球A 对筒壁的压力必定大于球B 对筒壁的压力解析：对A 、B 球进行受力分析可知，A 、B 两球受力一样，它们均受重力mg 和支持力N ，则重力和支持力的合力提供向心力，受力图如图3所示．则可知筒壁对小球的弹力N mg =sin θ，而重力和弹力的合力F mgctg =θ，由牛顿第二定律可得：mgctg mr m v r m r T θωπ===22224．则可得：ωθθπθθ====gctg r v grctg T r gctg N mg ，，，2sin 由于A 球运动的半径大于B 球运动的半径，由ωθ=gctg r 可知球A 的角速度必定小于球B 的角速度；由v grctg =θ可知球A 的线速度必定大于球B 的线速度；由T r gctg =2πθ可知球A 的运动周期必定大于球B 的运动周期；由N mg =sin θ可知球A 对筒壁的压力一定等于球B 对筒壁的压力．故正确的答案为A 、B ．。
匀速圆周运动基本原理梳理匀速圆周运动是物体沿着圆周轨道以相同的速度做匀速运动的一种形式。
理解匀速圆周运动的基本原理对于解决相关问题具有重要意义。
本文将对匀速圆周运动的基本原理进行梳理。
一、概述匀速圆周运动是指物体以匀速沿着一个圆周运动的过程。
在匀速圆周运动中，物体沿着圆周轨道运动，同时保持着恒定的速度。
二、运动特点在匀速圆周运动中，物体具有以下特点：1. 运动轨道：物体沿着一个圆周轨道运动。
2. 运动速度：物体的速度大小保持不变，即匀速运动。
3. 运动方向：物体的速度方向始终垂直于圆周的切线方向。
4. 加速度：虽然物体的速度大小不变，但由于速度方向的变化，物体会有向心加速度。
向心加速度的大小与物体的质量和圆周半径有关。
三、基本原理匀速圆周运动的基本原理可以通过以下几个方面进行解释：1. 向心力：在匀速圆周运动中，物体受到一个向心力作用。
向心力的方向指向圆心，其大小由物体的质量和圆周半径决定。
向心力的作用使得物体始终保持在圆周轨道上。
2. 离心力：物体在匀速圆周运动中产生一个向心加速度，对应着离心力的作用。
离心力的方向与向心力相反，指向离开圆心的方向。
3. 圆周轨道：匀速圆周运动中，物体沿着一个圆周轨道运动。
这是因为物体受到向心力的作用，向心力使物体朝向圆心做向心加速度，导致了物体始终维持在圆周轨道上。
4. 切线速度：匀速圆周运动中，物体的速度方向始终垂直于圆周的切线方向。
随着物体在圆周轨道上运动，速度方向会不断改变，但速度大小保持不变。
四、应用与例题匀速圆周运动的基本原理在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，它可以用于解释行星的公转运动、车辆在曲线行驶时的力学特性等。
下面是一个例题：例题：一架质量为500kg的飞机以600km/h的速度匀速绕半径为500m的圆周飞行。
求飞机所受的向心力大小。
解析：根据匀速圆周运动的基本原理，飞机所受的向心力由以下公式给出：向心力 = (质量 ×角速度² ×圆周半径)首先，将速度转换为标量角速度：角速度 = 速度 / 圆周半径 = (600,000m/3600s) / 500m = 33.33 rad/s代入质量和圆周半径，可得：向心力 = (500kg × (33.33 rad/s)² × 500m) = 2,083,500 N所以，飞机所受的向心力大小为 2,083,500 N。
高一物理《圆周运动》知识点总结一、线速度1．定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt 内，通过的弧长为Δs ，则Δs 与Δt 的比值叫作线速度的大小，公式：v ＝Δs Δt. 2．意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢．3．方向：物体做圆周运动时该点的切线方向．4．匀速圆周运动(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动．(2)性质：匀速圆周运动的线速度方向是在时刻变化的，所以它是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变．二、角速度1．定义：连接物体与圆心的半径转过的角Δθ与所用时间Δt 之比叫作角速度，公式：ω＝ΔθΔt. 2．意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．3．单位：弧度每秒，符号是rad/s ，在运算中角速度的单位可以写为s －1.4．匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动．三、周期1．周期T ：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间．单位：秒(s)．2．转速n ：物体转动的圈数与所用时间之比．单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)．3．周期和转速的关系：T ＝1n(n 的单位为r/s 时)． 四、线速度与角速度的关系1．在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积．2．公式：v ＝ωr .五、向心力的大小向心力的大小可以表示为F n ＝mω2r 或F n ＝m v 2r . 六、匀速圆周运动的加速度大小1．向心加速度公式a n ＝v 2r或a n ＝ω2r . 2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．七、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示．(1)跟圆周相切的分力F t：改变线速度的大小．(2)指向圆心的分力F n：改变线速度的方向．2．一般的曲线运动的处理方法(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理．。
第六章：圆周运动章末复习知识点一：匀速圆周运动及其描述一、匀速圆周运动1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动．2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期1．线速度(1)定义式：v＝Δs Δt.如果Δt取的足够小，v就为瞬时线速度．此时Δs的方向就与半径垂直，即沿该点的切线方向．(2)线速度的方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向．(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．2．角速度：半径转过的角度Δφ与所用时间Δt的比值，即ω＝ΔφΔt(如图所示)．国际单位是弧度每秒，符号是rad/s.3．转速与周期(1)转速n：做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数，常用符号n表示．(2)周期T：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用符号T 表示．(3)转速与周期的关系：若转速的单位是转每秒(r/s)，则转速与周期的关系为T＝1n .4．匀速圆周运动的特点(1)线速度的大小处处相等．(2)由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度三、描述圆周运动的各物理量之间的关系1．线速度与周期的关系：v＝2πr T.2．角速度与周期的关系：ω＝2πT.3．线速度与角速度的关系：v＝ωr.知识点二、同轴转动和皮带传动1．同轴转动(1)角速度(周期)的关系：ωA＝ωB，T A＝T B.(2)线速度的关系：vAvB＝rR.2．皮带(齿轮)传动(1)线速度的关系：v A＝v B(2)角速度(周期)的关系：ωAωB＝rR、TATB＝Rr.知识点三、向心力1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力．2．大小：F＝mω2r＝m v2 r.3．方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻改变．4．效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．二：向心力的来源物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．几种常见的实例如下：实例向心力示意图用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力，F向＝F T物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝F f小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合知识点四：向心加速度的方向及意义1．物理意义描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．2．方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．3．圆周运动的性质不论向心加速度a n的大小是否变化，a n的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”．4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．二：向心加速度的公式和应用1．公式a n ＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.2．向心加速度的大小与半径的关系(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．(4)a n与r的关系图象：如图552所示．由a nr图象可以看出：a n与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．图552知识点五：生活在的圆周运动一：火车转弯问题1．轨道分析火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．图5732．向心力分析如图573所示，火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mg tan θ.3．规定速度分析若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则mg tan θ＝m v 2 0R，可得v0＝gR tan θ(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．4．轨道压力分析(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用．(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．②当火车行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力．二：拱形桥汽车过凸形桥(最高点)汽车过凹形桥(最低点) 受力分析牛顿第二定律求向心力 F n ＝mg －F N ＝m v 2rF n ＝F N －mg ＝m v 2r牛顿第三定律求压力F 压＝F N ＝mg －m v 2rF 压＝F N ＝mg ＋m v 2r讨论v 增大，F 压减小；当v 增大到rg 时，F 压＝0v 增大，F 压增大 超、失重汽车对桥面压力小于自身重力，汽车处于失重状态汽车对桥面压力大于自身重力，汽车处于超重状态知识点六：离心运动1．离心运动的实质离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．2．离心运动的条件做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．3．离心运动、近心运动的判断如图578所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F n 与所需向心力⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 2r 或mr ω2的大小关系决定．图578(1)若F n ＝mr ω2(或m v 2r)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．(2)若F n＞mrω2(或m v2r)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．(3)若F n＜mrω2(或m v2r)即“提供”不足，物体做离心运动．由以上关系进一步分析可知：原来做圆周运动的物体，若速率不变，所受向心力减少(或向心力不变，速率变大)物体将做离心运动；若速度大小不变，所受向心力增大(或向心力不变，速率减小)物体将做近心运动．知识点七.竖直平面的圆周运动１．“绳模型”如上图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
匀速圆周运动知识点总结：匀速圆周运动知识点一、基本概念：1.匀速圆周运动的定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的弧长相等，就称质点作匀速圆周运动。
2.匀速圆周运动的条件：a。
有一定的初速度b。
受到一个大小不变方向始终垂直于速度的力的作用（即向心力）3.匀速圆周运动的特点：速度大小不变，方向时刻改变。
4.描述匀速圆周运动的物理量：a。
线速度：大小不变，方向时刻改变，单位是m/s，是矢量。
b。
角速度：恒定不变，是矢量，单位是rad/s。
c。
周期：标量，单位是s。
d。
转速：①单位时间物体转过的圈数②标量，符号为n③单位：r/s或r/mine。
频率：①质点在单位时间内完成圆周运动的周数②标量，符号为f③单位：Hz5.注意：a。
匀速圆周运动是非匀变速曲线运动。
b。
“匀速”应理解为“匀速率”，不能理解为“匀速度”。
c。
合力不为零，不能称作平衡状态。
二、向心力：1.向心力的定义：做匀速圆周运动的物体所受到的合力指向圆心，叫向心力。
2.向心力的特点：指向圆心，大小不变，方向时刻改变，是变力。
3.向心力的作用：只改变速度大小，不改变方向。
4.注意：a。
向心力是一种效果力，它可以由重力、弹力、摩擦力等单独提供，也可以由它们的合力提供。
b。
“向心力”只是说明做圆周运动的物体需要一个指向圆心方向的力，而并非物体又受到一个“新的性质”的力。
即在受力分析时，向心力不能单独作为一种力。
c。
变速圆周运动的向心力不等于合力，合力也不一定指向圆心。
三、向心加速度：1.向心加速度的定义：由向心力产生的加速度。
2.向心加速度的特点：指向圆心，大小不变，方向时刻改变，是矢量。
3.提供的向心力：通过受力分析求出来的，沿半径方向指向圆心的力，匀速圆周运动中需提供。
4.需要的向心力：根据物体实际运动时的质量m、半径r、线速度v(或角速度w)求出的向心力F提=mrw2=mrv2/r。
四、离心现象：1.做圆周运动物体的运动特点：由于本身的惯性，做圆周运动的物体总有沿圆周切线飞出的倾向。
匀速圆周运动知识点解析1．匀速圆周运动的定义(1)轨迹是圆周的运动叫圆周运动。
(2)质点沿圆周运动，如果在相同时间里通过的弧长相等，这种运动叫匀速圆周运动。
(3)匀速圆周运动是最简单的圆周运动形式，也是最基本的曲线运动之一。
(4)匀速圆周运动是一种理想化的运动形式。
许多物体的运动接近这种运动，具有一定的实际意义。
一般圆周运动，也可以取一段较短的时间(或弧长)看成是匀速圆周运动。
2．周期(1)物体做匀速圆周运动时，运动一周所用的时间。
(2)周期用符号T表示，单位是秒。
(3)周期是反映重复性运动的运动快慢的物理量。
它从另一个角度描述了物体的运动。
3．线速度(1)物体做匀速圆周运动时，通过的弧长s跟通过这段弧长所用时间t的比值，叫运动物体线速度大小。
线速度的方向为圆周上某点的切线方向。
(2)线速度的计算公式：(3)线速度的意义：线速度实质上还是物体某一时刻的瞬时速度，虽然是用弧长和时间的比定义了速度大小，但当时间t趋于零时，弧长和为区别角速度而取名为线速度。
4．角速度转过这些角度所用时间t的比值，叫物体做匀速圆周运动的角速度。
(2)角速度计算公式：(3)角速度单位为：弧度/秒(rad/s)。
(4)角速度是矢量，方向为右手螺旋法则的大拇指的指向。
(5)角速度是描述转动快慢的物理量。
在描述转动效果时，它比用线速度描述更具有代表性。
5．向心加速度(1)匀速圆周运动的加速度方向匀速圆周运动的速度大小不变，速度的方向时刻在变，由于速度方向的变化，质点一定具有加速度，该加速度反映速度方向变化的快慢，该加速度的方向沿着半径指向圆心。
设质点沿半径是r的圆周做匀速圆周运动，在某时刻它处于A点，速度是vA，经过很短时间Δt后，运动到B点，速度为vB。
根据矢量合成的三角形法则可知，矢量vA与Δv之和等于vB，所以Δv是质点在A点时的加速度。
如图4-20。
时Δv便垂直于vA。
而vA是圆的切线，故Δv是指向圆心的。
即A点加速度指向圆心，所以匀速圆周运动的加速度又叫向心加速度。
(2)向心加速度的大小从图中看出，图乙中的矢量三角形跟图甲中的△OAB是相似形。
如果用v表示vA、vB大小，则或 a=ω2r(3)匀速圆周运动的向心加速度的大小不变，方向始终指向圆心，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动。
(4)上述加速度是匀速圆周运动情况下推导的，仍然适应于一般圆周运动，式中的v、ω必须用瞬时值。
6．向心力及实例分析(1)使物体产生向心加速度的力叫向心力。
①向心力的来源：向心力不是接力的性质命名的力，它是一种效果力。
当分析做圆周运动的物体受力时，只能分析接力的性质命名的力，决不能在分析场力、弹力、摩擦力的同时，再考虑向心力。
向心力是物体所受各个力的合力。
②向心力的作用效果：向心力产生向心加速度，即只能改变速度的方向，维持物体做匀速圆周运动。
③向心力大小的计算公式：由牛顿第二定律：(2)实例分析做圆周运动的物体，都需要向心力，向心力是物体所受各种力的合力。
例如，水平放在匀速转动的唱片上的物体，在随唱片一起转动时，做匀速圆周运动。
物体所受的向心力是物体和唱片之间的静摩擦力，如图4-21所示。
自行车在水平路面上转弯时，做圆周运动的向心力由重力及地面给自行车的作用力提供，或者说是地面给自行车的静摩擦力提供，如图4-22所示。
7．离心现象及应用(1)离心运动。
物体做圆周运动需要向心力。
质量为m的物体以角速度ω沿半径是r的圆周运动。
若向心力为mω2r，则物体维持圆周运动；若向心力小于mω2r，则不足以将物体拉到圆周上，物体离圆心越来越远；若向心力突然消失，则物体由于惯性沿切线方向飞出。
这种物体离圆心越来越远的现象叫离心现象。
做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者合外力不足以提供所需的向心力时将做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。
(2)离心现象的应用利用物体做圆周运动所需向心力不足时，做离心运动的现象，可以做成离心机械，如脱水器，分离器等。
【例1】机械手表中的分针与秒针可视为匀速转动，分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为A．1分钟 B．59/60分C．60/59分 D．61/60分【分析思路】解该题时，不少同学简单认为只要秒针转一圈，则分针与秒针就第二次重合，而忽视了在这段时间分针也要转过一个角度。
考虑到分针和秒针的同时运动，当第二次重合时，它们转过的角度应相差2 kπ。
【解题方法】由公式φ=ωt求出时间t内分针和秒针转过的角度，令两角度之差为2π，求解时间t。
【解题】由于秒针每转一周所用时间为1分钟；分针转一周所用时间为60分钟。
所以角速度分别为：设经过时间t两针再次重合，则ω1t-ω2t＝2π选答案C。
【例2】在水平放置的可旋转的平台上面放一劲度系数为k，质量可忽略不计的轻弹簧。
它的一端固定在轴上，另一端拴一质量为m的小物体A，这时弹簧没有形变，长为L0，如图所示。
A与盘面间的动摩擦因数为μ，且设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
盘由静止起转动，角速度逐渐增大。
(1)当盘以某角速度ω0旋转时，A相对盘面滑动，求ω0。
(2)当角速度为ω1时，求A随盘作圆周运动的最大半径l1。
(3)当角速度由ω1减小时，物体能在半径为L1的原轨道上作圆周运动，求这时角速度ω2。
【分析思路】如图所示。
物体A随盘一起转动做圆周运动时，向心力由弹簧和静摩擦力提供。
静摩擦力的大小随着外界条件的变化而发生变化，方向随着运动趋势的不同而不同。
当ω较小时仅静摩擦力足以提供向心力；随着ω增大，向心力不足，则物体做离心运动，弹簧伸长，产生弹力，合力提供向心力；当ω再次减小时，首先由静摩擦力减少，当静摩擦方向改变时，弹力才能再次发生变化。
【解题方法】对作匀速圆周运动的物体A按照不同情况，分析它所受的提供向心力的弹力和静摩擦力的大小和方向。
根据牛顿第二定律列出物体做圆周运动对应的方程。
【解题】(1)当盘以ω0旋转时，A则要滑动，弹簧没有发生形变，向心力由静摩擦力提供，在A相对盘面将滑动时为最大静摩擦力fmax。
在r＝L0处，A与盘相对静止，随盘一起转动的角速度范围为0＜(2)当ω＞ω0时，A作圆周运动的向心力增加，仅最大静摩擦力已不够，A沿半径向外滑动，使弹簧伸长而产生弹力，弹力随半径的增大而增大。
到ω＝ω1时，A增大到最大半径L1随盘一起转动。
由牛顿第二定律可列出：(3)在半径为L1，角速度减小时，静摩擦力由最大值减为一般值。
到ω=ω′时，f=0，仅弹力提供向心力。
由牛顿第二定律：k(L1-L0)=mω′2L1当角速度再继续减小时，弹力提供向心力已超过向心力，A有向圆心滑动的趋势，因而造成静摩擦力的方向变成沿半径向外。
当ω减小到最小时，静摩擦力又达到最大值。
记这时的ω=ω″。
由牛顿第二定律：k(L1-L0)-μmg＝mω″2L1把已求出的L1代入上式得：本题所求ω″＜ω2＜ω′。
【例3】质量为m的小球，系在细棍的一端，手握细棍的另一端使小球在竖直平面内作匀速圆周运动，如图4-25所示。
圆半径30厘米，线速度为2.1米/秒，比较小球通过最高点和最低点时细棍对球的拉力。
(不计细棍质量)【分析思路】由于杆作用于球上，所以球可以匀速转动，分析清球在最高点及最低点受力，应用向心力公式即可求解。
应当泣意杆能提供各种方向的力。
【解题方法】对球在最高点和最低点受力进行分析，假定杆给球的力的方向，按指向圆心方向为正，列牛顿第二定律方程求解。
【解题】小球经过最高点A时，向心加速度向下，所以棍对小球的拉力T A和小球受的重力mg的合力方向向下，有：T A+mg=mv2/R小球经最低点B时，向心加速度的方向向上，所以棍对小球的拉力TB和小球受的重力的合力方向向上。
由牛顿第二定律T B-mg＝mv2/R则T A/T B=4.9m/24.5m＝1/5下面对进行讨论：当小球运动的线速度增大时，由(1)(2)二式可知，TB、TA都要增大。
在最低点B，当小球线速度减小时，由①式知TB减小，当v接近于零时，棍在B点对小球的拉力接近于小球的重力。
在最高点A点，当v减小时，力提供向心力)，若小球运动的线速度继续减小，由(2)式知TA为负值，这时棍给小球的力是向上的支持力。
当v 减小到零时TA=-mg，即对细棍上的物体在竖直面内做圆运动，运动的速率是没有要求的，可人为控制。
而若用绳子代替细棍，绳对小球只能提供拉力，在小球运动到最高点时不可能给小球向上的力。
这就是说用绳子维持小球做圆周运动，经过最内除最高点和最低点合力方向沿绳指向圆心外，其余位置合力方向不是沿绳即沿半径指向圆心，如图4-26所示，合力的作用效果即改变速度的方向，又改变速度的大小，所以绳子维持小球在竖直平面内做圆周运动一定是变速圆周运动。
【例4】一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线间的夹角为θ=30°，如图4-2 7所示，一条长度为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可视为质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平面内的匀【分析思路】物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G、拉力T、支持力N提供向心力，当角速度ω很小时，物体在圆锥体上运动。
当ω增大，T、N都发生变化，且T增大，N减少，当ω大到一定值时，物体将离开锥面做圆锥摆运动。
显然当N=0时的线速度值为物体的临界速度。
通过比较已知速度与临界速度的关系讨论出物体所处的状态，由物体的受力列出相应的牛顿方程求解。
【解题方法】由物体的受力分析，令N＝0求出物体的临界速度，比较临界速度与v1、v2的关系，分清物体在不同情况下的受力，然后应用牛顿定律求解。
【解题】如图所示，设物体在圆锥体上做匀速圆周运动，物体受绳对它的拉力T，重力为G，锥面的支持力N。
因为物体做匀速圆周运动，所以三个力的合力必沿半径指向圆心，是物体做圆运动的向心力。
将三为沿水平方向与竖直方向分解，据牛顿第二定律：由①式知，当v增大时，所需的向心力∑Fx要增大，式中θ，m，r一定，只能使T增大，因同时要保证②式成立，N将减小，当v增大到某一值时，N减小为0，当v继续增大时，物体将离开锥面，θ，r都变大，此时物体做圆锥摆运动。
先求物体能在圆锥体上做水平匀速圆周运动的最大速度vm，此时由①②两式得：(1)因v1＜v m，物体在圆锥体上做圆运动满足方程联立③④得：(2)因v2＞vm，此时物体离开了圆锥体，摆线与轴线的夹角α＞30°，N=0。
受力分析如图4-29所示，满足下列方程：将⑥式代入得T＝2mg【说明】此题第二问中学生最易出现的错误是角度仍然使用θ，或半径记为R＝L·sinθ。
这点要引起注意。
【例5】一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动，杆最初处于水平位置，杆上距O为a处放有小物体(可视为质点)，杆与其上小物体最初均处于静止状态，如图4-30所示，若此杆突然以角速度ω绕O轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰？【分析思路】物体相遇的条件是在相同的时间内物体的路程或位移相等。
