大学物理讲稿(第15章量子力学基础)

§15.6 氢原子一、氢原子问题的量子力学处理氢原子是只有一个电子在原子核库仑场中运动的最简单的原子,下面我们简要说明处理氢原子问题的思路和主要结果.在氢原子中,电子处于核的库仑场中,其势能为re r V 024πε-=)(ϖ (15.59) 它与时间无关,属定态问题,将势能函数代入定态薛定谔方程式(15.46)并采用球坐标系得04211r 1022222222=ψπε++φ∂ψ∂⋅θ+θ∂ψ∂θθ∂∂⋅θ+∂ψ∂∂∂)(sin )(sin sin )(r e E m r r r r r e η (15.60)这个偏微分方程需采用分离变量法求解.令)()()(),,(φΦθΘ=φθψr R r (15.61)将式(15.61)代入式(15.60)经整理得如下三个常微分方程0222=Φ+φΦm d d φ-=φΦ−→−im Ae )(解 (15.62) 式中A 是常数,可通过波函数的归一化来确定.根据波函数的单值性(即周期性边界条件)要求m 只能取整数0，±1，±2，….称m 为氢原子的磁量子数.0122=Θθ-λ+θΘθθ⋅θ]sin [)(sin sin m d d d d (15.63) 024*********=λ-πε++R r m r e E m dr dR r dr d r e e ][)(ηη(15.64) 式中λ是分离变量常数.极角波函数)(θΘ的具体形式应由方程(15.63)求出,为确保其有限性,要求方程中的常数λ必须满足),,,()(Λ2101=+=λl l l (15.66) l m l m ±±±=≤,,,,,Λ210即并且 (15.67)在这些条件限制下,方程(15.63)的解)(θΘ是一个被称为蒂合勒让德函数的特殊函数,表示为)(cos )(θ=θΘml P .径向函数应由方程式(15.64)求出.在方程式(15.64)中代入)(1+=λl l ,然后经化简、整理并进行求解.另外,根据波函数的有限性和物理上所允许的束缚态要求(因为电子是被束缚在原子核提供的有心力场中),必有),,,(Λη3214202==πεn n e E m e (15.68) 2202442ne m E e n )(πε-=⇒η (15.69) 这就是氢原子的能级公式,与玻尔氢原子理论中的能级公式完全一致.在玻尔理论中,此结果是由人为的引入了量子化条件所得,但在量子力学中,则是在求解薛定谔方程的过程中为使波函数满足物理条件而自然得到的.在满足上述条件下,解得径向波函数为)(,,,,,,,,),,()()(/121032122212-==+-+=-n l n na r l n l F na r e N r R l na r nl nl ΛΛ(15.70) 其中N nl 是归一化常数, ),,(nar l n l F 2221+-+是一个特殊函数,称为l+1-n 阶合流超几何多项式,a 的值为 2204e m a e ηπε= (15.71) 与式(15.22)比较可见,a 就是玻尔半径a 0.前三个径向波函数分别为a r e ar //)()(-=231012R a r e a r ar 223212131R //)()()(-= a r e a r a r 223212131R //)()()(-=如果将)(θΘ和)(φΦ合在一起,并正交归一化,用),(φθY 表示,其具体形式为φθ+-⋅π+-=φΦθΘ=φθim m l m lm e P l l l Y )(cos )!()!()()()()(),(114121 (15.72) 这个函数称为球谐函数.进而氢原子的波函数可表为),()(),,(φθ=φθψlm nl Y r R r (15.73)这波函数就完全确定了氢原子的量子态.可以看出,一组(n, l, m )值就对应于一个确定的量子态,这一组数就是确定氢原子状态的一组量子数.电子在原子核周围的几率密度分布可通过2),,(),(φθψ=r t r P ϖ求得.结果表明,几率密度极大值出现的地方与玻尔轨道间存在着对应关系,即在相当于玻尔圆轨道的地方,电子出现的几率最大.正是在这样一种意义上,有时仍然保留"轨道"这一名词.除了有式(15.69)所表示的能量的本征值外,还可以求出角动量平方和角动量z 分量的可能值(本征值)),()(),(ˆφθ+=φθlmlm Y l l Y L 221η (15.74) ),(),(ˆφθ=φθlmlm z Y m Y L η (15.75) 可见,在氢原子中,电子的能量、角动量平方和角动量z 分量都是量子化的,其可能值(本征值)分别为Λη,,,,)(3214222024=πε-=n ne m E e n (15.69) η)(1+=l l L (15.77)ηm L z = (15.78)根据确定氢原子状态的这一组量子数(n, l, m )与以上各本征值的关系,称n 为主量子数,l 为角量子数或轨道量子数,m 为磁量子数.当n 取定时,l 可取如下数值 )(,,,,1210-=n l Λ (15.79)共有n 个可能的取值.当l 取定时,m 可取如下数值l m ±±±=,,,,Λ210 (15.80)共有2l +1个可能的取值.这表明,在角动量确定时,角动量z 分量可取2l +1个值.这一结论称为角动量的空间量子化.l =2时,角动量的可能取向如图15.12所示.这一切量子化的结果,都是依据波函数要满足的标准条件和一定的物理条件而自然得到的.它们可以说明氢原子光谱等许多现象.二、电子的自旋1斯特恩-盖拉赫实验早在量子力学建立之前,索末菲就提出了角动量的空间量子化.为了从实验上进行验证,1921年斯特恩(O.Stern,1888-1969)和盖拉赫(W.Gerlach,1889-1979)采用了图15.13所示的装置,让处于基态的银原子束(由加热银原子源获得)通过空间在z 方向存在梯度的不均匀磁场,射在照相底板上.实验发现,一束射线被分裂为两束,在照相底板上留下了两条对称分布的原子沉积.这一现象证实了原子具有磁矩,且磁矩在外磁场中只有两种可能取向,即空间取向是量子化的.因为具有磁矩的原子在图示的不均匀磁场中除受到磁力矩的作用发生旋进外,还受到与前进方向垂直的磁力作用,这将使原子束偏转.磁矩在外磁场方向投影为正的原子移向磁场较强的方向,反之则移向磁场较弱的方向.因为如果原子虽有磁矩但其取向并非量子化的,则底片上原子沉积应是连续的,而不是分立的.2电子自旋上述原子磁矩显然不是电子轨道运动的磁矩,因为当角量子数为l 时,轨道角动量和磁矩在外磁场方向的投影L z 和μz =-(e/2m) L z 有2l +1个不同值,底片上的原子沉积应为2l +1条,即为奇数条,而不可能只有两条.为了说明上述实验结果,1925年,乌伦贝克(G.Uhlenbeck,1900-1974)和高德斯密特(S.Goudsmit,1902-1979)提出了电子具有自旋运动的假设,并且根据实验结果指出,电子自旋角动量和自旋磁矩在外磁场中只有两种可能取向.上述实验中银原子处于基态,且l =0,即处于轨道角动量和磁矩皆为零的状态,因而只有自旋角动量和自旋磁矩.完全类似于电子轨道运动情况,假设电子自旋角动量的大小S 和它在外磁场X P方向的投影可以用自旋量子数s 和自旋磁量子数s m 表示为ηηs z m S s s S =+=,)(1 (15.81)且当s 一定时,可取(2s+1)个值.又由上述实验知, s m 只有两个值,即2s+1=2,由此得 2121/,/±==s m s (15.83)引入电子自旋概念后,就可以解释斯特恩和盖拉赫实验及碱金属原子光谱的双线结构(如纳黄光的589.0nm 和589.6nm)等现象.值得指出,自旋是微观粒子的一种内禀属性,它并不与粒子的自转相对应.理论和实验研究表明,一切微观粒子都具有各自特有的自旋.作业(P225)：36。

大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。

本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。

2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。

解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。

2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。

通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。

3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。

通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。

3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。

这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。

4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。

它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。

4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。

这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。

5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。

它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。

5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。

6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。

介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。

6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。

结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。

§15.5 量子力学的基本概念和基本原理描述微观粒子运动的系统理论是量子力学,它是薛定谔、海森伯等人在1925～1926年期间初步建立起来的.本节介绍量子力学的基本概念和基本方程.一、波函数极其统计解释在经典力学中我们已经知道,一个被看作为质点的宏观物体的运动状态,是用它的位置矢量和动量来描述的.但是,对于微观粒子,由于它具有波动性,根据不确定关系,其位置和动量是不同时具有确定值的,所以我们就不可能仍然用位置、动量及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态.微观粒子的运动状态称为量子态,是用波函数来描述的,这个波函数所反映的微观粒子的波动性,就是德布罗意波.这是量子力学的一个基本假设.例如一个沿X 轴正方向运动的不受外力作用的自由粒子,由于能量E 和动量p都是恒量,由德布罗意关系式可知,其物质波的频率ν和波长λ也都不随时间变化,因此自由粒子的德布罗意波是一个单色平面波.对机械波和电磁波来说,一个单色平面波的波函数可用复数形式表示为)(2）x/λνt πi Ae t y(x,--=但实质是其实部.类似地,在量子力学中,自由粒子的德布罗意波的波函数可表示为η)/(0）(Px Et i e t x,--ψ=ψ式中0ψ是一个待定常数, η/0iPx e ψ相当于x 处波函数的复振幅,而ηiEt/e -则反映波函数随时间的变化.对于在各种外力场中运动的粒子,它们的波函数要随着外场的变化而变化.力场中粒子的波函数可通过下面要讲的薛定谔方程来求解.经典力学中的波函数总代表某一个物理量在空间的波动,然而量子力学中的波函数又代表着什么呢？对此,历史上提出了各种不同的看法,但都未能完善的解释微观粒子的波—粒二象性,直到1926年玻恩(M.Born,1882—1970)提出波函数的统计解释才完善的解释了微观粒子的波—粒二象性.玻恩认为：实物粒子的德布罗意波是一种几率波；t 时刻,粒子在空间 r 附近的体积元dV 中出现的几率dW与该处波函数的模方成正比,即V t r,Ψt r,ΨV t r,ΨW *d d d 2)()()(== (15.35)由式(15.35)可知,波函数的模方2)(t r,Ψ代表t 时刻粒子在空间r 处的单位体积中出现的几率,称为几率密度.这就是波函数的物理意义,波函数本身没有直接的物理意义.波函数的这种统计解释将量子概念下的波和粒子统一起来了.其量子概念中的粒子性表现为它们具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性,同时某时刻,一个粒子总是作为整体出现在某处的,但粒子的运动不具有确定的轨道；量子概念中的波动性是指用波函数的模方表示在空间某处出现的几率密度,而波函数并不代表某个实在的物理量在空间的波动.由于用波函数的模方表示粒子在空间出现的几率密度分布,所以波函数允许包含一个任意常数因子,如)(t r,ΨA 和)(t r,Ψ表示相对几率密度相同的同一个量子态.既然波函数与粒子在空间出现的几率相联系,所以波函数必定是单值的、连续的和有限的.这是波函数的标准条件.又因为粒子必定要在空间中的某一点出现,因此粒子在空间各点出现的几率的总和应等于1,即应有1d 2=⎰⎰⎰V t r,Ψ)( (15.36)此式称为波函数的归一化条件,其中积分区域遍及粒子可能达到的所有空间.在经典力学中,曾经讨论过波动遵从的叠加原理,即各列波共同在某质点引起的振动,是各列波单独在该质点所引起的振动的合成.在量子力学中也有一个类似的原理,这个原理称为态叠加原理,是量子力学原理的又一个基本假设,适用于一切微观粒子的量子态.态叠加原理可以表述为：如果波函数, )(t r,Ψ1 ,)(t r,Ψ2，… ,都是描述系统的可能的量子态,那么它们的线性叠加Λϖϖϖ+ψ+ψ=ψ),(),(),(t r c t r c t r 2211 (15.37)也是这个系统的一个可能的量子态.式中c 1，c 2是任意的复数.二、薛定谔方程1薛定谔方程和算符薛定谔建立了适用于低速情况下的、描述微观粒子在力场中运动的波函数)(t r,Ψ所满足的微分方程,也就是物质波波函数所满足的方程,称为薛定谔方程.质量为m 的粒子在外力场中运动时,一般情况下,其势能V 可能是空间坐标和时间的函数,即),(t r V V ϖ=,而薛定谔方程为tt r i t r H ∂ψ∂=ψ),(),(ˆϖηϖ (15.38)式中 )],()([ˆt r V zy x m H ϖη+∂∂+∂∂+∂∂-=22222222 (15.39) 称为哈密顿算符.在量子力学中,一切力学量都要用算符来表示,这是量子力学的一个基本假设.算符代表对波函数的某种运算(即操作),如微分运算( d/dt)称为微分算符.一般情况下,一算符对某一量子态波函数的运算结果将得到另一个量子态波函数.若一算符作用在某波函数Ψ上的效果和Ψ与某一常数的乘积相当,即ψ=ψF Fˆ (15.40) 则F 称为Fˆ的本征值,Ψ称为算符F ˆ对应于本征值F 的本征函数,它所描述的状态称为F 的本征态,而上式称为本征值方程.对自由粒子波函数Ψ,由于r ˆϖΨ=r ϖΨ,所以坐标算符r r ϖϖ=ˆ (15.41)而 ψ=ψ∇-P i η ,所以动量算符为∇-=ηi Pˆ (15.42) 一般地说,在量子力学中,某力学量若在经典力学中有相应的力学量 ,则只需将力学量F(r ,P )中的r , P 换成其算符就得到该力学量的算符 ,即),(),(ˆ∇-=ηϖϖϖi r F P r F (15.43)在经典力学中,哈密顿量V mP H +=22,所以有式(15.39)所表示的哈密顿算符.在哈密顿算符中,前项是动能算符,后项是势能算符.薛定谔方程式(15.38)是一个关于r 和t 的线性偏微分方程,具有波动方程的形式.可以证明,自由粒子的波函数满足上述方程.它实际上是量子力学的一个基本假设,而不是由更基本的原理经过逻辑推理得到的.但将这个方程应用于分子、原子等微观体系所得到的大量结果和实验符合,这就说明了它的正确性.薛定谔因在创立量子理论方面的贡献而荣获1933年诺贝尔物理学奖.2 定态薛定谔方程在一般情况下,势能函数是空间和时间的函数,但在有些情况下,势能函数只与空间坐标有关,即V=V(r).在这种情况下,波函数可表示为)()(),(r t f t r ϖϖψ=ψ (15.44)将其代入薛定谔方程式 (15.38)可得如下两常微分方程ηη/)(iEt Ce t f Ef dtdf i -=−−→−=解得 (15.45) )()(ˆr E r Hϖϖψ=ψ (15.46) 其中C 为常数.这时波函数为ηϖϖ/)(),(iEt r t r -ψ=ψe (15.48)这种状态下,粒子的能量具有确定的值,把具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态,这样的波函数称为定态波函数.显然定态下,几率密度分布22)()(),(r t ,r Ψt r ϖϖϖψ==ρ与时间无关,这是定态的一个重要特征.从这个意义上讲,可将Ψ(r )直接称为定态波函数或波函数.定态波函数Ψ(r )所满足的方程式 (15.46)称为定态薛定谔方程(或不含时薛定谔方程).在本课程中我们只处理定态问题.在关于微观粒子的各种定态问题中,把势能函数V(r)的具体形式))(,)((2202214x m r V r e r V ω=πε=对一维线性谐振子如对氢原子中的电子代入定态薛定谔方程(15.46)中即可求得定态波函数,同时也就确定了几率密度的分布以及能量和角动量等.我们将看到,如果粒子处于束缚态,即只能在有限区域中运动时,由于波函数必须满足单值、有限、连续的条件,解出微观粒子的能量、角动量等必定不连续,即它们是量子化的.三、一维无限深势阱作为量子力学一些概念和原理的具体应用,我们本节介绍最简单的一种情形——一维无限深势阱.在金属中自由电子、原子核中的质子等,它们的运动都被限制在一个很小的空间内,作为近似和简化,我们抽象出一维无限深势阱模型.它是解释金属物理性质等的基础.通过对这一模型的量子力学处理的学习,可以大致了解量子力学的基本概念和基本原理.一维无限深势阱的势能函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤∞<<=),()()(a x x a x r V 000 (15.49) 其曲线形如深井,如图15.10所示,故称为一维无限深势阱.因为势能V (x )与时间无关,所以属定态问题.在势阱内V (x ) =0,其定态薛定谔方程可写作02222=ψ+ψηmE dx d (15.50) 其中m 是势阱中粒子的质量,令ηmE k 2= 方程(15.50)变为0222=ψ+ψk dxd (15.52) 其通解为kx B kx A x cos sin )(+=ψ (15.53)式中A 和B 是积分常数,应通过边界条件和归一化条件确定.由于是无限深势阱,粒子不能穿越阱壁而到达阱外去,它只能限制在阱内的平底深谷中运动.所以在阱壁和阱外波函数应为零.据波函数的连续条件应有000=ψ==ψ)()(a ,将代入通解(15.53)式得00000=⇒=ψ=⇒=ψka A a B sin )(,)(此时不能取A=0 ,否则只能得到零解,那么只有),,,(sin Λ3210=π=⇒=n n ka ka (15.54)由式(15.51)和式(15.54)得粒子的能量为),,,(Ληη32122222222=π==n ma n m k E n (15.55) 由此可见,一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的,n 称为量子数.当n=1时,粒子处于能量最低的基态,基态能量为022221≠π=maE η (15.56) 这一能量也称为零点能,零点能01≠E 表明束缚在势阱中的粒子不会静止,这也是不确定关系所要求的,因为x ∆有限, x P ∆不能为零,从而粒子动能也不可能为零.相应于量子数为n 的定态波函数为);,,,(sin )(a x n x an A x <<=π=ψ0321n n Λ (15.57)而归一化波函数为);,,,(sin )(a x n x an x <<=π=ψ0321a 2n Λ (15.58) 如图15.11所示画出了对应于能量本征值4321E E E E 和、、的波函数以及相应的几率密度.由图15.11(a)可以看出,波函数在阱内区域的分布与在弦线上形成的驻波情形很相似,这一结论与德布罗意关于粒子定态对应于驻波的概念是一致的.对基态波函数,整个阱区相当于半波长的驻波.显然,随着量子数n 的增大,波长在缩短,频率在增加,所以相应状态的能量在提高.图15.11(b)画出了对应于四个能级的粒子几率密度分布.可以看出,在不同的能级上粒子出现的几率密度是不同的.随着量子数n 的增大,几率密度起伏的越来越频繁.这与经典中粒子在阱内出现的几率相等的结论不一致,只有当量子数n 很大时,粒子在阱区内各处的几率才趋于均匀.例题15.4 一有限方势垒的势能函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<=),()()(a x x a x U r V 0000 试讨论粒子能量E<U 0情况下通过方势垒的透射问题.解：为方便,令 ηη)(,E U m k mE k -==02122 则在不同区域中,定态薛定谔方程分别为)(),(a x k dx d a x x k dxd <<=ψ+ψ≥≤=ψ+ψ000022222122解上述方程,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<<+<+=ψ---)(')(')(')(a x e C Ce a x e B Be x e A Ae x x ik x ik x k x k x ik x ik 11221100假定粒子由左方( x < 0)入射,由于势垒的存在,因而在x < 0的区域内,既有入射波,又有反射波；在x > a 的区域内,由于无势场作用,因而只有透射波 ,而无反射波,所以C' = 0 .容易理解,入射的粒子数与入射粒子的几率密度成正比,透射的粒子数与透射粒子的几率密度成正比.由波函数及其导数在x = 0和x= a 处连续的条件,可得四个方程,将它们联立求解则可求得透射系数.22212222212221224k k a k sh k k k k A C D ++===)(入射的粒子数透射的粒子数 2e :222/)(a k a k e a shk -+=其中按经典力学的观点,若E<U 0,则粒子不能穿透势垒,将全部被反弹(散射)回去.上述计算表明,在一般情况下,透射系数0D ≠ ,这说明粒子能够穿过比其能量更高的势垒,这种现象称为势垒贯穿,也叫隧道效应.它是一种量子效应,类似于光波在非均匀介质中的传播情况.我们知道,光波入射到不同介质界面时,既有反射的可能,也有折射透过第二种介质的可能.所以隧道效应被认为是微观粒子波动性的表现.作业(P225)：32、34。

§15.2 光电效应与爱因斯坦的光量子假设 普朗克的量子假设提出后的最初几年中,并未受到人们的重视,甚至普朗克本人也总是试图回到经典物理的轨道上去.最早认识普朗克假设重要意义的是爱因斯坦,他在1905年发展了普朗克的思想,提出了光子假设,成功的解释了光电效应的实验规律.一、光电效应的实验规律金属在光的照射下,有电子从表面逸出,这种现象称为光电效应.光电效应中逸出金属表面的电子称为光电子.光电子在电场的作用下所形成的电流叫光电流.研究光电效应的实验装置如图15.3所示.在一个抽空的玻璃泡内装有金属电极K(阴极)和A(阳极),当用适当频率的光从石英窗口射入照在阴极K 上时,便有光电子自其表面逸出,经电场加速后为阳极A 所吸收,形成光电流.改变电位差U AK ,测得光电流 i ,可得光电效应的伏安特性曲线,如图15.4所示.实验研究表明,光电效应有如下规律：1）阴极K 在单位时间内所发射的光电子数与照射光的强度成正比.从图15.4可以看出,光电流i 开始时随 增大而增大,而后就趋于一个饱和值 ,它与单位时间内从阴极K 发射的光子数成正比.所以单位时间内从阴极K 发射的光电子数与照射光强成正比.2）存在截止频率.实验表明,对一定的金属阴极,当照射光频率小于某个最小值i s 时,不管光强多大,都没有光电子逸出,这个最小频率v 0称为该种金属的光电效应截止频率,也叫红限,对应的波长0λ称为截止波长.每一种金属都有自己的红限.3）光电子的初动能与照射光的强度无关,而与其频率成线性关系. 在保持光照射不变的情况下,改变电位差U AK ,发现当U AK =0时,仍有光电流.这显然是因为光电子逸出时就具有一定的初动能.改变电位差极性,使U AK <0 ,当反向电位差增大到一定值时,光电流才降为零,如图15.4所示.此时反向电位差的绝对值称为遏止电压,用U a 表示.不难看出,遏止电压与光电子的初动能间有如下关系 a eU m =υ2021 (15.7) 式中m 和e 分别是电子的静质量和电量, 0υ是光电子逸出金属表面的最大速率. 实验还表明,遏止电压U a 与光强I 无关,而与照射光的频率v 成线性关系,即 0V K U a -ν= (15.8)式中K 和V 0都是正值,其中K 为普适恒量,对一切金属材料都是相同的,而V 0=Kv 0对同一种金属为一恒量,但对于不同的金属具有不同的数值.将式(15.8)代入式(15.7)得)(002021ν-ν=-ν=υeK eV eK m (15.9) 上式表明,光电子的初动能与入射光的频率成线性关系,与入射光强无关.4）光电子是即时发射的,滞后时间不超过10-9s.实验表明,只要入射光的频率大于该金属的红限,当光照射这种金属表面时,几乎立即产生光电子,而无论光强多大.二、爱因斯坦光子假设和光电效应方程对于上述实验事实,经典物理学理论无法解释.按照光的波动理论,光波的能量由光强决定,在光照射下,束缚在金属内的“自由电子”将从入射光波中吸收能量而逸出表面,因而逸出光电子的初动能应由光强决定,但光电效应中光电子的初动能与光强无关；另外,如果光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量,光电效应对各种频率的光都能发生,不应该存在红限,而且,光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程,光强越弱,发射光子所需要的时间就越长,这都与光电效应的实验事实相矛盾.由此可见,光的波动理论无法解释光电效应的实验规律.为了克服光的波动理论所遇到的困难,从理论上解释光电效应,爱因斯坦发展了普朗克能量子的假设,于1905年提出了如下的光子假设：一束光就是一束以光速运动的粒子流,这些粒子称为光量子（简称光子）；频率为v 的光子所具有的能量为hv ,它不能再分割,而只能整个的被吸收或产生出来.按照光子理论,当频率为v 的光照射金属表面时,金属中的电子将吸收光子,获得 的能量,此能量的一部分用于电子逸出金属表面所需要的功(此功称为逸出功A)；另一部分则转变为逸出电子的初动能.据能量守恒定律有(15.10) 这就是爱因斯坦的光电效应方程.)(002021ν-ν=-ν=υ↓eK eV eK m 比较 00eK νeV A eK,h === (15.11)由实验可测量K 和V 0,算出普朗克常数h 和逸出功A,进而还可求出金属的红限v 0.按照光子理论,照射光的光强就是单位时间到达被照物单位垂直表面积的能量,它是由单位时间到达单位垂直面积的光子数N 决定的.因此光强越大,光子数越多,逸出的光电子数就越多.所以饱和光电流与光强成正比；由于每一个电子从光波中得到的能量只与单个光子的能量hv 有关,所以光电子的初动能与入射光的频率成线性关系,与光强无关.当光子的能量hv 小于逸出功A,即入射光的频率v 小于红限v 0时,电子就不能从金属表面逸出；另外,光子与电子作用时,光子一次性将能量 全部传给电子,因而不需要时间积累,即光电效应是瞬时的.这样光子理论便成功地解释了光电效应的实验规律,爱因斯坦也因此获得1921年的诺贝尔物理学奖.例题15.1 用波长为400nm 的紫光去照射某种金属,观察到光电效应,同时测得遏止电压为1.24V,试求该金属的红限和逸出功.解：由光电效应方程得逸出功为1.87eV J 102.9919=⨯=-=-=-020eU λc h m υ21h νA 根据红限与逸出功的关系,得红限为Hz 1051410626610992143419⨯=⨯⨯==--...h A ν0 三、光（电磁波）的波粒二象性一个理论若被实验证实,它必定具有一定的正确性.光子论被黑体辐射、光电效应以及其他实验所证实,说明它具有一定的正确性.而早已被大量实验证实了的光的波动论以及其他经典物理理论的正确性,也是无可非议的.因此,在对光的本性的解释上,不应该在光子论和波动论之间进行取舍,而应该把它们同样地看作是光的本性的不同侧面的描述.这就是说,光具有波和粒子这两方面的特性,这称为光的波粒二象性.既是粒子,也是波,这在人们的经典观念中是很难接受的.实际上,光已不是经典意义下的波,也不是经典意义下的粒子,而是波和粒子的统一.光是由具有一定能量、动量和质量的粒子组成的,在它们运动的过程中,在空间某处发现它们的几率却遵从波动的规律.描述光的粒子特征的能量与描述其波动特征的频率之间的关系为(15.12)由狭义相对论能量—动量关系并考虑光子的静质量为零得光子动量与波长的关系为====Ph Pc/h c E/h c νc λ (15.13) 它们通过普朗克常数紧密联系起来.通过质能关系还可得光子的质量为 c P c h c E m 22=ν==作业(P224)：26。

大学物理说课稿量子力学基础实验大学物理说课稿：量子力学基础实验引言：大学物理课程是培养学生科学素养和掌握基本物理知识的重要门课之一。

在量子力学领域，基础实验是学生探索和理解量子力学的关键。

本篇说课稿将介绍一套适用于大学物理教学的量子力学基础实验方案，旨在帮助学生理解和应用量子力学的基本原理和实验技术。

一、实验一：双缝干涉实验双缝干涉实验是量子力学实验中最经典的实验之一。

通过该实验，学生可以直观地观察到波粒二象性现象，并理解波的干涉与粒子的统计性质之间的关系。

实验原理：实验通过在平行的两个狭缝上照射单一频率的光源，使光通过狭缝后形成两束相干的光波。

当光波通过双缝后重叠，形成明暗相间的干涉条纹。

通过测量干涉条纹的位置和间距，可以计算出波长和间距之间的关系。

实验步骤：1. 准备实验装置，包括光源、双缝装置、光屏等。

2. 调整实验装置，使得光源照射到双缝上，并将光屏放置在合适的位置。

3. 观察干涉条纹的形成，记录条纹的位置和间距。

4. 根据记录的数据，计算波长和双缝间距之间的关系。

实验要点：1. 保持实验装置的稳定，避免光源的晃动和环境干扰。

2. 观察干涉条纹时要注意调整光屏的位置和角度，确保观察到清晰的条纹图案。

3. 记录数据时要准确测量条纹的位置和间距，确保实验结果的准确性。

二、实验二：量子隧穿效应实验量子隧穿效应是量子力学中的基本现象之一。

通过该实验，学生可以观察到粒子在经典物理中无法解释的隧穿现象，进一步理解量子力学的特殊性质。

实验原理：实验使用一块非导电材料的薄膜，将两个金属板分别放置在薄膜的两侧。

当给金属板加上一定电压时，电子将从一个金属板通过薄膜隧穿到另一个金属板上。

实验步骤：1. 准备实验装置，包括薄膜、金属板、电压源等。

2. 调整实验装置，使得金属板与薄膜之间形成适当的距离。

3. 施加电压，记录电流的变化。

4. 根据记录的数据，分析电流与电压之间的关系。

实验要点：1. 实验装置要保持良好的绝缘状态，避免电流泄露和其他非隧穿效应的干扰。