平行四边形的判定

平行四边形的判定知识点小结一、平行四边形的判定方法。

1. 定义判定。

- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

- 用符号语言表示：如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。

这是平行四边形最基本的判定方法，它是从平行四边形的定义直接得出的。

2. 边的判定。

- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若AB = CD，AD = BC，则四边形ABCD是平行四边形。

- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若AB∥CD且AB = CD（或者AD∥BC且AD = BC），则四边形ABCD 是平行四边形。

3. 角的判定。

- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若∠A = ∠C，∠B = ∠D，则四边形ABCD是平行四边形。

4. 对角线的判定。

- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若OA = OC，OB = OD（其中O为对角线AC、BD的交点），则四边形ABCD是平行四边形。

二、平行四边形判定方法的证明思路。

1. 定义法证明。

- 一般通过已知条件中的平行关系，如角相等推出直线平行（同位角、内错角相等，两直线平行）等方法来证明两组对边分别平行。

- 例如：已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，可推出AD∥BC，AB∥CD，从而证明四边形ABCD是平行四边形。

2. 边的判定证明。

- 对于两组对边分别相等的判定方法，通常利用三角形全等的知识来证明。

- 例如：连接AC，在△ABC和△CDA中，已知AB = CD，BC = DA，AC = CA（公共边），通过SSS（边 - 边 - 边）全等判定定理证明△ABC≌△CDA，进而得出∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，所以AD∥BC，AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形。

- 对于一组对边平行且相等的判定方法，可通过平移线段构造平行四边形或者利用三角形全等和平行线的判定来证明。

- 例如：已知AB∥CD且AB = CD，延长AB到E，使BE = CD，连接CE，可证明四边形BECD是平行四边形，从而得出BD∥CE，再结合已知条件证明四边形ABCD是平行四边形。

判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1 ）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行 且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边 形是平行四边形。

一、 两组对边分别平行如图1,已知△ ABC 是等边三角形， D E 分别在边BG AC 上，且CD=CE 连结DE 并延长至点F ,使EF=AE 连结AF 、BE 和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； ⑵ 判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。

解：（1）选证△ BDE^A FEC证明：•••△ ABC 是等边三角形，••• BC=AC Z ACD=60•••CD=CEBD=AE A EDC 是等边三角形 • DE=EC Z CDE M DEC=60•••/ BDE M FEC=120又••• EF=AE • BD=FE ・」BDE^A FEC（2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ ABC △ EDC △ AEF 都是等边三角形•••/ CDE M ABC M EFA=60• AB// DF, BD// AF•••四边形ABDF 是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形 ABCD 中, G 是CD 上一点，延长 BC 到E ,使CE=CG 连结BG 并延长交 DE（1）求证：△ BCG^ DCE（2）将厶DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△ DAE ，判断四边形 E' BGD 是什么特殊四边形？并说明 理由。

分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有 AB// DC 又通过旋转 CE=AE 已知CE=CG 所以E' A=CGAD C这样就有BE' =GD可证E' BGD是平行四边形。

平行四边形五个判定方法
1、通过角度判定：如果四个内角相等就是平行四边形；
2、通过边长判定：如果有两条对角线长度相等，其余边长也都相等，就是平行四边形；
3、通过平分线判定：如果可以在四边形内部划出两条平分线，使得两条平分线交于两个对角线的中点，那么这个四边形就是平行四边形；
4、通过三角形判定：将一个平行四边形分成两个三角形，如果这两个三角形的外角和内角都相等，则说明四边形是平行四边形；
5、通过中心矩判定：如果四边形的中心矩是正方形，则这个四边形就是平行四边形。

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD 中,E 、F 在对角线AC 上,且AE =CF ,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD .解：连接BD 交AC 于点O .因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AO =CO ,BO =DO . 又AE =CF ,所以AO -AE =CO -CF ,即EO =FO .所以四边形DEBF 是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF =BC =1,AB =FC =1,所以四边形ABCF 是平行四边形.同样可知四边形FCDE 、四边形ACDF 都是平行四四边形.因为AE =DB =2,AB =DE =1,所以四边形ABDE 也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ,DF =BE ,DF ∥BE ，试说明四边形ABCD 是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF ≌△CBE ，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF ∥BE ，所以∠AFD =∠CEB .因为AE =CF ,所以AE +EF =CF +EF ，即AF =CE .又DF =BE ,所以△ADF ≌△CBE ，所以AD =BC ，∠DAF =∠BCE ，所以AD ∥BC .所以四边形ABCD 是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判图1 图2 A B C D EF 图3别例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF 是平行四边形.理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE ∥CF .所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

平行四边形的判定平行四边形是一种四边形，其对边两两平行。

在几何学中，平行四边形是一个非常基本的概念。

在本文中，我们将讨论如何判定一个四边形是否是平行四边形。

判定方法一：对边平行平行四边形的一个必要条件是对边平行。

也就是说，如果四边形ABCD的对边AB和CD平行，对边AD和BC平行，那么这个四边形是平行四边形。

证明如下：首先，我们假设四边形ABCD不是平行四边形。

那么，至少有一组对边不平行，假设是边AD和BC不平行。

因此，这两条边会交于一点E。

此时，我们可以通过画一条EF与边AB平行且连接点E的线段来构造一个新的四边形AEBF。

由于AEFB的两条对边AB和EF平行，对边AE和BF平行，且AE和BF 相交于点E，所以这个四边形是平行四边形。

然而，由于AB和CD平行，EF和AB平行，所以EF和CD平行。

因此，EF和DC相交于一点G。

此时，我们可以通过连接点B和G，并画出BG的平行线段GH来构造出一个新的四边形BCGH。

现在，我们来看一下这个新的四边形BCGH。

首先，由于AD和BC不平行，所以BD不等于0。

因此，GH也不等于0。

另外，BC和GH平行，所以BCGH的两条对边平行。

因此，BCGH是一个平行四边形。

然而，由于四边形AEBF和BCGH都只有两条平行的对边，而不是四条，所以它们不能同时是平行四边形。

这个矛盾表明我们的假设是错误的，因此四边形ABCD是一个平行四边形。

判定方法二：任意一组相邻角的和为180度平行四边形的另一个重要性质是，任意一组相邻角的和为180度。

这个性质可以用下面的图形来说明：在这个图形中，我们可以看到四边形ABCD的相邻角α和β是一对内角，角γ和δ是一对内角，而且它们的和都是180度。

因此，我们可以得到一个结论：如果一个四边形的任意一对相邻角的和为180度，那么这个四边形就是一个平行四边形。

判定方法三：对角线互相平分平行四边形的第三个重要特征是对角线互相平分。

也就是说，如果四边形的对角线AC和BD在它们的交点E处平分彼此，那么这个四边形是一个平行四边形。

平行四边形判定方法平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

在几何学中，我们经常需要判定一个四边形是否为平行四边形。

下面我将介绍几种判定平行四边形的方法。

首先，我们可以通过对角线判定平行四边形。

如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为对角线互相垂直说明四边形是梯形，而对角线相等说明这个梯形是等腰梯形，进而是平行四边形。

其次，我们可以通过边判定平行四边形。

如果一个四边形的对边互相平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为对边互相平行说明四边形是梯形，而对边相等说明这个梯形是等腰梯形，进而是平行四边形。

另外，我们还可以通过角判定平行四边形。

如果一个四边形的内角互相补角且相等，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为内角互相补角说明四边形是梯形，而内角相等说明这个梯形是等腰梯形，进而是平行四边形。

除了以上三种方法，我们还可以通过边和角的关系来判定平行四边形。

如果一个四边形的对边互相平行且相等，并且内角互相补角且相等，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为对边互相平行和内角互相补角分别说明四边形是梯形和等腰梯形，进而是平行四边形。

在实际问题中，我们经常需要根据给定的条件来判定一个四边形是否为平行四边形。

通过以上几种方法，我们可以快速准确地判断一个四边形的性质，从而更好地解决几何问题。

总之，判定平行四边形的方法有多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行判断。

通过对角线、边、角的关系进行分析，我们可以轻松地判定一个四边形是否为平行四边形，为解决几何问题提供了便利。

希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地理解和运用平行四边形的性质。

平行四边形判定的数学公式一、平行四边形的性质：1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

2.对边等长：平行四边形的对边长度相等。

3.各个角度对应相等：平行四边形的对应角相等。

下面我们将介绍一些判定平行四边形的数学公式。

二、判定平行四边形的数学公式：1.利用坐标判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。

首先判断对边AB是否平行，可以通过计算斜率来判断：如果两条线段AB和CD的斜率相等，则它们是平行的。

斜率的计算公式为：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k2=(y4-y3)/(x4-x3)如果k1=k2，则对边AB和CD平行。

同理，可以判断对边BC和AD是否平行，以及对边AC和BD是否平行。

如果对边AB、BC、CD、DA都平行，则四边形ABCD为平行四边形。

2.利用向量判定：设平行四边形的四个顶点分别为A,B,C,D。

定义向量AB、BC、CD、DA，分别为：AB=(x2-x1,y2-y1)BC=(x3-x2,y3-y2)CD=(x4-x3,y4-y3)DA=(x1-x4,y1-y4)如果向量AB与CD平行且向量BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。

向量平行的判断公式为：向量a与向量b平行，当且仅当两个向量的比例相等，即：a/b=k(k为常数)对于向量AB与CD，如果（x2-x1）/（x4-x3）=（y2-y1）/（y4-y3），则向量AB与CD平行。

对于向量BC与DA，如果（x3-x2）/（x1-x4）=（y3-y2）/（y1-y4），则向量BC与DA平行。

如果AB与CD平行且BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。

3.利用斜率判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。

先计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)再计算斜率k2=(y3-y2)/(x3-x2)再计算斜率k3=(y4-y3)/(x4-x3)再计算斜率k4=(y1-y4)/(x1-x4)如果k1=k3且k2=k4，则四边形ABCD为平行四边形。

平行四边形的判定定理五条平行四边形是构成很多重要几何图形的基础，其具有非常重要的意义，它的存在被用于解决许多几何问题。

众所周知，任何一个平行四边形都具备着某种形式的定理，其中有五条定理是平行四边形最为重要的定理。

本文将就这五条定理进行介绍，以供读者参考。

第一条定理：恒等边定理。

指出，如果一个四边形的四条边分别相等，那么它一定是平行四边形。

而且，由于所有四条边相等，因此这个平行四边形中所有四边和它四个顶点共线。

第二条定理：对边平行定理。

这条定理说明，如果一个四边形的两条对边是平行的，那么它就是一个平行四边形。

其中，对边的定义是，两条边的长度和角度一样，但是方向相反。

第三条定理：相邻边与对边平行定理。

这条定理指出，如果一个四方形的四个顶点连成四条边，使得相邻边之间是平行的，那么它就是一个平行四边形。

第四条定理：对角线垂直定理。

它显示，如果一个四边形的对角线垂直相交，那么它就是一个平行四边形。

第五条定理：面积定理。

这条定理指出，如果一个四边形的面积是平行四边形的面积，那么它就是一个平行四边形。

上述就是平行四边形的判定定理五条。

通过这五条定理，我们可以很容易地确定一个四边形是否是平行四边形，从而对几何图形的性质有更深入的了解。

判定定理不仅被用于几何，而且也被用于投资、经济学等学科中，它使平行四边形的判定变得更加简单和便捷。

四边形的判定定理五条，为我们在几何图形的研究提供了重要的依据。

平行四边形的判断虽然看似简单，但背后却有很多深奥的数学知识，帮助人们更好的把握几何图形的特征，更加深入的了解几何结构带来的美感和几何形状的布局能力。

总之，平行四边形的判定定理五条为我们几何研究提供了重要的依据，不仅可以用来研究几何图形，而且也有助于经济和投资领域的研究，以及对于布局特征的研究。

在未来，我们将继续深入研究平行四边形的判定定理，以充分发挥它们在几何及其他学科中的应用。

到此，本文就《平行四边形的判定定理五条》的介绍到这里，以期让读者对平行四边形有更深入的了解，从而更好的应用到解决几何问题中去。

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