04年圆锥曲线高考题汇编

2004年全国各地高考数学试题精析（圆锥曲线部分）一、选择题1.(2004全国I,理7文7) 椭圆x 24+y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则2||PF=( ) A ．32 B ． 3 C ．72 D ．4 【答案】C .【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径.椭圆、双曲线的通径长为2b 2a .本题中|PF 1|=b 2a =12,由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =4,∴|PF 2|=4-12=72.2.(2004全国I,理8文8)设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[-12,12] B ．[-2,2] C ．[-1,1] D ．[-4,4]【答案】C .【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想. Q(-2,0),设直线l 的方程为y =k (x +2),代入抛物线方程，消去y 整理得：k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0, 由△=(4k 2-8)2-4k 2·4k 2=64(1-k 2)≥0, 解得 -1≤k ≤1.3.(2004全国III 、广西,理7文8)设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为y =±12x,则该双曲线的离心率e =( )A ．5B ． 5C ．52D ．54【答案】C .【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.∵双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为y =±12x,∴b a =12,即a =2b ,∴c =a 2+b 2=5b ,故该双曲线的离心率e =c a =52.4.(2004全国IV,理8)已知椭圆的中心在原点,离心率e =12,且它的一个焦点与抛物线y 2=-4x 的焦点重合,则此椭圆方程为( ) A .x 24+y 23=1 B . x 28+y 26=1 C .x 22+y 2=1 D .x 24+y 2=1 【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程与几何性质.∵抛物线焦点为(-1,0),∴c =1,又e =12，∴a =2,∴b 2=a 2-c 2=3,故椭圆方程为x 24+y 23=1.5.(2004江苏,5)若双曲线x 28-y2b2=1的一条准线与抛物线y 2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为( )A.2B.22C.4D.42 【答案】A.【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程与几何性质等基本知识.∵抛物线y 2=8x 的准线方程为x =2,双曲线x 28-y 2b 2=1的一条准线方程为x =88+b 2,∴2=88+b2,解得b 2=8,∴c =a 2+b 2=4 ∴e =c a =422= 2.6.(2004天津,理4文5)设P 是双曲线22219x y a-=上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|=( ) A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C .【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程与几何性质. ∵双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,∴a 2=4.由双曲线的定义知||PF 1|-|PF 2||=4,∵|PF 1|=3,∴|PF 2|=7.7.(2004广东,8)若双曲线2x 2-y 2=k (k >0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则k = （ ）A.6B. 8C. 1D.4 【答案】A. 【解析】本小题主要考查双曲线的方程与几何性质等基本知识.双曲线方程化为标准方程为 x 2 k 2-y 2k =1,∵a 2=k 2,b 2=k ,∴c 2=3k 2.焦点到准线的距离2=c -a 2c ,即2=k3k2,解得k =6.8.(2004福建,理4文4)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )A.33B.23C.22D.32 【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质，以及基本量的运算.设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1,则过F 1且与椭圆长轴垂直的统弦AB=2b 2a .若△ABF 2是正三角形,则2c = 2b 2a ·32,即3a 2-2ac -3c 2=0,(a -3c )(3a -c )=0,∴e =c a =33.9.(2004福建,理12)如图,B 地在A 地的正东方向4km 处,C 地在B 地的北偏东300方向2km 处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运货物.经测算,从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(27-2)a 万元 B.5a 万元C. (27+1)a 万元D.(23+3)a 万元 【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质，考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y 万元,则y=a ·MB+2a ·MC∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km., ∴曲线PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且a =1,c =2.过M 作双曲线的焦点B 对应的准线l 的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得MB MD =e ,即MB=2MD. ∴y = a ·2MD+ 2a ·MC=2a ·(MD+MC)≥2a ·CE.(其中CE 是点C 到准线l 的垂线段). ∵CE=GB+BH=(c -a 2c )+BC·cos600=(2-12)+2×12=52.∴y ≥5a (万元).10.(2004福建,文12)如图,B 地在A 地的正东方向4km 处,C 地在B 地的北偏东300方向2km 处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运货物.经测算,从M 到B 、C 两地修建公路的费用都a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(7+1)a 万元 B.(27-2)a 万元C.27a 万元D.( 7-1)a 万元 【答案】B. 【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y 万元,则y=a ·(MB+MC)∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km., ∴曲线PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且a =1,c =2. 由双曲线第一定义,得MA -MB=2a , 即MB=MA -2, ∴y = a ·(MA+MC -2)≥a ·AC.以直线AB 为x 轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-2,0),C(3,3). ∴AC=(3+2)2+(3)2=27, 故y ≥(27-2)a (万元).11.(2004湖北,理6)已知椭圆x 216+y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．94【答案】D.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意！P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若P 为直角顶点，则PF 12＋PF 22=F 1F 22,即PF 12＋PF 22=(27)2,又PF 1＋PF 2=2a =8,∴PF 1·PF 2=18.在Rt △PF 1F 2中,P 到x 轴的距离h =1827=977,但977>b =3,不合题意，舍去.由对称性，F 1、F 2之一为直角顶点（不妨设F 2为直角），则PF 2=b 2a =94.12.(2004浙江,文6理4)曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程是( ) A.y 2=8-4x B.y 2=4x -8 C.y 2=16-4x D.y 2=4x -16 【答案】C【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为P(x ,y ),其关于x =2对称的点的坐标为Q(4-x ,y ),把它代入y 2=4x 并化简,得y 2=16-4x ．13.(2004浙江,理9) 若椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( ) A.1617 C.45【答案】D.【解析】抛物线y 2=2bx 的焦点为F(2b,0),∵F 1(－c,0),F 2(c ,0),|F 1F|：|FF 2|=5：3,∴5232b cb c +=-,化简,得c =2b,即c =两边平方并化简得4a 2＝5c 2,∴22245c e a ==,∴e =14.(2004年浙江,文11) 若椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被点(2b,0)分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( )A.1617C.45【答案】D【解析】见上题．15.(2004湖南,文4理2)如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是( ) A ．513B ．13C ．5D ．135 【答案】A【解析】考查双曲线线的基本量的运算．解：a 5c =,由双曲线的第二定义,c e a ===,∴d=135. 16.(2004重庆,文理10) 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】A【解析】设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m -n =2a, m =4n,∴m =83a ,n =23a,又m -n <2c ≤m +n,即2a <2c≤103a ,∴1<e=a c ≤53,所以e 的最大值为53．17.(2004辽宁,6)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x ,y )满足2PA PB x ⋅=,则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【答案】D【解析】∵PA =(x +2,y ),PB =(x -3,y ),∴PA ·PB =(x +2)(x -3)+y 2=x 2,化简,得y 2=x +6. 18.(2004辽宁,9)已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ,动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时,点P 到坐标原点的距离是( ) A ．26B ．23C ．3D ．2【答案】A【解析】由题意知,P 点的轨迹是双曲线的左支,c a =1,b =1,∴双曲线的方程为x 2-y 2=1,把y =12代入双曲线方程,得x 2=1+14=54,∴|OP|2=x 2+y 2=54+14=64,.二、填空题19.(2004全国II,理15文15)设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .【答案】x 22+y 2=1.【解析】本小题主要考查椭圆、双曲线的方程与几何性质.在双曲线2x 2-2y 2=1中a 2=21,b 2=21,c 2=1,则其焦点坐标为F 1(-1,0),F 2(1,0),离心率e 1=2.所以椭圆的离心率为21,∵c =1,∴a =2,则b =a 2-c 2=1.故椭圆的方程是x 22+y 2=1.20.(2004全国III 、广西,理16)设P 是曲线y 2=4(x -1)上的一个动点,则点P 到点(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .【答案】5.【解析】本小题主要考查抛物线的方程与几何性质等基本知识,以及数形结合的思想方法.∵抛物线的顶点为A(1,0), p =2,∴准线方程为x =0,焦点F 坐标为(2,0), 所以点P 到点B(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和等于|PB|+|PF|,如图, |PB|+|PF|≥|BF|,当B 、P 、F 三点共线时取得最小值,此时|BF|=(0-2)2+(1-0)2= 5.21.(2004年天津,理14文15)如果过两点A(a ,0)和B(0,a )的直线与抛物线y =x 2-2x -3没有交点,那么实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞,-134).【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系等基本知识.直线AB 的方程是x +y =a ,由⎩⎨⎧x+y=a y =x 2-2x -3，得x 2-x -3-a =0.若直线AB 与该抛物线没有交点，则△=(-1)2-4(-3-a )=13+4a <0,故a <-13422.(2004上海,文理2)设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x =－1,则它的焦点坐标为 . 【答案】(5,0)【解析】考查抛物线的基本概念．解：由抛物线的定义知,顶点到准线的距离等于它到焦点的距离,设焦点坐标为(m ,0),则2+1=m -2,∴m =523.(2004上海,理7) 在极坐标系中,点M(4,3π)到直线l :ρ(2c osθ+sinθ)=4的距离d = .【解析】考查极坐标的概念及极坐标与直角坐标的互化．化为直角坐标系下,点M(2,到直线2x +y =4的距离问题．由点到直线的距离公式,得d24.(2004上海,文理11) 教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 【答案】用代数的方法研究图形的几何性质．【解析】考查对教材知识体系的把握,此题型不多见．25.(2004湖南,理16) 设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|,|FP 2|, |FP 3|,…组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围为 .【答案】11[,0)(0,]10-⋃【解析】a =,c =1,1,1,当d>0时,|FP 1|＝－1,|FP n |＝＋1,∴d=1||||1n FP FP n --＝21n -,∵n ≥21,∴1010d <≤,同理,当d ＜0时,1010d -≤<．故d ∈11[,0)(0,]1010-⋃．26.(2004湖南,文15) F 1,F 2是椭圆C ：14822=+x x 的焦点,在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________.【答案】2【解析】a =,2c =,e =,设P 00(,)x y ,则|PF 1|=0,|PF 2|= 0x , ∵PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,即(0)2＋(-0)2=16,解得0x =0,故在椭圆上存在两点即短轴的两顶点使PF 1⊥PF 2．27.(2004重庆,理16) 对任意实数k,直线：y k x b =+与椭圆：2cos (02)14sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=+⎪⎩恒有公共点,则b 取值范围是 . 【答案】[-1,3]【解析】∵直线y kx b =+过定点(0,b ),所以对任意的实数k,它与椭圆2(1)16y -+=1恒有公共点的充要条件是(0,b )在椭圆上或其内部,∴2(1)116b -+≤,解得13k -≤≤. 28.(2004北京春,理文14)若直线mx+ ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,则m,n 满足的关系式为_______;以(m,n )为点P 的坐标,过点P 的一条直线与椭圆x 27+y 23=1的公共点有____个.【答案】0<m 2+n 2<3,2.【解析】考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定.另外,要注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系.∵直线mx+ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,∴3m 2+n2>3,解得0<m 2+n 2<3.∴m 27+n 23< m 23+n23<1,即点P (m ,n )在椭圆内部,故过P 的直线必与椭圆有两个交点. 29.(2004安徽春,理13)抛物线y 2=6x 的准线方程为 .【答案】x =-32.【解析】考查抛物线的几何性质.抛物线y 2=2px (p >0)的准线方程为x =-p2.30.(2004上海春,4)过抛物线y 2=4x 的焦点F 作垂直于x 轴的直线,交抛物线于A 、B 两点,则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________. 【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】本小题主要考查抛物线的概念与几何性质,圆的概念与方程等基础知识,以及运算能力.解题中要注意一些特殊结论的应用,对于抛物线而言,过焦点垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛 物线的通径,其长度等于2p .抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),因为AB 为抛物线的通径,所以AB ＝4,即圆的半径为2,故圆的方程是(x -1)2+y 2=4.31.(2004上海春,10)若平移椭圆4(x +3)2+9y 2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是______.【答案】(x -3)29+(y -2)24=1.【解析】本小题主要考查椭圆的性质、平移变换等基础知识,以及数形结合的能力.椭圆方程可化为(x +3)29+y 24=1,因此椭圆的长半轴长为3,短半轴长为2.移后使椭圆与x 轴、y 轴分别只有一个交点,即长轴的左项点在y 轴上,下顶点在x 轴上,又椭圆中心在第一象限,故中心坐标为(3,2),此时椭圆方程为(x -3)29+(y -2)24=1.三、解答题32.(2004全国I,理21文22)设双曲线C ：x 2a2-y 2=1(a >0)与直线l:x+y =1相交于两个不同的点A 、B.(I)求双曲线C 的离心率e 的取值范围; (II)设直线l 与y 轴的交点为P,且5.12PA PB =求a 的值. 【解析】本题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)由C 与l 相交于两个不同的点,故知方程组2221,1.x y ax y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x-2a 2=0. ①242210.48(1)0.0 1.a a a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩<<≠所以解得 双曲线的离心率01,e a a e e ==<<≠∴>≠).e +∞ 即离心率（II ）设1122(,),(,),(0,1)A x y B x y P1122125,125(,1)(,1).125.12PA PB x y x y x x =∴-=-=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1-a 2≠0,2222222222172.12152.1212289,,601170,.13a x a a x a a x a a a =--=---=->=所以消去得由所以33.(2004全国II,理21文22)给定抛物线C ：y 2=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.(I)设l 的斜率为1,求OA 与OB 的夹角的大小；(II)设AF FB λ=,若λ∈[4,9],求l 在y 轴上截距的变化范围. 【解析】本题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力,解：(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为y =x -1. 将y =x -1代入方程y 2=4x ,并整理得x 2-6x +1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1.∴11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+12122()1 3.x x x x =-++=-||||OA OB =∴cos(,)||||OA OB OA OB OA OB ⋅==⋅故OA 与OB 夹角的大小为π-arccos31441. (II)由题设FB AF =λ得(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1), 即⎩⎨⎧x 2-1=λ(1-x 1)， ①y 2=-λy 1， ② 由②得y 22=λ2y 12,∵y 12=4x 1, y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1, ③ 联立①、③解得x 2=λ,依题意有λ>0, ∴B(λ,2λ),或(λ,-2λ).故直线l 的方程为(λ-1)y =2λ(x -1)或(λ-1)=-2λ(x -1).当λ∈[4,9]时,直线l 在y 轴上的截距为2λλ-1或-2λλ-1.由 2λλ-1=2λλ+1+2λ-1,可知2λλ-1在[4,9]上是递减的,∴3443,,4334≤≤-≤≤- 直线l 在y 轴上截距的变化范围为4334[,][,].3443-- 34.(2004全国III 、广西,理21文22)设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是F 1(-c ,0)与F 2(c ,0)(c >0),且椭圆上存在点P,使得直线PF 2与直线PF 2垂直. (I)求实数m 的取值范围；(II)设L 是相应于焦点F 2的准线,直线PF 2与L 相交于点Q.若|QF 2||PF 2|=2-3,求直线PF 2的方程.【解析】本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力. 解:(I)由题设有m >0,c =m .设点P 的坐标为(x 0,y 0),由PF 1⊥PF 2,得00001,y yx c x c⋅=--+ 化简得 x 02+y 02=m . ①将①与220011x y m +=+联立,解得 2220011,.m x y m m -==由22010,0, 1.m m x m m->=≥≥得所以m 的取值范围是m ≥1.(II)准线L 的方程为x=设点Q 的坐标为(x 1,y 1),则1x =∴2120||||QF x c PF c x -==- ② 将 0x =,化简得22||||QFm PF == 由题设22||2||QF PF =,得 2m 无解.将0x =22||||QF m PF ==由题设22||2||QF PF =,得2m =解得m =2.从而00x y c ===得到PF 2的方程2)(y x =±35.(2004全国IV,理21文22)双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦点距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ,求双曲线的离心率e 的取值范围【解析】本题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.解：直线l 的方程为1x ya b+=,即 bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离1d =同理得到点(-1,0)到直线l 的距离2d =∴122.abs d d c =+== 由424,,55ab s c c c ≥≥得 即252.c 于是得2422,425250.e e e -+≤即解不等式,得 255.4e ≤≤由于e >1所以e 的取值范围是e ≤ 36.(2004江苏,21)已知椭圆的中心在原点,离心率为12,一个焦点是F(-m ,0)(m 是大于0的常数).(I)求椭圆的方程；(II)设Q 是椭圆上的一点,且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M .若2MQ QF =,求直线l 的斜率.【解析】本题主要考查椭圆的概念、方程与性质,以及向量、定比分点坐标公式的应用,考查考生的推理能力和运算能力.求直线l 的斜率,要充分利用条件“2MQ QF =”实施几何特征向数量 关系的转化：首先向量特征可转化为定比分点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为k ,用k 、m 表示出Q 点的坐标；最后由Q 点在椭圆上,列方程即可求解. 解：(I)设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0). 由已知中,得c =m , c a =12,所以a =2m , b =3m ,故所求椭圆方程是x 24m 2+y 23m2=1.(II)设Q(x 0,y 0),直线l :y=k (x +m ), 则点M (0,km ). 当2MQ QF =时,由于F(-m ,0),M (0,km ),由定比分点坐标公式,得 x 0=0-2m 1+2=- 2m 3, y 0=km +01+2=13km .又点Q 在椭圆上,∴ 4m 29 4m 2+ k 2m 2 93m 2=1, 解得 k=±2 6. 当2MQ QF =-时, x 0=0+(-2)×(-m )1-2=-2m , y 0=km 1-2=-km .于是 4m 24m 2+k 2m 23m 2=1,解得 k=0.故直线l 的斜率是0或±2 6.37.(2004北京,理17)如图,过抛物线y 2=2px (p >0)上一定点P(x 0,y 0)(y 0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x 1.y 1),B(x 2,y 2). (I)求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离; (II)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.yPO xAB【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.解:(I)当y =p 2时,x =p8.又抛物线y 2=2px 的准线方程为x =-p 2,由抛物线定义得,所求距离为5()828p p p--=.(II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB . 由y 12=2px 1,y 02=2px 0,相减得: 101010()()2()y y y y p x x -+=-, 故101010102()PA y y pk x x x x y y -==≠-+. 同理可得20202()PB pk x x y y =≠+, 由PA 、PB 倾斜角互补知PA PB k k =- 即102022p py y y y =-++, 所以1202y y y +=-, 故122y y y +=-. 设直线AB 的斜率为k AB ,由2222y px =,2112y px =,相减得 212121()()2()y y y y p x x -+=-, 所以211221122()AB y y pk x x x x y y -==≠-+. 将12002(0)y y y y +=->代入得1202AB p pk y y y ==-+, 所以k AB 是非零常数.38.(2004北京,文17)如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)均在抛物线上. （I ）写出该抛物线的方程及其准线方程;（II ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率.【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. 解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px . ∵点P(1,2)在抛物线上, ∴22=2p ×1,得p=2.故所求抛物线的方程是y 2=4x ,准线方程是x =－1. (II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB ,则1112(1)2PA y k x x -=≠-,2222(1)1PB y k x x -=≠-, ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴k PA =－k PB .由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)均在抛物线上,得 2114y x = （1），2224y x = （2）1222121212221111442(2)4y y y y y y y y --∴=---∴+=-+∴+=-由(1)－(2)得直线AB 的斜率:21122112441()4AB y y k x x x x y y -===-=-≠-+.39.(2004天津,理22文22)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为22,相应于焦点F(c ,0)(c >0)的准线l 与x 轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若0OP OQ ⋅=,求直线PQ 的方程；(3)(理科做,文科不做)设AP AQ =λ(1λ>),过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ =-λ.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力. (1)解:由题意,可设椭圆的方程为2221(2x y a a +=. 由已知得2222,2().a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩,解得2a c ==.所以椭圆的方程为22162x y +=,离心率e =.(2)解:由(1)可得A(3,0).设直线PQ 的方程为y =k (x -3).由方程组221,62(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(31)182760k x k x k +-+-=,依题意212(23)0k ∆=->,得k <<. 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则21221831k x x k +=+ ① 212227631k x x k -=+ ② 由直线PQ 的方程得1122(3),(3)y k x y k x =-=-,于是21212(3)(3)y y k x x =--21212[3()9]k x x x x =-++. ③ ∵0OP OQ ⋅=,∴12120x x y y +=. ④由①②③④得5k 2=1,从而(k =. 所以直线PQ的方程为30x -=或30x -=.(3)(理科)证明: 1122(3,),(3,)AP x y AQ x y =-=-. 由已知得方程组1212221122223(3),,1,62 1.62x x y y x y x y -=λ-⎧⎪=λ⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎪⎩ 注意λ>1,解得2512x λ-=λ.因11(2,0),(,)F M x y -,故 1121(2,)((3)1,)FM x y x y =--=λ-+-1211(,)(,)22y y -λλ-=-=-λλ.而2221(2,)(,)2FQ x y y λ-=-=λ,所以FM FQ =-λ .40.(2004广东,20)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)【解析】本题主要考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力.解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,则A(－1020,0),B(1020,0),C (0,1020). 设P(x ,y)为巨响发生点,由A 、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P 在A C 的垂直平分线PO 上,PO 的方程为y =－x ,因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声,故|PB|－|PA|=340×4=1360.由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线x 2a 2-y 2b2=1上,依题意得a =680,c =1020,∴b 2=c 2-a 2=10202-6802=5×3402,故双曲线方程为x 26802-y 25×3402=1.用y =－x 代入上式,得x =±6805, ∵|PB|>|PA|,∴x =-6805,y =6805, 即P(-6805,6805), 故PO=68010.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心68010 m 处.41.(2004广东,22)设直线l 与椭圆2212516x y +=相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2–y 2=1相交于C 、D 两点， C 、D 三等分线段AB. 求直线l 的方程.【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及推理运算能力和综合解题能力. 解:首先讨论l 不与x 轴垂直时的情况,设直线l 的方程为y=kx+b ,如图所示,l 与椭圆、双曲线的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).依题意有,3AC DB AB CD ==, 由22,12516y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得(16+25k 2)x 2-2bkx +(25b 2-400)=0①∴x 1+x 2=-50bk16+25k 2.由⎩⎨⎧y=kx+b x 2-y 2=1,得 (1-k 2)x 2-2bkx -(b 2+1)=0 ②若k =±1,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k ≠±1.∴x 3+x 4=2bk1-k 2,由AC DB =⇒x 3-x 1=x 2-x 4⇒x 1+x 2=x 3+x 4⇒-50bk 16+25k 2=2bk 1-k 2⇒bk=0⇒k =0或b=0.(i)当k=0时,由①得x 1,2=±5416-b 2,由②得x 3,4=±b 2+1, 由3AB CD =⇒x 2-x 1=3(x 4-x 3),即 10416-b 2=6b 2+1⇒b =±1613, 故l 的方程为y =±1613.(ii)当b =0时,由①得x 1,2=±2016+25k 2,由②得x 3,4=±11-k 2,由3AB CD =⇒x 2-x 1=3(x 4-x 3),即4016+25k 2=61-k2⇒k =±1625, 故l 的方程为y =±1625x .再讨论l 与x 轴垂直的情况.设直线l 的方程为x =c ,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，y 1,2=±4525-c 2,y 3,4=±c 2-1,由|AB|=3|CD |⇒|y 2-y 1|=3|y 4-y 3|, 即8525-c 2=6c 2-1⇒c =±25241241, 故l 的方程为x =±25241241.综上所述,故l 的方程为y =±1613、y =±1625x 和x =±25241241.42.(2004福建,理22)如图,P 是抛物线C ：y =12x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ．(I)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程； (II)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S,与y 轴交于点T,试求|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围． 【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：(I)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),M(x 0,y 0),依题意x 1≠0,y 1>0,y 2>0.由y =12x 2, ①得y´=x .∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1,∴直线l 的斜率k l =-1 k 切=-1x 1,直线l 的方程为y -12x 12=-1x 1(x -x 1). ② 方法1：联立①②消去y ,得x 2+2x 1x -x 12-2=0.∵M 为PQ 的中点，∴⎩⎨⎧x 0=x 1+x 22=-1x 1y 0=12x 12-1x 1(x 0-x 1),消去x 1,得y 0=x 02+12x 02+1(x 0≠0),∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+12x 2+1(x ≠0). 方法2：由y 1=12x 12, y 2=12x 22,x 0=x 1+x 22,得y 1-y 2=12x 12-12x 22=12(x 1+x 2)(x 1-x 2)=x 0(x 1-x 2),则x 0=y 1-y 2x 1-x 2=k l =-1x 1,∴x 1=-1x 0,将上式代入②并整理,得y 0=x 02+12x 02+1(x 0≠0),∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+12x2+1(x ≠0).(II)设直线l :y =kx+b ,依题意k ≠0,b ≠0,则T(0,b ). 分别过P 、Q 作PP´⊥x 轴，QQ´⊥y 轴，垂足分别为P´、Q´.则|ST||SP|+|ST||SQ|=|OT||PP´|+|OT||QQ´|=|b ||y 1|+|b ||y 2|. 由⎩⎨⎧y =12x 2y=kx+b消去x ,得 y 2-2(k 2+b )y+b 2=0 ③则⎩⎨⎧y 1+y 2=2(k 2+b )y 1y 2=b 2, 方法1: ∴|ST||SP|+|ST||SQ|=|b |(1y 1+1y 2)≥2|b |1y 1y 2=2|b |1b 2=2. ∵y 1,y 2可取一切不相等的正数， ∴|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围是(2,+∞). 方法2: ∴|ST||SP|+|ST||SQ|=|b |y 1+y 2y 1y 2=|b |2(k 2+b )b 2. 当b >0时,|ST||SP|+|ST||SQ|=b ·2(k 2+b )b 2=2k 2b+2>2;当b <0时，|ST||SP|+|ST||SQ|=-b ·2(k 2+b )b 2=2(k 2+b )-b.又由方程③有两个相异实根，得 △=4(k 2+b )2-4b 2=4k 2(k 2+2b )>0, 于是k 2+2b >0，即k 2>-2b ,所以|ST||SP|+|ST||SQ|＞2(-2b +b )-b=2.∵当b >0时,2k 2b可取一切正数，∴|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围是(2,+∞). 方法3：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =k TP ,即 y 2-b x 2=y 1-b x 1,则 x 1y 2-bx 1=x 2y 1-bx 2, 即 b (x 2-x 1)=(x 2y 1-x 1y 2).于是 b =x 2·12x 12-x 1·12x 22x 2-x 1=-12x 1x 2,∴|ST||SP|+|ST||SQ|=|b |y 1+|b |y 2=|-12x 1x 2|12x 12+|-12x 1x 2|12x 22=|x 2x 1|+|x 1x 2|≥2. ∵|x 2x 1|可取一切不等于1的正数， ∴|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围是(2,+∞). 43.(2004福建,文21)如图，P 是抛物线C ：y =12x 2上一点,直线l 过点P 并与抛物线C在点P 的切线垂直,l 与抛物线C 相交于另一点Q ． (I)当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；(II)当点P 在抛物线C 上移动时,求线段PQ 中点M 的轨迹方程,并求点M 到x 轴的最短距离．【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)把x =2代入y =12x 2,得y =2,∴点P 坐标为(2,2).由y =12x 2, ①得y´=x .∴过点P 的切线的斜率k 切=2,直线l 的斜率k l =-1 k 切=-12,∴直线l 的方程为y -2=-12(x -2),即x+2y -6=0.(II)设P(x 0,y 0),则y 0=12x 02.∵过点P 的切线斜率k 切=x 0,当x 0时不合意，∴x 0≠0,∴直线l 的斜率k l =-1 k 切=-1x 0,直线l 的方程为y -12x 02=-1x 0(x -x 0). ② 方法1：联立①②消去y ,得x 2+2x 0x -x 02-2=0.设Q(x 1,y 1),M(x ,y ), ∵M 为PQ 的中点，∴⎩⎨⎧x =x 0+x 12=-1x 0y 0=-1x 0(-1x 0-x 0)+12x 02=1x 02+x 022+1,消去x 0,得y =x 2+12x 2+1(x ≠0),就是所求轨迹方程.由x ≠0知x 2>0,∴y =x 2+12x 2+1≥≥2+1.上式等号仅当x 2=12x 2,即x = 所以点M 到x 轴的最短距离是2+1.方法2：设Q(x 1,y 1),M(x ,y ),则 y 0=12x 02, y 1=12x 12,x =x 0+x 12,得 y 0-y 1=12x 02-12x 12=12(x 0+x 1)(x 0-x 1)=x (x 0-x 1),∴x =y 0-y 1x 0-x 1=k l =-1x 0, ∴x 0=-1x, 将上式代入②并整理,得y =x 2+12x 2+1(x ≠0), 就是所求轨迹方程.由x ≠0知x 2>0,∴y =x 2+12x 2+1≥≥2+1. 上式等号仅当x 2=12x 2,即x= 所以点M 到x 轴的最短距离是2+1.44.(2004湖北,理20文20)直线l :y=kx +1与双曲线C:2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.【解析】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力.解：（Ⅰ）将直线l 的方程y=kx +1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得：22(2)220.k x kx -++=……①依题意,直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点,故2222220,(2)8(2)0,20220.22k k k k k k k k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪⎪>-⎩-<<解得的取值范围是 （Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1), (x 2,y 2),则由①式得1222222,22.2k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩……② 假设存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F(c ,0).则由FA ⊥FB 得：12121212()()0.()()(1)(1)0.x c x c y y x c x c kx kx --+=--+++=即整理得221212(1)()()10.k x x k c x x c ++-+++=③把②式及c =62代入③式化简得2560.k +-=解得k =(2,)k =-或舍去可知k =AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 45.(2004浙江,文22理21)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A (1,0),点P 、Q 在双曲线的右支上,点M (m ,0)到直线AP 的距离为1,⑴若直线AP 的斜率为k ,且|k |∈求实数m 的取值范围； ⑵当m =2+1时,△APQ 的内心恰好是点M ,求此双曲线的方程.【解析】解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程(1),y k x =-即0.kx y k --=因为点M 到直线AP 的距离为1,1,=即1m -==∵k ∈12,m≤-≤≤m ≤3或--1≤m ≤.∴m的取值范围是[1,1[1- (Ⅱ)可设双曲线方程为2221(0),y x b b-=≠由1,0),(1,0),M A得AM =.又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此,1,1-==AQ AP k k (不妨设P 在第一象限)直线PQ 方程为2x =直线AP 的方程y =x -1,∴解得P 的坐标是(将P 点坐标代入1222=-b y x 得,2b =所以所求双曲线方程为221,x y =即221) 1.x y -= 46.(2004上海,文20) 如图, 直线y =21x 与抛物线y =81x 2-4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y =-5交于Q 点.(1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A 、B) 的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.【解析】解:⑴解方程组212148y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,得42x y =-⎧⎨=-⎩或84x y =⎧⎨=⎩,即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==12,直线AB 的垂直平分线方程y －1=12(x －2).令y =－5, 得x =5,∴Q(5,－5)(2) 直线OQ 的方程为x +y =0, 设P(x , 18x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d==2832x +-, OQ =,∴S ΔOPQ ＝21OQ d ＝2583216x x +-.∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上,∴－4≤x4或4<x ≤8. ∵函数y =x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30.47.(2004湖南文22,理21) 如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.(I)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ,证明:()QP QA QB λ⊥- ；(II)设直线AB 的方程是x -2y +12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程．【解析】解：(Ⅰ)依题意,可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得.0442=--m kx x ①设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根.所以 .421m x x -= 由点P(0,m)分有向线段AB 所成的比为λ,得.,012121x x x x -==++λλλ即又点Q 是点P 关于原点的对称点,故点Q 的坐标是(0,－m),从而(0,2)QP m = . 1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-=+-+ =1212(,(1)).x x y y m λλλ--+- 12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-221121222[(1)]44x x x x m n x x =+⋅++1212242()4x x m m x x x +=+⋅ 122442()0.4m m m x x x -+=+⋅= 所以 ().Q P Q A Q B λ⊥- (Ⅱ)由 ⎩⎨⎧==+-,4,01222y x y x 得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(－4,4). 由 y x =2 得 ,21,412x y x y ='= 所以抛物线 y x 42=在点A 处切线的斜率为 36='=x y设圆C 的方程是222()(),x a y b r -+-= 则222291,3(6)(9)(4)(4).b a b a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩解之得 32a =-,232b =,222125(4)(4).2r a b =++-=所以圆C 的方程是22323125()(),222x y ++-= 即22323720.x y x y ++-+= 48.(2004重庆,文理21) 设0p >是一常数,过点(2,0)Q p 的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B,以线段AB 为直经作圆H(H 为圆心).试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程.【解析】解法一：由题意,直线AB 不能是水平线,故可设直线方程为：2ky x p =-.又设(,),(,)A A B B A x y B x y ,则其坐标满足22,2.ky x p y px =-⎧⎨=⎩消去x 得 22240y pky p --=,由此得22,4.A B A By y pk y y p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩, 22224()(42),()4(2)A B A B A B A B x x p k y y k p y y x x p p ⎧+=++=+⎪⎨==⎪⎩ 因此0A B A B OA OB x x y y ⋅=+= .即OA ⊥OB ．故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H(H H y x ,)是AB 的中点,故2(2),2.2A B H A B B x x x k p y y y kp +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩, 由前已证,OH应是圆H 的半径,且||OH =.从而当k=0时,圆H 的半径最小,亦使圆H 的面积最小.此时,直线AB 的方程为：x =2p.解法二：由题意,直线AB 不能是水平线,故可设直线方程为：ky =x －2p ,),(),,(B B A A y x B y x A ,则其坐标满足⎩⎨⎧=-=.2,22px y p x ky ,分别消去x ,y 得 22222240,2(2)40.y pky p x p k x p ⎧--=⎪⎨-++=⎪⎩ 故得A 、B 所在圆的方程2222(2)20.x y p k x pky +-+-=明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,又知A 、B 中点H 的坐标为2(,)((2),),22A B A B xx y y k p kp ++=+ 故 ||OH =,而前面圆的方程可表示为222[(2)]()x k p y pk -++-＝22222(2)k p k p ++,故|OH|为上面圆的半径R,从而以AB 为直径的圆必过点O(0,0).又22422||(54)R OH k k p ==++,故当k=0时,R 2最小,从而圆的面积最小,此时直线AB 的方程为：x =2p.解法三：同解法一得O 必在圆H 的圆周上,又直径4.p ≥上式当B A x x =时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小.此时直线AB 的方程为x =2p.49.(2004辽宁,19) 设椭圆方程为1422=+y x ,过点M(0,1)的直线l 交椭圆于点A 、B,O 是坐标原点,点P 满足1()2OP OA OB =+ ,点N 的坐标为)21,21(,当l 绕点M 旋转时,求： (1)动点P 的轨迹方程；(2)||NP 的最小值与最大值.【解析】考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．。

近十年对口单招圆锥曲线试题汇编一、选择题1.、（2000年）已知P 是椭圆1422=+y x 上的点，1F 、2F 是该椭圆的两个焦点，且︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．213 B ．413C ．1D ．4 2、（2001年）0<mn 是方程122=+ny m x 表示双曲线的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．既充分又必要条件D ．既不充分又不必要条件3、（2001年）已知1F 、2F 是椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于M 、N 两点，则2MNF ∆的周长是（ ）A ．10B ．16C ．20D ．324、（2002年）双曲线15422=-y x 的渐近线方程和离心率分别是（ ） A ．y=±25x ，53 B ．y=±25x ，23 C ．x=±25y ，23D ．x=±25y ，53 5、（2003）若方程1222=-ay a x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围（ ）A ．01<<-aB ．0<aC ．1<aD ．1-<a 或0>a6、（2003）若双曲线的两条准线间距离的4倍等于焦距，则双曲线离心率为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、（2004）设椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，直线l 过点1F ，且与椭圆相交于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．138.（2008）已知双曲线的焦点在y 轴上，离心率35=e ，则它的渐近线方程为 （ ）A ．x y 34±=B . x y 43±=C . x y 45±=D . x y 54±=9（2009设0k <，则二次曲线222211352x y x y k k -=+=-与必有 （ ）A 、不同的顶点B 、不同的准线C 、相同的离心率D 、相同的焦点10、（2010）.若抛物线22y px =的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A.4B.-4C.8D.-811.（2011）若椭圆2221(1)x y a a+=>的离心率2e =，则该椭圆的方程为（ ）A.2221x y +=B.2221x y +=C.2212x y +=D.2214x y += 二、填空题1.、（2000年）圆锥轴截面的顶角为︒120，过顶点的截面三角形的最大面积为8，则该圆锥的侧面积为__________。

圆锥曲线1（江苏2004年5分）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为【 】(A)2 (B)22 (C) 4 (D)24 【答案】A 。

【考点】双曲线的性质，抛物线的性质。

【分析】根据抛物线方程可求得抛物线的准线方程即双曲线的准线方程，从而求得c ，最后根据离心率公式求得答案：由抛物线x y 82=，可知p=4，∴准线方程为x =－2。

对于双曲线准线方程为22a x c=-=-，∴228c a ==，4c =。

∴双曲线离心率c e a ===A 。

2.（江苏2005年5分）抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是【】A ．1617 B ．1615 C ．87D ．0【答案】B 。

【考点】抛物线的性质。

【分析】根据点M 到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M 到准线距离也为1，利用抛物线的方程求得准线方程，从而可求得M 的纵坐标。

根据抛物线的定义可知M 到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1。

又∵抛物线的准线为116y =-，∴M 点的纵坐标为11511616-=。

故选B 。

3.（江苏2005年5分）点P(3,1)-在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为(2, 5)a =-的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】A ．33 B ．31 C ．22D ．21【答案】A 。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的性质。

【分析】根据过点P 且方向为(2, 5)a =-求得PQ 的斜率，进而可得直线PQ 的方程，把2-=y 代入可求得Q 的坐标，根据光线反射的对称性知直线QF 1的斜率从而得直线QF 1的方程，把0y =代入即可求得焦点坐标，求得c ，根据点P （－3，1）在椭圆的左准线上，求得a 和c 的关系求得a ，则椭圆的离心率可得：如图，过点P （－3，1）的方向(2, 5)a =-，∴PQ 52k =-，则PQ 的方程为()5132y x+-=-， 即52130x+y +=。

圆锥曲线1（江苏2004年5分）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为【 】(A)2 (B)22 (C) 4 (D)242.（江苏2005年5分）抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是【】A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．03.（江苏2005年5分）点P(3,1)-在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为(2, 5)a =- 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】A ．33 B ．31 C ．22D ．214.（江苏2007年5分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为【 】A B C D ．2 5.（江苏2007年5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A(4,0)-和C(4,0)，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin A sin C sin B += ▲ . 6.（江苏2008年5分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过2P 0a c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ▲7.（江苏2009年5分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .8.（江苏2010年5分）在平面直角坐标系x O y 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 ▲9. （2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ．10、（2013江苏卷3）3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。

专题04 圆锥曲线与四心问题（内心、重心、垂心、外心）从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。

而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。

“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。

因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考． 专题目录：第1讲、圆锥曲线与内心问题 第2讲、圆锥曲线与重心问题 第3讲、圆锥曲线与垂心问题 第4讲、圆锥曲线与外心问题第1讲、圆锥曲线与内心问题（三角形的内心：三角形三条角平分线的交点）例1、（2020年湖北省高三联考12题）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ，已知O 为坐标原点，若OAB ∆，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B 1C ．3D ．3或2例2、（2019年四川省绵阳市高三模拟12题）点1F 、2F 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，点P 在双曲线上，则12PF F ∆的内切圆半径r 的取值范围是（ ）A ．(B ．()0,2C ．(D ．()0,1例3、（2020年山东省济南市高三二模16题）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线2F P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠的大小为________；双曲线的离心率为________．例4、已知点P 是双曲线22221x y a b-=上除顶点外的任意一点，12,F F 分别为左、右焦点，c 为半焦距，12PF F ∠的内切圆与12F F 切于点M ，则12FM F M ⋅=_________.例5、（2020年浙江省新高考名校联考10题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是,M N ，过点M 作圆222:O x y b +=的一条切线，切点为P ，延长MP 交椭圆于点Q ，且||||MP PQ =，双曲线22222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为12,,F F E 是2C 右支上一点，1EF 与y 轴交于点A ，2EAF 的内切圆与2AF 的切点为F ，若||3AF =，则双曲线2C 的方程为（ ）A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22193x y -=D ．223134x y -=例6、(2019年成都七中高三模拟16题)已知双曲线22:13y M x -=的左,右焦点F 1，F 2,点P 在双曲线上左支上动点，则三角形PF 1F 2的内切圆的圆心为G ，若△GPF 1与△GF 1F 2的面积分别为,'S S ，则'SS 取值范围是例7、（2020年河北省石家庄市一模12题）已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1 BC ．2D ．内心课后变式：（共10个题）变式1、（2020届绵阳中学二诊模拟12题）设F 是双曲线222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为H 若FOH ∆的内切圆与x 轴切于点B ,且OB BF 2=,则C 的离心率为4173.+A 4174.+B 81733.+C41733.+D变式3、(2019年衡水金卷（一）11题)点P 是双曲线22:1916x y C -=的上支上的一点，F 1，F 2分别为双曲线的上、下焦点，则△PF 1F 2的内切圆圆心M 的坐标一定适合的方程是（ ） A ．y=-3 B ．y=3 C ．x 2+y 2=5 D ．y=3x 2-2 A ．2212+ B ．231- C ．21+ D ．21-变式5、如图，已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ，12||8F F =，P 是双曲线右支上的一点，直线2F P 与y 轴交于点A ，△1APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若||2PQ =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3变式6、已知点P 为双曲线:C 22221(00)x y a b a b－，=>>右支上一点，12,F F 分别为左右焦点，若双曲线C 12PF F ∆的内切圆圆心为I ，半径为2，若12PF I PF I S S ∆∆=+b 的值是（ ）A ．2B CD ．6变式7、（2018山东省潍坊市三模11题）点P 是双曲线22221x y a b-=右支上一点，12F F 、分别为左、右焦点.12PF F ∆的内切圆与x 轴相切于点N .若点N 为线段2OF 中点，则双曲线离心率为（ ）A 1B ．2CD ．3变式8、如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，12F F =P 是y 轴正半轴上一点，1PF 交椭圆于A ，若21AF PF ⊥，且2APF ∆的内切圆半径为2）A B C D变式9、（2020年湖北省高三联考改编）过双曲线22221x y a b-=（0a b >>）右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=，O 为坐标原点，且OAB ∆，则该双曲线的离心率为A B C D 1变式10、（2017福建省漳州市模拟）已知双曲线C ：的左右焦点为，为双曲线C 右支上异于顶点的一点，的内切圆与轴切于点，且与点关于直线对称，则双曲线方程为 ．第2讲、圆锥曲线与重心问题（三角形的重心：三角形三条中线的交点）例1、（2019年衡水中学高三半期11题）在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在点A ，使得点A与双曲线的左、右焦点1F ，2F 形成的三角形的内切圆P 的半径为a ，若12AF F ∆的重心G 满足12//PG F F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2 D例2、（2020年绵阳南山中学高三月考16题）已知P 为双曲线C ：221412x y -=上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为 。

2004年全国各地高考数学试题精析（圆锥曲线部分）一、选择题1.(2004全国I,理7文7) 椭圆2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线及椭圆相交,一个交点为P,则2||PF =( ) A ． B ． C ． D ．4 【答案】C.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径.椭圆、双曲线的通径长为.本题中1,由椭圆的定义知1224,∴24.2.(2004全国I,理8文8)设抛物线y 2=8x 的准线及x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 及抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[]B ．[-2,2]C ．[-1,1]D ．[-4,4] 【答案】C.【解析】本小题主要考查直线及抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想.Q(-2,0),设直线l 的方程为(2),代入抛物线方程，消去y 整理得：k 2x 2+(4k 2-8)4k 2=0,由△=(4k 2-8)2-4k 2·4k 2=64(12)≥0, 解得 -1≤k ≤1.3.(2004全国、广西,理7文8)设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为±x,则该双曲线的离心率( ) A ．5 B ． C ． D ． 【答案】C. 【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.∵双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为±x,∴,即2b ,∴b ,故该双曲线的离心率.4.(2004全国,理8)已知椭圆的中心在原点,离心率,且它的一个焦点及抛物线y 24x 的焦点重合,则此椭圆方程为( ) B.【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程及几何性质. ∵抛物线焦点为(-1,0),∴1,又，∴2,∴b 222=3,故椭圆方程为. 5.(2004江苏,5)若双曲线的一条准线及抛物线y 2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为( )A.2B.22C.4D.42 【答案】A.【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程及几何性质等基本知识.∵抛物线y 2=8x 的准线方程为2,双曲线的一条准线方程为, ∴2,解得b 2=8,∴ ∴. 6.(2004天津,理4文5)设P是双曲线22219x y a-=上一点，双曲线的一条渐近线方程为3201、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若13,则2( )A. 1或5B. 6C. 7D. 9 【答案】C.【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程及几何性质. ∵双曲线的一条渐近线方程为320,∴a 2=4.由双曲线的定义知124,∵13,∴27.7.(2004广东,8)若双曲线2x 22 (k >0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则 （ ）A.6B. 8C. 1D.4 【答案】A. 【解析】本小题主要考查双曲线的方程及几何性质等基本知识.双曲线方程化为标准方程为错误!, ∵a 22,∴c 2.焦点到准线的距离2,即2, 解得6.8.(2004福建,理4文4)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且及椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质，以及基本量的运算.设椭圆方程为,则过F1且及椭圆长轴垂直的统弦.若△2是正三角形,则2 ·,即a2-2c2=0,(c)()=0,∴.9.(2004福建,理12)如图地在A地的正东方向4处地在B地的北偏东300方向2处,河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.现要在曲线上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元、2a万元,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(2-2)a万元B.5a万元C. (2+1)a万元D.(2+3)a万元【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念及性质，考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y万元,则·2a·∵河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.,∴曲线是双曲线的一支为焦点,且12.过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得,即2.∴ a·2 2a·2a·()≥2a·.(其中是点C到准线l的垂线段).∵=()·600=(2)+2×.∴y≥5a(万元).10.(2004福建,文12)如图地在A地的正东方向4处地在B地的北偏东300方向2处,河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2.现要在曲线上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、C两地修建公路的费用都a 万元,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(+1)a万元B.(2-2)a万元C.2a 万元D.( -1)a 万元 【答案】B. 【解析】本小题主要考查双曲线的概念及性质,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y 万元,则·()∵河流的沿岸(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2., ∴曲线是双曲线的一支为焦点,且12. 由双曲线第一定义,得2a , 即2,∴ a ·(2)≥a ·.以直线为x 轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-2,0)(3). ∴,故y ≥(2-2)a (万元).11.(2004湖北,理6)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( )A ．B ．3C ．D ． 【答案】D.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意！P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若P 为直角顶点，则12＋221F 22,即12＋22=(2)2,又1＋2=28,∴1·2=18.在△1F 2中到x 轴的距离,但>3,不合题意，舍去.由对称性，F 1、F 2之一为直角顶点（不妨设F 2为直角），则2.12.(2004浙江,文6理4)曲线y 2=4x 关于直线2对称的曲线方程是( ) 2=84x 2=4x 8 2=164x 2=4x 16 【答案】C【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为P(),其关于2对称的点的坐标为Q(4),把它代入y 2=4x 并化简,得y 2=164x ． 13.(2004浙江,理9) 若椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2的焦点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( ) A.1617C.45【答案】D. 【解析】抛物线y 2=2的焦点为F(2b ,0),∵F 1(－c,0)2(c ,0)1：25：3,∴5232bcb c +=-,化简,得2b,即c =两边平方并化简得4a 2＝5c 2,∴22245c e a==,∴e =14.(2004年浙江,文11) 若椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被点(2b ,0)分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( ) A.1617C.45【答案】D【解析】见上题．15.(2004湖南,文4理2)如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是( )A ．513 B ．13C ．5D ．135【答案】A【解析】考查双曲线线的基本量的运算． 解：a5c =,由双曲线的第二定义,c e a ===∴135. 16.(2004重庆,文理10) 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A ．43B ．53 C ．2 D ．73【答案】A【解析】设12,则2a, 4n,∴8323,又<2c ≤,即2a <2c ≤103a ,∴1<a c≤53,所以e 的最大值为53．17.(2004辽宁,6)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P()满足2PA PB x ⋅=,则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【答案】D【解析】∵PA =(2)PB (3),∴PA ·PB =(2)(3)22,化简,得y 26. 18.(2004辽宁,9)已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ,动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时,点P 到坐标原点的距离是( ) A ．26 B ．23C ．3D ．2 【答案】A程为x 22=1,把12代入双曲线方程,得x 2=11454,∴222541464,.二、填空题19.(2004全国,理15文15)设中心在原点的椭圆及双曲线2x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 . 【答案】.【解析】本小题主要考查椭圆、双曲线的方程及几何性质.在双曲线2x 2-2y 2=1中a 2=212212=1,则其焦点坐标为F 1(-1,0)2(1,0),离心率e 1=2.所以椭圆的离心率为21,∵1,∴2,则22=1.故椭圆的方程是.20.(2004全国、广西,理16)设P 是曲线y 2=4(1)上的一个动点,则点P 到点(0,1)的距离及点P 到y 轴的距离之和的最小值为 . 【答案】. 【解析】本小题主要考查抛物线的方程及几何性质等基本知识,以及数形结合的思想方法.∵抛物线的顶点为A(1,0), 2,∴准线方程为0,焦点F 坐标为(2,0), 所以点P 到点B(0,1)的距离及点P 到y 轴的距离之和等于,如图, ≥,当B 、P 、F 三点共线时取得最小值,此时.21.(2004年天津,理14文15)如果过两点A(a ,0)和B(0)的直线及抛物线2-23没有交点,那么实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞).【解析】本小题主要考查直线及抛物线的位置关系等基本知识.直线的方程是,由，得x 230.若直线及该抛物线没有交点，则△=(-1)2-4(-3)=13+4a <0,故a <22.(2004上海,文理2)设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为－1,则它的焦点坐标为 . 【答案】(5,0)【解析】考查抛物线的基本概念． 解：由抛物线的定义知,顶点到准线的距离等于它到焦点的距离,设焦点坐标为(m ,0),则2+12,∴523.(2004上海,理7) 在极坐标系中,点M(4,3π)到直线l :ρ(2θθ)=4的距离 .【解析】考查极坐标的概念及极坐标及直角坐标的互化．化为直角坐标系下,点M(2,到直线24的距离问题．由点到直线的距离公式,得d ．24.(2004上海,文理11) 教材中“坐标平面上的直线”及“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .【答案】用代数的方法研究图形的几何性质．【解析】考查对教材知识体系的把握,此题型不多见．25.(2004湖南,理16) 设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3,…),使12|, 3|,…组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围为 . 【答案】11[,0)(0,]1010-⋃【解析】a =1,1,最大1,当d>0时1|11,∴1||||1n FP FP n --＝21n -,∵n ≥21,∴1010d <≤,同理,当d ＜0时,1010d -≤<．故d ∈11[,0)(0,]1010-⋃． 26.(2004湖南,文15) F 12是椭圆C ：14822=+x x 的焦点,在C 上满足1⊥2的点P 的个数为.【答案】2【解析】a =2c =,e =,设P 00(,)x y ,则10x ,20, ∵1⊥2,∴1|22|21F 2|2,即(＋0)2＋(-0)2=16,解得0x =0,故在椭圆上存在两点即短轴的两顶点使1⊥2．27.(2004重庆,理16) 对任意实数k,直线：y kx b =+及椭圆：2cos (02)14sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=+⎪⎩恒有公共点,则b 取值范围是 . 【答案】[-1,3] 【解析】∵直线y kx b =+过定点(0),所以对任意的实数k,它及椭2(1)16y -+=1恒有公共点的充要条件是(0)在椭圆上或其内部,2(1)116b -+≤,解得13k -≤≤.28.(2004北京春,理文14)若直线 3=0及圆x 22=3没有公共点,则满足的关系式为;以()为点P 的坐标,过点P 的一条直线及椭圆的公共点有个.【答案】0<m 22<3,2.【解析】考查直线及圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线及曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程及曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线及圆可以用圆心到直线距离及半径的大小关系进行判定.另外,要注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点及曲线的位置关系.∵直线3=0及圆x22=3没有公共点,∴>,解得0<m22<3.∴m23+n23<1,即点P()在椭圆内部,故过P的直线必及椭圆有两个交点.29.(2004安徽春,理13)抛物线y2=6x的准线方程为 .【答案】.【解析】考查抛物线的几何性质.抛物线y2=2(p>0)的准线方程为.30.(2004上海春,4)过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线,交抛物线于A、B两点,则以F为圆心、为直径的圆方程是.【答案】(1)22=4.【解析】本小题主要考查抛物线的概念及几何性质,圆的概念及方程等基础知识,以及运算能力.解题中要注意一些特殊结论的应用,对于抛物线而言,过焦点垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径,其长度等于2p.抛物线的焦点F的坐标为(1,0),因为为抛物线的通径,所以＝4,即圆的半径为2,故圆的方程是(1)22=4.31.(2004上海春,10)若平移椭圆4(3)2+9y2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它及x轴、y轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是.【答案】.【解析】本小题主要考查椭圆的性质、平移变换等基础知识,以及数形结合的能力.椭圆方程可化为,因此椭圆的长半轴长为3,短半轴长为2.移后使椭圆及x轴、y轴分别只有一个交点,即长轴的左项点在y轴上,下顶点在x轴上,又椭圆中心在第一象限,故中心坐标为(3,2),此时椭圆方程为.三、解答题32.(2004全国I,理21文22)设双曲线C ：(a >0)及直线1相交于两个不同的点A 、B.(I)求双曲线C 的离心率e 的取值范围;()设直线l 及y 轴的交点为P,且5.12PA PB =求a 的值.【解析】本题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)由C 及l 相交于两个不同的点,故知方程组2221,1.x y ax y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解.消去y 并整理得(12)x 2+2a 22a 2=0. ①242210.48(1)0.0 1.a a a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩<<≠所以解得 双曲线的离心率01,e a a e e ==<<≠∴>≠(2,).e +∞即离心率的取值范围为（）设1122(,),(,),(0,1)A x y B x y P1122125,125(,1)(,1).125.12PA PB x y x y x x =∴-=-=由此得 由于x 12都是方程①的根，且12≠0,2222222222172.12152.1212289,,601170,.13a x a a x a a x a a a =--=---=->=所以消去得由所以33.(2004全国,理21文22)给定抛物线C ：y 2=4是C 的焦点,过点F 的直线l 及C 相交于A 、B 两点.(I)设l 的斜率为1,求OA 及OB 的夹角的大小； ()设AF FB λ=,若[4,9],求l 在y 轴上截距的变化范围. 【解析】本题主要考查抛物线的性质,直线及抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力,解：(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为1.将1代入方程y 2=4x ,并整理得x 2-61=0.设A(x 11)(x 22),则有x 12=61x 2=1.∴11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+12122()1 3.x x x x =-++=-22221122||||OA OB x y x y =+⋅+ 121212[4()16]41.x x x x x x =+++=∴314cos(,).||||OA OB OA OB OA OB ⋅==-⋅ 故OA 及OB 夹角的大小为. ()由题设FB AF =λ 得(x 2-12)=(111),即①2y 1， ②)) 由②得y 22=2y 12,∵y 12=4x 1, y 22=4x 2,∴x 2=2x 1, ③ 联立①、③解得x 2=,依题意有>0, ∴B(,2),或(2). 故直线l 的方程为(-1)2(x -1)或(-1)2(x -1). 当[4,9]时,直线l 在y 轴上的截距为或. 由 ,可知在[4,9]上是递减的, ∴324423,,4334λλ≤≤-≤≤- 直线l 在y 轴上截距的变化范围为4334[,][,].3443-- 34.(2004全国、广西,理21文22)设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是F 1(,0)及F 2(c ,0)(c >0),且椭圆上存在点P,使得直线2及直线2垂直.(I)求实数m 的取值范围；()设L 是相应于焦点F 2的准线,直线2及L 相交于点Q.若,求直线2的方程.【解析】本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力.解:(I)由题设有m >0.设点P 的坐标为(x 00),由1⊥2,得00001,y yx c x c⋅=--+ 化简得 x 0202. ①将①及220011x y m +=+联立,解得 2220011,.m x y m m -==由22010,0, 1.m m x m m->=≥≥得所以m 的取值范围是m ≥1.()准线L 的方程为x m=设点Q 的坐标为(x 11),则1x m=∴212001||||m mQF x c m PF c x m x +--==-- ② 将 201m x m-=,化简得2222||1,||1QF m m PF m m ==---由题设22||2||QF PF =得2m , 无解.将0x =22||||QF m PF ==由题设22||2||QF PF =得2m =.解得2.从而00x y c ==,得到2的方程2)(y x =±35.(2004全国,理21文22)双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦点距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0),且点(1,0)到直线l 的距离及点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥c ,求双曲线的离心率e 的取值范围 【解析】本题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.解：直线l 的方程为1x y ab+=,即 0.由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离1d =同理得到点(-1,0)到直线l 的距离2d =∴122.abs d d c=+== 由424,,55ab s c c c ≥≥得 即252.c ≥于是得2422,425250.e e e -+≤即 解不等式,得 25 5.4e ≤≤由于e >1所以e 的取值范围是e ≤ 36.(2004江苏,21)已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是F(,0)(m 是大于0的常数). (I)求椭圆的方程；()设Q 是椭圆上的一点,且过点F 、Q 的直线l 及y 轴交于点M .若2MQ QF =,求直线l 的斜率. 【解析】本题主要考查椭圆的概念、方程及性质,以及向量、定比分点坐标公式的应用,考查考生的推理能力和运算能力.求直线l 的斜率,要充分利用条件“2MQ QF =”实施几何特征向数量 关系的转化：首先向量特征可转化为定比分点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为k ,用k 、m 表示出Q 点的坐标；最后由Q 点在椭圆上,列方程即可求解. 解：(I)设所求椭圆方程为(a >b >0).由已知中,得, , 所以2m , m ,故所求椭圆方程是. ()设Q(x 00),直线(), 则点M (0).当2MQ QF =时,由于F(,0)(0),由定比分点坐标公式,得 x 02m3, y 0. 又点Q 在椭圆上,∴4m 29 ,4m 2)+ k 2m 293m 2=1,解得 ±2.当2MQ QF =-时, x 0, y 0. 于是 , 解得 0.故直线l 的斜率是0或±2.37.(2004北京,理17)如图,过抛物线y 2=2(p >0)上一定点P(x 00)(y 0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x 11)(x 22). (I)求该抛物线上纵坐标为p 2的点到其焦点F 的距离;()当及的斜率存在且倾斜角互补时,求120y y y +的值,并证明直线的斜率是非零常数.yPO xAB【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. 解:(I)当时.又抛物线y 2=2的准线方程为,由抛物线定义得,所求距离为5()828p p p --=.()设直线的斜率为,直线的斜率为. 由y 12=2102=20,相减得: 101010()()2()y y y y p x x -+=-, 故101010102()PA y y pk x x x x y y -==≠-+. 同理可得20202()PB pk x x y y =≠+, 由、倾斜角互补知PA PB k k =-即102022p py y y y =-++,所以1202y y y +=-, 故122y y y +=-.设直线的斜率为,由2222y px =,2112y px =,相减得 212121()()2()y y y y p x x -+=-,所以211221122()AB y y pk x x x x y y -==≠-+. 将12002(0)y y y y +=->代入得1202AB p pk y y y ==-+,所以是非零常数.38.(2004北京,文17)如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2)(x 11)(x 22)均在抛物线上. （I ）写出该抛物线的方程及其准线方程;（）当及的斜率存在且倾斜角互补时,求y 12的值及直线的斜率.【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. 解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2.∵点P(1,2)在抛物线上, ∴22=2p ×1,得2.故所求抛物线的方程是y 2=4x ,准线方程是－1. ()设直线的斜率为,直线的斜率为,则1112(1)2PAy k x x -=≠-,2222(1)1PBy k x x -=≠-, ∵及的斜率存在且倾斜角互补,∴－.由A(x 11)(x 22)均在抛物线上,得 2114y x = （1），2224y x = （2）1222121212221111442(2)4y y y y y y y y --∴=---∴+=-+∴+=-由(1)－(2)得直线的斜率:21122112441()4ABy y k x x x x y y -===-=-≠-+.39.(2004天津,理22文22)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为22,相应于焦点F(c ,0)(c >0)的准线l 及x 轴相交于点2,过点Ax的直线及椭圆相交于P 、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若0OP OQ ⋅=,求直线的方程；(3)(理科做,文科不做)设AP AQ =λ (1λ>),过点P 且平行于准线l 的直线及椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ =-λ.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(1)解:由题意,可设椭圆的方程为2221(2x y a a +=. 由已知得2222,2().a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩,解得2a c ==.所以椭圆的方程为22162x y +=,离心率e =.(2)解:由(1)可得A(3,0).设直线的方程为(3).由方程组221,62(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(31)182760k x k x k +-+-=, 依题意212(23)0k ∆=->,得k <<设1122(,),(,)P x y Q x y ,则21221831k x x k +=+ ① 212227631k x x k -=+ ② 由直线的方程得1122(3),(3)y k x y k x =-=-,于是21212(3)(3)y y k x x =--21212[3()9]k x x x x =-++. ③∵0OP OQ ⋅=,∴12120x x y y +=. ④ 由①②③④得5k 2=1,从而566(,)k =±∈-. 所以直线的方程为530x y --=或530x y +-=.(3)(理科)证明: 1122(3,),(3,)AP x y AQ x y =-=-.由已知得方程组1212221122223(3),,1,62 1.62x x y y x y x y -=λ-⎧⎪=λ⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎪⎩ 注意>1,解得2512x λ-=λ.因11(2,0),(,)F M x y -,故1121(2,)((3)1,)FM x y x y =--=λ-+-1211(,)(,)22y y -λλ-=-=-λλ.而2221(2,)(,)2FQ x y y λ-=-=λ,所以FM FQ =-λ.40.(2004广东,20)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340,相关各点均在同一平面上)【解析】本题主要考查双曲线的概念及方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力.解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,则A(－1020,0)(1020,0)(0,1020).设P()为巨响发生点,由A 、C 同时听到巨响声,得,xy OC PA A故P 在的垂直平分线上的方程为－x ,因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声,故－340×4=1360.由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线上, 依题意得6801020,∴b 222=10202-6802=5×3402, 故双曲线方程为.用－x 代入上式,得±680, ∵>,∴680680, 即P(-680,680), 故680.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m 处. 41.(2004广东,22)设直线l及椭圆2212516x y +=相交于A 、B 两点，l又及双曲线x 2–y 2=1相交于C 、D 两点， C 、D 三等分线段. 求直线l 的方程.【解析】本题主要考查直线及椭圆的位置关系，以及推理运算能力和综合解题能力.解:首先讨论l 不及x 轴垂直时的情况,设直线l的方程为,如图所示及椭圆、双曲线的交点为A(x 11), B(x 22)(x 33)(x 44).依题意有,3AC DB AB CD ==,由22,12516y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得 (16+25k 2)x 2-2(25b 2-400)=0① ∴x 12. 由,得(12)x 2-2(b 2+1)=0 ②若±1,则及双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k ≠±1. ∴x 34,由AC DB =x 3124x 123400或0.(i)当0时,由①得x 1,2=±, 由②得x 3,4=±,y x OA B D C l由3AB CD=x21=3(x43),即±,故l的方程为±.()当0时,由①得x1,2=±,由②得x3,4=±,由3AB CD=x21=3(x43),即±,故l的方程为±x.再讨论l及x轴垂直的情况.设直线l的方程为,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，y1,2=±3,4=±,由AB3CD21343|,即±,故l的方程为±.综上所述,故l的方程为±、±x和±.42.(2004福建,理22)如图是抛物线C：x2上一点,直线l过点P 且及抛物线C交于另一点Q．(I)若直线l及过点P的切线垂直,求线段中点M的轨迹方程；()若直线l不过原点且及x轴交于点S,及y轴交于点T,试求的取值范围．【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)设P(x11)(x22)(x00),依题意x1≠01>02>0.由x2, ①得y´.∴过点P的切线的斜率k切1,∴直线l的斜率错误!,直线l的方程为x12(1). ②方法1：xyOPlSTMQ联立①②消去y,得x212-2=0.∵M为的中点，∴,消去x1,得y002+1(x0≠0),∴中点M的轨迹方程为2+1(x≠0).方法2：由y1x12, y2x220,得y12x12x22(x12)(x12)0(x12),则x0,∴x1,将上式代入②并整理,得y002+1(x0≠0),∴中点M的轨迹方程为2+1(x≠0).()设直线,依题意k≠0≠0,则T(0).由消去x,得y2-2(k2)2=0 ③则,方法1:∴()≥2=2=2.∵y12可取一切不相等的正数，∴的取值范围是(2∞).方法2:∴.当b>0时·;当b<0时，·.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2)2-4b2=4k2(k2+2b)>0,于是k2+2b>0，即k2>-2b,所以＞=2.∵当b >0时可取一切正数， ∴的取值范围是(2∞). 方法3：由P 、Q 、T 三点共线得, 即 ,则 x 1y 212y 12,即 b (x 21)=(x 2y 11y 2). 于是 , ∴≥2.∵可取一切不等于1的正数， ∴的取值范围是(2∞). 43.(2004福建,文21)如图，P 是抛物线C ：x 2上一点,直线l 过点P 并及抛物线C 在点P 的切线垂直及抛物线C 相交于另一点Q ． (I)当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程； ()当点P 在抛物线C 上移动时,求线段中点M 的轨迹方程,并求点M 到x 轴的最短距离． 【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：(I)把2代入x 2,得2, ∴点P 坐标为(2,2). 由x 2, ① 得y´.∴过点P 的切线的斜率k 切=2,直线l 的斜率k 切)12,∴直线l 的方程为2(2), 即26=0.()设P(x 00),则y 0x 02.∵过点P 的切线斜率k 切0,当x 0时不合意， ∴x 0≠0,∴直线l 的斜率错误!,直线l的方程为x02(0). ②方法1：联立①②消去y,得x202-2=0.设Q(x11)(),∵M为的中点，∴,消去x0,得2+1(x≠0),就是所求轨迹方程.由x≠0知x2>0,∴2+1≥≥+1.上式等号仅当x2,即时成立，所以点M到x轴的最短距离是+1.方法2：设Q(x11)(),则y0x02, y1x12,得y01x02x12(x01)(x01)(x01),∴,∴x0,将上式代入②并整理,得2+1(x≠0),就是所求轨迹方程.由x≠0知x2>0,∴2+1≥≥+1.上式等号仅当x2,即时成立，所以点M到x轴的最短距离是+1.44.(2004湖北,理20文20)直线1及双曲线C:2x22=1的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数k的取值范围；（）是否存在实数k，使得以线段为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【解析】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线及方程的关系,及其综合应用能力. 解：（Ⅰ）将直线l 的方程1代入双曲线C 的方程2x 22=1后，整理得：22(2)220.k x kx -++=……①依题意,直线l 及双曲线C 的右支交于不同两点,故2222220,(2)8(2)0,20220.22 2.k k k k k k k k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪⎪>-⎩-<<-解得的取值范围是（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为(x 11), (x 22),则由①式得1222222,22.2k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩……② 假设存在实数k ,使得以线段为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F(c ,0).则由⊥得：12121212()()0.()()(1)(1)0.x c x c y y x c x c kx kx --+=--+++=即整理得221212(1)()()10.k x x k c x x c ++-+++=③把②式及代入③式化简得252660.k k +-=解得66k +=-66(2,2)()k -=∉--或舍去 可知66k +=-使得以线段为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.45.(2004浙江,文22理21)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A (1,0),点P 、Q 在双曲线的右支上,点M (m ,0)到直线的距离为1, ⑴若直线的斜率为k ,且33求实数m 的取值范围；⑵当21时,△的内心恰好是点M ,求此双曲线的方程.【解析】解: (Ⅰ)由条件得直线的方程(1),y k x =-即0.kx y k --=因为点M 到直线的距离为1,1,=即1m -==∵k ∈12,m ≤-≤≤m ≤3或1≤m ≤∴m的取值范围是23[1,1[1--+(Ⅱ)可设双曲线方程为2221(0),y x b b-=≠由1,0),(1,0),M A得AM=又因为M 是Δ的内心到的距离为1,所以∠45º,直线是∠的角平分线,且M 到、的距离均为1.因此,1,1-==AQAP k k (不妨设P 在第一象限)直线方程为2x =直线的方程1,∴解得P 的坐标是将P点坐标代入1222=-by x 得,2b =所以所求双曲线方程为221,x y -= 即221) 1.x y -=46.(2004上海,文20) 如图, 直线21及抛物线812-4交于A 、B 两点, 线段的垂直平分线及直线5交于Q 点. (1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段下方(含A 、B) 的动点时, 求Δ面积的最大值.BAOQPxy【解析】解:⑴解方程组212148y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,得42x y =-⎧⎨=-⎩或84x y =⎧⎨=⎩,即A(－4,－2)(8,4), 从而的中点为M(2,1).由12,直线的垂直平分线方程y －1=12(x －2).令－5, 得5,∴Q(5,－5)(2) 直线的方程为0, 设P(x , 18x 2－4).∵点P 到直线的距离21482x x +-2183282x x +-, 52OQ =,∴S Δ＝21OQ d＝2583216x x +-.∵P 为抛物线上位于线段下方的点, 且P 不在直线上, ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8. ∵函数2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当8时, Δ的面积取到最大值30.47.(2004湖南文22,理21) 如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0)(m>0)作直线及抛物线交于两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.(I)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ,证明:()QP QA QB λ⊥-；()设直线的方程是212=0,过A 、B 两点的圆C 及抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程．【解析】解：(Ⅰ)依题意,可设直线的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得.0442=--m kx x ①设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根.所以 .421m x x -= 由点P(0)分有向线段所成的比为λ,得.,012121x xx x -==++λλλ即又点Q 是点P 关于原点的对称点,故点Q 的坐标是(0,－m),从而(0,2)QP m =. 1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-=+-+=1212(,(1)).x x y y m λλλ--+-12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-221121222[(1)]44x x x xm n x x =+⋅++1212242()4x x m m x x x +=+⋅ 122442()0.4m m m x x x -+=+⋅=所以 ().QP QA QB λ⊥-(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧==+-,4,01222y x y x 得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(－4,4).由 y x =2 得 ,21,412x y x y ='=所以抛物线 y x 42=在点A 处切线的斜率为 36='=x y设圆C 的方程是222()(),x a y b r -+-=则222291,3(6)(9)(4)(4).b a b a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩解之得 32a =-,232b =,222125(4)(4).2r a b =++-=所以圆C 的方程是22323125()(),222x y ++-=即22323720.x y x y ++-+=48.(2004重庆,文理21) 设0p >是一常数,过点(2,0)Q p 的直线及抛物线22y px =交于相异两点A 、B,以线段为直经作圆H(H 为圆心).试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线的方程.【解析】解法一：由题意,直线不能是水平线,故可设直线方程为：2ky x p =-.又设(,),(,)A A B B A x y B x y ,则其坐标满足22,2.ky x p y px =-⎧⎨=⎩消去x 得 22240y pky p --=, 由此得22,4.A B A B y y pk y y p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩,22224()(42),()4(2)A B A B A B A Bx x p k y y k p y y x x p p ⎧+=++=+⎪⎨==⎪⎩因此0A B A B OA OB x x y y ⋅=+=.即⊥．故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H(H H y x ,)是的中点,故2(2),2.2A B H A B Bx x x k p y y y kp +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩,由前已证应是圆H 的半径,且||OH . 从而当0时,圆H 的半径最小,亦使圆H 的面积最小. 此时,直线的方程为：2p.解法二：由题意,直线不能是水平线,故可设直线方程为：－2p ,),(),,(B B A A y x B y x A ,则其坐标满足⎩⎨⎧=-=.2,22px y p x ky ,分别消去得22222240,2(2)40.y pky p x p k x p ⎧--=⎪⎨-++=⎪⎩故得A 、B 所在圆的方程2222(2)20.x y p k x pky +-+-= 明显地(0,0)满足上面方程所表示的圆上,又知A 、B 中点H 的坐标为2(,)((2),),22A B A Bx xy y k p kp ++=+ 故 ||OH =,而前面圆的方程可表示为222[(2)]()x k p y pk -++-＝22222(2)k p k p ++,故为上面圆的半径R,从而以为直径的圆必过点O(0,0).又22422||(54)R OH k k p ==++,故当0时2最小,从而圆的面积最小,此时直线的方程为：2p. 解法三：同解法一得O 必在圆H 的圆周上,又直径4.p ≥=上式当B A x x =时,等号成立,直径最小,从而圆面积最小.此时直线的方程为2p.49.(2004辽宁,19) 设椭圆方程为1422=+y x ,过点M(0,1)的直线l 交椭圆于点A 、是坐标原点,点P 满足1()2OP OA OB =+,点N 的坐标为)21,21(,当l 绕点M 旋转时,求：(1)动点P 的轨迹方程；(2)||NP 的最小值及最大值.【解析】考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法及应用、曲线及方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．(1)解法一：直线l 过点M(0,1)设其斜率为k,则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组22 1 ①1 ②4y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 的解. 将①代入②并化简得,22(4)230k x kx ++-=,所以1221222,48.4k x x k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩于是1()2OP OA OB =+＝1212(,)22x x y y ++＝224(,)44k k k -++．设点P的坐标为),,(y x 则22,44.4k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去参数k 得2240x y y +-= ③当k 不存在时、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为),(y x ,因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上,所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得222212121()04x x y y -+-=,所以121212121()()()()0.4x x x x y y y y -++-+=当21x x ≠时,有121212121()0.4y y x x y y x x -+++⋅=- ⑥,并且12121212,2,21.x x x y y y y y y x x x ⎧+=⎪⎪+⎪=⎨⎪-⎪-=⎪-⎩ ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧。

历届高考中的“椭圆”试题精选、选择题:(2002春招北京文、理)已知椭圆的焦点是 F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点. 使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线的一支(D )抛物线(2004福建文、理)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点， 过R 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于二、填空题:则该椭圆的离心率 e ___________________ .10. (2006上海理)已知椭圆中心在原点，一个焦点为 倍，则该椭圆的标准方程是 ___________________________11. (2007江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点A( 4,0)和C(4,0)，顶点B 在椭2 2圆』L 1上，则弘A sinC ________________________25 9 sin B12.(2001春招北京、内蒙、安徽文、理) 椭圆x 2 4y 2 4长轴上一个顶点为 A 以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________ .-历届高考中的“双曲线”试题精选1.(2007 (A )安徽文)椭圆X 22(B ) 342. (2008 上海文 ) A . 4(2005广东) 4y 2)设p 是椭圆B . 52x25 1的离心率为(2(C )2y 16C. 8若焦点在x 轴上的椭圆B.(2006全国n 卷文、理)点，且椭圆的另外一个焦点在(B) 6 2(D )-31上的点. x 2D. 2yC.已知△ ABC 勺顶点B BC 边上，则△(C 4 3 (A ) 2 3 (2003北京文)如图，直线l : x 2y 2 F 1和一个顶点B,该椭圆的离心率为(1 25 2, 5 A. B . - C .D .-5 555若F" F 2是椭圆的两个焦点， 1011的离心率为一，则m=(2D.-3X 22C 在椭圆_ + y = 1上，顶点 ABC 勺周长是()D ) 120过椭圆的左焦点)则PF 』| PF ?等 A 是椭圆的一个焦如果延长F i P 到Q,A 、B 两点，若△ ABF 是正三角形，^2爲(A ) (B ) -338. (2007重庆文)已知以F 1 个交点，则椭圆的长轴长为( 则这个椭圆的离心率是( ) 2 (22 2),F 2 (2,0 )为焦点的椭圆与直线 x < 3y 4 0有且仅有 ) (C ) (-2,0 26(C ) 2、、79.(2008 全国I 卷文)在厶 ABC 中，A 90o , ta nB•若以A , B 为焦点的椭圆经过点 C ,F (- 2 3 , 0)，且长轴长是短轴长的 2、选择题:（2005全国卷n文, 2004春招北京文、理）2.2x3(2006全国I卷文、A 1B .4(A) y理）4(B) y -x9双曲线mx2（2000春招北京、安徽文、理）双曲线双曲线的离心率是（(C)4x24. ( (2007全国I文、理) )2 2(A)x_ 14 125. (2008辽宁文)6. ( 2005全国卷2双曲线—43y 2x(D)1的渐近线方程是（）1的虚轴长是实轴长的2y~2a2已知双曲线的离心率为2,2(B)—12已知双曲线9y2)B.IIIuuuur UUULTMF 1 MF 2 0,则点C.文、理）已知双曲线M到x轴的距离为（B. 532 27 . （2008福建文、理）双曲线务占a b9x42倍，则m ()1的两条渐近线互相垂直，那么该焦点是（-4 ,2 2(0 2x_ y_ 110 60） , （4, 0）,则双曲线方程为2 2(0冬上16 101（m 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为D. 42—1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且2）C.兰31 (a>0, b> 0)点，且| PR | 2 | PF2 |，则双曲线离心率的取值范围为（A. （1,3）B. （1,3] c. （3,）2 2x r8.（2007安徽理）如图，F1和F2分别是双曲线—2a b 的两个焦点为F I,F2，若P为其上的一)D. [3,1(a 0,b 0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF」为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且厶F2AB是等边三角形，(A) .3 (B) ,5 则双曲线的离心率为（二（D）1 32(C)二、填空题:9. ( 2008安徽文)10. (2006上海文)2 _—一1的离心率是3。

圆锥曲线1．2．(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.3．4．5．6．出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.7．已知直线l过坐标原点,抛物线C顶点在原点,焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.8．又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2.当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.9．圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程．10．如图, 直线L1和L2相交于点M, BL1⊥L2, 点N ∈L1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若∆AMN为锐角三角 A形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. L1M L2 N11．如图，给出定点A(a, 0) (a>0)和直线: x = –1 . B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C. 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.12．如图，设点A 和B 为抛物线()042>=p px y 上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB 。

求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

13．如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

求双曲线的离心率。

14．如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。

专题24圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1第二问求曲线方程（10年6考）2022·天津卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷2018·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2015·天津卷2015·安徽卷1.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及方程的求解，通常大题第一问考查方程求解2.掌握轨迹方程的求解，近年该考点多次考查3.熟练掌握直线方程的求解，会求斜率值或范围4.会弦长等距离的求解，会定值定点定直线的求解及证明，该内容也是高考命题热点考点2求轨迹方程（10年5考）2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国新Ⅰ卷、2019·全国卷2017·全国卷、2015·湖北卷考点3求直线方程（10年8考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷、2022·全国甲卷、2021·天津卷2020·天津卷、2018·江苏卷、2017·全国卷、2017·天津卷2015·江苏卷考点4求斜率值或范围（10年6考）2021·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷、2019·天津卷2018·天津卷、2018·天津卷、2017·天津卷、2017·山东卷2016·山东卷、2016·上海卷、2016·天津卷、2016·全国卷2016·上海卷、2016·天津卷、2015·天津卷、2015·北京卷考点5离心率求值或范围综合（10年7考）2024·北京卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2020·全国卷2019·天津卷、2019·全国卷、2016·四川卷、2016·浙江卷2015·重庆卷、2015·重庆卷考点6弦长类求值或范围综合（10年6考）2022·浙江卷、2020·北京卷、2019·全国卷、2017·浙江卷2016·北京卷、2016·全国卷、2015·四川卷、2015·山东卷考点7其他综合类求值或范围综合（10年5考）2024·上海卷、2024·北京卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2019·全国卷、2016·四川卷、2015·四川卷考点8定值定点定直线问题2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·全国乙卷2020·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·北京卷、2019·北京卷（10年7考）2017·全国卷、2017·北京卷、2017·全国卷、2016·北京卷2016·北京卷、2015·陕西卷、2015·全国卷考点9其他证明综合（10年9考）2024·全国甲卷、2023·全国新Ⅰ卷、2023·北京卷、2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅱ卷、2019·全国卷2018·北京卷、2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2017·北京卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2016·四川卷2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·四川卷、2015·湖南卷2015·全国卷、2015·福建卷考点10圆锥曲线与其他知识点杂糅问题（10年3考）2024·全国新Ⅱ卷、2018·全国卷、2016·四川卷考点01第二问求曲线方程1．（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足BF AB =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 2．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.3．（2019·全国·高考真题）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.4．（2019·天津·高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知|2||OA OB =（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.5．（2018·全国·高考真题）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．6．（2017·全国·高考真题）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.7．（2017·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（I ）求椭圆的离心率；（II ）设点Q 在线段AE 上，32FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（i ）求直线FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程.8．（2015·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为（Ⅰ）求直线BF 的斜率;（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M ,||=||PM MQ l .（ⅰ）求λ的值;（ⅱ）若||sin PM BQP ∠=求椭圆的方程.9．（2015·安徽·高考真题）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.考点02求轨迹方程1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．(1)求W 的方程；(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.3．（2019·全国·高考真题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.4．（2017·全国·高考真题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .5．（2015·湖北·高考真题）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内做往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．考点03求直线方程1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知123,1A F A F ==．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点P 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A PF 面积的二倍，求直线2A P 的方程．3．（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．4．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为B 255，且5BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．5．（2020·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．6．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ，求直线l 的方程．7．（2017·全国·高考真题）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.8．（2017·天津·高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为2，求直线AP 的方程.9．（2015·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.考点04求斜率值或范围1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.2．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交3y =-交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．3．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.4．（2019·天津·高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.5．（2018·天津·高考真题）设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ =∠(O 为原点)，求k 的值.6．（2018·天津·高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．AB =．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM△的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．7．（2017·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（I ）求椭圆的离心率；（II ）设点Q 在线段AE 上，32FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（i ）求直线FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程.8．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：12y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且124k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.9．（2016·山东·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点(0,)(0)M m m >的直线交x 轴与点N ，交C 于点,A P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .（ⅰ）设直线,PM QM 的斜率分别为12,k k ，证明21k k 为定值；（ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值.10．（2016·上海·高考真题）双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.11．（2016·天津·高考真题）设椭圆2221(3x y a a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.12．（2016·全国·高考真题）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k >0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.13．（2016·上海·高考真题）双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过2F 且与双曲线交于,A B 两点．（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =，若l 的斜率存在，且AB 4=，求l 的斜率．14．（2016·天津·高考真题）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的斜率的取值范围.15．（2015·天津·高考真题）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，433（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP 2OP （O 为原点）的斜率的取值范围.16．（2015·北京·高考真题）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．考点05离心率求值或范围综合1．（2024·北京·高考真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,2t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知123,1A F A F ==．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点P 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A PF 面积的二倍，求直线2A P 的方程．3．（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足32BF AB =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN4．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.5．（2019·天津·高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知|2||OA OB =（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.6．（2019·全国·高考真题）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2 POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.7．（2016·四川·高考真题）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n ∈N .（Ⅰ）若2322,,2a a a +成等差数列，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n nn n e e e --++⋅⋅⋅+>.8．（2016·浙江·高考真题）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.9．（2015·重庆·高考真题）如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，且过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥.(1)若122PF =+，222PF =-，求椭圆的标准方程.(2)若1PQ PF λ=，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率的取值范围.10．（2015·重庆·高考真题）如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222,22PF PF ==，求椭圆的标准方程（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e 考点06弦长类求值或范围综合1．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．2．（2020·北京·高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．3．（2019·全国·高考真题）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．4．（2017·浙江·高考真题）如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q.（I ）求直线AP 斜率的取值范围；（II ）求·PA PQ 的最大值5．（2016·北京·高考真题）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）32(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.6．（2016·全国·高考真题）（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OHON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.7．（2015·四川·高考真题）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.8．（2015·山东·高考真题）平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144+=x y E a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求OQ OP的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.考点07其他综合类求值或范围综合1．（2024·上海·高考真题）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．2．（2024·北京·高考真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．3．（2020·北京·高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．4．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．5．（2019·全国·高考真题）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2 POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.6．（2016·四川·高考真题）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．7．（2015·四川·高考真题）椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率是2，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由考点08定值定点定直线问题1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A -在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．5．（2020·全国·高考真题）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.6．（2019·北京·高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.7．（2019·北京·高考真题）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．8．（2017·全国·高考真题）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.9．（2017·北京·高考真题）已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．10．（2017·全国·高考真题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .11．（2016·北京·高考真题）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.12．（2016·北京·高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()()2,0,0,1A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．13．（2015·陕西·高考真题）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为2.(I)求椭圆E 的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），问：直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．14．（2015·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.考点09其他证明综合1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．(1)求W 的方程；(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于3．（2023·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =6．（2019·全国·高考真题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.7．（2018·北京·高考真题）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．8．（2018·全国·高考真题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．9．（2018·全国·高考真题）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．10．（2018·全国·高考真题）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.11．（2017·北京·高考真题）已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．12．（2017·全国·高考真题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .13．（2016·四川·高考真题）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．14．（2016·四川·高考真题）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n ∈N .（Ⅰ）若2322,,2a a a +成等差数列，求数列{a n }的通项公式；。

如何解答高考中圆锥曲线基础题广东省中山市东升高中 高建彪圆锥曲线知识在高考中常以一道大题与一道小题出现，小题的熟练求解是大题的铺路石，它代表着掌握圆锥曲线基础知识和基本方法的熟练程度. 下面分析常用解答方法.一、利用圆锥曲线的定义求相关距离：例1．（04年湖南卷.文4理2）如果双曲线221312x y -=1上一点P 到右焦点的距离等于,那么点P 到右准线的距离是（ ）.A.135 B. 13 C. 5 D. 513【解】点评：利用圆锥曲线的第一定义，可以在两条焦半径之间转化；利用圆锥曲线的第二定义，可以将焦半径转化为点到准线的距离.此题如果设点P 后用方程组求解，计算将十分繁琐，而用第二定义求解，则比较简单.练1．（04年全国卷一.文理7）椭圆2214x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF=（ ）.A B C ．72D ．4练2．（04年辽宁卷.9）已知点1(F 、2F ，动点P 满足21||||2PF PF -=. 当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是（ ）.A B ．32C D ．2练3．（04年全国卷三.理16）设P 是曲线24(1)y x =-上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .二、利用方程思想讨论直线与圆锥曲线的公共点： 例2．（04年天津卷.文15理14）如果过两点(,0)A a 和(0,)B a 的直线与抛物线223y x x =--没有交点，那么实数a 的取值范围是 .点评：曲线交点的讨论，常常是联立方程组，消元后分析一元二次方程根的情况，由判别式进行讨论. 对方程组根的讨论是公共点情况的理论解释.练4．（04年全国卷一.文理8）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）.A ． 11[,]22- B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]练5．（04年重庆卷.理16）对任意实数k ，直线：y kx b =+与椭圆：2cos 14sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(02)θπ≤≤恰有一个公共点，则b 取值范围是______.练6．（04年湖南卷.文15）F 1，F 2是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为_______.练7．（04年浙江卷.文6理4）曲线24y x =关于直线x =2对称的曲线方程是（ ）.A ．284y x =- B. 248y x =- C. 2164y x =- D. 2416y x =-三、熟练运用圆锥曲线的几何性质解题： 例3．（04年全国卷二.理15）设中心在原点的椭圆与双曲线2222x y -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 .【解】例4．（04年浙江卷.文11理9）若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）.A ．1617B. C. 45 D.【解】点评：牢记圆锥曲线的几何性质，如焦点坐标、相关轴长、准线方程、离心率等，比较共同点与不同点.如椭圆和双曲线的离心率是ce a=，准线方程是2a x c =±，而a 、b 、c 的关系却不同，椭圆222a b c =+，双曲线222c a b =+，这点要特别注意不能混淆.练8．（04年全国卷三. 文8理7）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率=e （ ）. A. 5 D. 54练9．（04年上海卷.文理2）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x =－1,则它的焦点坐标为 .练10．（04年广东卷.8）若双曲线2220)x y k k -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k = （ ）. A. 6 B. 8 C. 1 D. 4练11．（04年天津卷.文5理4）设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为1320,x y F -=、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF =（ ）.A. 1或5B. 6C. 7D. 9练12．（04年江苏卷.5）若双曲线22218x y b-=的一条准线与抛物线28y x =的准线重合，则双曲线离心率为 （ ）. A. B. C. 4 D.四、利用圆锥曲线的定义解答相关三角形问题：例5．（04年湖北卷.理6）已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个项点，则点P 到x 轴的距离为（ ）.A.95 B. 3 C. D. 94【解】点评：圆锥曲线的第一定义，常用于解决过焦点的弦或焦半径组成的三角形研究问题. 这里所已知的直角三角形的直角顶点不确定，注意分情况进行讨论.练13．（04年福建卷.文理4）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）.A.32 B. 33 C. 22 D. 23五、利用圆锥曲线中的焦半径公式解题：例6．（04年重庆卷.文10）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为( ).A.43 B. 53 C. 2 D. 73【解】点评：记住相关公式：椭圆焦半径0a ex ±，双曲线焦半径0ex a ±，抛物线焦半径02px +. 要求能运用圆锥曲线的统一定义，熟练推导出焦半径公式，理解公式并运用. 练14．（04年湖南卷.理16）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点),3,2,1(1 =i P 使123,FP FP FP 组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围为 .小结语：高考中对圆锥曲线的基础知识的考查，主要是两个方面：熟记圆锥曲线的几何性质并运用；能熟练运用圆锥曲线的定义解题. 同时，定义法、方程思想、转化思想等数学思想方法，巧妙的融入解题中. （写于2005年3月8日）答案：例1～6. A ，134a <-, 2212x y +=, D, D, B 练1～5. C, A, 练6～10. 2, C, C, (5,0) , A 练11～14. C, A, A, 11[,0)(0,]1010-2004年高考卷归类练习（圆锥曲线基础）一、利用圆锥曲线的定义求相关距离：例1．（04年湖南卷.文4理2）如果双曲线221312x y -=1上一点P 到右焦点的距离等于,那么点P 到右准线的距离是（ ）.A. 135B. 13C. 5D. 513练1．（04年全国卷一.文理7）椭圆2214x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF=（ ）.A B C ．72D ．4练2．（04年辽宁卷.9）已知点1(F 、2F ，动点P 满足21||||2PF PF -=.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是（ ）.A B ．32C D ．2练3．（04年全国卷三.理16）设P 是曲线24(1)y x =-上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .二、利用方程思想讨论直线与圆锥曲线的公共点： 例2．（04年天津卷.文15理14）如果过两点(,0)A a 和(0,)B a 的直线与抛物线223y x x =--没有交点，那么实数a 的取值范围是 .练4．（04年全国卷一.文理8）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）.A ． 11[,]22- B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]练5．（04年重庆卷.理16）对任意实数k ，直线：y kx b =+与椭圆：2cos 14sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(02)θπ≤≤恰有一个公共点，则b 取值范围是______.练6．（04年湖南卷.文15）F 1，F 2是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为_______.练7．（04年浙江卷.文6理4）曲线24y x =关于直线x =2对称的曲线方程是（ ）.A ．284y x =- B. 248y x =- C. 2164y x =- D. 2416y x =- 三、熟练运用圆锥曲线的几何性质解题： 例3．（04年全国卷二.理15）设中心在原点的椭圆与双曲线2222x y -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 .例4．（04年浙江卷.文11理9）若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）.A ．1617B. C. 45 D.练8．（04年全国卷三. 文8理7）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率=e （ ）. A. 5 D. 54练9．（04年上海卷.文理2）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x =－1,则它的焦点坐标为 .练10．（04年广东卷.8）若双曲线2220)x y k k -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k = （ ）. A. 6 B. 8 C. 1 D. 4练11．（04年天津卷.文5理4）设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为1320,x y F -=、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF =（ ）.A. 1或5B. 6C. 7D. 9练12．（04年江苏卷.5）若双曲线22218x y b-=的一条准线与抛物线28y x =的准线重合，则双曲线离心率为 （ ）. A. B. C. 4 D.四、利用圆锥曲线的定义解答相关三角形问题：例5．（04年湖北卷.理6）已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个项点，则点P 到x 轴的距离为（ ）.A.95 B. 3 C. D. 94练13．（04年福建卷.文理4）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）.A.32 B. 33 C. 22 D. 23五、利用圆锥曲线中的焦半径公式解题：例6．（04年重庆卷.文10）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为( ).A. 43B. 53C. 2D. 73练14．（04年湖南卷.理16）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点),3,2,1(1 =i P 使123,FP FP FP 组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围为 .。