江苏省连云港市东海县第二中学高三数学上学期期中试题 理 苏教版

江苏省连云港市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高三上·丰台期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二下·浙江期末) 已知集合，A∩B=（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一上·长安月考) 已知正方形的对角线与相交于点，将沿对角线折起，使得平面平面（如图），则下列命题中正确的是（）A . 直线直线，且直线直线B . 直线平面，且直线平面C . 平面平面，且平面平面D . 平面平面，且平面平面4. （2分） (2019高三上·安徽月考) 平行四边形ABCD中，，，，若，且，则的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 65. （2分） (2019高二上·遵义期中) 若向量满足，且，则向量的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°6. （2分） (2019高三上·吉林月考) 已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，则所得的函数解析式为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·广州期中) 设函数，，其中， .若，，且的最小正周期大于，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，8. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A . -B .C . -D .9. （2分）数 f(x)=x2 在点 (2,f(2))处的切线方程为（）A . y=4B . y=4x+4C . y=4x+2D . y=4x-410. （2分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . c＞a＞bC . c＞b＞aD . a＞c＞b二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）设m= ，n= ，那么它们的大小关系是m________n．12. （1分）(2020·银川模拟) 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则 ________.13. （1分） (2018高一下·汕头期末) 非零向量的夹角为，且满足，向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则 ________．14. （1分） (2019高三上·中山月考) 对于，有如下命题：①若，则一定为等腰三角形；②若，则定为钝角三角形；③在为锐角三角形，不等式恒成立；④若，则；⑤若，则 .则其中正确命题的序号是________ .（把所有正确的命题序号都填上）15. （1分）(2017·静安模拟) 函数的最小正周期为________三、解答题 (共6题；共50分)16. （10分） (2019高一下·温州期末) 在正△ABC中，AB＝2，（t∈R）.（1）试用，表示：（2）当• 取得最小值时，求t的值.17. （10分） (2017高一上·武汉期中) 已知函数y=f（x）（x＞0）满足：f（xy）=f（x）+f（y），当x＜1时f（x）＞0，且f（）=1；（1）证明：y=f（x）是（x＞0）上的减函数；（2）解不等式f（x﹣3）＞f（）﹣2．18. （5分） (2018高二上·深圳期中) 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率，若是真命题，求实数的取值范围．19. （5分） (2019高一下·湖州期末) 在中，内角所对的边分别是．已知，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．20. （10分） (2016高二上·温州期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a2+b2=2c2 ，sinAcosB=2cosAsinB．（1）求cosC的值；（2）若，求△ABC的面积．21. （10分）(2017·莆田模拟) 已知函数f（x）= ．（1）证明：∀k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f（x）的切线；（2）若∃x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。

2023-2024学年江苏省连云港市东海县高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1．抛物线x 2＝﹣4y 的焦点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（0，﹣1）2．过点P （1，﹣1），倾斜角为135°的直线方程为（ ） A ．y ＝﹣xB ．y ＝xC ．y ＝x +1D ．y ＝﹣x +13．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若S 17=172，则a 3+a 15＝（ ） A ．4B ．2C ．1D ．04．若圆（x ﹣a ）2+y 2＝1（a ≥0）与圆x 2+（y ﹣2）2＝25有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2√3]B ．[1，5]C ．[2√3，4√2]D ．[4√2，5]5．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n+1={a n +1，n 为奇数a n +3，n 为偶数，记b n ＝a 2n ，则有（ ）A ．b 1＝5B ．b 2＝9C ．b n +1﹣b n ＝2D ．b n ＝4n ﹣16．已知直线l ：λx ﹣y ﹣4λ+3＝0（λ为实数）和圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +21＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是（ ） A ．2√3B ．2√2C ．2D ．√27．已知等轴双曲线C 的中心为O ，焦点为F 1、F 2，若双曲线C 上一点P 满足：|PF 1|•|PF 2|＝6，则|PO |＝（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．√68．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)与圆C 2：x 2+y 2=2b23，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．[12，1)C ．(0，14]D ．[14，1)二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.9．过点P （1，2）引直线，使它与两点A （2，2），B （4，﹣6）距离相等，则此直线方程可以为（ ） A ．x +3y ﹣7＝0B ．4x +y ﹣6＝0C ．2x +y ﹣4＝0D ．x +4y ﹣9＝010．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1＞0，S 8＝S 16，下列判断正确的是（ ）A．d＞0B．a13＜0C．S n的最大值是S12D．当S n＜0时，n最小值为2511．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于点A，B，过A，B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足分别为P，Q，线段PQ的中点为E，则有（）A．y A y B＝﹣4B．1|AF|+1|BF|＞2C．FP⊥FQ D．AE⊥BE12．已知圆O：x2+y2＝4，过直线l：x+y﹣4＝0上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则下列结论正确的是（）A．存在点P，使得四边形P AOB为菱形B．四边形P AOB面积的最小值为4C．线段AB的最小值为√2D．△P AB的外接圆恒过两个定点三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知等差数列{a n}的首项a1＝14，公差d=−34，当|a n|最小时，n＝．14．已知直线l过点（2，2）且与抛物线y2＝2x只有一个公共点，则直线l的方程为．15．写出与圆x2+y2＝1和圆（x+3）2+y2＝4都相切的一条切线方程．16．双曲线的光学性质为（如图①）：从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分（如图②），其方程为x2a2−y2b2=1，F1，F2为其左右焦点，若从右焦点F2发出的互为反向的光线，经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD＝90°，tan∠ABC=−158，则该双曲线的离心率为．四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1）．（1）求边AB的垂直平分线方程；（2）求顶点C 的坐标．18．（12分）已知S n 是等差数列{a n }前n 项和，S 7＝28，S 10＝55． （1）求a n ；（2）证明：∑ n k=11S k＜2．19．（12分）设m 为实数，直线y ＝mx +1和圆C ：x 2﹣x +y 2＝0相交于P ，Q 两点． （1）若PQ =√22，求m 的值；（2）点O 在以PQ 为直径的圆外（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1，直线l ：y ＝x +t （t 为实数且t ≠0）与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）若直线l 过椭圆的右焦点，求△OAB 的面积； （2）线段AB 的中点为M ，求直线OM 的斜率． 21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A （1，0），焦点到渐近线的距离为√3．（1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 的右支上，若直线AM 与AN 斜率乘积为﹣9，证明：直线MN 过定点．22．（12分）如图，F （0，1）是抛物线Γ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点，过F 的直线交抛物线Γ于A ，B 两点，点A 在第一象限，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在y 轴上，直线AC 交y 轴于点D ，且D 在点F 的上方．记△AFG ，△CDG 的面积分别为S 1，S 2． （1）求抛物线Γ的方程； （2）求S 2S 1的最大值．2023-2024学年江苏省连云港市东海县高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1．抛物线x 2＝﹣4y 的焦点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（0，﹣1）解：抛物线x 2＝﹣4y 的焦点坐标为（0，﹣1）． 故选：D ．2．过点P （1，﹣1），倾斜角为135°的直线方程为（ ） A ．y ＝﹣xB ．y ＝xC ．y ＝x +1D ．y ＝﹣x +1解：根据题意，可得直线的斜率k ＝tan135°＝﹣1，结合点P （1，﹣1）在直线上，可得直线的方程：y +1＝﹣1×（x ﹣1），即y ＝﹣x ． 故选：A ．3．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若S 17=172，则a 3+a 15＝（ ） A ．4B ．2C ．1D ．0解：由题意知，S 17=172=17(a 1+a 17)2， 所以a 1+a 17＝1， 所以a 3+a 15＝a 1+a 17＝1． 故选：C ．4．若圆（x ﹣a ）2+y 2＝1（a ≥0）与圆x 2+（y ﹣2）2＝25有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2√3]B ．[1，5]C ．[2√3，4√2]D ．[4√2，5]解：根据题意可知（x ﹣a ）2+y 2＝1（a ≥0）的圆心为C 1（a ，0），半径为r 1＝1； 圆x 2+（y ﹣2）2＝25的圆心为C 2（0，2），半径为r 2＝5； 由两圆有公共点可得r 2﹣r 1≤C 1C 2≤r 2+r 1， 即4≤√a 2+4≤6， 又a ≥0，解得2√3≤a ≤4√2． 故选：C ．5．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n+1={a n +1，n 为奇数a n +3，n 为偶数，记b n ＝a 2n ，则有（ ）A ．b 1＝5B ．b 2＝9C ．b n +1﹣b n ＝2D ．b n ＝4n ﹣1解：由已知可得：对A ，b 1＝a 2＝a 1+1＝a 1+1＝2+1＝3，故A 错误；对B ，b 2＝a 4＝a 3+1＝a 3+1＝a 2+1+1＝a 2+3+1＝3+3+1＝7，故B 错误；对C ，b n +1﹣b n ＝a 2（n +1）﹣a 2n ＝a 2n +1+1﹣a 2n ＝a 2n +1+1﹣a 2n ＝a 2n +3+1﹣a 2n ＝4，故C 错误；对D ，由C 得公差为4，由A 得b 1＝3，通项公式为b n ＝b 1+（n ﹣1）d ＝3+（n ﹣1）4＝4n ﹣1，故D 正确． 故选：D ．6．已知直线l ：λx ﹣y ﹣4λ+3＝0（λ为实数）和圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +21＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是（ ） A ．2√3B ．2√2C ．2D ．√2解：直线l 的方程可化为λ（x ﹣4）﹣（y ﹣3）＝0， 由{x −4=0y −3=0，可得{x =4y =3， 所以直线l 过定点D （4，3）．将圆C 的方程化为标准方程可得（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4， 所以圆心C （3，4），半径r ＝2．设圆心到直线l 的距离为d ，则d max =|CD|=√(4−3)2+(3−4)2=√2． 由垂径定理可知，d 2+(|AB|2)2=r 2，所以有|AB|2=4(r 2−d 2)=16−4d 2≥16−4d max 2=8，所以|AB |的最小值是2√2． 故选：B ．7．已知等轴双曲线C 的中心为O ，焦点为F 1、F 2，若双曲线C 上一点P 满足：|PF 1|•|PF 2|＝6，则|PO |＝（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．√6解：设等轴双曲线方程为x 2﹣y 2＝a 2，P （x ，y ）为等轴双曲线上的任一点， 可得c =√2a ，则|PF 1|•|PF 2|=√(x −√2a)2+y 2•√(x +√2a)2+y 2 =√x 2−2√2ax +2a 2+y 2•√x 2+2√2ax +2a 2+y 2 =√(x 2+y 2+2a 2)2−8a 2x 2=√(2y 2+3a 2)2−8a 2(y 2+a 2) =√4y 4+4y 2a 2+a 4 ＝2y 2+a 2＝x 2+y 2＝|OP |2． 故|OP |=√6． 故选：D ．8．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)与圆C 2：x 2+y 2=2b23，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．[12，1)C ．(0，14]D ．[14，1) 解：根据题意可得椭圆C 1上存在点P 使得|PO |=√2r =√2√2√3=2√3， 又b ≤|PO |≤a ， ∴√3b ≤a ，∴4（a 2﹣c 2）≤3a 2， ∴a 2≤4c 2，∴a ≤2c ，∴e =ca ≥12，又e ∈（0，1）， ∴椭圆C 1的离心率的取值范围是[12，1）．故选：B ．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.9．过点P （1，2）引直线，使它与两点A （2，2），B （4，﹣6）距离相等，则此直线方程可以为（ ） A ．x +3y ﹣7＝0B ．4x +y ﹣6＝0C ．2x +y ﹣4＝0D ．x +4y ﹣9＝0解：设所求直线为l ， 当l ∥AB 时，因为A （2，2），B （4，﹣6）， 所以k AB =2−(−6)2−4=−4， 因为直线l 过点P （1，2），所以直线l 方程为y ﹣2＝﹣4（x ﹣1），即4x +y ﹣6＝0； 当直线l 过线段AB 中点时，设A（2，2），B（4，﹣6）中点坐标为（x0，y0）则x0=2+42=3，y0=2+(−6)2=−2，由两点式写出直线l方程为y−2−2−2=x−13−1，即2x+y﹣4＝0．故选：BC．10．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1＞0，S8＝S16，下列判断正确的是（）A．d＞0B．a13＜0C．S n的最大值是S12D．当S n＜0时，n最小值为25解：设数列{a n}的公差为d，由S8＝S16得，8a1+28d＝16a1+120d，解得a1=−232d，选项A，因为a1＞0，所以a1=−232d＞0，所以d＜0，即A错误；选项B，a13=a1+12d=−232d+12d=12d＜0，即B正确；选项C，S n＝na1+n(n−1)2d=−232d•n+n(n−1)2d=d2（n2﹣24n），因为d＜0，所以当n＝12时，S n取到最大值，即C正确；选项D，令S n=d2(n2−24n)＜0，则n2﹣24n＞0，因为n∈N*，所以n＞24，所以当S n＜0时，n的最小值为25，即D正确．故选：BCD．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于点A，B，过A，B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足分别为P，Q，线段PQ的中点为E，则有（）A．y A y B＝﹣4B．1|AF|+1|BF|＞2C．FP⊥FQ D．AE⊥BE解：易知焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，如图所示：可设直线l 的方程为x ＝my +1，A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），联立{y 2=4x x =my +1，消去x 可得y 2﹣4my ﹣4＝0，显然Δ＝16m 2+16＞0，由韦达定理可知y A +y B ＝4m ，y A y B ＝﹣4，故A 正确； 易知|AF |＝|AP |＝x A +1，|BF |＝|BQ |＝x B +1， 所以1|AF|+1|BF|=1x A +1+1x B +1=x A +1+x B +1(x A +1)(x B +1)，又x A +x B =my A +1+my B +1=m(y A +y B )+2=4m 2+2，(x A +1)(x B +1)=(my A +2)(my B +2)=m 2y A y B +2m(y A +y B )+4=4m 2+4， 所以1|AF|+1|BF|=x A +1+x B +1(x A +1)(x B +1)=4m 2+2+24m 2+4=1＜2，故B 错误；可知P （﹣1，y A ），Q （﹣1，y B ），则FP →=(−2，y A )，FQ →=(−2，y B )， 则FP →⋅FQ →=−2×(−2)+y A y B =0，即FP →⊥FQ →，故C 正确；易得E(−1，y A +y B 2)，所以EA →=(x A +1，y A −y B 2)，EB →=(x B +1，y B −yA 2)， 则EA →⋅EB →=(x A +1)(x B +1)+y A −y B 2⋅y B −y A 2=4m 2+4−(y A +y B )2−4y A y B4=4m 2+4−16m 2+164=0， 即EA →⊥EB →，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过直线l ：x +y ﹣4＝0上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点P ，使得四边形P AOB 为菱形 B ．四边形P AOB 面积的最小值为4C ．线段AB 的最小值为√2D ．△P AB 的外接圆恒过两个定点解：根据题意，作出示意图形，如图所示，对A ，若四边形P AOB 为菱形，则|OB |＝PB |＝2，故 OP =2√2， 结合点O 到直线l 的距离d =√1+1=2√2，可知存在点P ，使得四边形P AOB 为菱形．故A 正确；根据A 的结论，可知|OP|min =2√2，所以四边形P AOB 面积等于2S ΔOAP =|PA||OA|=2√|OP|2−4≥4，故B 正确；因为 |AB|=2|OA|sin ∠AOP =4|AP||OP|=4√|OP|2−4|OP|=4√1−4|OP|2， 由|OP|min =2√2，可知1−4|OP|2≥14(22)2=12，所以 |AB|≥4√12=2√2，故C 错误；因为AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，所以A 、P 、B 、O 四点共圆，故△P AB 的外接圆就是四边形APBO 的外接圆， 因为四个点中只有O 为定点，故△P AB 的外接圆恒过一个定点，故D 错误． 故选：AB ．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．已知等差数列{a n }的首项a 1＝14，公差d =−34，当|a n |最小时，n ＝ 20 ． 解：根据题意，a n =a 1+(n −1)d =14−34(n −1)=−34n +594， 令−34n +594＞0，解得n ＜593，令−34n +594＜0，解得n ＞593，当n ＝19时，|a 19|=|−574+594|=12，当n ＝20时，|a 20|=|−15+594|=14， 由于14＜12，故当n ＝20时，|a n |最小．故答案为：20．14．已知直线l 过点（2，2）且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点，则直线l 的方程为 y ＝2或x ﹣2y +2＝0 ．解：如图所示，易知点（2，2）在抛物线y 2＝2x 上，当直线l 斜率为0时，直线l 的方程为y ＝2， 与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点，符合题意； 当点（2，2）为直线l 与抛物线的切点时， 设直线l 的方程为x ﹣2＝m （y ﹣2），联立{y 2=2x x −2=m(y −2)，可得y 2﹣2my +4m ﹣4＝0，由题意有：Δ＝（2m ）2﹣4（4m ﹣4）＝0，解得m ＝2， 此时直线l 的方程为x ﹣2y +2＝0；综上可知：直线l 的方程为y ＝2或x ﹣2y +2＝0． 故答案为：y ＝2或x ﹣2y +2＝0．15．写出与圆x 2+y 2＝1和圆（x +3）2+y 2＝4都相切的一条切线方程 x ＝﹣1（答案不唯一，x −2√2y −3=0或x +2√2y −3=0均可） ．解：圆x 2+y 2＝1的圆心为O （0，0），半径为1；圆（x +3）2+y 2＝4的圆心为C （﹣3，0），半径为2，圆心距|OC |＝3， 又1+2＝3， 所以两圆外切，由图可知共有三条公切线， 易知l 1方程为x ＝﹣1．由图可知，另外两条公切线斜率存在， 故设公切线方程为y ＝kx +m ． 则O （0，0）到y ＝kx +m 的距离为√k 2+1=1， C （﹣3，0）到y ＝kx +m 的距离为√k 2+1=2，所以|﹣3k +m |＝2|m |，所以﹣3k +m ＝2m 或﹣3k +m ＝﹣2m ， 即m ＝﹣3k 或m ＝k ． 当m ＝﹣3k 时，√k 2+1=√k 2+1=1，解得{k =√24m =−3√24或{k =−√24m =3√24，所以公切线的方程为x −2√2y −3=0或x +2√2y −3=0． 当m ＝k 时，√k 2+1=√k 2+1=1，方程无解．综上，公切线的方程为x＝﹣1或x−2√2y−3=0或x+2√2y−3=0．故答案为：x＝﹣1（答案不唯一，x−2√2y−3=0或x+2√2y−3=0均可）．16．双曲线的光学性质为（如图①）：从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分（如图②），其方程为x2a2−y2b2=1，F1，F2为其左右焦点，若从右焦点F2发出的互为反向的光线，经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD＝90°，tan∠ABC=−158，则该双曲线的离心率为√264．解：由题可知F1，A，D共线，F1，B，C共线，如下图：设|AF1|＝m，则|AF2|＝|AF1|﹣2a＝m﹣2a，因为tan∠ABC=−158，所以tan∠ABF1=158，又∠BAD＝90°，所以tan∠ABF1=|AF1||AB|=158，即|AB|=815|AF1|=815m，所以|BF 2|=|AB|−|AF 2|=815m −(m −2a)=−715m +2a ， 所以|BF 1|=|BF 2|+2a =(−715m +2a)+2a =−715m +4a ， 又因为∠BAD ＝90°，|AF 1|＝m ，|AB|=815m ， 所以，由勾股定理得|BF 1|=√|AF 1|2+|AB|2=√m 2+(815m)2=1715m ， 因此|BF 1|=−715m +4a =1715m ，得m =4a ⋅1524=156a =52a ， 而|AF 1|=52a ，|AF 2|=52a −2a =12a ，又|F 1F 2|＝2c ，且∠BAD ＝90°，所以4c 2=(52a)2+(a2)2，即4c 2=264a 2，化简得c 2a 2=2616，所以e =c a =√264．故答案为：√264．四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的一条内角平分线CD 的方程为x +y ﹣1＝0，两个顶点为A （1，2），B （﹣1，﹣1）．（1）求边AB 的垂直平分线方程； （2）求顶点C 的坐标．解：（1）设AB 的中点坐标M （x 0，y 0）， 由中点坐标公式可得x 0=1+(−1)2=0，y 0=2+(−1)2=12， 根据AB 的斜率k AB =2−(−1)1−(−1)=32，可得垂直平分线的斜率k =−23， 所以AB 的垂直平分线方程为y −12=−23x ，即4x +6y ﹣3＝0； （2）由题意，可知A （1，2）关于直线CD 的对称点在BC 上，设为A ′（a ，b ），则{b−2a−1=1a+12+b+22−1=0，解得a ＝﹣1，b ＝0，即A ′（﹣1，0），结合点B （﹣1，﹣1），可得BC 的方程为x ＝﹣1，由{x +y −1=0x =−1，解得x ＝﹣1，y ＝2，即BC 与CD 的交点坐标为（﹣1，2），因此点C 坐标为（﹣1，2）．18．（12分）已知S n 是等差数列{a n }前n 项和，S 7＝28，S 10＝55．（1）求a n ； （2）证明：∑n k=11S k＜2． （1）解：设数列{a n }的公差为d ， 因为S 7＝28，S 10＝55，所以{S 7=7a 1+7×62d =7a 1+21d =28S 10=10a 1+10×92d =10a 1+45d =55，解得{a 1=1d =1，所以a n ＝1+（n ﹣1）×1＝n ． （2）证明：由（1）知，{a 1=1d =1，所以S n =n +n(n−1)2=n(n+1)2， 所以1S n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以∑n k=11S k =2(1−12)+2(12−13)+⋯+2(1n −1n+1)=2(1−1n+1)＜2． 19．（12分）设m 为实数，直线y ＝mx +1和圆C ：x 2﹣x +y 2＝0相交于P ，Q 两点． （1）若PQ =√22，求m 的值；（2）点O 在以PQ 为直径的圆外（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围． 解：（1）圆C ：x 2﹣x +y 2＝0，即(x −12)2+y 2=14，圆心为C(12，0)，半径r =12． 若PQ =√22，则点C 到直线y ＝mx +1的距离d =√r 2−(PQ 2)2=√24， 所以|12m−0+1|√m 2+1=√24，解得m ＝﹣7或﹣1； （2）由{y =mx +1x 2−x +y 2=0消去y ，得（1+m 2）x 2+（2m ﹣1）x +1＝0， 由Δ＞0，得（2m ﹣1）2﹣4（1+m 2）＞0，解得m ＜−34． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=−2m+11+m 2，x 1x 2=11+m 2， 所以y 1y 2=(mx 1+1)(mx 2+1)=m 2x 1x 2+m(x 1+x 2)+1=m 21+m 2+−2m 2+m 1+m 2+1=m+11+m 2， 若点O 在以PQ 为直径的圆外，则∠POQ ＜90°，可得OP →⋅OQ →＞0，即x 1x 2+y 1y 2＞0， 所以11+m 2+m+11+m2＞0，即m+21+m 2＞0，结合1+m 2≥1可得m ＞﹣2，综上所述，−2＜m ＜−34，即m 的取值范围是(−2，−34)． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1，直线l ：y ＝x +t （t 为实数且t ≠0）与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）若直线l 过椭圆的右焦点，求△OAB 的面积； （2）线段AB 的中点为M ，求直线OM 的斜率． 解：（1）由x 24+y 2=1可知，c 2＝a 2﹣b 2＝3，所以椭圆的右焦点为(√3，0)，所以0=√3+t ，即t =−√3，即直线l 方程为y =x −√3， 由{y =x −√3x 24+y 2=1，可得5x 2−8√3x +8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=8√35，x 1⋅x 2=85， 所以|AB|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(8√35)2−4×85=4√25， O 到直线l 的距离d =√3|2=√62， 故S △OAB =12d|AB|=12×√62×4√25=2√35； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 由{y =x +t x 24+y 2=1，可得5x 2+8tx +4t 2﹣4＝0，当Δ＝（8t ）2﹣80（t 2﹣1）＞0，即−√5＜t ＜√5且t ≠0时，x 1+x 2=−8t 5，x 1⋅x 2=4t 2−45，所以y 1+y 2=x 1+x 2+2t =2t 5，故x 0=x 1+x 22=−4t 5，y 0=y 1+y 22=t 5，即M(−4t 5，t5)， 所以k OM =y 0x 0=t5−4t 5=−14， 即直线OM 的斜率为−14．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A （1，0），焦点到渐近线的距离为√3．（1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 的右支上，若直线AM 与AN 斜率乘积为﹣9，证明：直线MN 过定点． 解：（1）不妨取双曲线C 的一条渐近线为y =ba x ，焦点坐标为F （c ，0）， 即bx ﹣ay ＝0，此时焦点F 到直线bx ﹣ay ＝0的距离d =|bc|√a 2+b=√3，又a 2+b 2＝c 2，② 联立①②，解得b =√3，因为双曲线C 的右顶点为A （1，0）， 所以a ＝1，则C 的方程为x 2−y 23=1；（2）证明：当直线MN 的斜率存在时， 不妨设直线MN 的方程为y ＝kx +m ，联立{y =kx +m x 2−y 23=1，消去y 并整理得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣（m 2+3）＝0，因为双曲线C 的右支与直线MN 有两个不同的交点， 所以Δ＝（﹣2km ）2+4（3﹣k 2）（m 2+3）＞0， 解得m 2+3＞k 2，③不妨设M （x 1，y 1） N （x 2，y 2）（x 1，x 2＞1）， 由韦达定理得x 1+x 2=2km 3−k2，x 1x 2=−(m 2+3)3−k2，因为直线AM 与AN 斜率乘积为﹣9，所以k AM ⋅k AN =y 1y2(x 1−1)(x 2−1)=−9(x 1，x 2＞1)，即y 1y 2＝﹣9（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝﹣9x 1x 2+9（x 1+x 2）﹣9， 又y 1y 2＝（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， 可得(k 2+9)x 1x 2+(km −9)(x 1+x 2)+m 2+9=0， 由韦达定理得−(k 2+9)(m 2+3)3−k 2+2km(km−9)3−k 2+m 2+9=0，即2k 2+m 2+3km ＝0， 解得m ＝﹣k 或m ＝﹣2k ， 当m ＝﹣k 时，③式成立，此时直线MN 的方程为y ＝kx ﹣k ＝k （x ﹣1），直线恒过点（1，0）， 因为x ＞1，所以m ＝﹣k 不符合题意； 当m ＝﹣2k 时，③式成立，此时直线MN 的方程为y ＝kx ﹣2k ＝k （x ﹣2），直线恒过点（2，0），符合题意， 则当直线MN 斜率存在时，直线MN 恒过定点（2，0）； 当直线MN 的斜率不存在时，不妨设M （x 1，y 1），N （x 1，﹣y 1）（x 1＞1），此时直线MN 的方程为x ＝x 1（x 1＞0）， 联立{x =x 1x 2−y 23=1，解得y 12=3x 12−3（x 1＞0），因为k AM ⋅k AN=−y 1y 1(x 1−1)(x 1−1)=−y 12(x 1−1)2=−9(x 1＞1)， 所以y 12=9(x 1−1)2（x 1＞1）， 又y 12=3x 12−3（x 1＞0）， 所以9(x 1−1)2=3x 12−3， 即x 12−3x 1+2=0，解得x 1＝1或x 1＝2， 因为x 1＞1，所以x 1＝2， 则直线MN 的方程x ＝2， 此时直线x ＝2过定点（2，0）． 综上，直线MN 经过定点（2，0）．22．（12分）如图，F （0，1）是抛物线Γ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点，过F 的直线交抛物线Γ于A ，B 两点，点A 在第一象限，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在y 轴上，直线AC 交y 轴于点D ，且D 在点F 的上方．记△AFG ，△CDG 的面积分别为S 1，S 2． （1）求抛物线Γ的方程； （2）求S 2S 1的最大值．解：（1）因为F （0，1）是抛物线Γ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点，所以p2=1，解得p ＝2，则抛物线Γ的方程为x 2＝4y ；（2）不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），直线AB 的方程为x ＝k （y ﹣1），k ＞0， 联立{x =k(y −1)x 2=4y ，消去x 并整理得k 2y 2﹣（2k 2+4）y +k 2＝0，由韦达定理得y 1+y 2=2+4k2，y 1y 2=1，此时x 1x 2=−4√y 1y 2=−4，x 1+x 2=k(y 1+y 2−2)=4k ，由重心坐标公式可得x G =x 1+x 2+x 33=13(4k +x 3)，y G =y 1+y 2+y 33=13(2+4k2+y 3)， 令x G ＝0，解得x 3=−4k ，所以y 3=x 324=4k 2，即y G =13(2+4k 2+4k 2)=13(2+8k2)，此时k AC =y 1−y 3x 1−x 3=x 124−x 324x 1−x 3=x 1+x34， 所以直线AC 的方程为y −y 3=x 1+x 34(x −x 3)， 令x ＝0，解得y D =y 3+−x 3(x 1+x 3)4=x 324+−x 3(x 1+x 3)4=−x 1x 34， 所以S 1=12×(y G −y F )×x 1=12×[13(2+8k 2)−1]×x 1=x 12×(83k2−13)，S 2=12×(y D −y G )×(−x 3)=−x 32[−x 1x 34−13(2+8k2)]， 又x 3=−4k ，可得S 2=2k (x1k −23−83k2)，因为x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，所以x 1−4x 1=4k ，此时k =4x 1x 12−4，(x 1＞2)， 则S 1S 2=x 12×(83k 2−13)2k (x 1k −23−83k 2)=2x 12(x 12−2)(x 12−4)(x 12+4)=2−4(x 12−8)+48x 12−8+16≥2−2√(x 1−8)×48x 12−8+16=1+√32， 当且仅当x 12−8=48x 12−8，即x 12=8+4√3，x 1=√6+√2时，等号成立， 则S 2S 1≤1+√32=4−2√3，故S 2S 1的最大值为4−2√3．。

江苏省连云港市东海县第二中学2015届高三数学上学期第一次月考试题4．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝___▲_____．5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a≤b”是“sin A ≤sin B ”的 ▲ 条件.6．函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是___▲______．7．已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2，1)，且λa＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝___▲____．8．已知2tan()3αβ+=，1tan()47πβ-=，则tan()4πα+= ▲ .9．曲线C ：cos ln 2y x x =++在2π=x 处的切线斜率为____ ▲ __.10．设2()3.f x x x a =-+若函数()f x 在区间(1，3)内有零点，则a 的取值范围为 ▲ ． 11．已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos (α－π6)＝_____▲_____． 12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－3x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为____▲____．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x2＋y2－6x ＋5＝0，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则|OA →＋OB →|的最大值是 ▲ .14．设a R ∈,若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则a 的取值为 ▲ .二．解答题：（请将答案填写在答题纸的相应位置，共6小题，总分90分）15．（本题14分）已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．(1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．16．（本题14分）在△ABC 中，命题p ：cos B>0；命题q ：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B 为减函数． (1)如果命题p 为假命题，求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B 的值域； (2)如果“p ∧q ”为真命题，求B 的取值范围.17．（本题15分）已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 判断函数f(x)的奇偶性；(3) 求函数f(x)的值域．18. （本题15分）已知某公司生产某款零件的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款零件x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x2，x>40. (1) 写出年利润W(万元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，该公司在该款零件的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．19．（本题16分）已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数x 的不等式()0f x ≤的解集为(1,)n -（1）当0a >时，解关于x 的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++； （2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于x 的函数1()3x x y f a a +=-（[1,2]x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由。

2014-2015学年江苏省连云港市东海高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）关于实数x不等式2x+≤0的解集是．2．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则a，b，c的从大到小关系是．3．（5分）在△ABC中，若，则A等于．4．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+a＞0”是假命题，则实数a的取值范围为．5．（5分）等比数列{a n}的前n和为S n，当公比q=3，S3=时，数列{a n}的通项公式是．6．（5分）已知不等式ax2﹣bx+1＜0（a，b∈R）的解集是{x|3＜x＜4}，则a﹣b=．7．（5分）对于函数y=f（x），“y=f（x）是奇函数”是“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）8．（5分）已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是．9．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=2a2，若S6=λa2，则λ=．10．（5分）已知命题p：函数y=lg（ax2+2ax+1）的值域是R，命题q：的定义域为R，若p∧q为真命题，则实数a的取值集合为．11．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=．12．（5分）若f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣5，f（3）=4，设P={x|f （x+t）﹣1＜3}，Q={x|f（x）+1＜﹣4}，若“x∈P”是“x∈Q的充分不必要条件，则实数t的取值范围是．13．（5分）若△ABC为锐角三角形，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则sinBsinC的取值范围是．14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=63，则b的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c．（1）若2a=b+c，sin2A=sinBsinC，试判断△ABC的形状；（2）试比较a2+b2+c2与2（ab+bc+ca）的大小．16．（14分）命题p：不等式＜x+a在区间[﹣1，1]上恒成立，命题q：存在x∈R+，使不等式ax2﹣x+2a＜0成立，若“p或q为真”，“p且q为假”，求实数a的取值范围．17．（14分）知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=1，S9=45．数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和为T n．18．（16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．19．（16分）函数，g（x）=ax2﹣b（a、b、x∈R），集合，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．20．（16分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为b，等比数列{b n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．（1）若a1=b1，a2=b2，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若a1，a3，a n1，a n2，…，a nk，…（3＜n1＜n2，＜…＜n k ＜…，k∈N*）成等比数列，求数列{n k}的通项公式；（3）若a1＜b1＜a2＜b2＜a3，且a3+4=b3，求a，b的值．2014-2015学年江苏省连云港市东海高中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）关于实数x不等式2x+≤0的解集是{0} ．【解答】解：∵x≥0，∴2x≥0，≥0，∴2x+≥0，又2x+≤0，∴2x+=0，当且仅当x=0时成立，∴原不等式的解集为：{0}．故答案为：{0}．2．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则a，b，c的从大到小关系是a＞c ＞b．【解答】解：∵a=40.1＞1，b=log30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．3．（5分）在△ABC中，若，则A等于60°．【解答】解：在△ABC中，若，由正弦定理可得：，即b2+c2﹣bc=a2，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可得∴cosA=，∴A=60°．故答案为：60°；4．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+a＞0”是假命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+2x+a＞0”是假命题，∴∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，即a≤﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1≤1；∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．5．（5分）等比数列{a n}的前n和为S n，当公比q=3，S3=时，数列{a n}的通项公式是．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n和为S n，公比q=3，S3=，∴=，解得a1=，∴．故答案为：．6．（5分）已知不等式ax2﹣bx+1＜0（a，b∈R）的解集是{x|3＜x＜4}，则a﹣b=．【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+1＜0（a，b∈R）的解集是{x|3＜x＜4}，∴3，4是一元二次方程ax2﹣bx+1=0的实数根，且a＞0．∴3+4=，，解得a=，b=．∴a﹣b=．故答案为：﹣．7．（5分）对于函数y=f（x），“y=f（x）是奇函数”是“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【解答】解：若y=f（x）是奇函数，则设g（x）=|f（x）|，则g（﹣x）=|f（﹣x）|=|﹣f（x）|=|f（x）|=g（x），则g（x）是偶函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称，即充分性成立，若f（x）=x2，满足y=|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，即必要性不成立，故“y=f（x）是奇函数”是“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要8．（5分）已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是（5，2）．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P即为可行域中的点B，联立，解得．故答案为：（5，2）．9．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=2a2，若S6=λa2，则λ=9．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=2a2，∴a1+4d=2（a1+d），解得a1=2d，∵S6=λa2，∴=λ（a1+d），∴27d=3λd，由d≠0，解得λ=9．故答案为：9．10．（5分）已知命题p：函数y=lg（ax2+2ax+1）的值域是R，命题q：的定义域为R，若p∧q为真命题，则实数a的取值集合为[1，4] ．【解答】解：（1）对于命题p，由对数函数的值域知函数ax2+2ax+1的值域为（0，+∞）；a=0时，该函数为变为1，显然值域为{1}，不符合条件；a≠0则：，解得a≥1；（2）对于命题q，不等式ax2+3ax+2a+1≥0的解集为R；若a=0，不等式变成1≥0，解集为R，符合条件；若a≠0，则：，解得0＜a≤4；∴0≤a≤4；若p∧q为真命题，则p，q都为真命题；∴a≥1，且0≤a≤4；∴1≤a≤4；∴实数a的取值集合为[1，4]．故答案为：[1，4]．11．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=4009．【解答】解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n﹣1）．∴x8=x1+14=﹣3．∴x1=﹣17．∴通项x n=2n﹣19．∴x2014=2×2014﹣19=4009．故答案为：4009．12．（5分）若f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣5，f（3）=4，设P={x|f （x+t）﹣1＜3}，Q={x|f（x）+1＜﹣4}，若“x∈P”是“x∈Q的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：∵f（x+t）﹣1＜3∴f（x+t）＜4，∵f（3）=4，∴不等式等价为f（x+t）＜f（3），而f（x）是R上的增函数，∴x+t＜3，即x＜3﹣t，即P={x|x＜3﹣t}，而Q={x|f（x）+1＜﹣4}={x|f（x）＜﹣5}，∵f（﹣1）=﹣5，∴不等式等价为f（x）＜f（﹣1），∵f（x）是R上的增函数，∴x＜﹣1，即Q={x|x＜﹣1}“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，∴P⊊Q，3﹣t＜﹣1，即t＞4，故答案为：（4，+∞）；13．（5分）若△ABC为锐角三角形，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则sinBsinC的取值范围是．【解答】解：asin（B+）=a（sinB+cosB）=c，由正弦定理得：sinA（sinB+cosB）=sinC=sin（A+B），∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAsinB=cosAsinB，∴sinA=cosA，即tanA=1，由于△ABC为锐角三角形，A=，则：sinBsinC=sinBsin（﹣B）=sinBcosB+sin2B=（sin2B﹣cos2B）+=，∵，，∴，，则sinBsinC的取值范围为；14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=63，则b的最大值是．【解答】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=63化简可得3b2+2d2=63．故当d=0时，b有最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c．（1）若2a=b+c，sin2A=sinBsinC，试判断△ABC的形状；（2）试比较a2+b2+c2与2（ab+bc+ca）的大小．【解答】解：（1）由正弦定理及sin2A=sinBsinC得a2=bc，又由2a=b+c得4a2=b2+2bc+c2，所以b2﹣2bc+c2=0，即（b﹣c）2=0，所以b=c．…（5分）故a2=b2，即a=b，所以△ABC是等边三角形．…（7分）（2）因为2（ab+bc+ca）﹣（a2+b2+c2）=（ab+ca﹣a2）+（ab+bc﹣b2）+（ca+bc ﹣c2）=a（b+c﹣a）+b（a+c﹣b）+c（a+b﹣c），…（10分）因为a，b，c为△ABC的三边长，故a＞0，b＞0，c＞0，b+c﹣a＞0，a+c﹣b＞0，a+b﹣c＞0，所以a（b+c﹣a）+b（a+c﹣b）+c（a+b﹣c）＞0…（13分）故a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）．…（14分）16．（14分）命题p：不等式＜x+a在区间[﹣1，1]上恒成立，命题q：存在x∈R+，使不等式ax2﹣x+2a＜0成立，若“p或q为真”，“p且q为假”，求实数a的取值范围．【解答】解：当p为真命题时，不等式在区间[﹣1，1]上恒成立，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则，…（2分）故有对θ∈[0，π]恒成立，所以，因为∵θ∈[0，π]，∴，∴，即时，，此时，故．…（6分）当q为真命题时，不等式ax2﹣x+2a＜0有正实数解，即不等式有正实数解，所以，而当x＞0时，，当且仅当时取“=”．所以．…（9分）由“p或q为真”，“p且q为假”得p与q是一真一假，当p真q假时，有，即．…（11分）当p假q真时，有即．…（13分）综上得，实数a的取值范围是：．…（14分）17．（14分）知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=1，S9=45．数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）由于，故，故等差数列的公差d=2，a1=﹣3故数列{a n}的通项公式a n=2n﹣5．…（7分）（2）由于，则两式相减即得：，从而．…（14分）18．（16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．【解答】解：（1）由CD=x，则BD=x﹣0.5，设BC=y，则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，在△BCD中，由余弦定理x2+y2﹣2xycos60°=（x﹣0.5）2，化简得y2﹣xy+x﹣0.25=0，即x=①…（4分）记l=y+y+x﹣0.5+x=2y+2x﹣0.5=﹣0.5（﹣0.5＜x＜0.5或x＞1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由题中条件得2y≥3，即y≥1.5，设y﹣1=t（t≥0.5）则原式l=4t++5.5 …（10分）∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+有且仅当4t=，即t=时成立，∴y=+1，∴x=，∴当AB=，CD=时，金属支架总长度最短．…（16分）19．（16分）函数，g（x）=ax2﹣b（a、b、x∈R），集合，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．【解答】解：（1）令，则x2=t2﹣1，f（x）≤0，即，即t2﹣6t+8≤0，（t﹣2）（t﹣4）≤0∴2≤t≤4，所以2≤≤4，所以x，即A=；（2）f（x）≥0恒成立也就是恒成立，即，∵，∴，令，则t∈[2，4]，则y=，∴a≤y恒成立，∴a≤y min，由导数可知，当t=2时，y min=，∴a≤（3）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，∴=，由（2）可知a+b≤①，由g（x）=ax2﹣b≤0有解，ax2﹣b≤0有解，即a≤，∵b＞0，∴a≤=，∴3a﹣b≤0 ②①+②可得a所以a的最大值为，此时b=．20．（16分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为b，等比数列{b n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．（1）若a1=b1，a2=b2，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若a1，a3，a n1，a n2，…，a nk，…（3＜n1＜n2，＜…＜n k ＜…，k∈N*）成等比数列，求数列{n k}的通项公式；（3）若a1＜b1＜a2＜b2＜a3，且a3+4=b3，求a，b的值．【解答】解：（1）∵a1=b1，a2=b2，∴，∴a=b=0或a=b=2，∵a，b∈N*，∴a=b=2，故．（2）由（1）得：a1=2，a3=6，∴构成以2为首项，3为公比的等比数列，∴．又，故有，∴数列{n k}的通项公式为．（3）由a1＜b1＜a2＜b2＜a3，得a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，由a+b＜ab得：a（b﹣1）＞b；由ab＜a+2b得：a（b﹣1）＜2b．而a，b∈N*，a＜b，即b＞a≥1，从而得：，∴a=2或3，当a=3时，由a3+4=b3得：3+2b+4=9b，即b=1，不合题意，故舍去，∴满足条件的a=2．又由a3+4=b3得：2+2b+4=4b，故b=3．综上得：a=2，b=3．。

江苏省连云港市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·滁州期末) 若集合，则（）A . (0，2)B . [0，2]C .D .2. （2分）下列选项叙述错误的是（）A . 命题“若x≠l，则x2－3x十2≠0”的逆否命题是“若x2－3x十2＝0，则x＝1”B . 若命题p：x R，x2＋x十1≠0，则p：R，x2＋x十1＝0C . 若p q为真命题，则p，q均为真命题D . “x＞2”是“x2一3x＋2＞0”的充分不必要条件3. （2分）(2017·武威模拟) 已知g（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=﹣ln（1﹣x），函数f（x）= ，若f（2﹣x2）＞f（x），则x的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B . （﹣∞，1）∪（2，+∞）C . （﹣2，1）D . （1，2）4. （2分）(2019·南昌模拟) 在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）定义在R上的函数f（x）对任意x1 ， x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x+1）的图象关于原点对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2+2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A . [﹣3，﹣）B . [﹣3，﹣ ]C . [﹣5，﹣）D . [﹣5，﹣ ]6. （2分） (2017高一上·滑县期末) 已知两条不同直线a，b及平面α，则下列命题中真命题是（）A . 若a∥α，b∥a，则a∥bB . 若a∥b，b∥α，则a∥αC . 若a⊥α，b⊥α，则a∥bD . 若a⊥α，b⊥a，则b⊥α7. （2分）曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形面积为（）A .B .C . 1D . 28. （2分）已知函数，若f（x）≥1，则x的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）已知sin α﹣3cos α=0，则 =（）A .B .C .D . ﹣11. （2分）对于函数f（x）=eax﹣lnx（a是实常数），下列结论正确的一个是（）A . a=1时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（， 1）B . a=2时，f（x）有极小值，且极小值点x0∈（0，）C . a=时，f（x）有极小值，且极小值点x0∈（1，2）D . a＜0时，f（x）有极大值，且极大值点x0∈（﹣∞，0）12. （2分）某大学的信息中心A与大学各部门，各院系B、C、D、E、F、G、H、I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元），请观察图形，可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院系都能联通（直接或中转），则最少的建网费用是（）A . 12万元B . 13万元C . 14万元D . 16万元二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·邵东期中) 已知幂函数的图象过点，则 ________．14. （1分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________15. （1分）函数y=x4﹣2x2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值的和为________．16. （1分）(2018·上饶模拟) 已知函数，其中e是自然对数的底数若，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2016高二上·临川期中) 已知条件p：≤﹣1，条件q：x2+x＜a2﹣a，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．18. （10分）已知函数f（x）=cos2x+2sin2x+2sinx．（1）将函数f（2x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若，求函数g（x）的值域；（2）已知a，b，c分别为锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，且满足b=2，f（A）= a=2bsinA，求△ABC的面积．19. （10分） (2016高一上·辽宁期中) 某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2 （其中t为关税的税率，且t∈[0， ]，x为市场价格，b，k为正常数），当t= 时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2 ．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．20. （10分） (2017高二下·金华期末) 在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AD=DC= ，AB=PA=2 ，且E为线段PB上的一动点．（1）若E为线段PB的中点，求证：CE∥平面PAD；（2）当直线CE与平面PAC所成角小于，求PE长度的取值范围．21. （5分）已知函数f（x）=（a、b∈R，a、b为常数），且y=f（x）在x=1处切线方程为y=x﹣1．（1）求a，b的值；（2）设h（x）=， k（x）=2h′（x）x2 ，求证：当x＞0时，k（x）＜+．22. （10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1：（α为参数），C2：（θ为参数）．（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为α= ，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcos（θ﹣）= 的距离的最大值．23. （10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）﹣a＞2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2022~2023学年第一学期期中调研考试高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}0A x x =>，{}1B x x =≤，则A B ⋃=（ ）A. {}0x x > B. {}1x x ≤ C. {}01x x <≤ D. R【答案】D 【解析】【分析】根据集合的并集运算，即可求得答案.【详解】由集合{}0A x x =>，{}1B x x =≤，则{}{}01R A B x x x x ⋃=>⋃≤=，故选：D.2. 已知复数z 满足()2i 1i z -=+，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】z ，从而可求复数z 的模.【详解】解：()2i 1i z -=+，则1i21i 23i iz +=+=-+=-所以z ==故选：C.3. 设x ，R y ∈，则“1xy x y +≠+”的充要条件是（ ）A. ,x y 不都为1 B. ,x y 都不为1C. ,x y 都不为0D. ,x y 中至多有一个是1【答案】B 【解析】【分析】将1xy x y +≠+化简，可得到其等价命题，即可得答案.【详解】因为1xy x y +≠+即10xy x y +--≠，即(1)(1)0x y --≠，即等价于1x ≠且1y ≠，故“1xy x y +≠+”的充要条件是,x y 都不为1，故选：B.4. 已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】由等比数列性质求得1a 和公差d 的关系后可得公比q ．【详解】设公差为()d d ≠0，则1(1)n a a n d =+-，由题意2326a a a =，即2111(2)()(5)a d a d a d +=++，又0d ≠，所以12d a =-，21a a =-，313a a =-，619a a =-，所以323a q a ==.故选：C.5. 已知1a =，b =，)a b +=，则a b + 与a b -的夹角为（ ）A. 60︒B. 120︒C. 45︒D. 135︒【答案】B 【解析】【分析】根据已知求得||2a b += ，平方可得0a b ⋅=，继而求出||2a b -= ，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由)a b +=可得||2a b +==，则222||4,24a b a a b b +=∴+⋅+=，即得1234a b +⋅+= ，故0a b ⋅=，则222||24,||2a b a a b b a b -=-⋅+=∴-= ，故22()()21cos ,222||||||||a b a b a ba b a b a b a b a b a b +⋅---〈+-〉====-⨯+-+- ，由于,[0,π]a b a b 〈+-〉∈，故2π,3a b a b 〈+-〉= ，故选：B.6. 已知()sin 23sin αββ-=-，且ππ2k αβ-≠+，π2k α≠，其中Z k ∈，则()tan tan αβα-=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】将角度拆则分()2αβαβα-=-+，()βααβ=--，利用两角和差的正弦公式展开整理后，结合商数关系即可得.【详解】解：∵()sin 23sin αββ-=-∴()()sin 3sin αβαααβ⎡⎤⎡⎤-+=---⎣⎦⎣⎦()()()()sin cos cos sin 3sin cos 3cos sin αβααβαααβααβ-+-=--+-整理得：()()2cos sin cos sin αβαααβ-=-，由于ππ2k αβ-≠+，π2k α≠，所以sin 0α≠，()cos 0αβ-≠则()()cos sin 2cos sin ααβαβα-=-，即()tan 2tan αβα-=.故选：B .7. 当把一个任意正实数N 表示成()10110,Z nN a a n =⨯≤<∈的时候，就可以得出正实数N 的位数是n＋1，如：2235 2.3510=⨯，则235是一个3位数．利用上述方法，判断5018的位数是（ ）（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A. 61 B. 62 C. 63 D. 64【答案】C 【解析】【分析】设()501810110,n a a n =⨯≤<∈Z ，则50lg18lg n a =+，计算即可求出62n =，从而得出结果．【详解】设()501810110,n a a n =⨯≤<∈Z ，则()50lg18lg 10lg n a n a=⨯=+又因为()()()502lg1850lg 32502lg 3lg 25020.47710.3010620.76=⨯=+=⨯+=+故62n =，所以5018位数是62163+=故选：C 8. 已知1sin11a =，111b =，ln1.1c =，则（ ）的A. a b c <<B. a c b <<C. c<a<bD. b<c<a【答案】A 【解析】【分析】根据1sin11a =，111b =的特征，要比较二者大小，可作差11sin 1111a b -=-，由此构造函数()sin f x x x =-，利用其单调性比较大小，同理11 1.1b =-，和ln1.1c =比较，构造函数1()ln 1g x x x=-+，利用单调性比较 111b =，ln1.1c =的大小.【详解】设π()sin ,(0,)2f x x x x =-∈，则()cos 10f x x '=-<，故π()sin ,(0,)2f x x x x =-∈单调递减，故()(0)0,sin f x f x x <=∴<，由111(0,sin1121111a b ∈∴=<=π， 设函数1()ln 1,(0,+)g x x x x =-+∈∞，则22111(),(0,+)x g x x x x x-'=-=∈∞，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增，故()(1)0g x g ≥=，即1ln 1x x≥-，当1x =时取等号，由于1.11> ，故11ln1.11 1.111≥-=，即b c <，故a b c <<，故选：A.【点睛】本题考查了数的大小比较问题，考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性，解答的关键是明确解答思路，能根据数的特点构造恰当的函数，从而利用导数判断函数单调性，比较大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数12z =+，则（ ）A. 20z z += B. 1zz = C. 210z z ++= D. 310z +=【答案】ABD 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.【详解】解：因为12z =，所以12z =-，所以2222111122222z ⎛⎫⎫⎛⎫=+=+⨯+=-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，所以22321111222z z z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫=⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭，故310z +=，故D 正确；所以211022z z ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭+=，故A 正确；221111222zz ⎭⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝+-=⎪ ⎪⎪⎭⎭，故B 正确；21111122z z ⎛⎫++=-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，故C 错误；故选：ABD10. 已知α和β都是锐角，向量()cos ,sin a αα= ，()sin ,cos b ββ= ，()1,0c =，则（ ）A. 存在α和β，使得a b⊥B. 存在α和β，使得a b∥C. 对于任意的α和β，都有a b -<D. 对于任意的α和β，都有a b a c b c⋅<⋅+⋅【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由a b ⊥ ，得0a b ⋅=化简计算，对于B ，由共线向量定理判断，对于C ，求解a b - 判断，对于D ，求解a b ⋅ 和a c b c ⋅+⋅进行判断.【详解】对于A ，若a b ⊥，则()cos sin sin cos sin 0a b αβαβαβ⋅=+=+= ，因为α和β都是锐角，所以()sin 0αβ+=不成立，所以A 错误，对于B ，若a b ∥ ，则存在唯一实数λ，使得a b λ=，则(cos ,sin )(sin ,cos )ααλββ=，所以cos sin sin cos αλβαλβ=⎧⎨=⎩，所以sin cos cos sin αβαβ=，当4παβ==上式成立，所以B 正确，对于C ，因为()cos ,sin a αα= ，()sin ,cos b ββ= ，所以(cos sin ,sin cos )a b αβαβ-=--，所以a b -===因为α和β都是锐角，所以0αβ<+<π，所以()0sin 1αβ<+≤，所以()022sin 2αβ≤-+<<，所以C 正确，对于D ，()cos sin sin cos sin a b αβαβαβ⋅=+=+ ，cos sin a c b c αβ⋅+⋅=+，若,36ππαβ==，则a b a c b c ⋅=⋅+⋅，所以D 错误，故选：BC11. 已知曲线321()3f x x x ax =+-在点()()11,P x f x 处的切线为1l ，则（ ）A. 当0a = 时，()f x 的极大值为43B. 若11x =，1l 的斜率为2，则1a =C. 若()f x 在R 上单调递增，则1a ≥-D. 若存在过点P 的直线2l 与曲线()f x 相切于点()()22,Q x f x ，则1223x x +=【答案】AB 【解析】【分析】当0a = 时，求出函数的导数，判断函数单调性，求得极值，判断A;根据导数的几何意义可求得参数的值，判断B;a 的范围，判断C;根据导数的几何意义，利用斜率关系，列出相应等式，化简可得1223x x +=-，判断D.【详解】当0a = 时, 321()3f x x x ax =+-,则2()2(2)f x x x x x '=+=+，当<2x -或0x >时，()0f x '>，()f x 递增，当20x -<<时，()0f x '<，()f x 递减，故2x =-时，取得极大值4(2)3f -=，A 正确；由2()2f x x x a '=+-可知，若11x =，1l 的斜率为2，则122,1a a +-=∴=，故B 正确；若()f x 在R 上单调递增，则2()20f x x x a '=+-≥恒成立，即440,1a a +≥∴≤- ，当1a =-时2()(1)0f x x '=+≥，()f x 在R 上单调递增，故1a ≤-，C 错误；若存在过点P 的直线2l 与曲线()f x 相切于点()()22,Q x f x ，则21x x ≠，则2l 的斜率为2222()2f x x x a '=+-，则2122122()()2f x f x x x x x a -=-+- ，即32322221121222111332x x x x x x x x a a x a x --+-++=--，即22212121)()01(23x x x x x x --+-=，即212121)(12)()0(3x x x x x x -++-=，故1223x x +=-，D 错误，故选：AB.12. 已知函数()f x 的定义域是R ，函数()f x 是偶函数，()211f x -+是奇函数，则（ ）A. ()01f =- B. ()11f =-C. 4是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 的图象关于直线x ＝9对称【答案】BC 【解析】【分析】根据()211f x -+为奇函数，得到()()21212f x f x --+-=-，令0x =得()11f =-，B 正确；结合()f x 是偶函数，得到(()4f x f x +=，得到4是函数()f x 的一个周期，C 正确；首先得到()()22f x f x ++-=-，故()f x 关于()1,1-中心对称，结合4是函数()f x 的一个周期，故()91f =-，得到()f x 的图象关于()9,1-中心对称，D 正确；根据题目条件无法得到()0f 的值，A 错误.【详解】因为()211f x -+为奇函数，所以()()211211f x f x --+=--+⎡⎤⎣⎦，整理得：()()21212f x f x --+-=-，令0x =得：()212f -=-，解得：()11f =-，B 正确，将2x 替换为1x +，得()()11112f x f x ---++-=-，即()()22f x f x --+=-①，又因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，将x 替换为2x +，得()()22f x f x --=+②，由①②得：()()22f x f x ++=-③，则()()422f x f x +++=-④，③-④得：()()4f x f x +=，故4是函数()f x 的一个周期，C 正确；因为()()22f x f x ++=-，所以()()22f x f x ++-=-，故()f x 关于()1,1-中心对称，又因为4是函数()f x 的一个周期，所以()()()924111f f f =⨯+==-，故()f x 关于()9,1-中心对称，D 错误，因为()f x 关于()1,1-中心对称，故()()0,0f 与()()22f ,关于()1,1-中心对称，无法得到()01f =-，（注意()0f 的值无法确定），A 错误.故选：BC【点睛】函数的对称性：若()()f x a f x b c ++-+=，则函数()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；若()()f x a f x b +=-+，则函数()f x 关于2a bx +=对称.三、填空题：本题共45分，共20分．13. 已知a ＞0，b ＞0，且11a b+=，则ba 的最小值是______．【答案】4【解析】【分析】根据均值不等式及不等式的性质求解.【详解】因为a ＞0，b ＞0，且11a b+=，所以11a b =+≥，即14a b ≤，当且仅当1a b =，即1,22a b ==时等号成立，所以4ba≥.故答案为：414. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，且关于x 的方程()()R f x a a =∈在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则a 的取值范围是______．【答案】112a ≤<【解析】【分析】先判断函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，然后作图，借助函数图象即可求解.【详解】因为06x π≤≤时，πππ2662x ≤+≤，所以()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又62x ππ≤≤时，ππ7π2266x ≤+≤，所以()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减，因为关于x 的方程()()R f x a a =∈在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，所以直线y a =与函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象交点有两个，又1(0)sin62f π==，()sin 162f ππ==，71(sin262f ππ==-，根据图象，当112a ≤<时，满足条件故答案为：112a ≤<.15. 已知数列{}n a 的通项公式102nn a n =-，前n 项和是n S ，对于*N n ∀∈，都有n k S S ≤，则k ＝______．【答案】5【解析】【分析】结合10y x =， 2x y =的函数图象和特殊值的思路，得到数列{}n a 正负情况，即可得到当5n =时，n S 取得最大值，即5k =.【详解】如图，为10y x =和2x y =的图象，设两个交点为A ，B ，因为110280a =-=>，所以01A x <<，因为55032180a =-=>，6606440a =-=-<，所以56B x <<，结合图象可得，当[]1,5n ∈时，102n n >，即0n a >，当[)6,n ∈+∞时，102n n <，即0n a <，所以当5n =时，n S 取得最大值，即5k =.故答案为：5.16. 10世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上A ，B 两地同时观测到一颗卫星S ，仰角分别为∠SAM 和∠SBM （MA ，MB 表示当地的水平线，即为地球表面的切线），设地球半径为R ， AB 的长度为3R π，∠SAM ＝30°，∠SBM ＝45°，则卫星S 到地面的高度为______．【答案】1R⎫-⎪⎪⎭【解析】【分析】根据已知条件，构造三角形，在三角形中根据正、余弦定理求解.【详解】如图，圆心为O 点，设AOB α∠=，由已知 AB 长度为3R R πα=，即3AOB πα∠==，∵OA OB R == ∴AOB 是等边三角形，AB R =又MA OA ⊥，MB OB ⊥，o 30SAM ∠=，o 45SBM ∠=，则oo o 3090120SAO ∠=+=，o o o4590135SBO ∠=+=在SAB △中，有AB R =，oo o 1206060SAB ∠=-=，o o o 1204575SBA ∠=-=，o o o o 180607545ASB ∠=--=，()o o o sin sin 75sin 4530SBA ∠==+=由正弦定理可得，sin sin AB SAASB SBA=∠∠=，∴SA R=在SAO中，有SA =，OA R =，o 120SAO ∠=，由余弦定理可得，2222cos OS AS AO AS AO SAO=+-⋅⋅∠2221522R R R ⎫⎛⎫⎛=+-⋅⋅-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，OS 的所以，则卫星S 到地面的高度为1R ⎫⎪⎪⎭故答案为：1R ⎫⎪⎪⎭.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在200人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较，结果如下表所示．问：是否有90%的把握认为该种血清对预防感冒有作用？未感冒感冒使用血清13070未使用血清11090附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.100.0100.001k2.7066.63510.828【答案】有90%的把握认为该种血清对感冒有作用．【解析】【分析】由卡方的计算结果即可判断.【详解】由表中数据可知：222()400(1309011070)()()()()200200240160n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯254.167 2.7066=≈>，所以有90%的把握认为该种血清对感冒有作用．18. 在ABC 中，AB ＝4，AC ＝3．（1）若1cos 4C =-，求ABC 的面积；（2）若A ＝2B ，求BC 的长．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用余弦定理列方程，解得2a =，然后利用三角形面积公式求面积即可；（2）利用正弦定理和二倍角公式得到6cos a B =，然后再利用余弦定理列方程，解方程即可得到a ，即BC .【小问1详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得2222cos AB AC BC AB BC C =+-⋅⋅，即21169234a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭，得2a =或72a =-（舍），由1cos 4C =-，()0,C π∈，得sin C ===所以ABC 的面积11sin 3222S ab C ==⨯⨯=．【小问2详解】在ABC 中，由正弦定理得33sin sin sin 2sin 2sin cos sin a b a a A B B B B B B=⇒=⇒=⋅，所以6cos a B =．在ABC 中，再由余弦定理得2222169cos 224AB BC AC a B AB BC a +-+-==⋅⨯⨯，所以2169624a a a+-=⨯⨯，解得a =．19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足12n bn a a a = ，{}n a 为等比数列，且24a =，438b b -=．（1）求n a 与n b ；（2）设n nn a b c n=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n n a =，()1n b n n =+ （2）12n n S n +=⋅【解析】【分析】（1）依题意可得1122n n n n b b b b n a ----==，由438b b -=得到416a =，设{}n a 的公比为q ，由24a =求出q ，即可得到{}n a 的通项公式，再根据指数幂的运算法则及等差数列求和公式求出{}n b 的通项；（2）由（1）可得(1)2nn c n =+，利用错位相减法求和.【小问1详解】解：由12n bn a a a =…，得1121n b n a a a --⋯=，2n ≥，两式相除得1122n n n n b b b b n a ----==，()2n ≥，因为438b b -=，所以416a =．设{}n a 的公比为q ，由24a =，416a =，得24q =，由题意知{}n a 是正项数列，所以2q =．故222422n n n n a a q--=⋅=⋅=，由12nb n a a a =…，知(1)1212222222nn n b nn++++=⋅== ，所以()1n b n n =+．【小问2详解】解：由（1）可得(1)2n n nn a b c n n ==+，所以1232341223242(1)22223242(1)2nn n nS n S n +⎧=⋅+⋅+⋅+++⎨=⋅+⋅+⋅+++⎩ ，由错位相减得：()1231121222222(1)22(1)212n n n n n S n n ++--=⋅+++⋅⋅⋅+-+=+-+- ，所以12n n S n +=⋅．20. 如图，在四棱锥P ABCD - 中，PA ⊥平面ABCD PB ，与底面ABCD 所成角为45︒ ，四边形ABCD 是梯形，AD AB ⊥，BC AD ∥，21AD PA BC ===， ．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCD ；（2）若点T 是CD 的中点，点M 是PT 的中点，求点P 到平面ABM 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）先证明PA CD ⊥，继而证明DC AC ⊥，即可证明DC ⊥平面PAC ，从而根据面面垂直的判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面ABM 的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】证明：由PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，得PA AB ⊥，PA CD ⊥，PB 与底面ABCD 所成角为45PBA ∠=︒ ．所以三角形PAB 为等腰直角三角形，1AB AP == ．又由四边形ABCD 是直角梯形，BC AD ∥，可知AB BC ⊥，所以ABC 为等腰直角三角形，而1BC =，故AC =．在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AD ⊥，垂足为E ，则四边形ABCE 为正方形，可知1AE BC CE === ．所以1DE = ，在等腰直角三角形CDE 中，CD =．则有222224AC CD AD +=+==，所以DC AC ⊥．又因为PA DC ⊥，PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ．所以DC ⊥平面PAC ．因为DC ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ．【小问2详解】以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ，，所在的直线为x y z ，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,0,0B ，()0,2,0D ，()1,1,0C ．因为T 是CD 的中点，点M 是PT 的中点，所以13,,022T ⎛⎫⎪⎝⎭，131,,442M ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面ABM 的法向量为(),,n x y z = ，()1,0,0AB =，131,,442AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得01310442x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩ ，取4y = ，则6z =- ，得平面ABM 一个法向量为()0,4,6n =-，而()0,0,1AP = ,所以点P 到平面ABM的距离为AP n n ⋅=== 21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝，31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a 、b ；（2）设出直线AB 方程y ＝k （x －1），得到D 点坐标()4,3k ，联立直线AB 与椭圆方程，得到A ，B 两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出1k ，2k ，3k ，化简代入即可得到定值.【小问1详解】将点P ⎛ ⎝，点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程()222210x y a b a b +=>>，得222233141914a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．【小问2详解】由题意直线AB 的斜率一定存在，的由（1）知，c =1，则椭圆的右焦点坐标为()1,0，设直线AB 方程为：y ＝k （x －1），D 坐标为()4,3k ．所以23312412k k k -==--，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 方程与椭圆方程联立得()22223484120kxk x k +-+-=．()()()()22222844341214410kk k k ∆=--+-=+>恒成立，由韦达定理知2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且()111y k x =-，()221y k x =-，则()()121213121233331122221111y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----()12121223221x x k x x x x +-=-⋅-++2222228233424128213434k k k k k k k -+=-⋅--+++21k =-．故13221212k k k k k +-==-（定值）．【点睛】本题第二问求三斜率之间的关系，要注意1k 与3k 的整体性，因为A ，B 两点是直线AB 与椭圆的两个交点，常用韦达定理表示坐标之间的关系，密不可分，切忌将1k 与3k 分开单独求解，会是题目解答过程复杂化.22. 已知函数1()ln =+f x a x x，其中R a ∈．（1）若函数()f x 的最小值为2a ，求a 的值；（2）若存在120x x <<，且122x x +=，使得()()12f x f x =，求a 的取值范围．【答案】（1）1 （2）()1,+∞【解析】【分析】（1）根据题意，分0a ≤和0a >两种情况讨论求解即可；（2）由题知212121ln022x x x a x x x +-=，进而令21x t x =，1t >，1()ln 22tt a t t ϕ=+-，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点，再讨论1a ≤时，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进而进一步转化为，当1a >时则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，且函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点问题，再根据导数研究函数的零点即可.【小问1详解】解：函数定义域为{}0x x >，2211()a ax f x x x x-'=-=．若0a ≤，则()0f x '<，函数()f x 为减函数，无最小值．若0a >，由()0f x '=得1x a=．所以，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的最小值即极小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以，21lna a a a+=，即ln 1a a +=．设()ln g a a a =+，则()110g a a '=+>，所以，()g a 为()0,∞+上的增函数，又因为()11g =．所以，1a =．【小问2详解】解：由()()12f x f x =，得121211ln ln a x a x x x +=+，即212111ln0x a x x x +-=，将122x x +=代入，有：21212121ln022x x x x x a x x x +++-=，得212121ln 022x x x a x x x +-=．令21x t x =，1t >，1()ln 22tt a t t ϕ=+-，所以，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点．所以，2221121()222a t at t t t tϕ-+-'=--=．其中()11a ϕ'=-．因为函数221y t at =-+-的对称轴方程为t a =．所以，当1a ≤，则()0t ϕ'<恒成立，得()t ϕ在区间()1,+∞为减函数，又()10ϕ=，所以()0t ϕ<，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点．当1a >，则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，设12t t <，有121t t =，且1201t t <<<．所以，t ，()t ϕ'，()t ϕ的变化如表：又()10ϕ=，得()2(1)0t ϕϕ>=．下面证明函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．考虑到1()ln 22tt a t t ϕ=+-中含参数a ，取2(1)at a =>e ．则()222222211ln 22222a a aaa a a a ϕ=+-=+-e e e e e e ，当1a >时，22111222a <<e e ，则()2221222a a a ϕ<+-e e ．令221()222a m a a =+-e ，则()24am a a '=-e ，令()24ah a a =-e ，当1a >时，有22()42420a h a '=-<-<e e ，所以，函数()h a 在1a >时为减函数，由()2140m '=-<e ，知()0m a '<恒成立．所以，2221()222am a a =+-e e 为()1,+∞上的减函数．所以()2222155()(1)2022222am a m ϕ-<<=+-=-=<e e e e ．又()20t ϕ>，于是()()220at ϕϕ<e，所以，函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．综上，实数a 取值范围是()1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题关键在于根据题意，利用换元方法，将问题转化为证明函数1()ln 22tt a t t ϕ=+-在区间()1,+∞上有零点，进而先排除当1a ≤函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进一步将问题转化为函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点.的的。

江苏省东海高级中学高三数学第一学期期中试题命题时间：10月25日 命题人：唐春兵一、填空题（每小题5分，共70分）1、若集合}1log |{},2|{25.0+====x y y N y y M x , 则N M 等于 ▲ .2、已知01<<-a ，则三个数331,,3a a a 由小到大的顺序是 ▲ .3、)(x f ＝21(0)2(0)x x x x ⎧+≤⎨->⎩，若)(x f 10=，则=x ▲ .4、已知向量()()()2,1,3,0a b λλ==>，若()2a b b -⊥，则λ= ▲ . 5、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c 。

若222,b c bc a +-=且3,ab=则角C= ▲ .6、已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a += ▲ .7、定义在)()()()(),0(xy f y f x f x f =++∞满足的函数，且0)(1<>x f x 时，若不等式)()()(22a f xy f y x f +≤+对任意),0(,+∞∈y x 恒成立，则实数a 的取值范围 ▲ .8、已知命题：“[1,2]x ∃∈，使022≥++a x x ”为真命题，则a 的取值范围是 ▲ .9、设n S 表示等比数列}{n a （*N n ∈）的前n 项和，已知3510=S S ，则=515S S▲ . 10、若函数b bx x x f 36)(3+-=在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 ▲ . 11、三个同学对问题“关于x 的不等式232164x x x ax ++-≥在[]1,8上恒成立，求实数a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ▲ .12、已知函数()()()56(4)462x a x f x ax x -⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a 满足()()+∈=N n n f a n ，且数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是 ▲ .13、在平面直角坐标系中，已知)0,1(),0,(),1,4(),3,1(+--a N a P B A ，若四边形PABN 的周长最小，则a = ▲ ．14、已知定义在R 上的函数)3()(2-=ax x x f ，若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在x =0处取得最大值，则正数a 的范围 ▲ .二、解答题15、（14分）已知向量(sin 3)a θ=,(1,cos )b θ=,(,)22ππθ∈-. （1）若a b ⊥,求θ；（2）求||a b +的最大值.16. （14分）已知函数)()14(log )(4R ∈++=k kx x f x是偶函数。

2019—2020学年度第一学期 高三年级第一次学分认定考试数学试卷（考试时间：120分钟，满分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分． 1. 已知集合{}123A =，，,{}245B =，，,则集合A B 中元素的个数为 ▲ .2．函数的最小正周期是____▲ ____．3. 若“x ∀[0,]4π∈，tan x m ≤”是真命题，则实数m 的最小值为 ．4. 函数的定义域是 ▲ ． 5．关于函数有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间（,）单调递增③f (x )在有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是_ __▲ ____(填序号)．6．已知，，，则的大小关系为__ __▲ ____． 7．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是_ ▲ ．8．设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n =_______▲__________．9．曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a = ▲ ． 10．已知sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，则sin()+=αβ ▲ ．11．若函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．在四边形中，，则该四边形的面积为 ▲ ． 13．已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是____ _▲ ____．f (x )=sin 22x y =()sin |||sin |f x x x =+2ππ[,]-ππ5log 2a =0.5og 2.l 0b =0.20.5c =,,a b c ABCD )2,4(),2,1(-==14. 对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是__ _▲_____．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈． （1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．16．（本小题满分14分） 设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，若()02Af =，1a =，求△ABC 面积的最大值．CB AP（第18题）17．（本小题满分14分） 已知函数()cos xf x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．18．(本小题满分16分)如图，某公园内有两条道路AB ，AP ，现计划在AP 上选择一点C ，新建道路BC ，并把ABC △所在的区域改造成绿化区域．已知π6BAC =∠，2AB =km ． （1）若绿化区域ABC △的面积为12km ，求道路BC 的长度；（2）若绿化区域ABC △改造成本为10万元/2km ，新建道路BC 成本为10万元/km ．设ABC θ∠=（2π03θ<≤），当θ为何值时，该计划所需总费用最小？19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．20．(本小题满分16分) 已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.。

2012-2013学年江苏省连云港市东海高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）若集合M={x|x2﹣x≤0}，函数f（x）=log2（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N=[0，1）．考点：对数函数的定义域；交集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：先解不等式求出集合M；再利用对数的真数大于0求出N．相结合即可求出M∩N．解答：解：由题得：M={x|x（x﹣1）≤0}={x|0≤x≤1}=[0，1]；N={x|1﹣|x|＞0}={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．M∩N=[0，1）．故答案为[0，1）．点评：本题考查对数函数的定义域以及一元二次不等式的解法和集合之间的运算．考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．2．（5分）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：直接利用左加右减、上加下减的平移原则，推出平移后的函数解析式即可．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，得到=，再向下平移1个单位，得到函数的图象，所以g（x）的解析式为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象的平移变换，值域左加右减以及上加下减的法则，值域平移的方向与x的系数的关系．3．（5分）已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：由投影的定义可得：在方向上的投影为：，代值计算即可．解答：解：由投影的定义可得：在方向上的投影为：，而=cos=故答案为：点评：本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的定义是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）给出下列命题，其中正确的命题是③（填序号）．①若平面α上的直线m与平面β上的直线n为异面直线，直线l是α与β的交线，那么l至多与m，n中的一条相交；②若直线m与n异面，直线n与l异面，则直线m与l异面；③一定存在平面γ同时与异面直线m，n都平行．考点：平面的基本性质及推论．专题：证明题．分析：当l可以与m，n都相交，但交点不是同一个点时，平面α上的直线m与平面β上的直线n为异面直线，由此可以判断①的真假；根据异面直线的几何特征，及空间线线关系的定义，可以判断②的真假；与异面直线m，n公垂线垂直的平面（不过m，n）均于异面直线m，n都平行，由此可以判断③的真假；进而得到答案．解答：解：①是错误的，因为l可以与m，n都相交；②是错误的，因为m与l可以异面、相交或平行；③是正确的，因为只要将两异面直线平移成相交直线，两相交直线确定一个平面，此平面就是所求的平面．故答案为：③点评：本题考查的知识点是异面直线的定义及判定，空间直线与直线关系的定义，异面直线的几何特征，熟练掌握空间直线与直线位置关系的定义，特别是正确理解异面直线的定义，几何特征，判定方法是解答本题的关键．5．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：构建函数F（x）=f（x）﹣（2x+4），由f（﹣1）=2得出F（﹣1）的值，求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．解答：解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）点评：本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．6．（5分）（2010•合肥模拟）△ABC中，若A=2B，则的取值范围是（1，2）．考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：先通过正弦定理及A=2B求出=2cosB，再根据A=2B和三角形内角和为180°求出B 的范围，进而根据余弦函数的单调性求出答案．解答：解：∵，∴==2cosB，∵A=2B∴A+B+C=3B+C=180°∴B=60°﹣∴B＜60°又∵B＞0°∴＜cosB＜1∴1＜2cosB＜2故答案为：（1，2）点评：本题主要考查了正弦定理的应用．在三角形中解题时要注意角的范围．7．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则= 3．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得，=，代入|2|====可求解答：解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法8．（5分）（2010•江苏二模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①D1C∥平面A1ABB1②A1D1与平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1．上面结论中，所有正确结论的序号为①④．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：①，可由线面平行的定义判断；②，可由公理三判断；③，可由线面垂直的判定定理判断；④，可由面面垂直的判定定理判断．解答：解：对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C⊂平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，错误；对于③，只有AD⊥D1D，AD与平面BCD1内其他直线不垂直，错误；对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．故答案为：①④．点评：本题考查直线与平面的位置关系中的直线在平面内的判定、直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定，解题时要牢记这些判定定理的条件．9．（5分）设定义在区间（﹣b，b）上的函数是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则a b的取值范围是．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中定义在区间（﹣b，b）上的函数是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），结合对数函数的定义域及奇函数的定义，可确定a=2，及b的取值范围，从而由指数函数的单调性，可求a b的取值范围．解答：解：∵定义在区间（﹣b，b）上的函数是奇函数∴f（﹣x）+f（x）=0∴+=0∴=0∴1﹣a2x2=1﹣4x2∵a≠﹣2∴a=2∴令＞0，可得﹣＜x＜，∴0＜b≤∵a=2，∴a b的取值范围是（1，]故答案为：（1，]点评：本题考查函数的性质，考查指数函数的单调性，解题的关键是确定a的值，及b的取值范围．10．（5分）（2013•辽宁一模）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若，则m= sinθ．（用θ表示）考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，根据平面向量的平行四边形法则可得，代入已知的等式中，连接OD，可得⊥，可得其数量积为0，在化简后的等式两边同时乘以，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m，利用诱导公式及三角形的内角和定理得到cosB=﹣cos（A+C），代入表示出的m式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，抵消合并约分后得到最简结果，把∠A=θ代入即可用θ的三角函数表示出m．解答：解：取AB中点D，则有，代入得：，由⊥，得•=0，∴两边同乘，化简得：，即，由正弦定理==化简得：C，由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，∴m===sinA，又∠A=θ，则m=sinθ．故答案为：sinθ点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，利用两向量的数量积判断两向量的垂直关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．11．（5分）正三棱锥S﹣ABC中，AB=2，，D、E分别是棱SA、SB上的点，Q为边AB 的中点，SQ⊥平面CDE，则三角形CDE的面积为．考点：棱锥的结构特征．分析：利用条件判断M为SQ的中点，求出，代入三角形CDE的面积公式进行运算．解答：解：由Q为边AB的中点得SQ⊥AB，又SQ⊥平面CDE，得DE∥AB，SQ⊥CM，设SQ交DE于M点，另由，可得 CQ=SC，∴M为SQ的中点，从而DE是SAB的中位线，求得，则三角形CDE的面积为DE×CM=，故答案为．点评：本题考查棱锥的结构特征，线线、线面平行垂直的判定，勾股定理求线段的长度以及求三角形的面积．12．（5分）若函数y=ax2﹣2ax（a≠0）在区间[0，3]上有最大值3，则a的值是1或﹣3 ．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：对函数y=ax2﹣2ax（a≠0）进行配方，求出其对称轴，研究函数的图象，对a值进行讨论：a＜0或a＞0，两种情况，从而进行求解；解答：解：函数y=ax2﹣2ax=a（x﹣1）2﹣a，对称轴为x=1；若a＜0，f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）为减函数，∴f（x）在x=1取极大值也最大值，f（x）max=f（1）=a﹣2a=3，推出a=﹣3；若a＞0，f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，3）为增函数，f（0）=0＜f（3）=a×32﹣6a，可得f（3）=3a=3，∴a=1；综上a=﹣3或1；故答案为﹣3或1；点评：此题主要考查二次函数在闭区间上的最值问题，利用对称轴对函数的单调性进行判断，是解决本题的关键，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道中档题；13．（5分）设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且，那么k是A 的一个“酷元”，给定S={x∈N|y=lg（36﹣x2）}，设集合M由集合S中的两个元素构成，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有5个．考点：元素与集合关系的判断．专题：新定义．分析：由36﹣x2＞0可解得﹣6＜x＜6，又x∈N，故x可取0，1，2，3，4，5，由题意可知：集合M不能含有0，1，也不能同时含有2，4，通过列举可得．解答：解：由36﹣x2＞0可解得﹣6＜x＜6，又x∈N，故x可取0，1，2，3，4，5 由题意可知：集合M不能含有0，1，也不能同时含有2，4故集合M可以是{2，3}、{2，5}、{3，5}、{3，4}、{4，5}，共5个故答案为：5点评：本题为列举法解决问题，正确理解题目给出的新定义是解决问题的关键，属基础题．14．（5分）（2013•青岛二模）一同学为研究函数f（x）=+（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），请你参考这些信息，推知函数g（x）=4f（x）﹣9的零点的个数是 2 ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：由题意可得当A、P、F共线时，f（x）取得最小值为＜，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为+1＞．g（x）=4f（x）﹣9的零点的个数就是f（x）=的解的个数，而由题意可得 f（x）=的解有2个，从而得出结论．解答：解：由题意可得函数f（x）=+=AP+PF，当A、P、F共线时，f（x）取得最小值为＜，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为+1＞．g（x）=4f（x）﹣9=0，即 f（x）=．故函数g（x）=4f（x）﹣9的零点的个数就是f（x）=的解的个数．而由题意可得 f（x）=的解有2个，故答案为 2．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．二、解答题15．（14分）已知集合A={x|y=}，集合B={x|y=lg（﹣x2﹣7x﹣12）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）求A∩B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先化简集合，即解不等式 x2﹣5x﹣14≥0和﹣x2﹣7x﹣12＞0，再求交集；（2）根据A∪C=A，得到C⊆A，再﹣m进行讨论，即可求出结果．解答：解：（1）∵A=（﹣∞，﹣2]∪[7，+∞），B=（﹣4，﹣3）∴A∩B=（﹣4，﹣3）（2）∵A∪C=A，∴C⊆A①C=∅，2m﹣1＜m+1，∴m＜2②C≠∅，则或．∴m≥6．综上，m＜2或m≥6．点评：本题主要考查集合的关系与运算，同时，遇到参数要注意分类讨论．体现了分类讨论的数学思想，考查了运算能力，属中档题．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且满足a2+b2=ab+4，．（1）时，若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积；（2）求△ABC的面积等于的一个充要条件．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（1）先对sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简整理求得sinB=2sinA进而根据正弦定理求得b=2a，与题设等式联立求得a和b，最后利用三角形面积公式求得答案．（2）先看当△A BC的面积等于，利用三角形面积公式求得ab的值，与题设等式联立求得a和b，推断出△ABC为正三角形求得c；同时看当，△ABC是边长为2的正三角形可求得三角形面积为，进而看推断出△ABC的面积等于的一个充要条件．解答：解：（1）由题意得sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，由cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a联立方程组解得，．所以△ABC的面积（2）若△ABC的面积等于，则，得ab=4．联立方程组解得a=2，b=2，即A=B，又，故此时△ABC为正三角形，故c=2，即当三角形面积为时，△ABC是边长为2的正三角形反之若△ABC是边长为2的正三角形，则其面积为故△ABC的面积等于的一个充要条件是：△ABC是边长为2的正三角形．点评：本题主要考查了解三角形问题，正弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求三棱锥P﹣DEF的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理即可证明；（3）利用等积变形和三棱锥的条件计算公式即可得出．解答：（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，∵E是PC的中点，∴M E是△PCD的中位线．∴ME∥CD，ME=．又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA．连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．（3）解：∵E是PC的中点，∴点P到平面EFD的距离与点C到平面EFD的距离相等，故V P﹣DEF=V C﹣DEF=V E﹣DFC，又S△DFC=×2×=，E到平面DFC的距离h==，∴V E﹣DFC=××=．点评：熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理及利用等积变形计算三棱锥的体积的方法是解题的关键．18．（15分）如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若，m，n∈（0，1）．设EF的中点为M，BC的中点为N．（1）若A，M，N三点共线，求证m=n；（2）若m+n=1，求的最小值．考点：向量的共线定理；向量的模．专题：计算题；证明题．分析：（1）利用向量共线的充要条件得到，据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应向量和的一半，将已知条件代入得到要证的结论．（2）利用向量的运算法则：三角形法则将用三角形的边对应的向量表示，利用向量模的平方等于向量的平方，将表示成m的二次函数，求出二次函数的最值．解答：解：（1）由A，M，N三点共线，得，设，即，所以，所以m=n．（2）因为==，又m+n=1，所以，所以=故当时，．点评：本题考查向量共线的充要条件；三角形的中线对应向量等于相邻两边对应向量和的一半；考查向量的运算法则：三角形法则；向量模的平方等于向量的平方；二次函数最值的求法．19．（16分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，设f（A，B）=sin22A+cos22B．（1）当f（A，B）取得最小值时，求C的大小；（2）当时，记h（A）=f（A，B），试求h（A）的表达式及定义域；（3）在（2）的条件下，是否存在向量，使得函数h（A）的图象按向量平移后得到函数g（A）=2cos2A的图象？若存在，求出向量的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二倍角的余弦；函数的定义域及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）先对已知函数进行配方，结合完全平方数可求当）当f（A，B）取得最小值时，A，B的大小，进而可求C的大小（2）由（1）中C可求A+B，代入h（A）=f（A，B），结合诱导公式及辅助角公式对已知函数进行化简，可求（3）由（2）可求函数h（A）的单调区间，及函数g（A）=2cos2A在相应区间上单调性，根据其单调性是否相同即可判断解答：解：（1）配方得f （A，B）=（sin2A﹣）2+（cos2B﹣）2+1，∴[f （A，B）]min=1，当且仅当时取得最小值．在△ABC中，故C=或．…（6分）（2）⇔A+B=，于是h（A）===cos2A﹣+3=2cos（2A+）+3．∵A+B=，∴．…（11分）（3）∵函数h（A）在区间上是减函数，在区间上是增函数；而函数g（A）=2cos2A在区间上是减函数．∴函数h（A）的图象与函数g（A）=2cos2A的图象不相同，从而不存在满足条件的向量…（16分）点评：本题综合考查了三角函数的诱导公式及辅助角公式及三角函数的单调性等知识的综合应用，解答本题要求考生具备综合应用知识的能力20．（16分）（2013•珠海二模）已知函数，（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a≥﹣4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．考点：指数函数综合题；二次函数的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）令2x=t，则有0＜t＜2a，f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为，分离参数可得在t∈（0，2a）上恒成立，求出右边的最值，即可得到结论；（2）当x≥a时，f（x）=x2﹣ax+1，利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值；当x＜a时，f（x）=4x﹣4×2x﹣a，令2x=t，t∈（0，2a），利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值，从而可得函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围．解答：解：（1）因为x＜a时，f（x）=4x﹣4×2x﹣a，所以令2x=t，则有0＜t＜2a，所以f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为，即在t∈（0，2a）上恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）．令，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）．所以在（0，2a）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）．所以，所以有：．所以，所以（2a）2≤5，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）．（2）当x≥a时，f（x）=x2﹣ax+1，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）．①当，∴a≥0时，此时对称轴在区间左侧，开口向上，所以f（x）在[a，+∞）单调递增，所以f（x）min=f（a）=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）．②当，∴﹣4≤a＜0时，此时对称轴在区间内，开口向上，所以f（x）在单调递减，在单调递增，所以．所以由①②可得：当x≥a时有：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）．当x＜a时，f（x）=4x﹣4×2x﹣a，令2x=t，t∈（0，2a），则，③当，∴22a＞2，∴时，h（t）在单调递减，在上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）．④当，∴22a≤2，∴时，h（t）在（0，2a）单调递减，h（t）∈（h（2a），h（0））=（4a﹣4，0）所以，此时，h（t）在（0，2a）上无最小值；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）．所以由③④可得当x＜a时有：当时，；当时，无最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．所以，由①②③④可得：当时，因为，所以函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）．当时，因为4a﹣4＜0＜1，函数f（x）无最小值；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）．当﹣4≤a＜0时，，函数f（x）无最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）．综上所述，当时，函数f（x）有最小值为；当时，函数f（x）无最小值．所以函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）．点评：本题考查分段函数，考查函数的最值，考查配方法的运用，考查分离参数法，属于中档题．。

江苏省连云港市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共26分)1. （2分） (2020高一下·滕州月考) 已知i为虚数单位,复数 , ,若它们的和为实数,差为纯虚数,则a,b的值分别为（）A . ,B . ,4C . 3,D . 3,42. （2分） (2019高二上·大港期中) 已知命题：“ ，”，则命题的否定为（）.A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分）已知平面向量，,则（）A . -10B . 10C . -20D . 204. （2分）等比数列中,,前三项和,则公比的值为（）A . 或B . 或C .D . 15. （2分） (2019高二下·泉州期末) 已知，则的大小关系是（）A .B .C .D .6. （2分）数列｛an}的前n项和为Sn ，，则数列的前100项的和为（）。

A .B .C .D .7. （2分）若函数f（x）=，则f′（x）是（）A . 仅有最小值的奇函数B . 仅有最大值的偶函数C . 既有最大值又有最小值的偶函数D . 非奇非偶函数8. （2分）已知函数y=sin（ωx﹣π）（ω＞0）在x=时取得最大值，则ω的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·临沂期中) 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P（sin ，cos ），则cos（+α）=（）A .B . ﹣C .D . ﹣10. （2分） (2016高二下·武汉期中) 函数f（x）=lnx﹣ x2的大致图象是（）A .B .C .D .11. （2分）抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A .B . 1C .D . 212. （2分）已知函数对，，则的最小值为（）A .B .C .D .13. （2分）关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的两实根为x1 ， x2 ，若0＜x1＜1＜x2＜2，则的取值范围是（）A . (-2,-)B . (-,-)C . (-,-)D . (-,-)二、填空题 (共3题；共3分)14. （1分） (2019高二下·牡丹江月考) 曲线在点处的切线方程为________．15. （1分）(2018·济南模拟) 若点在函数的图象上，则 =________．16. （1分）(2017高二上·泰州月考) 若函数（为自然对数的底数），，若存在实数，，使得，且，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2017高一上·海淀期末) 已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）x﹣f（x）020﹣20（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围．18. （5分）(2017·淄博模拟) 数列{an}是公差为正数的等差数列，a2和 a5是方程x2﹣12x+27=0 的两实数根，数列{bn}满足3n﹣1bn=nan+1﹣（n﹣1）an ．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn ，并求Tn＜7 时n的最大值．19. （10分）(2016·商洛模拟) 设{an}是等比数列，公比为q（q＞0且q≠1），4a1 ， 3a2 ， 2a3成等差数列，且它的前4项和为S4=15．（1）求{an}通项公式；（2）令bn=an+2n（n=1，2，3…），求{bn}的前n项和．20. （10分） (2016高三上·鹰潭期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 acosC=（2b ﹣ c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2 的取值范围．21. （10分）(2018·银川模拟) 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若对于，使成立，求实数的取值范围．22. （5分）(2017·南京模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．23. （10分）(2017·广东模拟) 设函数f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）若不等式f（x）≤﹣5的解集非空，求实数a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，求实数a的值．参考答案一、单选题 (共13题；共26分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共3题；共3分)14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。