湛江市2018届高三文科数学模拟试题(二)试题+答案详解 推荐

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。

$(-4,-3)$B。

$[-4,-3]$C。

$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。

$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。

$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。

$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{1}{5}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。

湛江市2018年普通高考测试题（二）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，全集，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得全集U，然后结合补集的定义求解补集即可.详解：求解函数的值域可得：，结合补集的定义可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得复数z，然后结合负数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，则：，结合复数模的运算法则可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由题意首先求解三角不等式，然后结合题意确定“”与“”的充分性和必要性即可. 详解：求解绝对值不等式可得，若，则，当时，，据此可得：“”是“”的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查充分不必要条件，三角不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 从某中学甲、乙两班各随机抽取名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）A. 甲班同学身高的方差较大B. 甲班同学身高的平均值较大C. 甲班同学身高的中位数较大D. 甲班同学身高在以上的人数较多【答案】A【解析】分析：结合茎叶图逐一考查所给的选项即可求得最终结果.详解：逐一考查所给的选项：观察茎叶图可知甲班同学数据波动大，则甲班同学身高的方差较大，A选项正确；甲班同学身高的平均值为：，乙班同学身高的平均值为：，则乙班同学身高的平均值大，B选项错误；甲班同学身高的中位数为：，乙班同学身高的中位数为：，则乙班同学身高的中位数大，C选项错误；甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4人，则乙班同学身高在以上的人数多，D选项错误；本题选择A选项.点睛：茎叶图的绘制和阅读需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．5. 已知是双曲线：右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定焦点坐标，然后结合通径公式求解三角形的底，结合点的坐标求得三角形的高即可计算三角形的面积.详解：由题意可得，则焦点坐标为，由通径公式可得：，且点A到直线PF的距离，据此可得△P AF的面积为：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查双曲线的通径公式，双曲线中的三角形问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得的值，然后结合降幂公式求解三角函数式的值即可.详解：，则，结合同角三角函数基本关系可得：据此由题意可得：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系，降幂公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先确定展开式的通项公式，然后结合通项公式即可确定的系数.详解：展开式的通项公式为，当时，，当时，，据此可得：的系数为.本题选择C选项.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．8. 执行如图所示的程序框图，为使输出的值大于，则输入正整数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图试运行所给的程序框图，结合S值的变化即可求得最终结果.详解：结合所给的流程图执行程序：首先初始化数据：,第一次循环，应满足，执行，，；第二次循环，应满足，执行，，；第三次循环，，此时之后程序即可跳出循环，据此可得输入正整数的最小值为.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先将三视图还原为三棱锥，然后补形为三棱柱，结合外接球半径即可求得外接球的体积. 详解：如图所示，在长宽高分别为的长方体中，为其所在棱的中点，三视图对应的几何体为图中的三棱锥，将其补形为三棱柱，取的中点，取的中点，由题意可知，为外接球球心，且：，外接球的体积：.本题选择C选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10. 在中，，， .若，（），且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意结合平面向量基本定理首先求得，结合平面向量数量积的运算法则得到关于的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意可得：，则：,其中：，，，据此可得：，求解关于的方程可得：.本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．11. 我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）.将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先类比球的体积的求解方法构造出几何体，然后利用祖暅原理求解该几何体的体积即可.详解：如图所示，椭圆的长半轴为4，短半轴为 3.现构造一个底面半径为3，高为4的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，当截面距离下底面的高度为h时，设橄榄状的几何体对应的截面平径为R，圆柱对应截面的小圆半径为r，则由可得，则橄榄状的几何体对应的截面面积.由相似可得：，即，圆柱对应的截面的面积，则，由祖暅原理可得几何体的体积为：.本题选择C选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12. 已知函数，如果对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将原问题转化为两个函数图像之间的关系，利用导函数研究函数的图像变化情况，然后结合导函数在临界点的斜率即可求得最终结果.详解：原问题等价于对任意的，，即函数的图像恒不在函数的上方，令，则，函数单调递增，且，则单调递增，即函数切线的斜率随着自变量的增大而增大，函数图像下凸，函数在处的切线为，且，函数在处的切线方程为，如图所示，观察可知，函数中k的取值范围是.本题选择B选项.点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为奇函数，则__________．【答案】【解析】分析：由题意结合奇函数与偶函数的乘积为奇函数将原问题转化为考查偶函数的问题，然后结合偶函数的定义得到关于实数a的恒等式，使得恒等式成立即可求得实数a的值.详解：函数为奇函数，函数为偶函数，故，即：，则恒成立，化简可得：恒成立，则.故答案为：．点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．14. 设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．【答案】【解析】分析：首先绘制出可行域，然后求得函数2x+y的最小值，最后结合指数函数的单调性即可求得最终结果. 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，要求解目标函数的最大值，只需求解函数的最小值，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最小值，则目标函数的最大值为：.点睛：本题的关键是求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15. 平面直角坐标系中，椭圆（）的离心率，，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点.则__________．【答案】【解析】分析：由题意首先设出椭圆方程，结合几何关系确定直线的斜率，然后由弦长公式求得弦长，最后求解的值即可.详解：如图所示，设，则，椭圆方程为，圆的方程为，直线与圆相切，则：，，直线是斜率为，直线方程为：，联立直线方程与椭圆方程：，整理可得：，即，由弦长公式可得：，在中，，故.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 如图，游客从景点下山至有两种路径：一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从下山，甲沿匀速步行，速度为米/分钟.在甲出发分钟后，乙从乘缆车到，在处停留分钟后，再从匀速步行到.已知缆车从到要分钟，长为米，若，.为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，则乙步行的速度（米/分钟）的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由题意结合正弦定理余弦定理首先解三角形，然后结合实际问题得到关于速度的不等式，求解不等式即可求得最终结果.详解：在△ABC中解三角形：已知，，，则：，由正弦定理可得：，由余弦定理有：，解得：，若，则，不能组成三角形，舍去，据此可得：.乙从B出发时,甲已经走了50×(2+8+1)=550m，还需走710m才能到达 C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得,解得,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在范围内.点睛：解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和（）（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（）；（2）【解析】分析：（1）由通项公式与前n项和个关于分类讨论n=1和n≥２两种情况即可求得数列的通项公式为（）.（2）结合(1)的结论可得：，裂项求和可得数列的前项和.详解：（1）∵数列的前项和，∴.当时，.又对也成立.∴（）.（2）由可知：，∴.点睛：本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18. 红星海水养殖场进行某水产品的新旧养殖方法的产量对比，收货时在旧养殖的大量网箱中随机抽取个网箱，在新养殖法养殖的大量网箱中也随机抽取个网箱，测量各箱水产品的产量，得样本频率分布直方图如下：（1）填写下列列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关.养殖法箱产量箱产量箱产量总计旧养殖法新养殖法总计（2）设两种养殖方法的产量互相独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率；（3）某水产批发户从红星海水养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品中购买了个网箱的水产品，记表示箱产量位于区间的网箱个数，以上样本在相应区间的频率代替概率，求 .附：（，其中）【答案】（1）见解析；（2）0.4464；（3）12【解析】分析：（1）由频率分布直方图求得相应的概率值，据此完成列联表，计算观测值可得，则有的把握认为箱产量与养殖法有关.（2）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，由题意可得，则事件的概率估计值为.（3）由题意可得，随机变量X服从分布列：，则.详解：（1）旧养殖法的箱产量低于的频率为：，箱产量不低于的频率为；新养殖法的箱产量低于的频率为，箱产量不低于的频率为.由此得列联表：养殖法箱产量箱产量箱产量总计旧养殖法新养殖法总计则=，∴有的把握认为箱产量与养殖法有关.（2）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，由题意知，旧养殖法的箱产量低于的频率为，故的估计值为，∴事件的概率估计值为.（3）新养殖法的样品中，箱产量位于区间的频率为，故养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品，箱产量位于区间的概率估计值为.依题意知，∴.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，频率分布直方图与统计知识的实际应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19. 如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，， .（1）证明：；（2）若三棱柱的体积为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）取的中点，连接、、、，由菱形的性质可得，，则平面，.（2）由题意结合几何关系可得平面，建立空间直角坐标系.则平面的一个法向量为，是平面的一个法向量.据此计算可得二面角的余弦值为. 详解：（1）取的中点，连接、、、，由菱形的性质及.得，为正三角形.∴，，且.∴平面，∴.（2）三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一，得四棱锥的体积是柱体体积的三分之二，即等于.平行四边形的面积为.设四棱锥的高为，则：，∴，又，平面，建立如图直角坐标系：.则，，.，，设平面的一个法向量为，则，取一个法向量为，显然是平面的一个法向量.则.二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面垂直的判断定理，空间向量求解二面角的余弦值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹记为.（1）求的方程；（2）设直线：与曲线交于点、；直线：与交于点，，其中，以、为直径的圆、（、为圆心）的公共弦所在直线记为，求到直线距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）设，则，结合直线与圆相切的充分必要条件可得 .整理化简，则轨迹方程为.（2）设，，联立直线与抛物线的方程可得，，结合韦达定理可得以为直径的圆的方程是：，化简可得，同理可得以为直径的圆的方程是：，两式作差可得的方程是： .结合点到直线距离公式可得，则所求距离最小值为 .详解：（1）如图，设，则，由题可知，动圆与轴相切，得.即.化简得：.（2）设，，将代入得：，，则：，且①设是上的任意一点.由得以为直径的圆的方程是：，将①式代入上式，化简得：②同理以为直径的圆的方程是：③②③得的方程是：.又，到的距离：当时，所求距离最小值为.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．21. 已知函数，其中，且 .（1）当（为自然对数的底）时，讨论的单调性；（2）当时，若函数存在最大值，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）求导可得，分类讨论:①当，在上是减函数；②当时，在上递减，在上递增.（2）当，.据此可知：①当时，无极大值，也无最大值；②当，的极大值为，.其中即，令，结合导函数考查其单调性讨论可得的最小值为，此时.详解：（1）由题，，①当，当，在上是减函数；②当，当，，在上是减函数；当，，在上是增函数.即当时，在上个递减；当时，在上递减，在上递增.（2）当，，.①当时，，，则，在上为增函数，无极大值，也无最大值；②当，设方程的根为，得.即，所以在上为增函数，在上为减函数，则的极大值为，.令，令，..当时；当时，所以为极小值也是最小值点.且，即的最小值为，此时.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22. 在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线的两个交点分别为、，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）消去参数可得直线的普通方程为，极坐标化为直角坐标可得曲线的直角坐标方程为.（2）联立直线的参数方程与椭圆方程可得，由参数的几何意义可得，.则.详解：（1）消去参数可得直线的普通方程为，即，极坐标化为直角坐标可得曲线的直角坐标方程为，即.（2）点在直线：上，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，∴，设两根为，，，，故与异号，∴.∴.点睛：本题主要考查直线参数方程的几何意义，参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知函数 .（1）解不等式；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1)结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为或.（2)由题意可得.由绝对值三角不等式的性质可知，则，求解不等式可得实数的取值范围是.详解：（1)不等式可化为，当时，，解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即；综上所述，不等式的解集为或.（2)由不等式可得.∵，∴，即解得或.∴实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2018年3月广东省湛江市高三模拟考试数 学（考试时间：120分钟 总分：150分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，(2){|21}x x A x -=<，{|ln(1)}B x y x ==-，则右图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤2．若复数3i12ia -+（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．6B ．6-C ．5D ．4-3．在ABC △中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=，则cos A =（ ）． A ．12B ．2C ．32D ．4 4．若平面α，β满足αβ⊥，l αβ=，P α∈，P l ∉，则下列命题中是假命题的为( )A ．过点P 垂直于平面α的直线平行于平面βB ．过点P 在平面α内作垂直于l 的直线必垂直于平面βC ．过点P 垂直于平面β的直线在平面α内D ．过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输出S 的值为0，则判断框内为（ ） A ．3i >B ．4i >C ．5i >D ．6i >6．设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程22221x ya b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为（ ） A ．12 B ．1532 C ．1732D ．31328．定义映射:f A B →，其中{(,)|,n }A m n m =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件：①(,1)1f m =；②若n m>，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-，则(2,2)f ，(,2)f n 的值分别是（ ）．A ．1，22n -B ．1，21n -C ．2，22n -D ．2，21n -9．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且2AK AF =，则△AFK 的面积为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．3210．如图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的对应过程：区间(0,1)中的实数m 对应数轴上（线段AB ）的点M （如图1）；将线段A ，B 围成一个圆，使两端点A ．B 恰好重合（如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上；点A 的坐标为(0,1)（如图3），当点M 从A 到B 是逆时针运动时，图3中直线AM 与x 轴交于点(,0)N n ，按此对应法则确定的函数使得m 与n 对应，即对称()f m n =．对于这个函数()y f x =，下列结论不．正确．．的是（ ） A ．1()14f =-；B ．()f x 的图象关于1(,0)2对称； C ．若()3f x =，则56x =； D ．()f x 在(0,1)上单调递减， 二、填空题：每小题5分，共25分11．某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是_________． 12．若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为_________．13．ABC △所在平面上的一点P 满足PA PB PC AB ++=，则PAB △的面积与ABC △的面积之比为_________．14．已知0a ≠直线(2)40ax b y +++=与直线(2)30ax b y +--=互相垂直，则ab 的最大值等于_________．15．给出定义：若1122m x m -<≤+ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =．在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：则上述命题中真命题的序号是_________．①()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22-；②点(,0)k 是()y f x =的图像的对称中心，其中Z k ∈； ③函数()y f x =的最小正周期为1；④函数()y f x =在13(,]22-上是增函数．三．解答题：本题共75分，解答过程应写出必要的解答步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0πϕ<<），且函数π(2)4y f x =+的图像关于直线π6x =对称．（1）求ϕ的值；（2）若2π2()34f α-=，求sin2α的值． 17．（本小题12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， （1）求证：BN ⊥平面11C B N ； （2）求异面直线AC 与BN 所成角； （3）求二面角1A CN B --的余弦值．18．（本小题12分）2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)后得到如图4的频率分布直方图．问： （1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？ （2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中速车在[65,70)的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．19．（本小题满分12分）已知点1(1,)3是函数()xf x a =（0a >，1a ≠）的图像上一点，等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -，数列84主视侧视俯视4421．（本小题满分14分）已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点重合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，53PF =．1C （2）若过点(1,0)A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点的轨迹方程；（3）若点满足条件（2），点是圆22(1)1x y -+=上的动点，求RT 的最大值．2018年3月广东省湛江市高三模拟考试．解：()sin(f x =函数π(24f x =+0ϕπ<<（2）解：sin cos α+11B C ⊥平面由三视图知，4BN ∴=218BB =1BN B N ∴⊥，（7分） 11B C ⊂平面11B C N ，N ⊂平面11B C N ，1111B N B C B =BN ∴⊥平面11C B N （9分） （3）cos θ=）(1)f a =3c -，2a [(2)f c --1n n S S --又0n b >，数列{}n S点点则1(FM x =-，2(FN x =-，(1,FR x =-1(FM FN x ∴+=+FM FN FR +=，2x x x +-=-M ，N 在椭圆1C 上，把①式代入②式得M 圆。

2018年广东省湛江市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1}，B＝∁U A，则集合B的子集的个数为（）A．2B．3C．4D．82．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝e x B．y＝x C．y＝D．y＝﹣x33．（5分）在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，则＝（）A．B．C．﹣1D．14．（5分）下列命题正确的是：（）①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．A．①③B．①④C．②④D．②③5．（5分）从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）A．甲班同学身高的方差较大B．甲班同学身高的平均值较大C．甲班同学身高的中位数较大D．甲班同学身高在175cm以上的人数较多6．（5分）已知条件：p：k＝，条件q：直线y＝kx+1与圆x2+y2+2y＝0相切，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知递增的等比数列{a n}中，a2＝6，a1+1、a2+2、a3成等差数列，则该数列的前6项和S6＝（）A．93B．189C．D．3788．（5分）为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人．那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y＝[]B．y＝[]C．y＝[]D．y＝[]9．（5分）已知，cos2，则sin2（）＝（）A．B．C．D．10．（5分）执行如图的程序框图，输入N＝2018，则输出的S＝（）A．B．C．D．11．（5分）我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）．将椭圆绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A．24πB．32πC．48πD．64π12．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z﹣2i＝1+zi，则z＝．14．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝（）2x+y的最大值为．15．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为．16．（5分）对实数a、b定义一个运算：a⊕b＝，设函数f（x）＝（x2﹣2）⊕（x﹣x2）（x∈R），若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若b、b、c分别是△ABC内角A、B、C所对的边，（2a﹣b）cos C＝c cos B，且f（A）＝．求B的值．18．（12分）2018年3月3日至20日中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第一次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第一次会议在北京胜利召开，两会是年度中国政治生活中的一件大事，受到了举国上下和全世界的广泛关注．为及时宣传国家政策，贯彻两会精神，某校举行了全国两会知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分100分，最低分不低于50分）进行统计，得出频率分布表如下：（1）求表中a、b、c、n的值；（2）若从成绩较好的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人担任两会知识宣传员，再从这6人中随机选出2人负责整理两会相关材料，求这2人中至少有1人来自第4组的概率．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA ＝SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD＝60°，AB＝SD＝2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD的体积．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，点P（1，）在椭圆上，且△PF1F2的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的左顶点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点A的两点M、N，证明：动直线MN恒过x轴上一定点．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣（x﹣1）2﹣ax（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于函数f（x）图象上的两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））（x1＜x2），存在x0∈（x1，x2），使函数f（x）的图象在x＝x0处的切线l与直线PQ平行，证明：x0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为，（t为参数），以O为极点，的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的线段的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）+x＞0；（2）若关于x的不等式f（x）≤2a2﹣5a的解集为R，求实数a的取值范围．2018年广东省湛江市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1}，B＝∁U A，则集合B的子集的个数为（）A．2B．3C．4D．8【解答】解：∵全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1}，∴B＝∁U A＝{2，3}，∴集合B的子集为∅，{3}，{2}，{3，2}，个数为4个．故选：C．2．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝e x B．y＝x C．y＝D．y＝﹣x3【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y＝x，为对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，y＝＝，为幂函数，是奇函数，但在其定义域上是增函数，不符合题意；对于D，y＝﹣x3，有f（﹣x）＝﹣（﹣x）3＝x3＝﹣f（x），是奇函数，且在其定义域上是减函数，符合题意；故选：D．3．（5分）在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，则＝（）A．B．C．﹣1D．1【解答】解：＝（+）•＝（+）•＝+2＝0+1＝1，故选：D．4．（5分）下列命题正确的是：（）①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．A．①③B．①④C．②④D．②③【解答】解：在①中，不共线的三点确定一个平面，故①错误；在②中，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故②正确；在③中，如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线与另一个平面相交、平行或在另一个平面内，故③错误；在④中，如果两个平面平行，那么由面面平行的性质定理得其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，故④正确．故选：C．5．（5分）从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）A．甲班同学身高的方差较大B．甲班同学身高的平均值较大C．甲班同学身高的中位数较大D．甲班同学身高在175cm以上的人数较多【解答】解：由甲、乙两班各随机抽取10 名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据茎叶图得：在A中，甲班数据相对分散，乙班数据相对集中，∴甲班同学身高的方差较大，故A正确；在B中，甲班数据靠下的相对少，乙班数据靠上的相对多，∴甲班同学身高的平均值较小，故B错误；在C中，甲班同学身高的中位数为＝168，乙班同学身高的中位数为＝178.5，∴甲班同学身高的中位数较小，故C错误；在D中，甲班同学身高在175cm以上的人数有3人，乙班同学身高在175cm以上的人数有4人，∴甲班同学身高在175cm以上的人数较少，故D错误．故选：A．6．（5分）已知条件：p：k＝，条件q：直线y＝kx+1与圆x2+y2+2y＝0相切，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：圆x2+y2+2y＝0即为x2+（y+1）2＝1，圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．直线y＝kx+1即kx﹣y+1＝0．由，可得k＝．∴k＝是直线y＝kx+1与圆x2+y2+2y＝0相切的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）已知递增的等比数列{a n}中，a2＝6，a1+1、a2+2、a3成等差数列，则该数列的前6项和S6＝（）A．93B．189C．D．378【解答】解：在等比数列中，∵a2＝6，a1+1、a2+2、a3成等差数列，∴a1+1+a3＝2（a2+2）＝2×（6+2）＝16，即a1+a3＝15，即+a2q＝15，则+6q＝15，得2q2﹣5q+2＝0，得q＝2或q＝，∵数列是递增数列，∴q＞1，则q＝2，则a1＝＝＝3，则数列的前6项和S6＝＝＝189，故选：B．8．（5分）为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人．那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y＝[]B．y＝[]C．y＝[]D．y＝[]【解答】解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4．因此利用取整函数可表示为y＝[]．故选：B．9．（5分）已知，cos2，则sin2（）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，又∵cos2，∴．∴sin2（）＝＝．故选：D．10．（5分）执行如图的程序框图，输入N＝2018，则输出的S＝（）A．B．C．D．【解答】解：由于：，所以：，＝1，当n＝2017时，，故选：B．11．（5分）我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）．将椭圆绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A．24πB．32πC．48πD．64π【解答】解：构造一个底面半径为3，高为4的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与底面距离为h（0≤h≤4）时，小圆锥的底面半径为r，则，∴r＝，故截面面积为9π﹣，把y＝h代入椭圆可得x＝±，∴橄榄球形几何体的截面面积为πx2＝9π﹣，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V＝2（V圆柱﹣V圆锥）＝2（9π×4﹣×9π×4）＝48π．故选：C．12．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p＝2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|＝p，∴A（，p），∵点A在双曲线上，∴＝1，∵p＝2c，b2＝c2﹣a2，∴＝1，化简得：c4﹣6c2a2+a4＝0，∴e4﹣6e2+1＝0，∵e2＞1，∴e2＝3+2，∴1+（）2＝3+2∴（）2＝2+2＞3∴l的倾斜角所在的区间可能是（，），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z﹣2i＝1+zi，则z＝．【解答】解：∵z﹣2i＝1+zi，∴（1﹣i）＝1+2i，则z＝．故答案为：．14．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝（）2x+y的最大值为．【解答】解：画出约束条件，表示的平面区域如图阴影所示，则t＝2x+y过点A时取得最小值，由，解得A（1，1），此时目标函数z＝（）2x+y取得最大值为＝．故答案为：．15．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为4π．【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为2，半径为∴三棱锥的外接球体积为＝4π故答案为：4π16．（5分）对实数a、b定义一个运算：a⊕b＝，设函数f（x）＝（x2﹣2）⊕（x﹣x2）（x∈R），若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，﹣）．【解答】解：令x2﹣2﹣（x﹣x2）≤1，解得﹣1≤x≤，∴f（x）＝，作出函数y＝f（x）的图象如图所示：函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y＝f（x）与y＝c的图象有2个交点．由图象可得c≤﹣2，或﹣1＜c＜﹣．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，﹣）．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若b、b、c分别是△ABC内角A、B、C所对的边，（2a﹣b）cos C＝c cos B，且f（A）＝．求B的值．【解答】解（1）f（x）＝sin+cos+＝sin（+）+，∴函数f（x）的最小正周期T＝＝3π．（2）根据正弦定理＝＝可得：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．代入（2a﹣b）cos C＝c cos B得：2sin A cos C＝sin C cos B+cos C sin B＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A＞0，∴cos C＝，即C＝，又f（A）＝sin（+）+＝，∴sin（+）＝1．∵A∈（0，π），∴+∈（，）．∴+＝，即A＝．∴B＝π﹣A﹣C＝．18．（12分）2018年3月3日至20日中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第一次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第一次会议在北京胜利召开，两会是年度中国政治生活中的一件大事，受到了举国上下和全世界的广泛关注．为及时宣传国家政策，贯彻两会精神，某校举行了全国两会知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分100分，最低分不低于50分）进行统计，得出频率分布表如下：（1）求表中a、b、c、n的值；（2）若从成绩较好的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人担任两会知识宣传员，再从这6人中随机选出2人负责整理两会相关材料，求这2人中至少有1人来自第4组的概率．【解答】解：（1）由频率分布表得：n＝＝100，a＝100﹣4﹣14﹣28﹣42＝12，b＝，c＝＝0.14．（2）∵第3、4、5组共有84名学生，∴利用分层抽样在84名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，∴第3、4、5组应分别抽取1人、2人、3人．记第3组的1位同学为A，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的3位同学为C1、C2、C3，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，分别为：（A，B1）、（A，B2）、（A，C1）、（A，C2）、（A，C3）、（B1，B2）、（B1，C1）、（B1，C2）、（B1，C3）、（B2，C1）、（B2，C2）、（B2，C3）、（C1，C2）、（C1，C3），其中第4组至少有1人入选的有9种，分别为：（A，B1）、（A，B2）、（B1，B2）、（B1，C1）、（B1，C2）、（B1，C3）、（B2，C1）、（B2，C2）、（B2，C3），∴这2人中至少有1人来自第4组的概率为p＝＝．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA ＝SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD＝60°，AB＝SD＝2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD的体积．【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形；∴对角线BD⊥AC；又BD⊥SA，SA∩AC＝A；∴BD⊥平面SAC，SO⊂平面SAC；∴BD⊥SO，即SO⊥BD；又SA＝SC，O为AC中点；∴SO⊥AC，AC∩BD＝O；∴SO⊥平面ABCD；（2）如图，连接PO；∵SB∥平面APC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面APC＝PO；∴SB∥PO；在△SBD中，O是BD的中点，PO∥SB，∴P是SD的中点；取DO中点，并连接PE，则PE∥SO，SO⊥底面ACD；∴PE⊥底面ACD，且PE＝；根据已知条件，Rt△ADO中AD＝2，∠DAO＝30°，∴DO＝1；∴在Rt△SDO中，SD＝2，SO＝；∴；又；∴V三棱锥A﹣PCD＝V三棱锥P﹣ACD＝．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，点P（1，）在椭圆上，且△PF1F2的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的左顶点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点A的两点M、N，证明：动直线MN恒过x轴上一定点．【解答】（1）解：∵点P（1，）在椭圆上，且△PF1F2的面积为．∴＝1，＝，a2＝b2+c2．解得c＝1，a＝2，b2＝3．∴所求方程为+＝1．（2）证明：假设结论成立，定点坐标设为Q（m，0），显然A（﹣2，0）．①当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，此时直线AM的斜率为1，∴AM的方程为：y＝x+2，代入方程+＝1，化简得：7x2+16x+4＝0，∴x＝﹣，或x＝﹣2，即此时直线MN与x轴相交于点．②当直线MN的斜率存在时，设为k，依题意，k≠0．则MN的方程为：y＝k（x﹣m），代入+＝1并化简得：（4k2+3）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2＝，x1x2＝，．又AM⊥AN，∴＝（x1+2）（x2+2）+y1y2＝（x1+2）（x2+2）+k2（x1﹣m）（x2﹣m）＝（k2+1）x1x2+（2﹣k2）（x1+x2）+k2m2+4＝++＝＝0，∴7m2﹣16m+4＝0，解之得m＝﹣或﹣2，即直线MN恒过点．．综上所述，直线MN恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣（x﹣1）2﹣ax（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于函数f（x）图象上的两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））（x1＜x2），存在x0∈（x1，x2），使函数f（x）的图象在x＝x0处的切线l与直线PQ平行，证明：x0．【解答】解：（1）依题意：函数f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）＝﹣2（x﹣1）﹣a＝，∵a＞0，∴2x+a＞0，由1﹣x＞0可得x＜1时，f′（x）＞0，即递增区间（0，1），由1﹣x＜0可得x＞1时，f′（x）＜0，即递减区间（1，+∞），∴函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；（2）依题意：f′（x0）＝k PQ＝＝﹣（x1+x2﹣2）﹣a，.＝﹣（x1+x2﹣2）﹣a，∵f′（x）在（0，+∞）递减，∴要证x0＜，只要证明f′（x0）＜f′（）即可，即证明＞，即证明＞，令t＝＞1，构造函数g（t）＝lnt﹣，∵g′（t）＝＞0，∴函数g（t）在（1，+∞）递增，∴g（t）＞g（1）＝0，∴lnt＞，即ln＞，∴x0得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为，（t为参数），以O为极点，的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的线段的长．【解答】解：（1）∵可化为ρsin2θ＝4cosθ，整理得：y2＝4x．（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入y2＝4x，得，∴，t 1t2＝2．由直线参数方程的几何意义可知：|t1﹣t2|＝＝8，∴所求线段长为8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）+x＞0；（2）若关于x的不等式f（x）≤2a2﹣5a的解集为R，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）不等式f（x）+x＞0可化为|x﹣1|﹣|x+2|+x＞0．．当x＜﹣2时，﹣（x﹣1）+x＞﹣（x+2），解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜﹣2；当﹣2≤x≤1时，﹣（x﹣1）+x＞x+2，解得﹣2≤x＜﹣1当x＞1时，x﹣1+x＞x+2，解得x＞3，即x＞3．综上所述，不等式f（x）+x＞0解集为（﹣3，﹣1）∪（3，+∞）．（2）由不等式f（x）≤2a2﹣5a可得|x﹣1|﹣|x+2|≤2a2﹣5a．∵|x﹣1|﹣|x+2|≤3．∴3≤2a2﹣5a，即2a2﹣5a﹣3≥0．解得a，或a≥3．∴实数a的取值范围是（﹣]∪[3，+∞）．。

2018年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|x（x+2）＜0}，则M∪N=（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，0）C．RD．∅2．已知i是虚数单位，复数z=（a+i）（1﹣i），若z的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1B．0C．﹣1D．﹣23．函数f（x）=2sin（2x+）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=﹣对称C．关于点（，0）对称D．关于点（π，0）对称4．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，则数列{a}是（）A．公差为5的等差数列B．公差为6的等差数列C．公比为6的等比数列D．公比为8的等比数列5．运行如图的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．6．命题“空间两直线a，b互相平行”成立的充分条件是（）A．直线a，b都平行于同一个平面B．直线a平行于直线b所在的平面C．直线a，b都垂直于同一条直线D．直线a，b都垂直于同一个平面7．已知cos（﹣α）=，则sin（）=（）A．B．C．﹣D．8．投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a，b，则直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率为（）A．B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64+8πB．48+12πC．48+8πD．48+12π10．已知左、右焦点分别是F1，F2的双曲线上一点A满足AF1⊥AF2，且|AF1|=3|AF2|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x11．三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）A．πB．πC．πD．8π12．已知函数f（x）=的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（0，+∞）D．（0，e）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=2cosx+1的图象在点x=处的切线方程是．14．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＜f（1）的实数x的取值范围是．15．在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=．16．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围．三、解答题（共5小题，满分60分）17．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=﹣，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB1⊥平面A1CD，AC⊥BC，D为AB中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）AA1=1，AC=2，求三棱锥C1﹣A1DC的体积．19．46．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅱ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在[90，100]之间的概率；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．20．如图，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c、0），（0，b）的直线的距离为λc（λ∈（0，1），垂直于x轴的直线l与椭圆C1及圆C2：x2+y2=a2均有两个交点，这四个交点按其坐标从大到小分别为A、B、C、D（Ⅰ）当λ=时，求的值；（Ⅱ）设N（a，0），若存在直线l使得BO∥AN，证明：0＜λ＜．21．设函数f（x）=（a∈R）．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a≤2时，证明：对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．请考生再22,23,24三题中任选一题做答.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AE是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC，垂足为D．（Ⅰ）求证：AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．2016年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|x（x+2）＜0}，则M∪N=（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，0）C．RD．∅【考点】并集及其运算．【分析】直接根据并集的定义即可求出．【解答】解：∵M={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），集合N={x|x（x+2）＜0}=（﹣2，0），∴M∪N=（﹣2，2），故选：A．2．已知i是虚数单位，复数z=（a+i）（1﹣i），若z的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部相等求得a值．【解答】解：∴z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴由a+1=1﹣a，得a=0．故选：B．3．函数f（x）=2sin（2x+）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=﹣对称C．关于点（，0）对称D．关于点（π，0）对称【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=2sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，可得它的图象关于直线x=+对称，故排除B，选A．令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得它的图象关于点（﹣，0）对称，故排除C，D，故选：A．4．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，则数列{a}是（）A．公差为5的等差数列B．公差为6的等差数列C．公比为6的等比数列D．公比为8的等比数列【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{a n}是公比为2的等比数列，可得．由数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，可得b n+1﹣b n=3，计算即可判断出结论．【解答】解：由数列{a n}是公比为2的等比数列，可得．由数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，∴b n+1﹣b n=3，则===23=8．∴数列{a}是公比为8的等比数列．故选：D．5．运行如图的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序依次写出每次循环得到的s，a的值，当a=2016时，满足条件a≥2016，退出循环输出s的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得s=1，a=1不满足条件a≥2016，s=，a=2不满足条件a≥2016，s=（）2，a=3不满足条件a≥2016，s=（）3，a=4…观察规律可得：不满足条件a≥2016，s=（）2015，a=2016满足条件a≥2016，退出循环，输出s的值为．故选：B．6．命题“空间两直线a，b互相平行”成立的充分条件是（）A．直线a，b都平行于同一个平面B．直线a平行于直线b所在的平面C．直线a，b都垂直于同一条直线D．直线a，b都垂直于同一个平面【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线线平行的判定定理判断即可．【解答】解：直线a，b都平行于同一个平面，a，b可能相交，可能异面也可能平行，故A 错误；直线a平行于直线b所在的平面，a，b可能异面也可能平行，故B错误；直线a，b都垂直于同一条直线，a，b可能相交，可能异面也可能平行，故C错误；直线a，b都垂直于同一个平面，则a∥b，故D正确，故选：D．7．已知cos（﹣α）=，则sin（）=（）A．B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】先求出sinα，cosα，再利用和角的正弦公式，即可求出结论．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴sinα=，∵，∴cosα=﹣，∴sin（）=sinαcos+cosαsin==﹣，故选C．8．投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a，b，则直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由直线ax﹣by=0的倾斜角大于，得到a＞b．由此能求出直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率．【解答】解：∵直线ax﹣by=0的倾斜角大于，∴k==1，∴a＞b．∵投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a，b，∴基本事件总数n=6×6=36，其中a＞b包含的基本事件个数m==15，∴直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率为p===．故选：A．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64+8πB．48+12πC．48+8πD．48+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为棱柱与圆柱的组合体，几何体的表面积为棱柱的表面积加上圆柱的侧面积．【解答】解：由三视图可知该几何体的下部分是底面为边长是4，高是2的四棱柱，上部分是底面直径为4，高为2的圆柱，∴S=4×4×2+4×4×2+4π×2=64+8π．故选A．10．已知左、右焦点分别是F1，F2的双曲线上一点A满足AF1⊥AF2，且|AF1|=3|AF2|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A为双曲线的右支，由双曲线的定义可得，|AF1|﹣|AF2|=2a，求得|AF1|=3a，|AF2|=a，运用勾股定理和a，b，c的关系和渐近线方程即可得到所求．【解答】解：由题意可得A为双曲线的右支，由双曲线的定义可得，|AF1|﹣|AF2|=2a，由|AF1|=3|AF2|，可得|AF1|=3a，|AF2|=a，由AF1⊥AF2，可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即有9a2+a2=4c2，即为c2=a2，即有a2+b2=a2，即b2=a2，即有b=a，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：B．11．三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）A．πB．πC．πD．8π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=πR3=π，故选：C．12．已知函数f（x）=的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（0，+∞）D．（0，e）【考点】分段函数的应用．【分析】求出x＞0时关于原点对称的函数g（x）=lnx，由题意可得g（x）的图象和y=kx ﹣2（x＞0）的图象有两个交点．设出直线y=kx﹣2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），求出g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得切点和k的值，由图象即可得到所求范围．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣ln（﹣x），由f（x）的图象关于原点对称，可得g（x）=lnx（x＞0），由题意可得g（x）的图象和y=kx﹣2（x＞0）的图象有两个交点．设直线y=kx﹣2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），由g（x）的导数为g′（x）=，即有切线的斜率为=k，又lnm=km﹣2，解得m=，k=e，由图象可得0＜k＜e时，有两个交点．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=2cosx+1的图象在点x=处的切线方程是x+y﹣1﹣﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用直线的点斜式方程，可得所求切线的方程．【解答】解：函数f（x）=2cosx+1的导数为f′（x）=﹣2sinx，可得在点x=处的切线斜率为k=﹣2sin=﹣1，切点为（，1+），即有在点x=处的切线方程为y﹣（1+）=﹣（x﹣），即为x+y﹣1﹣﹣=0．故答案为：x+y﹣1﹣﹣=0．14．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＜f（1）的实数x的取值范围是（0，1）．【考点】函数单调性的性质．【分析】利用函数的单调性列出不等式解得即可．【解答】解：∵f（x）为R上的减函数，∴f（）＜f（1）等价于＞1，解得0＜x＜1．故答案为（0，1）．15．在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积，及余弦定理，即可求得BC的值．【解答】解：设，，则∵AB=2，=1∴2acosθ=1又由余弦定理可得：9=4+a2+4acosθ∴a2=3，∴a=故答案为：16．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围（﹣∞，1]．【考点】简单线性规划．【分析】先根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，由，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1则实数m的取值范围（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题（共5小题，满分60分）17．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=﹣，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）化简可得2a1+3a1q=1，a3=3=3a4，从而求得a n；（Ⅱ）化简S n=（1﹣），T n=﹣=3﹣=1﹣．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，∵a n＞0，q＞0；∴2a1+3a1q=1，a3=3=3a4，∴a1=，q=；故a n=•=；（Ⅱ）S n==（1﹣），T n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣=1﹣，故T n=1﹣．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB1⊥平面A1CD，AC⊥BC，D为AB中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）AA1=1，AC=2，求三棱锥C1﹣A1DC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由AA1⊥平面ABC得AA1⊥CD，由AB1⊥平面A1CD得AB1⊥CD，故CD⊥平面AA1B1B；（2）由CD⊥平面AA1B1B得CD⊥AB，得出△ABC是等腰直角三角形，以△A1C1C为棱锥的底面，则D到平面A1C1CA的距离h==．代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：（I）∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，∵AB1⊥平面A1CD，CD⊂A1CD，∴AB1⊥CD．又AA1⊂平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，AA1∩AB1=A，∴CD⊥平面AA1B1B．（II）∵CD⊥平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴CD⊥AB，又∵D是AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，BC=AC=2．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，又∵AC⊥BC，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC=A，∴BC⊥平面AA1C1C，∵D是AB的中点，∴D到平面AA1C1C的距离h==1．∵S===1，∴V=V==．19．46．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅱ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在[90，100]之间的概率；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）先求出样本容量，再求[80，90）间的频数与频率，计算对应矩形的高；（Ⅱ）求出分数在[80，100]之间的试卷数，用列举法求出基本事件数，计算概率即可；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分即可．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，频率分布直方图中[50，60）间的频率是0.008×10=0.08，频数是2，样本容量是=25；∵[80，90）间的频数是25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，∴频率是=0.16，∴矩形的高=0.016；（Ⅱ）分数在[80，100]之间的试卷数是4+2=6，分别记为a、b、c、d、A、B；从这6份中任取2份，ab、ac、ad、aA、aB、bc、bd、bA、bB、cd、cA、cB、dA、dB、AB共15种，其中至少有一份的分数在[90，100]之间的基本事件数是aA、aB、bA、bB、cA、cB、dA、dB、AB共9种∴它的概率为P==；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分是=55×0.008×10+65×+75×+85×+95×=73.8，由此估计平均分是73.8．20．如图，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c、0），（0，b）的直线的距离为λc（λ∈（0，1），垂直于x轴的直线l与椭圆C1及圆C2：x2+y2=a2均有两个交点，这四个交点按其坐标从大到小分别为A、B、C、D（Ⅰ）当λ=时，求的值；（Ⅱ）设N（a，0），若存在直线l使得BO∥AN，证明：0＜λ＜．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求出过两点（c、0），（0，b）的直线方程，由点到直线的距离公式可得b=λa，取λ=，求得椭圆方程，然后分别联立直线x=m（﹣a＜m＜a）与椭圆与圆方程，求出点的坐标，则的值可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程，求出A，B的坐标，由斜率相等可得，结合﹣a＜m＜0即可证得0＜λ＜．【解答】（Ⅰ）解：过两点（c、0），（0，b）的直线方程为，即bx+cy﹣bc=0，由原点O到直线bx+cy﹣bc=0的距离为λc（λ∈（0，1），得，即b=λa，当λ=时，b=，此时椭圆方程为．设直线l的方程为x=m（﹣a＜m＜a），联立，解得B（m，），C（m，），联立，解得A（m，），D（m，﹣），∴=；（Ⅱ）证明：如图，由（Ⅰ）得，A（m，），联立，得B（m，λ），又N（a，0），∴，而，由BO∥AN，得，∴m=λ（m﹣a），即．∵﹣a＜m＜0，∴，即，解得：λ＞1（舍）或，又λ∈（0，1），∴0＜λ＜．21．设函数f（x）=（a∈R）．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a≤2时，证明：对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）a≤0时，f（x）≤x+1成立，0＜a≤2时，令h（x）=﹣x﹣1，求出h（x）的单调性，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=，∵a＞0，e x＞0，∴由f′（x）≥0可得x≤，∴a＞0时，f（x）在（﹣∞，]递增；（Ⅱ）（i）a≤0时，f（x）=，由x≥0，得ax+1≤1，∵e x≥1，∴≤1，而x+1≥1，∴f（x）≤x+1成立；（ii）0＜a≤2时，令h（x）=﹣x﹣1，则f（x）≤x+1成立等价于h（x）≤0，h′（x）=﹣1，∵g（x）=﹣ax+a﹣1是减函数且x≥0，∴g（x）max=a﹣1≤1，∴h′（x）＜0，h（x）在[0，+∞）递减，∴x≥0时，h（x）≤h（0）=0，∴f（x）≤x+1恒成立，综上，a≤2时，对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．请考生再22,23,24三题中任选一题做答.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AE是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC，垂足为D．（Ⅰ）求证：AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接BE，由直径所对圆周角为直角得到∠ABE=90°，由三角形相似的条件得到△ACD∽△AEB，再由相似三角形对应边成比例得AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）由切割弦定理可得CF2=AF•BF，然后再由三角形相似求得AC的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接BE，∵AE为圆O的直径，∴∠ABE=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC，又∵∠ACD=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴，又∵AB=BC，∴AE•ED=AC•BC；（Ⅱ）解：∵CF是圆O的切线，∴CF2=AF•BF，又AF=4，CF=6，∴BF=9，∴AB=BF﹣AF=5，又∵∠ACF=∠FBC，∠F为公共角，∴△AFC∽△CFB，∴，∴AC=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用cos2θ+sin2θ=1可把圆C的参数方程化为普通方程，再利用化为极坐标方程．（II）直线l的方程为ρsin（θ+）=2，展开可得直角坐标方程．求出圆心C到直线l 的距离d，利用弦长公式|AB|=2即可得出．【解答】解：（I）圆C的参数方程为（θ为参数），化为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（II）直线l的方程为ρsin（θ+）=2，展开化为：（ρsinθ+ρcosθ）=2，可得直角坐标方程：y+x﹣4=0．由（I）可知：圆C的圆心C（2，0），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d==，∴|AB|=2=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）把f（x）的解析式代入xf（x）+3＞0，去绝对值后化为不等式组，求解不等式组得答案；（2）把f（x）＜m﹣|x|，分离变量m后构造分段函数，求解分段函数的最大值，从而得到m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|，∴xf（x）+3＞0⇔x|x﹣2|+3＞0⇔①或②，解①得：﹣1＜x≤2，解②得x＞2，∴不等式xf（x）+3＞0的解集为：（﹣1，+∞）；（2）f（x）＜m﹣|x|⇔f（x）+|x|＜m，即|x﹣2|+|x|＜m，设g（x）=|x﹣2|+|x|（﹣3＜x＜3），则，g（x）在（﹣3，0]上单调递减，2≤g（x）＜8；g（x）在（2，3）上单调递增，2＜g（x）＜4∴在（﹣3，3）上有2≤g（x）＜8，故m≥8时不等式f（x）＜m﹣|x|在（﹣3，3）上恒成立．。

湛江市2018年普通高考测试题（二）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则集合的子集的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合B，然后利用子集个数公式求解子集的个数即可.详解：由补集的定义可得：，利用子集个数公式可得集合的子集的个数为：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查补集的概念，子集个数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：逐一考查所给的函数的性质即可求得满足题意的函数.详解：结合所给选项逐一考查函数的性质：A.，函数为非奇非偶函数，在定义域内单调递增，不合题意；B.，函数为非奇非偶函数，在定义域内单调递减，不合题意；C.，函数为奇函数，在定义域内单调递增，不合题意；D.，函数为奇函数，在定义域内单调递减，符合题意；本题选择D选项.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 在边长为的正方形中，为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的坐标运算计算数量积即可.详解：如图所示，以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，据此可得：，由数量积的坐标运算法则可得：.本题选择D选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．4. 下列命题正确的是：①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。

2018高考仿真卷²文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从 1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.(p)∧qD.p∧(q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A²x-ay-c=0与bx+sin B²y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V 正四棱锥P-ABCD=,则球O的表面积是()A.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)²cos x 的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C 上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2018高考仿真卷²文科数学(二)1.B解析 (方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C 的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以²2R2²R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知PA2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时PA=,AC=.所以该几何体的体积V=³1³.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x²cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n= 解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解 (1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2³(3c)³c³=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解 (1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40³0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40³0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),( A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种, 则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB²DD1=³2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|PA|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|PA|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解 (1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解 (1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

广东省湛江市新寮中学2018年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象大致为（）参考答案：B略2. 设集合A={x|x2﹣9＜0}，B={﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】解关于A的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B={﹣1，0，2}，共3个元素，故选：A．3. 若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．参考答案：C略4. 已知数列为等差数列，且，则（）A． B． C． D．参考答案：A5. 已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=( )A．B．C．D．参考答案：D考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．解答：解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx 和tanx时注意利用x的范围判定其符合．6. “△的三个角A，B，C成等差数列”是“△为等边三角形”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A7. 已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段的中点的横坐标为A．B．C．D．参考答案：A8. 已知α为第四象限的角，且=A．B．C．一D．参考答案：A略9. 若的展开式中常数项为270，则实数a=A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：C【分析】求出中的系数为270，进而求得a值.【详解】设，∴2r-5= -1，即r=2，∴，∴a=3故选C.【点睛】本题主要考查了二项式系数的求法，属于简单题.10. 运行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A．10 B．11 C． 12 D． 9参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，AC的中点为M，∠SMB的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是。

2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.421ii-=+（ ） A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．13i - 2.已知()1,3a =-，(),4b m m =-，若//a b ，则m =（ ） A ．1 B ．2- C ．3 D ．63.已知x R ∈，集合{}0,1,2,4,5A =，集合{}2,,2B x x x =-+，若{}0,2A B =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．24.空气质量指数（简称：AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[)0,50为优，[)50,100为良，[)100,150为轻度污染，[)150,200为中度污染，[)200,250为重度污染，[)250,300为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）A ．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B ．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C. 在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D ．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有6天5.如图，AD 是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A ．16π B ．316 C.4πD ．14 6.已知等比数列{}n a 的首项为1，公比1q ≠-，且()54323a a a a +=+，则5a =（ ） A ．9- B ．9 C.81- D ．817.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为()4,0，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A ．22188x y -=B ．2211616x y -= C. 22188y x -= D ．22188x y -=或22188y x -= 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．86π+B ．66π+ C.812π+ D ．612π+9.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）A． B． C. D．10.已知三棱锥D ABC-的外接球的球心O恰好是线段AB的中点，且AC BC BD AD====2=，则三棱锥D ABC-的体积为（）A．3B．3C.3D．1311.已知数列{}n a的前n项和为n S，115a=，且满足112325n na an n+=+--，已知*,n m N∈，n m>，则n mS S-的最小值为（）A．494- B．498- C.14- D．28-12.已知函数()()ln3xf x e x=-+，则下面对函数()f x的描述正确的是（）A．()0,x∀∈+∞，()2f x≤ B．()0,x∀∈+∞，()2f x>C. ()0,x∃∈+∞，()00f x= D．()()min0,1f x∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin20f x xϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到偶函数()g x的图象，则ϕ的最大值是．14.设x，y满足约束条件2,1,1,yy xy x≤⎧⎪≥-+⎨⎪≥-⎩则3412z x y=--的最大值为．15.设函数()2logf x a x=+在区间[]1,a上的最大值为6，则a=．16.已知抛物线()220y px p=>与圆()2211x y+-=，则该抛物线的焦点到准线的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知60B=，8c=.（1）若点M 是线段BC 的中点，ANBM=b 的值； （2）若12b =，求ABC ∆的面积.18.经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图.已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）为了鼓励经销商提高销售额，计划确定一个合理的年度销售额m （单位：万元），年销售额超过m 的可以获得红包奖励，该工厂希望使62%的经销商获得红包，估计m 的值，并说明理由. 19.如图：在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形， 90ADE ∠=， （1）证明：FCB ∆为直角三角形；（2）已知四边形ABCD 是等腰梯形，且60DAB ∠=，1AD DE ==，求五面体ABCDEF 的体积.20.已知椭圆()2212:108x yC b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线21:8C y x =的焦点. （1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n +是定值. 21.已知函数()xmf x nx e =+. （1）若函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =-+，求m ，n 的值；（2）当1n =时，在区间(],1-∞上至少存在一个0x ，使得()00f x <成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,4x y a ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知()32f x mx x n =+-+.（1）当2m =，1n =-时，求不等式()2f x <的解集；（2）当1m =，0n <时，()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DABCD 6-10:BABCA 11、12：CB 二、填空题 13.6π-14.9- 15.416.6三、解答题17.解：（1）若点M 是线段BC的中点，AMBM=BM x =，则AM =， 又60B =，8AB =，在ABM ∆中，由余弦定理得2236428cos60x x x =+-⨯， 解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以ABC ∆为正三角形，则8b =. （2）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=，得8sin 2sin 123c BC b===又b c >，所以B C >，则C为锐角，所以cos 3C =. 则()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+==， 所以ABC ∆的面积1sin 4826S bc A ==⨯=18. 解：（1）由题可知：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为后4组的频率之和为0.040.10.120.240.50.62+++=<， 而后5组的频率之和为0.040.10.120.240.30.80.62++++=>， 所以100200m ≤≤. 由0.120.3200100m =-，解得160m =. 所以年销售额标准为160万元时，62%的经销商可以获得红包.19.（1）证明：由已知得AD DE ⊥，DC DE ⊥，,AD CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D =，所以DE ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以BC ED ⊥.又因为//ED FC ，所以FC BC ⊥，即FCB ∆为直角三角形. （2）解：连结AC ，AF ，ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+.过A 作AG CD ⊥交CD 于G ，又因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AG ⊥， 且CDDE D =，所以AG ⊥平面CDEF ，则AG 是四棱锥A CDEF -的高.因为四边形ABCD 是底角为60的等腰梯形，1AD DE ==，所以AG =,2AB =，13A CDEF CDEF V AG S -=⋅=因为DE ⊥平面ABCD ，//FC DE ，所以FC ⊥平面ABCD ，则FC 是三棱锥F ACB -的高.13F ACB ACB V FC S -∆=⋅=.所以3ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+=.20.解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=.（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=. 所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-. （2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，118m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()222,28,y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()2222128880k x k x k +-+-=， 因为()()()()222228412883210kk k k ∆=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+. 所以)22112k m k+==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k k m n k k ⎫+++=+=⎪++⎭为定值. 21.解：（1）因为()'xm f x n e=-+，让你以()'0f n m =-，即3n m -=-. 又因为()0f m =，所以切点坐标为()0,m ，因为切点在直线32y x =-+上，所以2m =，1n =-.（2）因为()x m f x x e=+，所以()'1x x x m e m f x e e -=-+=.当0m ≤时，()'0f x >，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递增，令00x a =<，此时()00a mf x a e=+<，符合题意；当0m >时，令()'0fx =，则ln x m =，则函数()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在()ln ,m +∞上单调递增.①当ln 1m <，即0m e <<时，则函数()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在(]ln ,1m 上单调递增， ()()min ln ln 10f x f m m ==+<，解得10m e<<.②当ln 1m ≥，即m e ≥时，函数()f x 在区间(],1-∞上单调递减，则函数()f x 在区间(],1-∞上的最小值为()110mf e=+<，解得m e <-，无解. 综上，1m e <，即实数m 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.22. 解：（1）在直线l 的参数方程中消去t ，可得，304x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中， 所以，直线l 的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. （2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,3B πρ⎛⎫⎪⎝⎭. 联立2,36cos 6sin 140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB的中点，所以132ρ+=，即323M π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.把3M π⎫⎪⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(31130224a +⨯-+=，所以94a =. 23. 解：（1）当2m =，1n =-时，()2321f x x x =+--.不等式()2f x <等价于()()3,223212,x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或()()31,2223212,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或()()1,223212,x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩解得32x <-或302x -≤<，即0x <.所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞. （2）由题设可得，()3,3,3233,3,23,,2x n x n f x x x n x n x n x n x ⎧⎪+-<-⎪⎪=+-+=++-≤≤-⎨⎪⎪-+->-⎪⎩所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为3,03n A +⎛⎫-⎪⎝⎭，()3,0B n -，,322nn C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 所以三角形ABC 的面积为()2613332326n n n n -+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由题设知，()26246n ->，解得6n <-.。