高一一元二次不等式

芯衣州星海市涌泉学校一.教学内容：1.一元二次不等式的解法2.第一单元集合的小结与复习二.重、难点：1.重点：〔1〕一元二次不等式的解法。

〔2〕集合的根本概念，集合之间的关系，不等式的解法。

2.难点：集合的有关概念之间的联络与区别，集合的应用。

【典型例题】[例1]解不等式：〔1〕0232>--x x 〔2〕0262≤+--x x〔3〕132≤-x〔4〕2232+≥+-x x x解： 〔1〕原不等式化为：0)1)(23(>-+x x∴32-<x 或者者1>x ∴原不等式的解集是}132|{>-<x x x 或〔2〕原不等式化为：0262≥-+x x ∴32-≤x 或者者21≥x∴原不等式的解集为{32|-≤x x 或者者21≥x }〔3〕原不等式化为：0132≤--x 0332≤-+-x x031≥--x x 同解于0)3)(1(≥--x x 且03≠-x∴3>x 或者者1≤x ∴原不等式的解集为{3|>x x 或者者1≤x }〔4〕原不等式化为：2232+≥+-x x x 或者者042≥-x x 或者者0422≤+-x x∴0≤x或者者4≥x 或者者φ∈x ∴原不等式的解集为{0|≤x x 或者者4≥x } [例2]不等式02>++c bx ax 的解集为}|{βα<<x x ，0>α，求不等式02<++a bx cx 的解集。

解：∵原不等式的解为βα<<x ∴0<a ∴由根与系数关系得：a b -=+βα，a c =αβ 将02<++a bx cx 的两边同除以a ， 得：012>++x a b x a c即01)(2>++-x x βααβ∴0)1)(1(>--x x βα 又∵0>>αβ∴αβ11<∴02<++a bx cx 的解集为{β1|<x x 或者者α1>x }[例3]a 为何值时，不等式02)1()23(22>+-++-x a x a a 的解为一实在数？ 解：〔1〕当0232=+-a a时，得1=a 或者者2=a ①1=a 时，原不等式化为02>恒成立 ∴1=a适宜 ②2=a时，原不等式化为02>+x ∴2->x ∴2=a 不适宜〔2〕当0232≠+-a a 时那么必须有由①：1<a 或者者2>a 由②：1<a 或者者715>a ∴不等式组的解为1<a 或者者715>a综上所述，a 的取值范围是1≤a 或者者715>a[例4]},412|{Z ∈+==k k x x M ，},214|{Z ∈+==k k x x N 那么〔〕A.M=NB.M ≠⊂NC.M ≠⊃ND.φ=⋂N M解：方法一：设Mx∈，那么)(412Z∈+=kkx∵Z∈k∴Z∈-12k∴Nx∈∴NM⊆又当=k时，21=x∴N∈21假设M∈21，那么21412=+k∴Z∉=21k∴M∉21∴NM≠⊂选B方法二：设1=k知M∈43且N∈43，排除D设=k知N∈21但M∉21，排除A、C 应选B[例5]设}110|{-≤≤-Z∈=xxxA且，}5|{≤Z∈=xxxB且，求BA⋃元素的个数。

一元二次不等式知识点高一在高一数学学习中，我们接触到了一元二次不等式，它是一种重要的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将从三个方面来介绍一元二次不等式的知识点。

一、一元二次不等式的基本性质一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

我们先来了解一下一元二次不等式的基本性质。

1. 一元二次不等式存在两种形式，即大于号（>）和小于号（<），分别对应着解集是开区间和闭区间。

2. 一元二次不等式的解集可用数轴上的点表示。

通过求解一元二次不等式的根，就可以确定解集在数轴上的位置。

如果根为实数r1和r2，并且a > 0，那么解集为(r1, r2)；如果根为实数r1和r2，并且a < 0，那么解集为(-∞, r1)∪(r2, +∞)。

3. 一元二次不等式的解集与系数a的正负有关。

当a > 0时，解集向上开口；当a < 0时，解集向下开口。

这一性质也可以通过函数图像的凹凸性来理解。

二、解一元二次不等式的方法在解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。

下面将分别介绍这两种方法。

1. 图像法：根据一元二次不等式与二次函数的关系，我们可以通过绘制二次函数的图像，并观察函数与x轴的交点来确定解集。

2. 代数法：通过变形、移项和配方法等代数运算来求解一元二次不等式。

具体步骤为：将一元二次不等式变形为一个完全平方相等式；求解该相等式得到根，并画出根的数轴；根据系数a的正负以及根的位置来确定解集。

三、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题中有着广泛的应用，特别是在优化问题和约束问题中。

1. 优化问题：一元二次不等式可以用来表示某个自变量的取值范围，使得目标函数取得最大（或最小）值。

例如，在某个产品的生产过程中，通过一元二次不等式确定生产数量的上下限，从而达到最大利润或最小成本。

2. 约束问题：一元二次不等式可以用来表示某个变量的约束范围。

高一数学一元二次不等式试题答案及解析1. 8.二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】有题意知二次函数的图象恒在轴的下方，所以开口向下，与轴没有交点，.【考点】二次函数恒成立的问题.2.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,故选A,注意分解因式后变量系数的正负.【考点】解不等式.3.设函数，（1）若不等式的解集．求的值；（2）若求的最小值．【答案】（1）（2）9【解析】（1）由二次不等式的解集与对应方程根之间的关系可知:-1和3是方程的二实根,由此可得到关于a,b的二元一次方程组，解此方程组得到a,b的值；（2）由得到，利用基本不等式就可求得的最小值．试题解析：（1）因为不等式的解集，所以-1和3是方程的二实根，从而有：即解得：.（2）由得到,所以,当且仅当时“=”成立;所以的最小值为9．【考点】１．一元二次不等式；２．基本不等式．4.若关于的不等式的解集，则的值为_________．【答案】【解析】由题意得，为方程的两根，且由得又由得：【考点】不等式解集与方程根的关系5.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b＝________．【答案】－10【解析】由题意得：为方程的两根，且由韦达定理得：【考点】一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系6.已知集合若，则实数m的取值范围是（）【答案】当时，m的取值范围是【解析】思路分析:因为，，所以，应注意讨论或的情况。

①当时，方程无实根，只需判别式小于0.②当，时，方程的根为非负实根，利用一元二次方程根的分布加以讨论。

解:①当时，方程无实根，所以所以②当，时，方程的根为非负实根，设方程的两根为则即解得综上，当时，m的取值范围是【考点】集合的运算，不等式（组）的解法。

点评：中档题，本题易忽视的情况而出错。

当，时，注意结合二次函数的图象和性质，讨论根的分布情况。

7.不等式组的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于不等式组可知，对于，，然后求解交集得到结论为，故答案为C.【考点】不等式的解集点评：主要是考查了一元二次不等式的求解，属于基础题。

一元二次不等式高一知识点一元二次不等式是高中数学中重要的知识点之一，它是由一元二次方程推导而来，是解决实际问题的有力工具。

本文将介绍一元二次不等式的定义、性质和解法，并附带例题进行讲解。

一、一元二次不等式的定义一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）的不等式，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，ax^2表示二次项，bx表示一次项，c是常数项。

在解一元二次不等式时，首先要判别一元二次不等式的开口方向，即判断不等式的二次项系数a的正负性。

当a>0时，二次不等式开口朝上；当a<0时，二次不等式开口朝下。

二、一元二次不等式的性质1. 不等式两边加（或减）同一个实数时，不等关系不变。

2. 不等式两边乘（或除）同一个正实数时，不等关系不变。

3. 不等式两边乘（或除）同一个负实数时，不等关系改变。

三、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的关键在于找到x的取值范围。

解的步骤如下：1. 将不等式中的所有项移到一边并合并同类项，化为一元二次不等式标准形式ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）。

2. 利用一元二次不等式的性质，将一元二次不等式转化为等价的形式，以便求解。

例如，可以将二次项提取因式，将不等式转化为两个一次不等式的交集或并集。

3. 解二次不等式的交集或并集，得到x的取值范围。

4. 根据开口方向判断不等式的解集情况。

当二次项系数a>0时，解集为x在某一区间内的所有实数；当二次项系数a<0时，解集为x不在某一区间内的所有实数。

四、例题解析例题1：解不等式x^2-4x+4≥0。

解：首先将不等式化为标准形式，得到x^2-4x+4≥0。

然后，将等式两边化简并提取因式，得到(x-2)^2≥0。

由于平方值不可能小于0，所以(x-2)^2≥0对任意实数x成立。

因此，解集为实数集R。

例题2：解不等式2x^2+3x-2>0。

解：首先将不等式化为标准形式，得到2x^2+3x-2>0。

一元二次不等式的经典高一数学考点高一数学知识点整理概念含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0(a不等于0),其中ax^2+bx+c实数域上的二次三项式。

一元二次不等式的解法 1)当V("V"表示判别是，下同)=b^2-4ac>=0时，二次三项式，ax^2+bx+c有两个实根，那么ax^2+bx+c总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。

这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。

一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。

还是举个例子吧。

2x^2-7x+6<0利用十字相乘法2 -31 -2得(2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论：一、2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2。

不成立二、2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。

得最后不等式的解集为：1.5另外，你也可以用配方法解二次不等式：2x^2-7x+6=2(x^2-3.5x)+6=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)^2-0.125<02(x-1.75)^2<0.125(x-1.75)^2<0.0625两边开平方，得x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为1.5我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的.在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在图6-1中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么a>b.我们再看图6-1，a>b表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：如果a>b，那么a-b是正数;逆命题也正确.类似地，如果a这就是说：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.例1 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.解：(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0，∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).例2 已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.由x≠0，得x2>0，从而(x2+1)2>x4+x2+1.想一想：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?练习1.比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小.利用比较实数大小的'方法，可以推出下列不等式的性质.定理1 如果a>b，那么bb.证明：∵a>b，∴a-b>0.由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0，即b-a<0，∴b(定理1的后半部分请同学们自证.)定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向①.①在两个不等式中，如果每一个的左边都大于(或小于)右边，这两个不等式就是同向不等式，例如a2+2>a+1，3a2+5>2a是同向不等式;如果一个不等式的左边大于(或小于)右边，而另一个不等式的左边小于(或大于)右边，这两个不等式就是异向不等式，例如a2+3>2a，a2定理2 如果a>b，且b>c，那么a>c.证明：∵a>b，b>c，∴a-b>0，b-c>0.根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+(b-c)>0，即a-c>0，∴a>c.根据定理1，定理2还可以表示为：如果c定理3 如果a>b，那么a+c>b+c.证明：∵(a+c)-(b+c)=a-b>0，∴a+c>b+c.定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.想一想：如果a利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b.也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.推论如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d.证明：∵a>b，∴a+c>b+c. ①∵c>d，∴b+c>b+d. ②由①、②得 a+c>b+d.很明显，这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加.这就是说，两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.定理4 如果a>b，且c>0，那么ac>bc;如果a>b，且c<0，那么ac证明：ac-bc=(a-b)c.∵a>b，∴a-b>0.根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当c>0时，(a-b)c>0，即ac>bc;当c<0时，(a-b)c<0，即ac由定理4，又可以得到：推论1 如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd.同学们可以仿照定理3的推论证明定理4的推论1.很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.由此，我们还可以得到：推论2 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，且n>1).我们用反证法来证明.这些都同已知条件a>b>0矛盾.利用以上不等式的性质及其推论，就可以证明一些不等式.例3 已知a>b，cb-d.证明：由a>b知a-b>0，由c0.∵(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0，∴a-c>b-d.证明：∵a>b>0，即又 c<0，解不等式1.解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.①解一元高次不等式;②解分式不等式;③解无理不等式;④解指数不等式;⑤解对数不等式;⑥解带绝对值的不等式;⑦解不等式组.2.解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质.(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.(3)注意代数式中未知数的取值范围.3.不等式的同解性(1)|f(x)|0)(2)|f(x)|>g(x)①与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)≥0)同解;②与g(x)<0同解.(3)当a>1时，af(x)>ag(x)与f(x)>g(x)同解，当0ag(x)与f(x)函数1、若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有非空真子集的个数是。

高一数学一元二次不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是向高一学生详细讲解一元二次不等式的相关概念、解法及其在实际问题中的应用。

教学内容将包括一元二次不等式的定义、性质、解集的确定方法，以及不同类型一元二次不等式的求解策略。

此外，还将通过典型例题的分析，让学生掌握如何运用一元二次不等式解决实际生活中的问题，提高他们的数学应用能力。

2、教学对象本节课的教学对象是高中一年级学生，他们在先前的学习中已经掌握了一元一次不等式的解法，具备了一定的不等式基础知识。

然而，一元二次不等式相较于之前所学内容，在难度和复杂性上有所提高，因此需要教师引导学生逐步掌握一元二次不等式的解法，培养他们的逻辑思维能力和解题技巧。

此外，由于学生们的数学基础和接受能力存在差异，教学过程中应注重因材施教，使每位学生都能在一元二次不等式学习中取得进步。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解一元二次不等式的定义，掌握其基本性质；（2）掌握一元二次不等式的解集确定方法，包括图像法、因式分解法、配方法等；（3）能够运用所学知识解决一元二次不等式的求解问题；（4）学会将一元二次不等式应用于实际问题，提高数学应用能力；（5）培养逻辑思维能力和解题技巧，提高数学素养。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习等方式，让学生在实践中掌握一元二次不等式的解法；（2）借助图像、实际例题等教学资源，引导学生观察、分析、归纳一元二次不等式的性质和解集规律；（3）采用问题驱动的教学方法，激发学生的求知欲，培养他们独立思考和解决问题的能力；（4）注重分类讨论，培养学生思维的严谨性和条理性；（5）通过课后作业和拓展练习，巩固所学知识，提高学生的数学技能。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热情，增强他们学习数学的自信心；（2）引导学生树立正确的数学观念，认识到数学在现实生活中的重要作用；（3）培养学生勇于探索、善于合作、积极进取的学习态度；（4）通过一元二次不等式的学习，让学生体会到数学的简洁美和逻辑美，提高审美情趣；（5）教育学生遵循数学道德，严谨治学，诚实守信，形成良好的学术风气。