高中数学专题三知能演练轻松闯关

1．若a ，b ，c 都是正实数且a ＋b ＋c ＝6，则abc 的最大值为( )A ．2B ．27C ．8D ．3答案：C2．函数f (x )＝2x 2＋4x(x >0)的最小值是( ) A ．334B ．5C ．6D ．4答案：C 3．函数y ＝x 2(1－3x )(0<x <13)的最大值是( ) A.4243 B.8243C.481D.881答案：A4．若0<x <1，则y ＝x 4(1－x 2)的最大值是________．答案：4275．函数y ＝a x ＋2－4(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则3m ＋2n的最小值为________． 解析：∵y ＝a x ＋2－4的图象恒过定点A (－2，－3)，又点A 在mx ＋ny ＋1＝0上，∴2m ＋3n ＝1，∴3m ＋2n ＝(3m ＋2n)(2m ＋3n ) ＝12＋9n m ＋4m n ≥12＋29n m ·4m n＝24. 当且仅当9n m ＝4m n， 即4m 2＝9n 2时，等号成立．答案：241．已知a ，b ∈R ，且a ≠b ，则在下列式子中，恒成立的个数为( )①a 2＋3ab >2b 2；②a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)；④a b ＋b a>2. A ．4 B ．3C ．2D ．1解析：选D.对于①，∵a 2＋3ab －2b 2＝(a ＋32b )2－174b 2不一定恒大于0. ∴①不恒成立．对于②，a 5＋b 5－a 3b 2－a 2b 3＝(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)．∵a ≠b ，∴(a －b )2>0. 又a 2＋ab ＋b 2>0.而a ＋b 可正、可负、可为零．∴②不恒成立．对于③，a 2＋b 2－[2(a －b －1)]＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0.∴③恒成立．对于④，若a ，b 异号，则a b ＋b a ≤－2，故④不恒成立．综上可知选D.2．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号．3．函数y ＝4x 2＋16(x 2＋1)2的最小值是( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选C.y ＝4x 2＋16(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)＋2(x 2＋1)＋16(x 2＋1)2－4≥332(x 2＋1)·2(x 2＋1)·16(x 2＋1)2－4＝12－4＝8，当且仅当2(x 2＋1)＝16(x 2＋1)2，即x ＝±1时，等号成立，∴y min ＝8.4．若2a >b >0，则a ＋4(2a －b )·b 的最小值是( )A ．3B ．1C ．8D ．12解析：选A.a ＋4(2a －b )·b ＝a ＋2(a －b 2)·b＝(a －b 2)＋b2＋2(a －b 2)·b≥33(a －b2)·b2·2(a －b2)·b ＝3，当且仅当a ＝b ＝2时，取等号．故选A.5．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为() A ．2 B ．4C ．6D ．8解析：选B.∵x ，y ∈R ＋，(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2≥9， ∴a ≥2，∴a ≥4，∴正实数a 的最小值为4.6．(2013·陕西西安二模)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y的最小值是( ) A ．2 B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.由lg 2x ＋lg 8y ＝lg2得lg 2x ＋3y ＝lg 2，∴x ＋3y ＝1，∴1x ＋13y ＝(1x ＋13y)(x ＋3y ) ＝2＋x 3y ＋3y x ≥4. 当且仅当x 3y ＝3y x时，等号成立． 7．已知x ，y ，z 为正数，且xyz ＝1，则(x ＋y ＋z )3的取值范围是________． 解析：∵x ＋y ＋z 3≥3xyz >0， 当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立．∴(x ＋y ＋z )327≥xyz ＝1，即(x ＋y ＋z )3≥27. 答案：[27，＋∞)8．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是________．解析：∵log x y ＝－2，∴y ＝1x2. ∴x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3232. 当且仅当x 2＝1x2时，等号成立． 答案：3232 9．若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是________． 解析：由x 2y ＝2，得y ＝2x2，代入xy ＋x 2得 xy ＋x 2＝x ·2x 2＋x 2＝2x ＋x 2＝1x ＋1x＋x 2≥3， 当且仅当1x＝x 2， 即x ＝1，y ＝2时，取等号． 答案：310．设a 、b 、c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：∵a 、b 、c 为正实数，∴1a 3＋1b 3＋1c 3≥3·31a 3b 3c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc ≥23abc·abc ＝2 3. 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．∴1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 11．求当x 为何值时，函数y ＝2x ＋8x2＋3在x ∈(0，＋∞)有最小值，并求出最小值． 解：∵x >0，∴y ＝2x ＋8x 2＋3＝x ＋x ＋8x2＋3 ≥33x ·x ·8x2＋3＝9. 当且仅当x ＝8x2，即x ＝2时，取等号． ∴当x ＝2时，y ＝2x ＋8x2＋3有最小值9. 12．有一块边长为a 的正方形铁皮，为了折叠成一个底面为正方形的铁盒子，需要在原正方形铁皮上四个直角处都剪去一个小正方形．求当小正方形的边长为多少时，盒子的容积最大．解：设剪去的小正方形边长为x ，则其容积V ＝(a －2x )2·x ⎝⎛⎭⎫0<x <a 2， ∴V ＝14·4x (a －2x )(a －2x ) ≤14⎝⎛⎭⎫4x ＋a －2x ＋a －2x 33＝2a 327.当且仅当4x ＝a －2x ，即x ＝a 6时，等号成立． 即当减去的小正方形边长为a 6时， 所得铁盒的最大容积为227a 3.13．设x ，y ∈R ＋，且x 2＋y 2＝1.求xy 2的最大值．解：∵x ，y ∈R ＋，∴xy 2＝x 2y 4＝ 4x 2·y 22·y 22≤ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 22＋y 2233＝239. 当且仅当x 2＝y 22， 即x ＝33，y ＝63时， xy 2取得最大值239. 14．设x ，y ，z ∈R ＋，且2x ＋3y ＋5z ＝6.求xyz 的最大值．解：∵x ，y ，z >0，且2x ＋3y ＋5z ＝6，∴2＝2x ＋3y ＋5z 3≥32x ·3y ·5z ， ∴30xyz ≤8，∴xyz ≤415. 当且仅当2x ＝3y ＝5z ＝2，即x ＝1，y ＝23，z ＝25时取“＝”． 即xyz 的最大值为415.。

1.下列各项中的两个变量具有相关关系的是( )A ．长方体的体积与高B ．人的寿命与营养C ．正方形的边长与面积D ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间解析：选B.相关关系是一种不确定关系，A 、C 、D 是确定关系，是函数关系，故选B.2.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5销售额y (万元) 49 26 39 54根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：选B.由表可计算x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，因为点(72，42)在回归直线y ^＝b ^＋a ^x 上，且b ^为9.4，所以42＝9.4×72＋a ^，解得a ^＝9.1， 故回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，令x ＝6得y ^＝65.5.3.为了考察两个变量y 与x 的线性相关性，测得x ，y 的13对数据，若y 与x 具有线性相关关系，则相关指数R 2的取值范围是________．解析：相关指数R .R 2的取值范围是［0，1］.当R 2=0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x 与y 没有任何关系；当R 2=1时，即残差平方和为0,x 与y 之间是确定的函数关系.其他情形，即当x 与y 是不确定的相关关系时，R 2∈(0,1).答案：（0，1）4.如图是x 和y 的一组样本数据的散点图,去掉一组数据________________后,剩下的4组数据的相关指数最大.解析：经计算,去掉D （3，10）这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大.答案：D(3,10)1.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是A.残差B.残差平方和C.随机误差D.相关指数R 2解析：选B.残差平方和的大小表明了数据点和它在回归直线上相应位置的差异.3.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1,y1）,( x2,y2),…,( x n,y n),则下列说法中不正确的是A.若残差恒为0，则R2为1B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系解析：选C. R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好,故选C.6.）一机器可以按各种不同速度运转，其生产物件有一些会有缺点.每小时生产有缺点物件的多少，随机器运转速度而变化，下列即为其试验结果.(1)求出机器运转速度影响每小时生产有缺点物件数的回归直线方程；（2）若实际生产中所允许的每小时最大缺点物件数为10，那么机器的运转速度不得超过多少转/秒？7.如下所示的是一组观测值的四个回归模型对应的残差图，由残差图分析拟合效果最好的回归模型为解析：选A.如题中A所示的残差图中的点分布在以原点为中心的水平带状区域上，并且沿水平方向散点的分布规律相同，说明残差是随机的，所选择的回归模型是合理的.如题中B所示的残差图中的点分布在一条倾斜的带状区域上,并且沿带状区域方向散点的分布规律相同,说明残差与横坐标有线性关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地.如题中C所示的残差图中的点分布在一条抛物线形状的弯曲带状区域上,说明残差与坐标轴变量有二次关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地.如题中D所示的残差图中的点分布范围随着横坐标的增加而扩大,说明残差与横坐标变量有关,所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地.综上分析可知,应选A8.如果散点图中所有的样本点均在同一条直线上,那么残差平方和与相关系数分别为A.1,0B.0,1C.0.5,0.5D.0.43,0.57解析：选B.如果所有的样本点均在同一条直线上,建立的回归模型一定是这条直线,所以每个样本点的残差均为0,所以残差平方和也为0,即此时的模型为y=bx+a,没有随机误差项,所以是严格的一次函数关系,通过计算可以证明解释变量与预报变量之间的相关系数是1.9.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现变量x 的观测数据的平均值都是s，变量y的观测数据的平均值都为t，那么下列说法正确的是①l1与l2的相交点为（s,t）；②l1与l2相交，相交点不一定是(s,t);③l1与l2必关于点（s,t）对称；④l1与l2必定重合.10.某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:(1)作出散点图；（2）求出线性回归方程；（3）作出残差图；（4）计算R2，并作出解释；（5）试预测该运动员训练47次及55次时的成绩.解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图,如图所示(3)残差分析将这8名运动员依次编号为1，2，3，…，8，因残差e ^1≈－1.24，e ^2≈－0.37，e ^3≈0.55，e ^4≈0.47，e ^5≈1.39，e ^6≈0.18，e ^7≈0.09，e ^8≈－1.07，于是可作残差图如图所示：由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算相关指数R 2计算相关指数R 2＝0.9855.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．(5)作出预报由上述分析可知，我们可用回归方程y ^＝1.0415x －0.003875作为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57.故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.11.(创新题)已知x ，y 之间的5组数据如下表所示：x 1 3 6 7 8 y 1 2 3 4 5对于表中数据，甲、乙两位同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ^＝12x ＋12，试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合效果更好？解：用y ^＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 实际值的差的平方和，即残差平方和为∑i ＝15 (y i －y ^i )2＝⎝⎛⎭⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫103－42＋⎝⎛⎭⎫113－52＝73. 用y ^＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 实际值的差的平方和，即残差平方和为∑i ＝15 (y i －y ^i )2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎫72－32＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫92－52＝12. ∵12<73，而残差平方和小的拟合效果好， ∴直线y ＝12x ＋12拟合效果更好．。

1．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( )A ．(－89，8]B ．[－89，8]C ．(19，9)D ．[19，9] 解析：选A.∵y ＝(13)x －1在[－2,2)上是减函数， ∴y ∈(－89，8]． 2．(2012·九江质检)若0＜x ＜1，则2x 、(12)x 、0.2x 间的大小关系为( ) A ．2x ＜0.2x ＜(12)x B ．2x ＜(12)x ＜0.2x C ．(12)x ＜0.2x ＜2x D ．0.2x ＜(12)x ＜2x 解析：选D.2x ∈(1,2)，0.2x ∈(0,1)，(12)x ∈(0,1)． 根据图像x ∈(0,1)时，y ＝(12)x 在y ＝0.2x 的图像上方． 3．函数y ＝a x －2012＋1(a ＞0且a ≠1)的图像过定点________．解析：令x －2012＝0，∴x ＝2012，y ＝a 0＋1＝2.答案：(2012,2)4．已知x ＞0，指数函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为x ＞0，指数函数y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8＞1，即a 2＞9，解得a ＞3或a ＜－3.答案：{a |a ＞3或a ＜－3}[A 级 基础达标]1．(2010·高考重庆卷)函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4) 解析：选C.∵4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，0≤16－4x ＜16＝4，即函数y ＝16－4x 的值域是[0,4)．2．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2解析：选D.y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝23×0.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5且y ＝2x 在R 上是增函数， ∴y 1＞y 3＞y 2.故选D.3．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 为( ) A.12 B.32 C.12或32 D.14解析：选C.当a ＞1时，a 2－a ＝a 2⇒a 2－32a ＝0，得a ＝32，当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2⇒a 2－a 2＝0，得a ＝12. 综上可知选C.4．函数y ＝(12)x －a 的定义域是R ，则a 的取值范围为________． 解析：由题意知(12)x －a ≥0恒成立，即a ≤(12)x 恒成立 ∵(12)x ＞0(x ∈R)， ∴a ≤0.答案：a ≤05．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3a ，x ＜0，a x ，x ≥0(a ＞0且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：当x ＜0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 是减函数，当x ≥0时，若函数f (x )＝a x 是减函数，则0＜a ＜1.要使函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足0＋3－3a ≥a 0，解得a ≤23，所以a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a ≤23，即0＜a ≤23答案：(0，23] 6．求函数y ＝9x －3x ＋1的最小值．解：令3x ＝t ，则y ＝t 2－t ＋1(t ＞0)，∴y ＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34(t ＞0)，如图所示，可知y ≥34， 即当t ＝12时，y min ＝34. ∴函数的最小值是34. [B 级 能力提升]7．(2012·合肥质检)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图像不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.函数y ＝a x ＋b (0＜a ＜1，b ＜－1)的图像是由y ＝a x (0＜a ＜1)的图像向下平移|b |个单位长度得到的，如图，因而一定不经过第一象限．8．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a ＞b )，例如1*2=1,则函数y = 1*2x 的值域为( ) A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0,1]解析：选D.由函数f (x )＝2x 的图像可知，y ＝1*2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)，1 (x ＞0)，又∵当x ≤0时，0＜2x ≤1， ∴函数y ＝1*2x的值域为(0,1].9.设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R ，是偶函数，则实数a ＝________.解析：∵函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )·(e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )．整理，得(a ＋1)·x ·(1＋e 2x )＝0.∵x ∈R,1＋e 2x ＞0，∴a ＋1＝0，故a ＝－1.答案：－110．已知f (x )＝2x ，g (x )＝3x .(1)当x 为何值时，f (x )＝g (x )?(2)当x 为何值时，f (x )＞1？f (x )＝1？f (x )＜1?(3)当x 为何值时，g (x )＞3？g (x )＝3？g (x )＜3?解：作出函数f (x )，g (x )的图像，如图所示．(1)∵f (x )，g (x )的图像都过点(0,1)，且这两个图像只有一个公共点，∴当x ＝0时，f (x )＝g (x )＝1.(2)由图可知，当x ＞0时，f (x )＞1；当x ＝0时，f (x )＝1；当x ＜0时，f (x )＜1.(3)由图可知：当x ＞1时，g (x )＞3；当x ＝1时，g (x )＝3；当x ＜1时，g (x )＜3.11．(创新题)已知9x －10·3x ＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2的最大值与最小值． 解：∵9x －10·3x ＋9≤0，∴(3x )2－10·3x ＋9≤0，即(3x －1)(3x －9)≤0，∴1≤3x ≤9，∴0≤x ≤2，又y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2＝⎝⎛⎭⎫14x ·⎝⎛⎭⎫14－1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2＝4·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2， 令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝⎛⎭⎫t －122＋1， ∵0≤x ≤2，∴14≤⎝⎛⎭⎫12x ≤1，∴14≤t ≤1，如图所示，当t ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝12时，y min ＝1；当t ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝1时，y max ＝2.。

【优化方案】2022年高中数学第三章3.1.1知能演练轻松闯关新人教A版必修11．函数f＝og5－1的零点是A．0B．1C．2D．3解析：选－1＝0，解得＝2，∴函数f＝og5－1的零点是＝2，故选C2．函数f＝og2＋2－1的零点必落在区间D．1,2解析：选＝－错误!0，f2＝4>0，∴函数f的零点落在错误!上．3．已知函数f＝2－1，则函数f－1的零点是________．解析：由f＝2－1，得＝f－1＝－12－1＝2－2，∴由2－2＝1＝0，2＝2，因此，函数f－1的零点是0和2答案：0和24．若二次函数＝a22＋a在区间0,1上有零点，则实数a的取值范围为________．解析：∵二次函数＝a22＋a的零点为0，－错误!，∴00，f20，与已知矛盾．故选C3．已知函数f的图象是连续不断的，且有如下对应值表：1234 6f －－－则函数f在下列区间中有零点的是A．1,2B．2,3C．3,4D．4,6解析：选B∵f1>0，f2>0，f34a18．函数f＝n－错误!的零点所在的大致区间是A．1,2B．2,3C．3,4D．e,3解析：选B∵f2＝n2－1＜0，f3＝n3－错误!＞0，∴f2·f3＜0，∴f在2,3内有零点．9．若函数f＝3a－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．解析：因为函数f＝3a－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f－1·f1≤0，即－5a＋1a＋1≤0，5a－1a＋1≥0，所以错误!或错误!解得a≥错误!或a≤－1答案：a≥错误!或a≤－110．已知函数f＝2m＋12＋4m＋2m－11m为何值时，函数的图象与轴有两个交点2如果函数的一个零点为0，求m的值．解：1要使函数f的图象与轴有两个交点，需有错误!∴m的取值范围为－∞，－1∪－1,1．2由f0＝0，得2m－1＝0，即m＝错误!11．已知二次函数＝f的图象经过点0，－8，1，－5，3,7三点．1求f的解析式；2求f的零点；3比较f2f4，f－1f3，f－5f1，f3f－6与0的大小关系．解：1设函数解析式为＝a2＋b＋c，由错误!解得错误!∴f＝2＋2－82令f＝0得＝2或＝－4，∴零点是2，－43f2f4＝0，f－1f3＝－9×7＝－630。

2021届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题三第1讲知能演练1．(2021高考江西卷)设{an}为等差数列，公差d＝－2，sn为其前n项和，若s10＝s11，则a1＝()a、 18b.20c.22d.24解析：选b.因为s10＝s11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20.2．(2021高考安徽卷)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()a．1b．2c．4d．8二解析：选a.∵a3a11＝16，∴a7＝16.－－又∵an＞0，∴a7＝4.a5＝a7q2＝4×22＝1.故选a.3．(2021东北三校模拟)等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a12a2…2a10)＝()a．10b．20c．40d．2＋log2510? a1＋a10？解析：选b.依题意得，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝5(a5＋a6)＝20，因此有二log2(2a12a2…2a10)＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝20.4．(2021浙江嘉兴质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈n*)，则a10＝()a．64b．32c．16d．8N解析：选b.因为an＋1an＝2，an＋2＋所以an＋1an＋2＝2n1，两式相除得＝2.一又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2，a10a8a6a4则＝24，即a10＝25＝32.a8a6a4a25．(2021高考上海卷)设{an}是各项为正数的无穷数列，ai是边长为ai，ai ＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{an}为等比数列的充要条件是()a．{an}是等比数列b、 A1，A3，。

，a2n-1，。

或者A2，A4，。

，A2N，。

是一个等距序列。

C.A1、A3、，。

，a2n-1，。

A2，A4，。

，A2N，。

是等距序列d．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同An+1An+1An+2An+2a3a3分析：选择D。

1．下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．f (x )＝－x ＋3B ．f (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝－|x －1|D ．f (x )＝1x解析：选B.画出各个函数的图像，由单调函数图像特征可知，选项B 正确．2. 已知函数y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( ) A ．减函数且f (0)>0 B ．增函数且f (0)>0C ．减函数且f (0)<0D ．增函数且f (0)<0解析：选C.由题意，知a <0，b <0.∴f (x )＝bx ＋a 在R 上是减函数，且f (0)＝a <0.3．如图为y ＝f (x )的图像，则它的单调递减区间是________．解析：由单调性定义可得．答案：(－2,1)和(3，＋∞)4．若f (x )是R 上的增函数，且f (x )的图像经过点A (0，－1)和点B (3,3)，则不等式－1<f (x ＋1)<3的解集是________．解析：由题意可知f (0)＝－1，f (3)＝3.∴－1<f (x ＋1)<3等价于f (0)<f (x ＋1)<f (3)又∵f (x )是R 上的增函数∴0<x ＋1<3，∴－1<x <2即不等式－1<f (x ＋1)<3的解集是(－1,2)．答案：(－1,2)[A 级 基础达标]1．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( )A ．一定是增函数B ．一定是减函数C ．可能是常数函数D ．单调性不能确定解析：选D.由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．2．若函数f (x )是R 上的减函数，则下列各式成立的是( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋2)<f (2a )D ．f (a 2＋1)>f (a )解析：选C.a 和2a ，a 2和a 无法确定大小关系，所以不能确定相应函数值的大小关系，故A ，B 错误；因为a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1>0，所以a 2＋2>2a ，又函数f (x )是R 上的减函数，所以f (a 2＋2)<f (2a )，故C 正确；a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，所以a 2＋1>a ，又函数f (x )是R 上的减函数，所以f (a 2＋1)<f (a )，故D 错误．3．下列结论正确的是( )A ．函数y ＝kx (k 为常数，且k <0)在R 上为增函数B ．函数y ＝x 2在R 上为增函数C ．函数y ＝1xD ．函数y ＝1x在(－∞，0)上为减函数 解析：选D.作出函数y ＝kx (k <0)，y ＝x 2，y ＝1x的图像(图略)即可判断． 4．若函数y ＝1＋k x在区间(0，＋∞)上是减少的，则实数k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝1＋k x在区间(0，＋∞)上是减少的，所以1＋k >0，解得k >－1. 答案：(－1，＋∞)5．函数f (x )＝4－1x在(0，＋∞)上为________函数(填“增”或“减”)． 解析：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝4－1x 1－⎝⎛⎭⎫4－1x 2＝x 1－x 2x 1x 2. 因为x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )＝4－1x在(0，＋∞)上是增函数． 答案：增6．证明函数f (x )＝x 1＋x在(－1，＋∞)上是增函数． 证明：设x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 1－x 21＋x 2＝x 1－x 2(1＋x 1)(1＋x 2). ∵x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1＋x 1>0,1＋x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2)故f (x )＝x 1＋x在(－1，＋∞)上是增函数． [B 级 能力提升]7．已知定义在R 上的增函数f (x )满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小0C ．等于0D ．正负都有可能解析：选A.x 1＋x 2>0.∴x 1>－x 2.∴f (x 1)>f (－x 2)，∴f (x 1)>－f (x 2)∴f (x 1)＋f (x 2)>0.同理f (x 1)＋f (x 3)>0.f (x 2)＋f (x 3)>0.∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.8．(2012·九江质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0] 解析：选B.g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a (x ≥0)，ax ＋2a －1(x <0)在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋a 在[0，＋∞)上是递增的，∴f (x )≥f (0)＝a ；当x <0时，由f (x )＝ax ＋2a －1在(－∞，0)上也是递增的知a >0，且f (x )<2a －1.又f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴2a －1≤a ，∴a ≤1.综上，0<a ≤1.答案：0<a ≤110．讨论函数y ＝ax x 2－1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解：设－1<x 1<x 2<1，则x 21－1<0，x 22－1<0，－1<x 1x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 22－1). ∵x 1x 2＋1>0，x 2－x 1>0，x 21－1<0，x 22－1<0，∴在当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－1,1)上是减函数；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．综上所述：当a >0时，f (x )在(－1,1)上是减函数，当a <0时，f (x )在(－1,1)上是增函数．11．(创新题)已知函数f (x )＝x ＋1x －2，x ∈[3,7]． (1)判断函数f (x )的单调性，并用定义加以证明；(2)求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)函数f (x )在区间[3,7]内单调递减，证明如下：在[3,7]上任意取两个数x 1和x 2，且设x 1>x 2，∵f (x 1)＝x 1＋1x 1－2，f (x 2)＝x 2＋1x 2－2， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－2－x 2＋1x 2－2＝(x 1＋1)(x 2－2)－(x 2＋1)(x 1－2)(x 1－2)(x 2－2) ＝3(x 2－x 1)(x 1－2)(x 2－2). ∵x 1，x 2∈[3,7]，x 1>x 2，∴x 1－2>0，x 2－2>0，x 2－x 1<0，∴f (x 1)－f (x 2)＝3(x 2－x 1)(x 1－2)(x 2－2)<0. 即f (x 1)<f (x 2)，由单调函数的定义可知，函数f (x )为[3,7]上的减函数．(2)由单调函数的定义可得f (x )max ＝f (3)＝4，f (x )min ＝f (7)＝85.。

1．设a ∈R ，则“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.因为a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，所以由a －1a 2－a ＋1<0，得a <1，不能得出|a |<1；反过来，由|a |<1，得－1<a <1，所以a －1a 2－a ＋1<0.因此，“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的必要不充分条件．2．(2015·湖北七市模拟)不等式x 2＋2x <a b ＋16b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4，2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.不等式x 2＋2x <a b ＋16b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min . ∵a b ＋16b a ≥2a b ·16b a＝8(当且仅当a ＝4b 时等号成立)， ∴x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选C.3．(2015·保定市高三调研)若函数f (x )＝x 3＋3x 对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x ∈________.解析：由题意可知f (x )为奇函数，且在定义域内为增函数，∴f (mx －2)＋f (x )<0可变形为f (mx －2)<f (－x )，∴mx －2<－x ，将其看作关于m 的一次函数g (m )＝x ·m －2＋x ，m ∈[－2，2]，可得当m ∈[－2，2]时，g (m )<0恒成立，由g (2)<0，g (－2)<0，解得－2<x <23. 答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 4．(2015·广东六校联考)设函数f (x )＝lg ⎣⎡⎦⎤ax 2＋x ＋⎝⎛⎭⎫b 2－b ＋12(a ≠0)，若对任意实数b ，函数f (x )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a ⎝⎛⎭⎫b 2－b ＋12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a >1b 2－b ＋12＝1⎝⎛⎭⎫b －122＋14对任意实数b 恒成立，只要4a 大于1⎝⎛⎭⎫b －122＋14的最大值即可，而1⎝⎛⎭⎫b －122＋14的最大值为4，即4a >4，a >1. 答案：(1，＋∞)5．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：因为x ∈[1，＋∞)，所以f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立． 即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )恒成立．令g (x )＝－(x 2＋2x )．因为g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3.6．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2(a 为实常数)．(1)若a ＝－2，求函数f (x )的单调区间；(2)若对∀x ∈[1，e]，使得f (x )≤(a ＋2)x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，所以f ′(x )＝2（x 2－1）x. 令f ′(x )＝2（x 2－1）x>0， 得－1<x <0或x >1，且定义域为(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调增区间是(1，＋∞)．令f ′(x )＝2（x 2－1）x<0， 得x <－1或0<x <1，且定义域为(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调减区间是(0，1)．(2)不等式f (x )≤(a ＋2)x 可化为a (x －ln x )≥x 2－2x .因为x ∈[1，e]，所以ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取，所以ln x <x ，即x －ln x >0.因而a ≥x 2－2xx －ln x(x ∈[1，e])． 令g (x )＝x 2－2x x －ln x(x ∈[1，e])， 则g ′(x )＝（x －1）（x ＋2－2ln x ）（x －ln x ）2， 当x ∈[1，e]时，x －1≥0，0≤ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(当且仅当x ＝1时取等号)．所以g (x )在[1，e]上为增函数．故[g (x )]max ＝g (e)＝e 2－2e e －1.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 2－2e e －1，＋∞.。

【优化方案】2013年高中数学第三章3.1.2知能演练轻松闯关新人教A版必修11．定义在R上的奇函数f(x)( )A．未必有零点B．零点的个数为偶数C．至少有一个零点D．以上都不对解析：选C.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)至少有一个零点，且f(x)零点的个数为奇数．x 1234567 f(x)132.115.4－2.318.72－6.31－125.112.6f xA．5个B．4个C．3个D．2个解析：选C.观察对应值表可知，f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，f(6)＜0，f(7)＞0，∴函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选C.3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．答案：(0,0.5) f(0.25)4xf(1.6000)≈0.200f(1.5875) ≈0.133f(1.5750) ≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.55625) ≈－0.029f(1.5500) ≈－0.060x．解析：由参考数据知，f(1.5625)≈0.003>0，f(1.55625)≈－0.029<0，即f(1.5625)·f(1.55625)<0，且1.5625－1.55625＝0.00625<0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.5625.答案：1.5625[A级基础达标]1．用二分法求函数f(x)＝3x3－6的零点时，初始区间可选为( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B.∵f (1)＝－3，f (2)＝18，∴f (1)·f (2)<0.∴可选区间为(1,2)．2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是( )①y ＝3x 2－2x ＋5②y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1，x ≥0x ＋1，x <0 ③y ＝2x＋1，x ∈(－∞，0) ④y ＝x 3－2x ＋3⑤y ＝12x 2＋4x ＋8 A ．①③B ．②⑤C ．⑤D ．①④解析：选 C.二分法只适用于在给定区间上图象连续不间断的函数变号零点的近似值的求解．题中函数①无零点，函数②③④都有变号零点．函数⑤有不变号零点－4，故不能用二分法求零点近似值，应选C.3．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D. 不能确定解析：选B.由已知f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，∴f (1.25)f (1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B.4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解．验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点，x 1＝2＋42＝3.计算f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．解析：∵f (2)·f (4)<0，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)>0，故x 0∈(2,3)．答案：(2,3)5．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：46．方程x 2－1x＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由． 解：令f (x )＝x 2－1x， 则当x ∈(－∞，0)时，x 2>0，1x <0，所以－1x>0，所以f (x )＝x 2－1x>0恒成立， 所以x 2－1x＝0在(－∞，0)内无实数解． [B 级 能力提升]7．方程log 2x ＋x 2＝2的解一定位于区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B.设f (x )＝log 2x ＋x 2－2，∵f (1)＝0＋1－2＝－1<0，f (2)＝1＋4－2＝3>0，∴f (1)f (2)<0，由根的存在性定理知，方程log 2x ＋x 2＝2的解一定位于区间(1,2)，故选B.8．某方程在区间D ＝(2,4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D 分( )A ．2次B ．3次C ．4次D ．5次解析：选D.等分1次，区间长度为1.等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1.9．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有________．①“二分法”求方程的近似解一定可将y ＝f (x )在[a ，b ]内的所有零点得到②“二分法”求方程的近似解有可能得到f (x )＝0在[a ，b ]内的重根③“二分法”求方程的近似解y ＝f (x )在[a ，b ]内有可能没有零点④“二分法”求方程的近似解可能得到f (x )＝0在[a ，b ]内的精确解解析：利用二分法求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的零点，那么在区间[a ，b ]内肯定有零点存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是[a ，b ]内的精确解．答案：④10．如果在一个风雨交加的夜里查找线路，从某水库闸房(设为A )到防洪指挥部(设为B )的电话线路发生了故障．这是一条10 km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km 长，大约有200多根电线杆子呢？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？要把故障可能发生的范围缩小到50 m ～100 m 左右，即一两根电线杆附近，最多要查多少次？解：(1)如图所示，他首先从中点C 检查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC 段正常，断定故障在BC 段，再到BC 段中点D 查，这次若发现BD 段正常，可见故障在CD 段，再到CD 段中点E 来查．依次类推……(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7次就够了．11．求方程2x 3＋3x －3＝0的一个近似解(精确度为0.1)．解：设f (x )＝2x 3＋3x －3，经试算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x 3＋3x －3＝0在(0,1)内有实数根．取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0，又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有实数根．(a ，b ) (a ，b ) 的中点 f (a ) f (b ) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 (0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0(0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0可取为0.75.。

1．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1.∴b 1＝－2，又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4，∴a 2＝－2，a 5＝4.∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2，即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1) ①，S n ＝23(b n －1) ②，①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n ，∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝－2，b 1＝－2，即b n ＝(－2)n.∴S n ＝23[(－2)n－1]．2．(2011·高考福建卷)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解：(1)由q ＝3，S 3＝133得a 11－331－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3.因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1.又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 3．(2011·高考江西卷)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值． 解：(1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2.所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)．由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0， 故方程(*)有两个不同的实根．由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13.4．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1＋2a 2＝3a 3. (1)求q 的值；(2)设{b n }是首项为2，公差为q 的等差数列，其前n 项和为T n .当n ≥2时，试比较b n 与T n 的大小．解：(1)由已知可得a 1＋2a 1q ＝3a 1q 2， 因为{a n }是等比数列，所以3q 2－2q －1＝0.解得q ＝1或q ＝－13.(2)①当q ＝1时，b n ＝n ＋1，T n ＝n 2＋3n2，所以，当n ≥2时，T n －b n ＝n 2＋n －22>0.即当q ＝1时，T n >b n (n ≥2)．②当q ＝－13时，b n ＝2＋(n －1)(－13)＝7－n3，T n ＝n 2(2＋7－n 3)＝13n －n 26，T n －b n ＝－n －1n －146，所以，当n >14时，T n <b n ； 当n ＝14时，T n ＝b n ； 当2≤n <14时，T n >b n .综上，当q ＝1时，T n >b n (n ≥2)．当q ＝－13时，若n >14，T n <b n ；若n ＝14，T n ＝b n ；若2≤n <14，T n >b n .5．已知等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1)，a 2＋a 4＝54，a 1a 5＝14，设b n ＝12na n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由题意知：a 2·a 4＝a 1·a 5＝14，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝54a 2·a 4＝14.∵q ∈(0,1)，∴a 2>a 4， ∴解方程组得a 2＝1，a 4＝14，∴q ＝12，a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝(12)n －2.(2)由(1)知：a n ＝(12)n －2，所以b n ＝n (12)n －1.∴S n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋(n －1)·(12)n －2＋n (12)n －1，①12S n ＝1×(12)1＋2×(12)2＋…＋(n －2)(12)n －2＋(n －1)·(12)n －1＋n (12)n ，② ∴①－②得：12S n ＝(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －2＋(12)n －1－n (12)n＝1×[1－12n]1－12－n (12)n，∴S n ＝4－(12)n －2－n (12)n －1＝4－(n ＋2)(12)n －1.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝112a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N *)．(2)假设存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k .因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1， 所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1.所以(m m ＋1)2＝12×kk ＋1.整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m 、k 的方法：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0， 解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *， 所以m ＝2，此时k ＝8. 故存在m ＝2，k ＝8，使得b1、b m、b k成等比数列．。

1．(2012·沈阳质检)函数f (x )＝3sin(2πx －1)的最小正周期是( )A ．πB ．2C.π2D ．1 解析：选D.T ＝2π2π＝1. 2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 解析：选D.∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2cos 2x ， 当0<x <π2时，0<2x <π， 故f (x )＝2cos 2x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减． 又当x ＝π2时，2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2＝－2，因此x ＝π2是y ＝f (x )的一条对称轴． 3．(2012·重庆调研)函数y ＝lnsin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3>0且为增函数时， y ＝lnsin ⎝⎛⎭⎫2x －π3为增函数． ∴2k π<2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 即k π＋π6<x ≤k π＋512π(k ∈Z)． 答案：⎝⎛⎦⎤k π＋π6，k π＋512π(k ∈Z) 4．已知函数f (x )＝min {}sin x ，cos x ，则f (x )的值域是________．解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x 的函数图像可得，f (x )＝min {}sin x ，cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－1，22答案：⎣⎡⎦⎤－1，22一、选择题1．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A ．0 B.π4C.π2D ．π 解析：选C.当φ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x ，且y ＝cos2x 是偶函数，故φ＝π2. 2．(2011·高考山东卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A.23B.32C ．2D ．3解析：选B.由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 3．(2012·江南十校联考)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴是x ＝53π，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( ) A.223 B.233C.43D.263解析：选B .∵f (x )＝sin x ＋a cos x ＝a 2＋1sin(x ＋φ)， 又∵x ＝5π3是函数的一条对称轴． ∴sin 5π3＋a cos 5π3＝a 2＋1， 解得a ＝－33. ∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233⎝⎛⎭⎫－12sin x ＋32cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3. 故g (x )的最大值为233.4．(2011·高考辽宁卷)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( ) A ．2＋ 3 B. 3 C.33 D ．2－ 3解析：选B.由图形知，T ＝πω＝2⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π2，∴ω＝2. 由2×38π＋φ＝k π，k ∈Z ，|φ|<π2，知φ＝π4. 由A tan ⎝⎛⎭⎫2×0＋π4＝1，知A ＝1， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A.由已知得2πω＝6π， ∴ω＝13，2sin ⎝⎛⎭⎫13×π2＋φ＝2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，又－π<φ≤π，得φ＝π3. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，当2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )为增函数， 令k ＝0得，f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤－52π，π2. 而[－2π，0] ⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故选A. 二、填空题6．函数y ＝(sin x －3cos x )(cos x －3sin x )＋3的最小正周期是________．解析：y ＝(sin x －3cos x )(cos x －3sin x )＋3＝4sin x cos x －3(sin 2x ＋cos 2x )＋3＝2sin2x .所以，函数的最小正周期为π.答案：π7．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－5π12，0； ②已知函数f (x )＝max{sin x ，cos x }，则f (x )的最小值是－22； ③若α，β均为第一象限的角，且α>β，则sin α>cos β.其中所有真命题的序号是________．解析：对于①，令x ＝－5π12，则2x ＋π3＝－5π6＋π3＝－π2，有f ⎝⎛⎭⎫－5π12＝0，因此⎝⎛⎭⎫－5π12，0为f (x )的一个对称中心，故①为真命题；对于②结合图像知f (x )的最小值为－22，故②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，但sin390°＝12<sin60°＝32，故③为假命题．所以真命题为①②.答案：①②8．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图像关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；②图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎡⎦⎤－π6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3. ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图像及性质可知②④正确． 答案：②④三、解答题9．(2010·高考湖北卷)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解：(1)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14， 所以f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z)，即x ＝k π－π8(k ∈Z)时， h (x )取得最大值22. 故使h (x )取得最大值时的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 23π＋sin 2π3＝－1＋34＝－14. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )＝3cos 2x －1，x ∈R.因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝±1时，f (x )取最大值2；当cos x ＝0时，f (x )取最小值－1.11．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)，且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]． ∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]， ∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，因此可得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1， ∴g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1 ＝4sin(2x ＋π6)－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin(2x ＋π6)－1>1， ∴sin(2x ＋π6)>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 由2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z. 由2k π＋π2≤2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x <k π＋π3，k ∈Z. ∴g (x )的递增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z ； 递减区间为[k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z.。