含有函数记号“
()f x ”有关问题解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号
()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地
掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出
()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生
的灵活性及变形能力。
例1：已知
(
)211x
f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u
-=+=--∴
2()1x
f x x
-=
- 2.凑合法：在已知
(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，
还能进一步复习代换法。
例2：已知
33
11()f x x x x
+=+，求
()f x
解：∵
22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11
||||1||
x x x x +=+≥
∴
23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .
解:设
()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+
=22
222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4
1321
,1,2222
a c a a
b
c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩
∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解:∵
()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,
∵
()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴
lg(1),0
()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨
--<⎩
例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1
()1
g x x =
-， 求()f x ,()g x . 解：∵
()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换
()f x +()g x =
1
1
x - ………①中的x ,
∴
1()()1f x g x x -+-=
--即()f x －1
()1
g x x =-+……②
显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1
x
g x x =-
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式
例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x
解：∵
()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++
∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+
以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1
()(1),2
f x x x x N =+∈
二、利用函数性质，解
()f x 的有关问题
1.判断函数的奇偶性： 例7 已知
()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①
在①中令
y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围 例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由
2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-
又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪
-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩
3.解不定式的有关题目 例9：如果
()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小
解：对任意t 有
(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴
又∵其开口向上∴f
(2)最小，
f
(1)=
f
(3)∵在［2，＋∞)上，
()f x 为增函数
∴
f
(3)<
f
(4),∴
f
(2)<
f
(1)<
f
(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f （x ）是
的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域，关键在于研究它的单调性。
