河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试数学文试卷

河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学（文）高三年级数学试卷〔文科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两部分。

第一卷共2页，第二卷共2页。

共150分。

考试时间120分钟。

第一卷〔选择题 共60分〕一、 选择题〔每题5分，共60分。

每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕 A 假设q 那么pB 假设⌝p 那么⌝qC 假设q ⌝那么p ⌝D 假设p 那么q ⌝ 2假设集合{}0A x x =≥，且A B B =，那么集合B 可能是〔〕A 、{}1,2 B.{}1x x ≤ C.{}1,0,1- D.R3等差数列}a {n 中，前15项的和90S 15=，那么8a 等于〔〕、A 、245B 、 6C 、445 D 、124()f x 在R 上是奇函数，且)()2(x f x f -=+2(4)),(0,2)()2,(7)f x f x f x x f +=∈==当时，则 ()A.2-B.2C.98-D.98 5函数⎩⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，那么不等式0)(>x f 的解集为〔〕A.}10|{<<x x B }01|{≤<-x x C.}11|{<<-x x D.}1|{->x x 6以下命题错误的选项是()A 命题“假设0m >那么方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为：“假设方程20x x m +-=无实根那么0m ≤”B 假设p q ∧为假命题，那么,p q 均为假命题C “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件D 关于命题:p “R x ∈∃使得210x x ++<”，那么:p ⌝“,R ∀∈均有210x x ++≥” 7.不等式01232<--x x成立的一个必要不充分条件是()8、函数ln x x x xe e y e e---=+的图象大致为〔〕 A.B.C.D.9设函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，关于任意的x R ∈，()2f x '>，那么不等式()24f x x >+的解集为〔〕A 、(1,1)-B 、()1,-+∞C 、(,1)-∞-D 、(,)-∞+∞1010≠>a a 且,ax f x a x x f x则时，均有当,21)()1,1(,)(2<-∈-=的取值范围是〔〕 A.[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛,221,0 B.(]4,11,41 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C.]2,1(1,21 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D.[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛,441,011设函数=)(x f x x )41(log 4-、x x x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41log )(41的零点分别为21,x x ，那么() A.1021<<x x B.121=x xC.2121<<x xD.221≥x x12.abc x xx x f -+-=96)(23，c b a <<，且0)()()(===c f b f a f .现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④.0)3()0(<f f ；⑤4<abc ；⑥4>abc其中正确结论的序号是()A.①③⑤B.①④⑥C.②③⑤D.②④⑥卷Ⅱ〔非选择题共90分〕【二】填空题〔每题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上〕 13.假设幂函数()f x 的图象过点(8,4)-，那么该幂函数的解析式为 14某同学为研究函数()1)f x x =＃)10<<x 的性质，构造了如下图的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，那么()AP PF f x +=.EFAB C D P请你参考这些信息，推知函数的极值点是；函数()f x 的值域是. 15关于函数12sin sin 2)(2++-=x x x f ，给出以下四个命题： ①)(x f 在区间]85,8[ππ上是减函数；②直线8π=x 是函数图象的一条对称轴；③函数()f x 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向左平移4π个单位得到；④假设]2,0[π∈x ，那么()f x 的值域是]2,0[⑤函数()f x 关于)0,4(π对称 其中正确命题的序号是______ 16函数)0()(23≠+++=a d cx bxax x f 的对称中心为M ),(00y x ，记函数)(x f 的导函数为)(/x f ，)(/x f 的导函数为)(//x f ，那么有0)(0//=x f。

2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，或，那么集合等于A. B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义求出，再利用两个集合的交集的定义，求出．【详解】全集，集合，或，，，故选：D．【点睛】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出是解题的关键．2.设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )A. B.C. D. 2【答案】C【解析】【详解】∵(1＋i)z＝2i，∴z＝＝=1＋i.∴|z|＝＝.故答案：C【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵点在幂函数的图象上，∴,解得,∴,且在上单调递增,又,∴,故选A.4.已知函数的最小值为8，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得时的最小值不为8；，由复合函数的单调性可得取得最小值，再由函数零点存在定理，即可得到所求值．【详解】函数的最小值为8，可得，显然时的最小值不为8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，由题意可得，设，在递增，，，可得，故选：B．【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．A. B. C. D.5.设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设：的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2},设：的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1},由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有综合得m∈，故选D.6.已知等比数列的前n项和为，且，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则，解得，.故选D．考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前项和公式．7.已知函数，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增．∵，∴，即或，解得或．∴实数的取值范围为．选D．8.运行如图所示的程序框图，若输出的s值为，则判断框内的条件应该是A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】C【解析】当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应不满足继续循环的条件，故判断框内的条件应该是，故选C．【名师点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.若函数存在唯一的极值，且此极值不小于1，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对函数求导得到因为函数存在唯一极值，导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故得到x=1是唯一的极值，此时故答案为：B.10.空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱（其中圆柱的底面半径为2，高为4）中挖去一个四棱锥（其中四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为2），故该几何体的体积为，故选D. 11.已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：当时，在上是增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立，故选A．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、函数与不等式．12.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设，则，故：，即，由函数的解析式可得函数的最小值为.若时，恒成立，则，整理可得：，求解关于实数的不等式可得：.本题选择D选项.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题，恒成立，命题，使得，若命题为真命题，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当P为真命题时，恒成立，所以，，当Q为假命题时，为真命题，即，所以，又命题为真命题，所以命题都为真命题，则，即。

2019届河北省衡水中学高三一摸考试数学（文）试卷★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合2，3，，，则A． B． C． D．2．已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为A．1 B． C． D．3．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为A．5 B． C． D．4．如图的折线图是某农村小卖部2018年一月至五月份的营业额与支出数据，根据该折线图，下列说法正确的是A．该小卖部2018年前五个月中三月份的利润最高B．该小卖部2018年前五个月的利润一直呈增长趋势C．该小卖部2018年前五个月的利润的中位数为万元D．该小卖部2018年前五个月的总利润为万元5．如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为的正方形和一个直角三角形围成现已知，，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为A． B． C． D．6．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为A． B． C． D．7．在直三棱柱中，，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．8．设命题将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象；命题若，则，则下列命题为真命题的是A． B． C． D．9．设函数，，若直线，分别是曲线与的对称轴，则A．2 B．0 C． D．10．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是A． B．2 C．4 D．611．已知双曲线的离心率为2，左，右焦点分别为，，点在双曲线上,若的周长为，则1 / 9A． B． C． D．12．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，则曲线的“优美点”个数为A．1 B．2 C．4 D．6二、解答题13．已知数列满足，且．求证：数列为等差数列；求数列的通项公式；记，求数列的前2018项和．14．在如图所示的多面体中，，平面．(Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)若，，求三棱锥的体积．15．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲，外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如表：(1)据统计表明，与之间具有线性相关关系.(ⅰ)请用相关系数加以说明：(若，则可认为与有较强的线性相关关系(值精确到0.001))(ⅱ)经计算求得与之间的回归方程为.假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于2500单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围：(值精确到0.01)(2)试根据表格中这五天的日接单量情况，从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经营状况.相关公式：相关系数，参考数据：.16．已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且求抛物线的方程；动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知函数，其中为自然对数的底数．讨论函数的极值；若，证明：当，时，．18．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为求圆的普通方程和圆的直角坐标方程；若圆与圆相交于点，求弦的长．19．已知函数．求不等式的解集；若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围．三、填空题20．已知向量，，若，则______．21．已知实数满足不等式组，则的最小值为______．22．在中，角所对的边分别为，且满足，若的面积为，则______．23．已知正方体的棱的中点为与交于点，平面过点，且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为______．。

绝密★启封前2019届河北衡水中学高三联考试卷（一）数学文★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7．考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 1i 1i+-等于 A.i B.i - C.2i D.2i -2．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R3. 若()f x 是定义在(),a b 上的任意一个初等函数,则“存在一个常数M 使任意(,)∈x a b 都有()≤f x M 成立”是“()f x 在(),a b 上存在最大值”的 A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D.充分必要条件4.若01,1a b c <<>>，则A ．1ab c ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．log 1a b >C ．b ca a > D ．log log >a a c b5. 已知1cos 3α=，则A.sin 3α=B.tan α=C. π1sin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D. ()1cos π3α-= 6.原先要求A 、B 、C 三人共同完成某项工作中的9道工序（每道工序的工作量一样,每人完成其中的3道工序），A 完成了此项工作中的5道工序，B 完成了此项工作中的另外4道工序，C 因事假未能参加此项工作，因此他需付出90元贴补A 和B ，则A 应分得这90元中的 A.45元 B.50元 C.55元 D.60元7. 已知点()1,2P 在双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线上，则C 的离心率是A.B.C.8. 如图是一个算法流程图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a的取值范围是A ．910a ≤<B ．910a <≤C ．1011a <≤D ．89a <≤9.设函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误．．的是 A ．()f x 的一个周期可为2π- B ． ()f x 的图像关于直线4π3x =对称 C ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()πf x +的一个零点为π12x =10.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥A B A P 11-的左视图可能为A B C D11. 函数()()4121x f x ex +=-+的图像大致为12.在数列{}n a中，已知)1*+=∀∈n a n N ，则数列{}n a 满足：()1*n n a a n +<∀∈N 的充要条件为 . A.11>-a B.13>aC.1113 或 a a <->D.113-<<a第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答。

（2019年河北省衡水中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B的元素个数为（）A．6B．5C．3D．22．（5分）设i为虚数单位，z＝2+，则复数z的模|z|为（）A．1B．C．2D．3．（5分）已知双曲线A．＝1（m＞0）的渐近线为y＝±B．C．6，则m等于（）D．94．（5分）为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.75．（5分）若实数x，y满足不等式组A．[，2]B．[0，2]则x2+y2的取值范围是（）C．[，]D．[0，]6．（5分）设函数f（x）＝则“m＞1”是“f[f（﹣1）]＞4”的（）A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不允分又不必要条件7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输入P＝10，则输出的结果为（）A．B．C．D．8．（5分）若sin（A．2+2α）＝﹣，α∈（B．，π），则tan（α+C．﹣2）的值为（）D．﹣9．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+1，记a＝f（log0.56），b＝f（log27），c＝f（8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），若则该常数构成的集合为（）是一个与n无关的常数，A．{2} 11．（5分）对∀x∈（B．{4}），C．{2，4}D．{1，2，4}∈（m，n）（m＜n），则n﹣m的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（）A．B．C．D．14．5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3a11＝2a，且S4+S12＝λS8，则λ＝．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知向量与的夹角为，||＝||＝1，则|3+|＝．（15．（5分）某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为为．的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积16．（5分）若函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知函数g（x）＝4sin（x﹣）cosx，将函数y＝g（x）的图象向左平移个单位得到y＝f（x）的图象．（1）求函数g（x）的最小正周期；（△2）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝3，且f（B）＝﹣3，求△ABC面积的最大值．18．在甲地，随着人们生活水平的不断提高，进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式．我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人，否则称为“无习惯的人”．某电影院在甲地随机调查了100位年龄在15岁到75岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]调查人数“有习惯的1010201930232013104101人数”（1）以年龄45岁为分界点，请根据100个样本数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；小于45岁不小于45岁合计“有习惯”的人数“无习惯”的人数合计100（2）已知甲地从15岁到75岁的市民大约有11万人，以频率估计概率，若每张电影票定价为x元（20≤x≤50），则在“有习惯”的人中约有的人会买票看电影（m为常数）．已知票价定为30元的某电影，票房达到了69.3万元．某新影片要上映，电影院若将电影票定价为25元，那么该影片票房估计能达到多少万元？参考公式：K2＝参考临界值，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k00.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.82819．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，AB＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，M，N分別为AB，A1C1的中点．（1）证明：MN∥平面BCC1B1；（2）若MN＝，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．20．已知抛物线y2＝4x的焦点为△F，ABC的三个顶点都在抛物线上，且（1）证明：B，C两点的纵坐标之积为定值；+＝．P（2）设 λ＝，求 λ 的取值范围．21．设函数 f （x ）＝x ﹣（1）求函数 y ＝ ，a ∈R 且 a ≠0，e 为自然对数的底数．的单调区间；（2）若 a ＝ ，当 0＜x 1＜x 2 时，不等式 f （x 1）﹣f （x 2）＞ 恒成立，求实数 m 的取值范围．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知平面直角坐标系 xOy 中，过点 （﹣1，﹣2）的直线 l 的参数方程为（t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ•sin θ•tan θ＝2a （a ＞0），直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M 、N ．（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）若|PM|＝|MN |，求实数 a 的值．[选修 4-5：不等式选讲]23．设函数 f （x ）＝| |（a ∈R 且 a ≠0）（1）证明：f （a 2）+f （a +a 2）≥1；（2）若关于 x 的不等式 f （x ）≤3 的解集为 A ，且 A ⊆[﹣2，10]，求实数 a 的取值范围．（2019 年河北省衡水中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1． 5 分）设集合 A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x|x 2＜4}，则 A ∩B 的元素个数为（）A ．6B ．5C ．3D ．2【分析】首先求得集合 B ，然后结合交集的定义即可求得最终结果．【解答】解：由题意可得 B ＝{x|﹣2＜x ＜2}，则 A ∩B ＝{﹣1，0，1}，即 A ∩B 的元素个数为 3．故选：C ．【点评】本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．2．（5 分）设 i 为虚数单位，z ＝2+A ．1B ． ，则复数 z 的模|z|为（ ）C ．2D ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z ＝2+＝ ，∴|z|＝．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（5 分）已知双曲线A ． ＝1（m ＞0）的渐近线为 y ＝±B ．C ．6，则 m 等于（ ）D ．9【分析】根据题意，由双曲线的方程分析其渐近线方程为 y ＝±x ，据此可得 ＝ ，解可得 m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 ＝1（m ＞0），则其渐近线方程为 y ＝±x，又由双曲线＝1（m＞0）的渐近线为y＝±，则有＝，解可得m＝9；故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．4．（5分）为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【分析】可以从反面考虑，春节和端午节至少有一个被选中的反面为两个节日都没被选中，用1减去两个节日都没被选中的概率即可得到春节和端午节至少有一个被选中的概率．【解答】解：设事件A＝{春节和端午节至少有一个被选中}，则＝{两个节日都没被选中}，所以P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝0.7．故选：D．【点评】本题考查了古典概型的概率、考查事件与其对立事件的概率关系、计算原理等知识，属于基础题．5．（5分）若实数x，y满足不等式组则x2+y2的取值范围是（）A．[，2]B．[0，2]C．[，]D．[0，]【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝x2+y2的几何意义，即原点（0，0）到阴影区域的距离的平方求解．【解答】解：由实数x，y满足不等式组作出可行域如图，z＝x2+y2表示原点（0，0）到阴影区域的距离的平方，f∴z min 是 0，z max 是原点（0，0）到点（1，1）的距离的平方，则 z max ＝2，∴z 的取值范围是[0，2]．故选：B ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5 分）设函数 f （x ）＝则“m ＞1”是“f[f （﹣1）]＞4”的（ ）A ．充分不必要条件C ．充要条件B ．必要不充分条件D ．既不允分又不必要条件【分析】由“m ＞1”可以得到“ [（﹣1）]＞4，”，但由 f[（﹣1）]＞4，”“不一定得到“m ＞1”，故“m ＞1”是“f[（﹣1）]＞4，”的充分不必要条件．【解答】解：当“m ＞1”时，f[（﹣1）]＝f （2）＝22m +1＞4但当“f[f （﹣1）]＞4”时，f[（﹣1）]＝f （2）＝22m +1＞4＝222m +1＞2；m ＞ ；故“m ＞1”是“f[（﹣1）]＞4，”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分不必要条件的判定，比较基础．7．（5 分）阅读如图所示的程序框图，如果输入 P ＝10，则输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝++…+由于S＝的值，++…+＝1﹣+…+﹣＝1﹣＝．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．（5分）若sin（A．2+2α）＝﹣，α∈（B．，π），则tan（α+C．﹣2）的值为（）D．﹣【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角和的正切公式化简要求的式子可得结果．【解答】解：sin（+2α）＝cos2α＝＝＝﹣，∴tanα＝±3．又α∈（，π），∴tanα＝﹣3，则tan（α+）＝＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角和的正切公式化简三角函数式，属于基础题9．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+1，记a＝f（log0.56），b＝f（log27），c＝f（8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据f（x）的周期性和单调性进行判断．【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+1，则f（x）在[0，1]上是增函数，且当x∈[0，1]时，1≤f（x）≤2，∵f（x+2）＝f（x），∴f（x）的周期为2．∵a＝f（log0.56）＝f（﹣log26）＝f（2+）＝f（）＝f（﹣）＝f （），b＝f（log27）＝f（），c＝f（8）＝f（0）＝f（log21）∵，∴，∴f（log21），c＜a＜b故选：D．【点评】本题考查了函数的周期性，单调性，以及利用单调性比较大小，是基础题．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），若是一个与n无关的常数，则该常数构成的集合为（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{1，2，4}【分析】先根据等差数列的前n项和公式计算出S2n与S4n，进而表达，再结合题中的条件以及分式的特征可得答案．【解答】解：由题意可得数列{a n}是等差数列，∀ ∈ ∈ n （ f ∈ 则， ，∴＝ ＝ ＝ ，由题是一个与 n 无关的常数，则 a 1＝ 或 d ＝0，当 a 1＝ 时，＝ ＝ ＝4，当 d ＝0 时， ＝ ＝ ＝2．∴该常数构成的集合为{2，4}．故选：C ．【点评】本题考查集合的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的前 n 项和公式，以及熟练掌握分式的性质，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．11．（5 分）对∀x ∈（A ．B ． ）， ∈（m ，n ）（m ＜n ），则 n ﹣m 的最小值为（ ）C ．D ．【分析】求导，利用讨论函数的单调性，可得 n ﹣m 的最小值．【解答】解： x （则 f ′（x ）＝ ），，x ∈（ （m ， ） m ＜n ），设 （x ）＝）x （ ）设 g （x ）＝sinx ﹣xcosx ，g ′（x ）＝cosx ﹣（cosx ﹣xsinx ）＝xsinx ，则：g ′（x ）＝cosx ﹣（cosx ﹣xsinx ）＝xsinx ＞0，在 x ∈（函数 g （x ）＝sinx ﹣xcosx ，）上恒成立，在 x ∈（g （x ）＞g （）上单调递增，）＝sin ﹣ cos ≈0.05＞0所以：f ′（x ）＝即函数设 f （x ）＝＞0，x ∈（在 x ∈（）上恒成立，） 上单调递增，所以：f（）＜f（x）＜f（）；即：＜f（x）＜；则n﹣m的最小值为，故选：C．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和值域，属中档题12．（5分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理计算R，得出r，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据余弦定理计算mn，再根据面积公式列方程得出a，c的关系，从而可求出椭圆的离心率．【解答】解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c，根据正弦定理可得2R＝＝＝，∴R＝，r＝R＝．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a，由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mn cos＝（m+n）2﹣3mn＝4a2﹣3mn，∴mn＝，∴S＝sin＝，又S＝（m+n+2c）•r＝，∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0，解得：e＝或e＝﹣1（舍）．故选：B．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和三角形的内切圆的半径的求法，以及正弦定理，余弦定理的应用，考查化简整理的运算能力，是中档题．14． 5分）设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 3a 11＝2a ，且 S 4+S 12＝λS 8，则 λ＝ ．二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．（5 分）已知向量 与 的夹角为，| |＝| |＝1，则|3 + |＝ ．【分析】由向量的模的运算可得||＝＝，得解．【解答】解：因为向量 与 的夹角为 ，| |＝| |＝1，所以所以|＝﹣ ，|＝＝ ，故答案为：．【点评】本题主要考查了向量的运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量模的运算，以及向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．（【分析】等比数列{a n }的首项为 a 1，公比为 q ，由 a 3a 11＝2a ，结合等比数列的通项公式可求 q ，然后利用等比数列的前 n 项和公式，即可求解，得到答案．【解答】解：由题意，设等比数列{a n }的首项为 a 1，公比为 q ，因为 a 3a 11＝2a ，所以＝2，解得 q 4＝2，因为 S 4+S 12＝λS 8，所以＝ ，即，解得 λ＝ ．故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前 n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．（ f15．（5 分）某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为为．的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为 36π，则该几何体的体积【分析】利用三视图对应几何体的外接球的体积，求解半径，然后求解三棱锥的高，然后求解体积．【解答】解：三视图的直观图为：该几何体的外接球的体积为 36π，可得：，解得 R ＝3，由题意可得 AD ＝所以 P A ＝2＝4，＝1，几何体的体积可得：故答案为：．＝ ．【点评】本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，考查转化思想以及计算能力．16． 5 分）若函数 （x ）＝ax 2+xlnx 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是．【分析】将题目等价转化为导函数方程有两个不同的正实根后，既可以采用不完全分离参数法数形结合求解（如法 1），也可以采用常规的完全分离参数法，数形结合求解（如法 2），相比较而言，法 2 更容易理解．【解答】解：法1：函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，即导函数f'（x）＝2ax+lnx+1在（0，+∞）上有两个变号零点，即方程lnx＝﹣2ax﹣1有两个不同正实数根，即函数y＝lnx与函数y＝﹣2ax﹣1有两个不同的交点，作出图象如右图；设恒过定点的函数y＝﹣2ax﹣1与函数y＝lnx相切于点（x0，y0），则有，解得x0＝1，y0＝0，即切点为（1，0），此时直线的斜率为k＝1，由图象可知，要使函数y＝lnx与函数y＝﹣2ax﹣1有两个不同的交点，则0＜﹣2a＜1，即a∈（﹣，0），法2：转化为导函数f'（x）＝2ax+lnx+1在（0，+∞）上有两个变号零点，分离参数得到，方程﹣2a＝在（0，+∞）上有两个不同的实根，令g（x）＝，定义域为x＞0，g′（x）＝，则x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，（ f fx ∈（1，+∞）时，g '（x ）＜0，函数 g （x ）单调递减，故 g （x ）max ＝g （1）＝1，＜/br ＞作出函数 y ＝g （x ）和 y ＝﹣2a 的图象于同一个坐标系中，则得到 0＜﹣2a ＜1，即 a ∈（﹣ ，0），故答案为：（﹣ ，0）．【点评】这类题目往往需要在函数和方程之间多次转化，需要我们对相关的知识要很清楚，另外需要了解常见的分离参数法的不同类型．三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知函数 g （x ）＝4sin （x ﹣）cosx ，将函数 y ＝g （x ）的图象向左平移 个单位得到 y ＝f （x ）的图象．（1）求函数 g （x ）的最小正周期；（△2）在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 b ＝3，且 f （B ）＝﹣3，求△ABC 面积的最大值．【分析】 1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式化简解析式，得到 g （x ）＝（2）由题 （x ）＝ ，由周期公式求出 f （x ）的最小正周期；，（B ）＝，得 sin （2B + ）＝﹣1，根据 f （B ）＝﹣3，可得 B ＝．由余弦定理得 32＝a 2+c 2，则a 2+c 2+ac ＝9，由此得到 ac ≤3，即可求出△ABC 面积的最大值．【解答】解：（1）∵g （x ）＝4sin （x ﹣＝＝＝．）cosx∴g （x ）的最小正周期为 T ＝；（2）f （x ）＝2sin[2（x +由 f （B ）＝）﹣ ]﹣1＝，得 sin （2B + ，）＝﹣1，∵2B+∈（），∴，则B＝．由余弦定理得，即a2+c2+ac＝9，9＝a2+c2+ac≥2ac+ac＝3ac，即ac≤3，当且仅当a＝c时取等号．∴△ABC的面积，∴△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，正弦定理，余弦定理，以及基本不等式等知识，属中档题．18．在甲地，随着人们生活水平的不断提高，进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式．我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人，否则称为“无习惯的人”．某电影院在甲地随机调查了100位年龄在15岁到75岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]调查人数“有习惯的1010201930232013104101人数”（1）以年龄45岁为分界点，请根据100个样本数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；小于45岁不小于45岁合计“有习惯”的人数“无习惯”的人数合计100（2）已知甲地从15岁到75岁的市民大约有11万人，以频率估计概率，若每张电影票定价为x元（20≤x≤50），则在“有习惯”的人中约有的人会买票看电影（m为常数）．已知票价定为30元的某电影，票房达到了69.3万元．某新影片要上映，电影院若将电影票定价为25元，那么该影片票房估计能达到多少万元？（参考公式：K 2＝参考临界值，其中 n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）k 00.0255.024 0.0106.635 0.0057.8790.00110.828【分析】 1）根据统计数据，可得 2×2 列联表，根据列联表中的数据，计算 K 2 的值，即可得到结论；（2）依题意有 11×× ×30＝69.3，求出 m 的值，由此得到该影片票房．【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下，“有习惯”的人数“无习惯”的人数合计由表中数据，计算 K 2＝小于 45 岁52860 不小于 45 岁182240≈19.84＞10.828，合计7030100所以有 99.9%的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；（2）依题意，有 10×× ×30＝69.3，解得 m ＝6，所以 11×× ×25＝77（万元），估计新影片上映票房能达到 77 万元．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了理解与计算能力，是基础题．19．如图所示，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，底面 ABC 为等边三角形，AB ＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，M ，N 分別为 AB ，A 1C 1 的中点．（1）证明：MN ∥平面 BCC 1B 1； （2）若 MN ＝，求三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 的侧面积．【分析】1）取BC中点P，连接MP，C1P，推导出四边形MNC1P为平行四边形，从而（NM∥PC1．由此能证明MN∥平面BCC1B1．（2）作BH⊥A1A，交AA1于H，连接△CH．推导出ABH≌△ACH，从而∠CHA＝∠BHA，进而BH⊥AA1，⊥AA1．推导出A1A⊥平面BCH，A1A⊥BC．则C1C⊥BC．由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】证明：（1）如图，取BC中点P，连接MP，C1P．∵M为AB的中点，∴MP∥AC，且MP＝AC．又AC∥A1C1，AC＝A1C1，且NC1＝，∴NC1∥MP，且NC1＝MP．∴四边形MNC1P为平行四边形，∴NM∥PC1．又PC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．…………（4分）解：（2）如图，作BH⊥A1A，交AA1于H，连接CH．∵AC＝AB，∠A1AB＝∠A1AC，AH为公共边，∴△ABH≌△ACH，∴∠CHA＝∠BHA．∴BH⊥AA1，⊥AA1．而BH∩CH＝H，∴A1A⊥平面BCH，A1A⊥BC．又A1A∥C1C，∴C1C⊥BC．在直角△C1CP中，CP＝＝1，C1P＝MN＝，∴C1C＝．在直角△ABH中，BH＝ABsin60°＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积S＝4×．……（12分）（【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知抛物线 y 2＝4x 的焦点为 △F ，ABC 的三个顶点都在抛物线上，且 + ＝ ．（1）证明：B ，C 两点的纵坐标之积为定值；（2）设 λ＝，求 λ 的取值范围．【分析】 1）设 A ，B ，C 的坐标，根据向量的运算，由此可证明 y 1y 2＝﹣2 为定值；（2）由+ ＝ 得四边形 ABFC 为平行四边形，故 λ＝ • ＝ • ，即可求出．【解答】证明：（1）设 A （，y 0），B （ ，y 1），C （ ，y 2），F （1，0），∴ ＝（ ﹣1，y 0）， ＝（ ﹣1，y 1）， ＝（ ﹣1，y 2），∵+＝，∴﹣1+ ﹣1＝﹣1，y 1+y 2＝y 0，即 y 12+y 22＝y 02+4，∴（y 1+y 2）2＝y 02， ∴y 02+4+2y 1y 2＝y 02，∴y 1y 2＝﹣2，解：（2）由+ ＝ 得四边形 ABFC 为平行四边形，（故 λ＝• ＝ • ＝（1﹣ ）（1﹣ ）+（﹣y 1）（﹣y 2）＝1﹣（ + ）+ +y 1y 2＝1﹣ + ﹣2＝﹣ y 02﹣ ≤﹣ ，故 λ 的取值范围是（﹣∞，﹣ ]．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，同时考查向量共线和坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．设函数 f （x ）＝x ﹣（1）求函数 y ＝ ，a ∈R 且 a ≠0，e 为自然对数的底数． 的单调区间；（2）若 a ＝ ，当 0＜x 1＜x 2 时，不等式 f （x 1）﹣f （x 2）＞恒成立，求实数 m 的取值范围．【分析】 1）求出函数 y 的导数 y ′，利用导数判断函数 y 的单调性与单调区间；（ （2）0＜x 1＜x 2 时，f （x 1）﹣f （x 2）＞等价于 f （x 1）﹣ ＞f （x 2）﹣ ；构造函数 g （x ）＝f （x ）﹣ ，由 g （x ）在（0，+∞）上为减函数，得出 g ′（x ）≤0，再利用构造函数求最值法求出 m 的取值范围．【解答】解：（1）函数 y ＝＝1﹣ ，∴y ′＝＝﹣ ，不等式﹣＞0 等价于 ＜0；①当 a ＞0 时，由②当 a ＜0 时，由＜0，得 ＜0，得 ＜0，解得 0＜x ＜2； ＞0，解得 x ＜0 或 x ＞2；综上：①当 a ＞0 时，函数 y ＝∞）；的增区间为（0，2），减区间为（﹣∞，0），（2，+②当 a ＜0 时，函数 y ＝（6 分）（2）当 0＜x 1＜x 2 时，的增区间为（﹣∞，0）， 2，+∞），减区间为（0，2）；……f （x 1）﹣f （x 2）＞等价于 f （x 1）﹣等价于 f （x 1）﹣f （x 2）＞ ＞f （x 2）﹣ ；﹣ ，即函数 g （x ）＝f （x ）﹣ ＝x ﹣ •﹣ 在（0，+∞）上为减函数，则 g ′（x ）＝1﹣+ ＝ ≤0，∴em ≤（x ﹣1）e x ﹣ex 2；令 h （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣ex 2，则 h ′（x ）＝e x +（x ﹣1）e x ﹣2ex ＝xe x ﹣2ex ＝x （e x ﹣2e ）＝0，解得 e x ＝2e ，即 x ＝ln2e ；P （当 x ∈（0，ln2e ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）为减函数；当 x ∈（ln2e ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）为增函数；∴h （x ）的最小值为 h （ln2e ）＝（ln2e ﹣1）•e ln2e ﹣eln 22e ＝2eln2﹣e （ln 2+1）2＝﹣eln 22﹣e ；∴em ≤﹣eln 22﹣e ，解得 m ≤﹣1﹣ln 22，∴m 的取值范围是（﹣∞，﹣1﹣ln 22]．……（12 分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知平面直角坐标系 xOy 中，过点 （﹣1，﹣2）的直线 l 的参数方程为（t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ•sin θ•tan θ＝2a （a ＞0），直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M 、N ．（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）若|PM|＝|MN |，求实数 a 的值．【分析】 1）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；（2）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．【解答】解：（1）∵直线 l 的参数方程为（t 为参数），∴直线 l 的普通方程：x ﹣y ﹣1＝0，∵曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θtan θ＝2a （a ＞0），∴ρ2sin 2θ＝2a ρcos θ（a ＞0），∴曲线 C 的普通方程：y 2＝2ax ；（2）∵y 2＝2ax ；∴x ≥0，设直线 l 上点 M 、N 对应的参数分别为 t 1，t 2，（t 1＞0，t 2＞0），则|PM|＝t 1，|PN|＝t 2，∵|PM|＝|MN |，∴|PM|＝ |PN|，∴t 2＝2t 1，（将t 2﹣2 （t 为参数），代入 y 2＝2ax 得 （a +2）t +4（a +2）＝0，∴t 1+t 2＝2（a +2）， t 1t 2＝4（a +2），∵t 2＝2t 1，∴a ＝ ．【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．[选修 4-5：不等式选讲]23．设函数 f （x ）＝| |（a ∈R 且 a ≠0）（1）证明：f （a 2）+f （a +a 2）≥1；（2）若关于 x 的不等式 f （x ）≤3 的解集为 A ，且 A ⊆[﹣2，10]，求实数 a 的取值范围．【分析】 1）利用绝对值不等式的性质证明即可；（2）由 f （x ）≤3 可得．由 A ⊆[﹣2，10]，对 a 进行分类讨论，即可求出实数的取值范围．【解答】解：（1）f （a 2）+f （a +a 2）≥|a ﹣2|+|a ﹣1|≥|（a ﹣2）﹣（a ﹣1）|＝1当且仅当（a ﹣2）（a ﹣1）≤0，即 1≤a ≤2 时取等号，∴f （a 2）+f （a +a 2）≥1；（2）∵| x ﹣2|≤3∴﹣3≤ x ﹣2≤3，∴﹣1≤ x ≤5，∵A ⊆[﹣2，10]，∴当 a ＞0 时，A ＝{x|﹣a ≤x ≤5a }，则∴a ≤2．即 0＜a ≤2．当 a ＜0 时，A ＝{x|5a ≤x ≤﹣a }，则，∴a ≥﹣ ，即﹣ ≤a ＜0．综上可知，实数 a 的取值范围是．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，考查分类讨论和等价转化的数学思想，属中档题．。

河北省衡水市高中2021届高三第一次诊断性考试数学文试题本试卷分为试题卷和答题卷两局部，其中试题卷由第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕 组成，共4页；答题卷共4页．全卷总分值150分．考试完毕后将答题卡和答题卷一并交回．第一卷〔选择题，共60分〕 考前须知：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P 〔A + B 〕= P 〔A 〕+ P 〔B 〕； 如果事件A 、B 相互独立，那么P 〔A ·B 〕= P 〔A 〕·P 〔B 〕；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求．1．集合M ={x ∈Z|-2<x <1}，N ={-1，0，1}，那么集合M 与N 的关系是A ．M ∈NB ．M NC ．M ND ．M =N 2．)(x f '是函数f (x )=x 3-x +1的导数，那么)1()1(f f '的值是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．以下函数中，与函数11-=x y 有一样定义域的是A ．1-=x yB ．11-=x y C ．()1ln -=x y D ．1-=x e y4．数列{a n }中，a n =2n -12，S n 是其前n 项和，那么当S n 取最小值时，n =A ．5或6B ．6或7C ．11或12D ．12或13 5．如果命题“p 且q 〞与“非p 〞都是假命题，那么A ．命题p 不一定是真命题B ．命题q 不一定是假命题C ．命题q 一定是真命题D ．命题q 一定是假命题 6．函数f (x )=x 4-x 2+1在点x=1处的切线方程为A ．y =x +1B ．y =x -1C ．y =2x +1D ．y =2x -17．集合A={-1，1}，集合B={-2，2}，从A到B的映射f满足f (1)+f (-1)=0，那么此映射表示的函数是A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数8．函数y=lg|x-1|的图象大致为D．110．{a n}是公比q>1的等比数列，a1和a7是方程2x2-7x+4=0的两根，那么log2a3-log2a4+log2a5=A．2B．2C．21D．011．2b是1-a和1+a的等比中项，那么a+4b的取值范围是A．(-∞，45) B．⎥⎦⎤⎝⎛∞-45，C．(-1，45) D．⎥⎦⎤⎝⎛-451，12．定义在R上的偶函数f (x)的图象关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f(x)=x2，假设直线y=x+a与曲线y=f (x)恰有三个交点，那么a的取值范围为A．)041(，-B．)2412(kk，-〔k∈Z〕C．)021(，-D．)21(kk，-〔k∈Z〕第二卷〔非选择题共90分〕考前须知：答第二卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔〔蓝、黑色〕写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，不能答在试题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．在等差数列{a n}中，如果a n=a n+2，那么公差d= ．14．为庆祝祖国母亲60华诞，教育局举行“我的祖国〞歌咏比赛，某中学师生踊跃报名参加．据统计，报名的学生和教师的人数之比为5∶1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛，教师甲被抽到的概率为101，那么报名的学生人数是 ．15．写出“函数f (x )=x 2+2ax +1(a ∈R)在区间(1，+∞)上是增函数〞成立的一．个．充分不必要条件：_________．16．二次函数f (x )=x 2-mx +m 〔x ∈R 〕同时满足：〔1〕不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；〔2〕在定义域内存在0<x 1<x 2，使得不等式f (x 1)>f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n =f (n )，nn a mb -=1．我们把所有满足b i ·b i +1＜0的正整数i 的个数叫做数列{b n }的异号数．给出以下五个命题： ① m =0； ② m =4；③ 数列{a n }的通项公式为a n =2n -5； ④ 数列{b n }的异号数为2； ⑤ 数列{b n }的异号数为3．其中正确命题的序号为 ．〔写出所有正确命题的序号〕三、解答题：本大题共6小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔此题总分值12分〕函数()23log 1)(2-=x x f 的定义域为集合A ，不等式x-21≥1的解集为B ． 〔1〕求(R A )∩B ；〔2〕记A ∪B =C ，假设集合M ={x ∈R||x -a |<4}满足M ∩C =，求实数a 的取值范围．18．〔此题总分值12分〕有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A ，B 两个班各被随机抽取5名学生承受问卷调查，A 班5名学生得分为：5、8、9、9、9；B 班5名学生得分为：6，7，8，9，10．〔1〕请你估计A ，B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；〔2〕如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．19．〔此题总分值12分〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=120，S 20=440．〔1〕求数列{a n }的通项公式； 〔2〕记数列{nS 1}的前n 项和为T n ，求T n ．20．〔此题总分值12分〕函数f (x )=a x +2-1〔a >0，且a ≠1〕的反函数为)(1x f -．〔1〕求)(1x f -；〔2〕假设)(1x f -在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a 的值； 〔3〕设函数1log )(-=x ax g a ，求不等式g (x )≤)(1x f -对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2131，a 恒成立的x 的取值范围．21．〔此题总分值12分〕x 1，x 2是函数x a x b x a x f 22323(-+=）〔a >0〕的两个极值点．〔1〕假设a =1时，x 1=21，求此时f (x )的单调递增区间；〔2〕假设x 1，x 2满足|x 1-x 2|=2，请将b 表示为a 的函数g (a )，并求实数b 的取值范围．22．〔此题总分值14分〕数列{a n }共有2k 项〔k ∈N*，k ≥2〕，首项a 1=2．设{a n }的前n 项的和为S n ，且a n +1=(a -1)S n +2〔n =1，2，3，…，2k -1〕，其中常数a >1．〔1〕求证{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；〔2〕假设数列{b n }满足)(log 1212n n a a a nb =〔n =1，2，3，…，2k 〕，求{b n }的通项公式； 〔3〕令a =1222-k ，对〔2〕中的{b n }满足不等式231-b +232-b +…+2312--k b +232-k b≤4，求k 的值．绵阳市高中2021届高三第一次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．BCCAD DABAC DB二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．0 14．500 15．a =-1〔答案不唯一〕16．②⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：由⎩⎨⎧≠->-123023x x ，解得32>x 且x ≠1，即A ={x |32>x 且x ≠1}，由x-21≥1解得1≤x <2，即B ={x |1≤x <2}． (4)分〔1〕于是R A ={x |x ≤32或x =1}，所以(R A )∩B ={1}． ……………………7分〔2〕∵ A ∪B ={x |32>x }，即C ={x |32>x }．由|x -a |<4得a -4<x <a +4，即M ={x |a -4<x <a +4}．∵ M ∩C =，∴ a +4≤32，解得a ≤310-． (12)分18．解：〔1〕∵ A 班的5名学生的平均得分为(5+9+9+9+9)÷5=8，方差4.2])89()89()89()88()58[(512222221=-+-+-+-+-=S ；B 班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8，方差2])108()98()88()78()68[(512222222=-+-+-+-+-=S ．∴ S 12>S 22，∴ B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些．…………………………………8分〔2〕共有1025=C 种抽取样本的方法，其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件， 故所求的概率为52104=． (12)分19．解：〔1〕设{a n }的公差为d ，由题设有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⨯+=⨯⨯+.440219202012029101011d a d a ，解得a 1=3，d =2．……………………………………5分a n =a 1+(n -1)d =3+(n -1)×2=2n +1，即{a n }的通项公式为a n =2n +1． (6)分〔2〕由)2(2)123(+=++=n n n n S n ，得)2(11+=n n S n ， ……………………8分∴ T n )2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=n n =)2(21)1(2143+-+-n n ． …………………………………………………12分20．解：〔1〕令y =f (x )=a x +2-1，于是y +1=a x +2，∴ x +2=log a (y +1)，即x =log a (y +1)-2，∴ )(1x f -=log a (x +1)-2(x >-1)．………………………………………………3分〔2〕当0<a <1时，)(1x f -max =log a (0+1)-2=-2，)(1x f -min =log a (1+1)-2=log a 2-2， ∴ -2-(2log a -2)=2，解得22=a 或22-=a 〔舍〕． 当a >1时，)(1x f -max =log a 2-2，)(1x f -min =-2，∴ 2)2()22(log =---a ，解得2=a 或2-=a 〔舍〕．∴ 综上所述，22=a 或2=a ．……………………………………………7分〔3〕由有log a1-x a≤log a (x +1)-2， 即1log -x a a ≤21log a x a +对任意的]2131[，∈a 恒成立． 由21ax +>0且1-x a >0知x +1>0且x -1>0，即x >1， 于是①式可变形为x 2-1≤a 3，即等价于不等式x 2≤a 3+1对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ u =a 3+1在]2131[，∈a 上是增函数，∴ 2728≤a 3+1≤89，于是x 2≤2728，解得9212-≤x ≤9212． 结合x >1得1<x ≤9212． ∴ 满足条件的x 的取值范围为⎥⎥⎦⎤⎝⎛92121，．…………………………………12分21．解：〔1〕∵ a =1时，x x b x x f -+=23231(）， 由题知21是方程012=-+x b x 的根，代入解得23=b ， 于是123)(2-+='x x x f ．由0)(>'x f 即01232>-+x x ，可解得x <-2，或x >21，∴ f (x )的单调递增区间是(-∞，-2)，(21，+∞)．…………………………4分〔2〕∵ 22)(a x b ax x f -+='，∴ 由题知x 1，x 2是方程ax 2+bx -a 2=0的两个根．∴ ab x x -=+21，x 1x 2=-a ，∴ |x 1-x 2|=244)(221221=+=-+a a bx x x x ． 整理得b =4a 2-4a 3．……………………………………………………………8分∵ b ≥0， ∴ 0<a ≤1．那么b 关于a 的函数g (a )=4a 2-4a 3(0<a ≤1)． 于是)32(4128)(2a a a a a g -=-='，∴ 当)320(，∈a 时，0)(>'a g ；当⎥⎦⎤⎝⎛∈132，a 时，.0)(<'a g∴ g(a )在)320(，上是增函数，在⎥⎦⎤ ⎝⎛132，上是减函数．∴ 0≤b ≤2716． (12)分22．解：〔1〕n =1时2)1(12+-=S a a 2)1(1+-=a a a 2=，∴ a aa a ==2212〔常数〕． n ≥2时，由a n +1=(a -1)S n +2有a n =(a -1)S n -1+2， 两式相减得a n +1-a n =(a -1)a n ，整理得a n +1=a ·a n ，即a a a nn =+1〔常数〕即对n =1，2，3，…，2k -1均有a a a nn =+1〔常数〕故{a n }是以a 1=2，a 为公比的等比数列．∴ a n =2a n -1．……………………………………………………………………5分〔2〕)]2()2()2[(log 1)(log 11102212-⋅⋅⋅==n n n a a a n a a a n ba n 2log 211-+=． (9)分〔3〕由1222-=k a ，得12112log 2111222--+=-+=-k n n b k n ，由02112123121123>---=---+=-k n k n b n 知21+>k n ，∴ 当n =1，2，…，k 时n n b b -=-23|23|，当n =k +1，k +2，…，2k 时23|23|-=-n n b b ，∴ 原不等式变为122-k k ≤4，解得324-≤k ≤324+，∵ k ∈N*，且k ≥2，∴ k =2，3，4，5，6，7．……………………………………………………14分绵阳市高中2021届高三第一次诊断性考试数学〔第二卷〕16分．把答案填在题中横线上．．．14．．15．．16．．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演．〔此题总分值12分〕18．〔此题总分值12分〕19．〔此题总分值12分〕．〔此题总分值12分〕．〔此题总分值12分〕．〔此题总分值14分〕。

2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】化简集合，直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以.故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】复数分子分母同乘以化简可得，求出对应坐标即可得结果.【详解】复数，则对应的点为，位于第三象限.故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（）A．一本达线人数减少B．二本达线人数增加了0.5倍C．艺体达线人数相同D．不上线的人数有所增加【答案】D【解析】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.分别根据扇形图算出2015和2018年一本、二本、艺术生上线人数以及落榜生人数，再进行比较即可.【详解】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.2015年一本达线人数为28,2018年一本达线人数为36，可见一本达线人数增加了，故选项错误；2015年二本达线人数为32，2018年二本达线人数为60，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项错误；艺体达线比例没变，但是高考人数是不相同的，所以艺体达线人数不相同，故选项错误；2015年不上线人数为32,2018年不上线人数为42，不上线人数有所增加，选项正确. 故选D.【点睛】本题主要考查了对扇形图的理解与应用，意在考查灵活应用所学知识解答实际问题的能力，属于简单题.4．如图，在等腰梯形中，，于点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质可得是的中点，由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果.【详解】因为，所以是的中点，可得，故选.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质，属于简单题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）5．将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的体积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，根据正方体的棱长可求得圆柱的底面半径与高，利用圆柱的体积公式可得结果.【详解】由题意知，当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，此时圆柱的底面半径是正方体面对角线的一半，即，圆柱的高为正方体的棱长，即为4，故圆柱形钢锭的体积为. 故选B.【点睛】本题主要考查正方体与圆柱的几何性质，以及圆柱的体积公式，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的图像在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据奇偶性求出当时，的解析式，根据导数的几何意义求得切线斜率，然后利用点斜式可得结果.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，，，，则.因为，所以函数的图象在点处的切线方程是化为. 故选C.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及函数奇偶性的应用，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.7．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据等腰直角三角形的性质可得，将代入椭圆方程，结合离心率为以及性质列方程组求得与的值，从而可得结果.【详解】设直线与椭圆在第一象限的交点为，因为，所以，即，由可得，，故所求椭圆的方程为. 故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及椭圆离心率的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点为下底面半圆弧上一点（异于点），则关于该几何体的说法正确的是（）A．B．C．平面D．平面【答案】C【解析】用反证法可判断选项错误；根据圆直径所对圆周角为直角、圆柱母线与底面垂直，利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可判断选项正确.【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，若，因为，，所以平面，又因为平面，所以，不成立，所以不正确；因为，因此，即与不垂直，所以不正确；因为为半圆的直径，所以，又因为，，所以平面，所以正确；假设平面，则，又，，所以平面，所以，与矛盾，所以不正确. 故选C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查圆柱的性质以及空间想象能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．若将函数的图象向左平移个单位长度后的图象关于轴对称，则当取最小整数时，函数的图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用两角和的余弦公式以及两角和的正弦公式将化为，向左平移个单位长度后的图象解析式为，根据函数图象关于轴对称，可求得，令即可得结果.【详解】因为，将函数的图象向左平移个单位长度后的图象解析式为，因为图象关于轴对称，所以，即.因为，所以，此时，令，得，时，对称中心为. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由可求得函数的对称轴方程；由可求得对称中心横坐标. 10．如图所示，在长方体中，，，为底面两条对角线的交点，与平面所成的角为，则该长方体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】与平面所成的角等于与平面所成的角，均为. 过底面的对角线交点作交于点，则，求得，从而可得，进而可得结果.【详解】因为平面平面，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，均为.如图，过底面的对角线交点作交于点，则，又因为平面，平面平面，所以平面.连结，则.在中，，，所以.在中，，所以，故长方体的表面积为. 故选A.【点睛】本题主要考查长方体的性质，直线与平面所成的角，长方体的表面积，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，在的始边上有点，终边上有点，满足，若，则（）A．B．2 C．4 D．1【答案】D【解析】由三角函数的定义可得，由三角形内角和定理得，可得，利用二倍角的正切公式化简得，利用二倍角的正弦、余弦公式结合同角三角函数的关系，化简可得结果.【详解】因为的终边上有点，所以，由三角形内角和定理得所以，即.整理得，所以. 故选D.【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.12．已知函数数列满足：，且是单调递增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用指数函数递增、一次函数递增，以及数列的增减性列不等式组求解即可.【详解】因为且是单调递增数列，所以根据指数函数的单调性可得，根据一次函数的单调性可得，由分段函数的单调性结合数列的单调性可得，，综合三种情况解得. 故选C.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，以及数列的增减性，属于难题. 分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.二、填空题13．________.【答案】0【解析】直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.【详解】化简.故答案为0.【点睛】本题主要考查对数的运算与性质、以及换底公式的应用，意在考查对基本运算与公式掌握的熟练程度，属于中档题.14．已知实数满足约束条件，则的最大值为________.【答案】5【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，所以的最大值为. 故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知直线被圆截得的弦长为2，则________.【答案】-3【解析】将圆的一般方程化为标准方程可求得圆心，利用点到直线距离公式、结合弦长为2，利用勾股定理列方程可求得的值.【详解】圆化为标准方程为，圆心坐标为，，圆心到直线的距离.所以，即，解得. 故答案为-3.【点睛】本题主要考查圆的方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.16．在中，角的对边分别为，，，且为锐角，则面积的最大值为________.【答案】【解析】由，，利用正弦定理求得.，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，从而利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为，又，所以，又为锐角，可得.因为，所以，当且仅当时等号成立，即，即当时，面积的最大值为. 故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题17．已知数列满足，，设.（1）求；（2）证明：数列为等比数列；（3）求的通项公式.【答案】（1），，；（2）见解析；（3）.【解析】（1）根据递推公式求出的值，利用可得结果；（2）由即可得结论；（3）由（2），利用等比数列的通项公式可得，结合，即可得结果.【详解】（1）由，得.因为，所以.所以，，.（2）因为，所以是首项为2，公比为3的等比数列.（3）由（2）得，而，所以.【点睛】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.18．在平行四边形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点，.连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置，如图2.（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）先求得，，可得，结合，可得，，，可证明平面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）由面面垂直的性质可得平面，取的中点为，连结，则，可证明平面，由此利用棱锥的体积公式可得三棱锥的体积.【详解】（1）如题图1，在中，，，所以.在中，，所以.所以.如题图2，，.又因为，所以，，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解法一：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.取的中点为，连结，则，所以平面.即为三棱锥的高.且.因为，三棱锥的体积为.解法二：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.因为为的中点.所以三棱锥的高等于.因为为的中点，所以的面积是四边形的面积的，从而三棱锥的体积是四棱锥的体积的.面，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明平面和平面垂直，本质上是证明线面垂直.19．某高校数学学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数分布在内.当时，其频率.（1）求的值；（2）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）.（3）若高考数学分数不低于120分的为优秀，低于120分的为不优秀，则按高考成绩优秀与否从这40名新生中用分层抽样的方法抽取4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名，求这2名学生的高考成绩均为优秀的概率.【答案】（1）；（2）直方图见解析，；（3）.【解析】（1）的取值为10,11,12,13,14，把的取值分别代入，根据频率的和为1，列方程求解即可；（2）利用频率除以组距可得纵坐标，从而可得直方图，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标及组距相乘后求和可得平均值；（3）利用列举法，列举出从这4名学生中随机抽取2名的事件，以及其中这2名学生的高考成绩均为优秀的事件，由古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）由题意知，的取值为10,11,12,13,14.把的取值分别代入，可得.解得.（2）频率分布直方图如图，这40名新生的高考数学分数的平均数为.（3）这40名新生的高考数学分数在的频率为，所以高考数学成绩不优秀和优秀的频率比.按高考数学成绩优秀与否分层抽样的方法从40名学生中抽取的4名学生中有3名学生高考成绩优秀，记为4名学生，其中为3名高考数学成绩优秀的学生.从4名学生中随机抽取2名学生的基本事件为，共6个，2名学生高考数学成绩均优秀的事件为，共3个，故所求的概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标及组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.20．已知直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线，若两条切线互相垂直且交于点.（1）证明：直线恒过定点；（2）若直线的斜率为1，求点的坐标.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由得，利用导数可得直线的斜率为，直线的斜率为，结合，可得，即，从而利用韦达定理可得，则直线恒过定点；（2）求出直线的方程为，直线的方程为，解得点的坐标为，结合（1）利用韦达定理可得结果.【详解】（1）证明：易知直线的斜率存在，设直线，，.由得，所以，.由，得，所以，所以直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以，即，所以，得，所以直线，故直线恒过定点.（2）由（1）得直线的斜率为1时，，.直线的方程为，即，同理直线的方程为，即，上面两式联立得，，所以点的坐标为，即.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数的几何意义以及直线过定点问题，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当,为两个不相等的正数，证明：.【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数；（2）见解析.【解析】(1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.【详解】（1）函数的定义域为，.若，，则在区间内为增函数；若，令，得.则当时，，在区间内为增函数；当时，，在区间内为减函数.（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即..下面证明当时，恒成立.设，则，故在区间内为增函数，，即，所以.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，，求的值.【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：，直线的普通方程为.（2）【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.【详解】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，得. 因为直线与曲线交于，两点。

绝密★启封前2019届河北衡水中学全国卷一高考模拟卷（一）理科数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数22cos sin33z i ππ=+（i 为虚数单位），则3z 的虚部为A ．-1B ．0C ．iD ．l2．已知集合**{|2,},{|2,}nA x x n NB x x n n N ==∈==∈，则下列不正确的是A ．AB ⊆B ．A B A ⋂=C ．()ZB A φ⋂= D ．A B B ⋃=3．若实数11ea dx x=⎰．则函数()sin cos f x a x x =+的图像的一条对称轴方程为A ．x=0B ．34x π=-C ．4π-D ．54x π=-4．甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中选。

甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的选修方案共有 A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．1 92种 5．已知不共线向量,,2,3,.()1,a b a b a b a ==-=则b a -A B ．CD6．若*1(),()(),2f n n g n n n n N nϕ===∈，则(),(),()f n g n n ϕ的大小关系 A ．()()()f n g n n ϕ<< B ．()()()f n n g n ϕ<<C ．()()()g n n f n ϕ<<D ．()()()g n f n n ϕ<<7．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体三视图如下，则此几何体的体积是（ ） A ．64 B ．1223 C ．1883D ．4768．执行如图所示的程序框图，若输出a= 341，判断框内应填写（ ） A ．k<4? B ．k<5? C ．k<6? D ．k<7?9．若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域面积为（ ） A ．2 B ．1C ．34D ．7410．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为2，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1B ． 2C ．2D ．411．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 折成直二面角A 一B D －C ，且4AB 2 +2BD 2=1，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．48πD ．22412．已知R 上的函数y=f （x ），其周期为2，且x ∈（-1,1]时f （x ）=1+x 2，函数g （x ）=1sin (0)11,(0)x x x xπ+>⎧⎪⎨-<⎪⎩，则函数h （x ）=f （x ）－g （x ）在区间[-5,5]上的零点的个数为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．8第Ⅱ卷本卷分为必做题和选做题两部分，13—21题为必做题，22、23、24为选考题。

高考数学精品复习资料2019.5高三年级数学试卷(文科)答案一、选择：DABAC BDDBC AC 二、填空：32x y =21；]12,5[+ ①② －8046 三、解答： 17．解：A ＝{1,4},()1,1012-==⇒=-+-a x x a ax x ，由A ∪B ＝A ⇒B ⊆A∅≠B ,∴B ＝{1}，或B ＝{1,4}，从而a －1＝1,或a －1＝4,故a ＝2，或a ＝5．又A ∩C ＝C ⇒C ⊆A ．考虑042=+-mx x ．当440162＜＜＜m m -⇒-=∆时， C ＝∅⊆A ；当440162≥-≤⇒≥-=∆m m m 或时,∅≠C ，此时由C ⊆A 只能有C ＝{1,4}．此时m ＝5．综上可得：a ＝2，或a ＝5．－4＜m ＜4，或m ＝5． 18．解：(1)因为函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，所以当0=x 时，()f x ＝0； 当－1＜x ＜0时，0＜－x ＜1，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ；所以()⎪⎩⎪⎨⎧=--=-1020001,2＜＜，，＜＜x x x x f x x(2)当0＜x ＜1时，1＜f (x )＜2；当－1＜x ＜0时，－2＜f (x )＜－1；当x ＝0时，f (x )＝0；所以f (x )＜2；因为f (x )≤2a 恒成立，所以2a ≥2即a ≥119．解：函数定义域为(0，＋∞)，……1分()xax x a x f 1222'++-= ………………3分因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0 解得121=-=a a 或经检验，121=-=a a 或时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 又因为a ＞0所以a ＝1……6分20．解：设AN 的长为x 米(82≤<x )∵||||||||DN DC AN AM =，∴|AM |＝32xx -所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；……8分 若a ≠0，令()()()0112=---='xax ax x f ，解得ax a x1,2121=-=……9分 当a ＞0时，()()x f x f ,'的变化情况如下表∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛a 10，，单调递减区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a ……11分 ∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x - 4分(1)由S AMPN ＞32得32232＞-x x ， ∴3x 2－32x ＋64＞0，即(3x －8)(x －8)＞0 ∴382＜＜x 或x ＞8 又2＜x ≤8，∴382＜＜x 即AN 长的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛382，……8分(2)令232-=x x y ，则()()()()2222432326--=---='x x x x x x x y ……10分∵当[)43，∈x ，y '＜0，∴函数232-=x x y 在[)43，上为单调递减函数， ∴当x ＝3时，232-=x x y 取得最大值，即(S AMPN )max ＝27(平方米)此时|AN |＝3米，|AM |＝92333=-⨯米……13分 21．(1)2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．……………………………3分 (2)∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，Δ＝b 2－4a (b －1)＝b 2－4ab ＋4a ＞0对b ∈R 恒成立，∴(4a )2－16a ＜0，得a 的取值范围为(0，1)．……7分 (3)由ax 2＋bx ＋(b －1)＝0得a bx x 2221-=+，由题知12112++-=-=a x y k ，， 设A ，B 中点为E ，则E 的横坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-121222a a ba b ，，∴121222++=-a a b a b∴42121122-≥+-=+-=aa a ab ，当且仅当()1012＜＜a aa =， 即22=a 时等号成立，∴b 的最小值为42-．……12分 22．解：(Ⅰ)当1,0a b ==时，32()3f x x x =- 所以(1)2f =- 即切点为(1,2)P -因为2()36f x x x '=-所以(1)363f '=-=-． 所以切线方程为23(1)y x +=-- 即31y x =-+ (Ⅱ)22()363,f x x ax b '=-+由于0＜a ＜b ，所以()()036363622＜b a b a b a -+=-=∆所以函数f (x )在R 上递增 所以不等式()k x x x x k x x x k f x x f ＞＞＞1ln 11ln 11ln 1-+⇔-+⇔⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-+ 对()+∞∈,1x 恒成立 构造()()()()()()()()2212ln 1ln 1ln 21ln 1---=-+--+='-+=x x x x x x x x x x h x x x x h构造()2ln --=x x x g ()xx x x g 111-=-=' 对()+∞∈,1x ，()01'＞xx x g -=所以()2ln --=x x x g 在()+∞∈,1x 递增 ()()()()04ln 2403ln 13,2ln 2,11＞，＜-=-=-=-=g g g g所以0(3,4)x ∃∈，000()ln 20g x x x =--= 所以0(1,),()0,()0x x g x h x ∈<<，所以(1ln )()1x xh x x +=-在0(1,)x 递减0(,),()0,()0x x g x h x '∈+∞>>，所以(1ln )()1x xh x x +=-在0(,)x +∞递增所以，00min 00(1ln )()()1x x h x h x x +==-结合000()ln 20g x x x =--=得到()()()()4,31ln 100000min ∈=-+==x x x x x h x h所以()1ln 1-+x x x k ＜对()+∞∈,1x 恒成立()min x h k ＜⇔，所以3≤k ，整数k 的最大值为3。