专题一求函数最值问题常用的10种方法

1 三角函数最值问题的十种常见解法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤=.三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.2[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().c o s s i n 21c o s s i n 2x x x x +=+，设s i n c o st x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=，当且仅当2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6. 已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为x a x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最3值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 [分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x 3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得.例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0xx y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.4九． 判别式法例9． 求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法. 解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M5（3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1. 求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解：6 ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。

求极值的若干方法1 序言一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类．无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条件限制的极值问题．下面我们给出极值的定义定义1)136](1[P 设函数f 在点0P 的某邻域0()U P 内有定义，若对于任何点0()P U P ∈，成立不等式0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大（或极小)值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值．极大值点、极小值点统称为极值点．2 求解一元函数无条件极值的常用方法2.1 导数法 定理１)142](2[P设f 在点0x 连续，在某邻域0(;)oU x δ内可导．(i)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值．(ii)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值．由此我们可以推出当0(;)ox U x δ∈时，若()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 不取极值．定理２)142](2[P 设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠．(i)若0()0f x ''<，则f 在0x 取得极大值． (ii)若0()0f x ''>，则f 在0x 取得极小值．对于一般的函数我们既可以利用定理１，也可以利用定理２，但对于有不可导点的函数只能用定理１．例1 求函数2()(1)f x x x =-的极值．解 显然f 在01x =±，处不可导，23()(31)sgn()f x x x x '=-- 其中01x ≠±（，）令()0f x '=，得33±=x ，且f 在01x =±，处导数不存在．当(,1)x ∈-∞-时()0f x '<，()f x 单调减小；当(1,3x ∈--时()0f x '≥，()f x 单调增加；当[,0)3x ∈-时()0f x '≤，()f x 单调减小；当3x ∈时()0f x '≥，()f x 单调增加；当x ∈时()0f x '≤，()f x 单调减小；当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调增加， 所以由定理１可以得到()f x 在33±=x 处取得极大值932，在01x =±，处取得极小值0． 若用定理２则有3()6sgn()f x x x x ''=- 其中01x ≠±（，），当x =()0f x ''=-<；当x =，()0f x ''=-<，由此只能判断出f 在33±=x 处取得极大值，而无法判断在不可导点01x =±，处是否取得极值． 定理２表明若函数()f x 在稳定点0x 处的二阶导数()0f x ''≠，则稳定点0x 一定是函数()f x 的极值点，但如果遇到()0f x ''=时应用定理２无法判别，这时需借助更高阶的导数来判别．定理３)143](2[P 设f 在0x 某邻域内存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且()0()0(1,2,1)k f x k n ==-，()0()0n f x ≠，则(i)当n 为偶数时，f 在0x 取得极值，且当()0()0n f x <时取极大值，()0()0n f x >时取极小值． (ii)当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值．例2 求函数43()(1)f x x x =+的极值．解 由于32()(1)(74)f x x x x '=++，因此40,1,7x =--是函数()f x 的三个稳定点． f 的二阶导数为22()6(1)(782)f x x x x x ''=+++，由此得，(0)(1)0f f ''''=-=及4()07f ''-<．所以()f x 在47x =-处取得极大值．求f 的三阶导数32()6(3560304)f x x x x x '''=+++，有(0)0f '''=，(1)0f '''->．由于3n =为奇数，由定理３知函数f 在1x =-处不取极值， 再求f 的四阶导数(4)32()24(3545151)f x x x x =+++，有(4)(0)0f >．因为4n =为偶数，故f 在0x =处取得极小值．综上所述，(0)0f =为极小值， 434436912()()()777823543f -==为极大值．2.2 对某些复杂函数求极值的特殊方法对某些比较复杂（比如含根号）的函数，求导数、稳定点比较困难，计算容易出错，这时我们可以利用()f x 与()nf x 有相同的极值点（极值的类型可能不同）这一特点，把复杂的函数转化为一般函数再求解．推论1[3](36)P 设0x 为()f x 的极大（小）值点，则有：１）如果()0f x ≥，则()f x 与()nf x 有相同的极值点和极值． ２）如果()0f x ≤，则()f x 与21()n f x +仍有相同的极值点，但()f x 与2()n f x 的极值的类型恰恰相反，即0x 为2()nfx 的极小（大）值点．例 3 求函数(8)y x =-解 因为 5104(8)(1)y x x =-+，所以59410393()10(8)(1)4(8)(1)2(8)(1)(711)y x x x x x x x '=-++-+=-+-．令0)(5='y ,得11-=x ，82=x ，7113=x ， 故当11(,1)(,8)7x ∈-∞-⋃ 时，5()0y '<，5y 单调减，当11(1,)(8,)7x ∈-⋃+∞时，5()0y '>，5y单调增，所以5y 在1x =-，8x =处取得极小值0，在117x =处取得极大值1044518()()77．根据推论1得y 在1x =-和8x =处取得极小值0，在117x =处取得极大值4254518()()77．若直接用对函数求导的方法可得4125542(8)(1)(8)(1)5y x x x x -'=-++-+21542(8)(1)(8)5(1)x x x x -++-=+ 显然导数较复杂，求稳定点比较困难，且有不可导点，直接求导数容易出错．由上述方法可知稳定点，导数不存在的点是连续函数可能的极值点，此外函数可能的极值点还能是第一类间断点．我们假设()f x 在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+内有定义，0x 是()f x 的第一类间断点，根据极值的定义可得到()f x 在0x 处求极值的两个推论[4](11)P ．推论２ 如果000()lim ()x x f x f x →->且000()lim ()x x f x f x →+> 则()f x 在点0x 处取得极大值)(0x f ．推论３ 如果当00(,)x x x δ∈-时，()f x 单调增加，当00(,)x x x δ∈+时，()f x 单调减少，且000()lim ()x x f x f x →-≥、000()lim x x f x →+≥则在点0x 处取得极大值0()f x ．类似地可以推出极小值．例4 求函数3,()3,x x f x x ⎧=⎨+⎩ .0,0≤>x x 的极值．解 当0x >时，33()()3(1)xxf x x x Inx ''==+， 令()0f x '=得稳定点1x e=， 当10x e<<时，()0f x '<；当1x e >时，()0f x '>，故()f x 在1x e=处取极小值311()()e f e e =．又当0x <时()10f x '=>，()f x 单调增加； 当10x e<<时3()3(1)0xf x x Inx '=+<，()f x 单调减少，且0lim ()3(0)x f x f -→==，00213lim3lim11300lim ()lim 1(0)x x Inx x xInx xx x x f x e e ee f ++→→++-→→=====<．所以()f x 在0x =有极大值(0)3f =．3 求解二元函数无条件极值常用的方法3.1 利用判别式求极值定理４)138137](1[P P - 设二元函数f 在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内具有二阶连续偏导数，且0P 是f 的稳定点，则有如下判别式：（i ）当0()0xx f P >，20()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极小值； (ii)当0()0xx f P <，20()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极大值；(iii)当20()()0xx yy xy f f f P -<时，f 在点0P 不能取得极值； （iv ）当20()()0xx yy xy f f f P -=时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值．这是对二元函数求极值比较实用的方法，但在用这个方法时需要注意一些问题．1）20()()0xx yy xy f f f P -=时，可能有极值也可能没有极值，需要另作讨论．例如函数46(,)f x y x y =+与46(,)g x y x y =-，容易验证这两个函数都以点(0,0)为稳定点，且在点(0,0)处都满足2()(0,0)0xx yy xy f f f -=，但(,)f x y 在点(0,0)处取极小值，而(,)g x y 在点(0,0)处不取极值．2）如果函数在个别点的偏导数不存在，这些点显然不是稳定点，但也可能是极值点，因此我们在讨论函数的极值问题时，对这些点也应当考虑．例如函数z =(0,0)的偏导数不存在，但是该函数在点(0,0)点却具有极小值．一般在高等数学教材中，对像这样的二元函数并没有明确给出在偏导数不存在处求极值的方法，他们只是根据初等数学中函数图像的性质推断出在该点能否取极值．对此我参考对特殊一元函数求极值的方法推导出了对特殊二元函数求极值的一般解法．3.2 二元函数在偏导数不存在处求极值的特殊方法 命题1 设00(,)x y 为(,)f x y 的极大（小）值点，则有：1）21(,)n f x y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 也为21(,)n f x y +的极大（小）值点；2）当(,)0f x y ≥时，2(,)nfx y 与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 为2(,)nf x y 的极大（小）值点；当(,)0f x y <时，2(,)nf x y 与(,)f x y 仍有相同的极值点，但它们的极值类型恰恰相反，即00(,)x y 为2(,)nf x y 的极小（大）值点．下证结论1）, 2），1）证 由极值的定义知，若00(,)x y 是(,)f x y 的极大（小）值点，则对于00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），故有212100(,)(,)n n f x y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥）．反之，若212100(,)(,)n n fx y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥），则有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），即21(,)n fx y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型． ２）当(,)0f x y ≥时，结论很明显，证略．下证当(,)0f x y <时，证 不妨设00(,)x y 是(,)f x y 的极大值点，则对00(,)x y 的某邻域内有00(,)(,)f x y f x y ≤， 所以有212100(,)(,)n n f x y f x y --≤，由于(,)0f x y <，故21210000(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f x y --≥，即2200(,)(,)n nf x y f x y ≥．所以00(,)x y 是(,)f x y 的极小值点．例5 求函数1122222222()(1)x y z x y a b=+-- (0)a b <<的极值．分析：直接对z 求偏导，则有22222211[1()]x x x y z --+=，22222112[1()]y y y x z -+-=，显然计算相当麻烦，且(0,0)点为函数z 的不可导点，但也可能是函数的极值点，故直接求导不可取，这时可利用命题１来求解．解 令2222222()(1)x y f z x y a b==+-- (0)a b <<，需先对函数f 求偏导，令22222222222112[1()]0,1122[1()]0.x y x f x y a a by f y x a b b ⎧=--+=⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩解得稳定点(0,0)，(0,，(， 又2222121122()xx x A f y a a b ==--+，22114()xy B f xy a b==-+，22222111222()xy y C f x a b b==-+-，因为在点(0,0)有20AC B ->，且有0A >，故点(0,0)为函数f 的极小值点；在点(0,有20AC B ->，且有0A <，故点(0,为函数f 的极大值点；而在点(有20AC B -<，故函数f在点(不取极值． 又因为0z ≥，从而由命题１可得函数z 在点(0,0)取得极小值0，在点(0,取得极大值2b．4 求解隐函数无条件极值的常用方法4.1 利用显函数极值问题的相应结论 定理５[5](26)P 设函数12(,,,,)n f x x x y 具有一阶、二阶连续偏导数，且12(,,,,)0y n f x x x y ≠，则由方程12(,,,,)0n f x x x y =所确定的n 元函数12(,,,)n y y x x x =在点000012(,,,)n P x x x 取得极值的必要条件是：000012(,,,)0i x n f x x x y =(1,2,,)i n =其中00012(,,,)0n f x x x y =．若记00012000012(,,,)(,,,)i j x x n ij y nf x x x y h f x x x y =-(,1,2,,)i j n =，0()()ij n n H P h ⨯=．那么，当0()H P 为正定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处取得极小值；当0()H P 为负定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处取得极大值；当0()H P 为不定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处不取得极值．例6 求由方程2222222440x y z xy x y z +++---+=所确定的函数(,)z z x y =的极值． 解 令222(,)222244f x y x y z xy x y z =+++---+，解方程组2224220,2220,2222440.x y f x y f y x f x y z xy x y z ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=+++---+=⎩解得稳定点为1(0,1,1)P ，2(0,1,3)P ，进而可得4xx f =，2xy f =，2yy f =，1()2z f P =-，2()2z f P =，所以121()11H P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，221()11H P --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，显然1()H P 为正定矩阵，2()H P 为负定矩阵．由定理５可知函数(,)z z x y =在点1(0,1)P 处取得极小值1，在点2(0,1)P 处取得极大值3． 4.2 利用拉格朗日乘数法[6](167)P这种方法是把原方程中的隐函数设为目标函数，把原方程设为约束条件，将隐函数极值问题转化为求条件极值的问题．例7 求由方程22222880x y z xz z +++-+=所确定的隐函数(,)z z x y =的极值． 解 取目标函数(,,)f x y z z =，约束条件为原方程，作辅助函数222(,,,)(2288)L x y z z x y z xz z λλ=++++-+，令222480,40,1820,22880.x yz L x z L y L x z L x y z xz z λλλλλλλ=+=⎧⎪==⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-+=⎩ 解得1115λ=-，2115λ=，稳定点1168(,0,)77P -，2(2,0,1)P -， 又4xx L λ=，0xy L =，4yy L λ=，由于22160xx yy xy f f f λ-=>(0)λ≠，故所求之点1168(,0,)77P -，2(2,0,1)P -均为极值点，且当0λ<时为极大值点，当0λ>时为极小值点．由此得所求函数(,)z z x y =的极大值为87-，极小值为1．同样例1也可以用这种方法求解．5 求解条件极值的常用方法5.1 代入法化为无条件极值问题这种方法一般是从条件方程（以二元条件极值为例）(,)0x y ϕ=中解出显函数()y y x =代入(,())z x y x =中化为无条件极值问题，从而使问题简化．例8 求函数22(,)f x y x y =+在条件10x y +-=下的极值．解 由10x y +-=，得1y x =-， ⑴ 将⑴代入(,)f x y ，得222(1)221f x x x x =+-=-+，由二次函数的顶点式可知当12x =时，f 取得极小值12．显然用这种方法比拉格朗日乘数法更简洁，但在求解过程中要注意几个问题：1）这种方法适合用于比较简单的、含自变量较少函数，一般不超过三个；2）对有些约束条件较复杂、不易从约束条件中解出显函数的函数，这时不适合用代入法求解； 3）在求解过程中如果不注意代入的条件则可能导致不完整甚至错误的答案[7](42)P ．例如求解原点到曲面22()1x y z -+=的最短距离．用代入法求解时，如果将221()z x y =--代入222u x y z =++得2221()12u x y x y xy =++--=+，由20,20.x y u y u x ==⎧⎪⎨==⎪⎩得可能的极值点为1(0,0,1)P 与2(0,0,1)P -，此时1P ，2P 到原点的距离均为1，而曲面22()1x y z -+=存在到原点的距离比1小的点，比如11(,,0)22P -就是这样的点，因此用代入法求解时，这样的最短距离不存在．而用拉格朗日乘数法求解时，则可得到二个可能的极值点分别是311(,,0)22P -与411(,,0)22P -，且从几何图形不难看出3P ，4P正是两个最值点，最短距离为2．原因是求222u x y z =++在约束条件22()1x y z -+=的最值时，x 与y 的取值范围必须满足1x y -≤，而将221()z x y =--代入222u x y z =++后得12u xy =+，x 与y 的取值范围都已是),(+∞-∞．5.2 利用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法可求解含更多自变量的条件极值且无需解出显函数，其方法简捷．但其不足之处是所求的点只是可能的极值点，在解题过程中通常是根据问题的实际情况来推测．若想要确定该点是否是极值点及在该点的极值类型则需要根据拉格朗日函数L 的二阶微分符号来判断．定理６[8](257258)P P - 设0P 是拉格朗日函数L 的稳定点，则1） 若20()0d L P >，则函数f 在0P 取条件极小； 2） 若20()0d L P <，则函数f 在0P 取条件极大．例9 求函数222212341234(,,,)f x x x x x x x x =+++在条件411(0,1,2,3,4)k kk k a xa k ==>=∑下的极值．解 设拉格朗日函数为42222123412341(,,,)(1)k kk L x x x x x x x x a xλ==++++-∑，对L 求偏导并令它们都等于0，则有1233411223444120,20,20,20,10.x x x x k k k L x a L x a L x a L x a a x λλλλ=⎧⎪=+=⎪⎪=+=⎪⎪=+=⎨⎪=+=⎪⎪⎪-=⎪⎩∑解得421(1,2,3,4)ii kk a x i a===∑，4212kk aλ==-∑，又当4212kk aλ==-∑时，222142()0d L d x d x =++>，所以当421(1,2,3,4)ii kk a x i a===∑时，f 取得极小值，极小值为4211kk a=∑．5.3 运用梯度法求条件极值将梯度法用于求条件极值问题，方程组11212112(,,,)(,,,),(,,,)0,(1,2,,1).n n i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i n λϕϕ-=⎧=⎪⎨⎪==-⎩∑的解就是所求极值问题的可能极值点[9](35)P ．例10[9](35)P 试求n 个正数，其和为定值l 的条件下，什么时候乘积最大，并证明2121()n n x x x x n ≤+++．证 本题的实质是求1212(,,,)n n y f x x x x x x ==在条件12n x x x l +++=下的最大值问题．根据本文定理，列出下列方程组，求解可能的极值点121212()(),.n n n grad x x x grad x x x l x x x l λ=+++-⎧⎨+++=⎩进一步求解得{}{}231312112,,,1,1,,1,.n n n n x x x x x x x x x x x x l λ-=⎧⎪⎨+++=⎪⎩容易得到12n lx x x n ====，根据题意，则,,,l lln n n（）是唯一的极大值点,也是最大值点．所以 12(,,,)nn l f x x x n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2121()n n x x x x n≤+++．5.4 利用球面坐标求条件极值利用空间坐标点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)γϕθ之间的关系，应用这一变换可求解含平方和（或可化为含平方和）运算的条件极值问题[10](96)P ．例11[10](96)P 求函数222u x y z =++在条件22()1x y z --=下的极值．解 利用球面坐标法，由目标函数222u x yz =++，可设cos ,sin ,x y z ϕθϕθϕ===，代入约束条件可得21sin (2sin 2)12uϕθ=--≤ (当13,24ϕπθπ==时取等号)，于是12u ≥，故所求极小值为12u =． 利用球面坐标求解条件极值问题其解法优于代入法、乘数法，且解法简洁，省去了对极值充分性的考虑，比一般的方法省事许多，同时所获得极大（小）值就是最大（小）值．6 极值与最值的联系与区别及最值应用在日常生活、工程技术与生产实践中，我们常会遇到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能使产品最多而用料最省，成本最低而利润最大等，这些问题通常都归结为数学中的最值问题．下面我们给出最值的定义[12](80)P ．定义2 设函数f 在区域D 上连续，如果存在D 中的点0P ，1P 使得0()f P M =，1()f P m =，且对于任意的点P D ∈都有()m f P M ≤≤，则称M 为f 在D 上的最大值，m 为f 在D 上的最小值，0P 称为最大值点，1P 称为最小值点．最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点．最值和极值在某种程度上有相似点，也有不同点，了解了极值与最值的关系有助于求解函数的最值．极值与最值的区别和联系：1）极值是函数在某点的局部性质，而最值是函数在区域的整体性质； 2）在给定的区域上极值可能有多个，而最大（小）值最多各有一个； 3）在区间内部最值一定是函数在某个区域的极值，极值未必是最值； 4）极值点不能是边界点，最值点可以为边界点；5）如果函数的最值在某个区域内取得，该点一定是极值点；6）在整个区域上极小值可能大于极大值，而最小值一定不大于最大值．所以要求函数在区域上的最大（小）值，只要比较函数在所有稳定点、不可导点和区域的边界点上的函数值，就能从中找出函数在该区域上的最大值与最小值． 通常在求闭区域上的多元函数的最值时，都按下列步骤进行． 第一步：在区域内部求出函数的所有稳定点和偏导数不存在的点； 第二步：计算在这些点处的函数值及函数在区域边界上的函数值； 第三步：比较上述所求值的大小，最大（小）者为最大（小）值．在实际问题中，根据对问题的分析知函数的最值存在，而函数在区域内部只有一个稳定点，则函数在该点的值就是所求的最大（小）值．例12)176](7[P 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求价格分别是11182P Q =-，2212P Q =-（单位：万元／吨），1Q ，2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量（单位：吨），则该企业生产这种产品的总成本是25C Q =+，其中12Q Q Q =+．（１）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润．（２）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润的大小．解 （１）根据题意，总利润函数为1122(25)L PQ P Q Q =+-+221212216105Q Q Q Q =--++-， 令12124160,2100.Q Q L Q L Q =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩解得14Q =，25Q =，则有110P =(万元/t)，27P =(万元/t) ．因稳定点(4,5)唯一，且该实际问题一定存在最大值，故最大值必在稳定点处达到，最大利润为22245164105552L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）． （２）若实行价格无差别策略，则12P P =，于是有1226Q Q -=， 构造拉格朗日函数22121212216105(26)F Q Q Q Q Q Q λ=--++-+--，令12121241620,2100,260.Q Q F Q F Q F Q Q λλλ=-++=⎧⎪=-+-=⎨⎪=--=⎩解得15Q =，24Q =，2λ=，则得128P P ==， 最大利润为22254165104549L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）． 由上述结果知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润．参考文献：[1] 华东师范大学数学系编．数学分析下册[M]．高等教育出版社，2002[2] 华东师范大学数学系编．数学分析上册[M]．高等教育出版社，2002 [3] 孟赵玲，许燕．函数极值的两个简单求法[J]．北京印刷学院学报，2005，09 [4] 王金金，任春丽．函数在间断点处的极值问题[J]．高等数学研究，2006，03 [5] 单国莉．矩阵的正定性和隐函数的极值[J]．高等数学研究，2004，12 [6] 李心灿，宋瑞霞，旭辉．高等数学专题十二讲[M]．化学工业出版社，2001 [7] 莫国良．关于用代人法求条件极值的一点注记[J]．高等数学研究，2004，06 [8] 邓东皋，尹小玲．数学分析简明教程[M]．高等教育出版社，1999[9] 肖翔，伯生．用梯度法求条件极值[J]．上海工程技术大学教育研究，2006，01 [10] 李德新．球面坐标解一类条件极值问题[J]．高等数学研究，2005，09[11] 吉艳霞．函数极值问题的方法探讨[J]．运城学院学报，2006，08[12]Stanley J.Farlow and Gray M.Haggaryd．Caculus and its Applications[M]．New York: McGraw-Hill Publishing Company，1990。

三角函数最值问题常见的求解策略三角函数最值问题是三角函数学习中的难点之一．求三角函数的最值，往往要涉及二次函数、不等式等其他重要知识，是历年高考考查的热点之一．本文试对常见三角函数最值问题作归纳、梳理．１．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求一次函数ｙ＝ａｔ＋ｂ在闭区间上的最值．例１　求函数ｙ＝－３ｓｉｎｘ＋２的最值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，则原式化为ｙ＝－３ｔ＋２，ｔ∈［－１，１］，得－１≤ｙ≤５．故ｙｍｉｎ＝－１，ｙｍａｘ＝５．２．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ型应对策略：引进辅助角φｔａｎφ＝ｂ（）ａ，化为ｙ＝ａ２＋ｂ槡２ｓｉｎ（ｘ＋φ）＋ｃ，再利用正弦、余弦函数的有界性．例２　已知ｘ∈－π２，π［］２，求函数ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ的最值．解　ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ＝１０ｓｉｎｘ＋π（）３，令ｔ＝ｘ＋π３，则ｙ＝１０ｓｉｎｔ，ｔ∈－π６，５π［］６．故当ｔ＝－π６时，ｓｉｎｔ有最小值－１２，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝－５；当ｔ＝π２时，ｓｉｎｔ有最大值１，ｆ（ｘ）ｍａｘ＝１０．３．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求二次函数ｙ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ在闭区间上的最值．例３　求ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎｘ＋３－π２≤ｘ≤π（）６的最值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，则由－π２≤ｘ≤π６，得ｔ［∈－１，］１２．于是ｙ＝２ｔ２＋ｔ＋３＝２ｔ＋（）１４２＋２３８．当ｔ＝－１４时，ｙｍｉｎ＝２３８；当ｔ＝－１或１２时，ｙｍａｘ＝４．４．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ型应对策略：降次，整理化为类型２，求ｙ＝Ａｓｉｎ２ｘ＋Ｂｃｏｓ２ｘ＋ｃ的最大值、最小值．例４　函数ｆ（ｘ）＝６ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋８ｃｏｓ２ｘ，求ｆ（ｘ）的周期与最大值．解　ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ２ｘ＋４ｃｏｓ２ｘ＋４＝５ｓｉｎ（２ｘ＋φ）＋４．故周期Ｔ＝π，ｆ（ｘ）最大值为９．５．ｙ＝ａｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｂ（ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ）＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ，化为求二次函数ｙ＝±ａ２（ｔ２－１）＋ｂｔ＋ｃ在ｔ∈［－槡２，槡２］上的最值．例５　求函数ｙ＝（１＋ｓｉｎｘ）（１＋ｃｏｓｘ）的最值．解　ｙ＝１＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），令ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，则ｙ＝１＋ｔ＋ｔ２－１２＝１２（ｔ＋１）２，ｔ∈［－槡２，槡２］．当ｔ＝槡２时，ｙｍａｘ＝３＋槡２２２；当ｔ＝－１时，ｙｍｉｎ＝０．６．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｓｉｎｘ＋ｄ型应对策略：反解出ｓｉｎｘ，利用正弦函数的有界性或用分析法来求解．例６　求函数ｙ＝ｓｉｎｘ－３ｓｉｎｘ＋３的最值．解法一：解出ｓｉｎｘ＝３（ｙ＋１）１－ｙ，由｜ｓｉｎｘ｜≤１，得－２≤ｙ≤－１２．解法二：（“部分分式”分析法）原式＝１－６ｓｉｎｘ＋３，再由｜ｓｉｎｘ｜≤１，解得－２≤ｙ≤－１２．故ｙｍｉｎ＝－２，ｙｍａｘ＝－１２．７．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｃｏｓｘ＋ｄ型 十种特殊条件下的 三角恒等变换□韩玉宝 三角变换的关键在于发现题目中条件与结论之间在角、函数名称、次数这三方面的差异及联系，然后通过角变换、函数名称变换、升降幂变换等方法找到已知式与所求式之间的联系．三角变换的方法很多，本文将课本中出现的特殊条件下的一些变换方法归纳如下：一、条件或所求中出现“ｓｉｎα＋ｃｏｓα”，将其平方．例１　设α∈（０，π），ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３，求ｔａｎα的值．解　将ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３两边平方，得ｓｉｎαｃｏｓα＝－６０１６９，两式联立解得ｓｉｎα＝１２１３，ｃｏｓα＝－５１３，从而ｔａｎα＝－１２５．二、已知ｔａｎα，求ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α的值，先将ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α除以（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）（即１），然后分子、分母同除以ｃｏｓ２α．例２　已知ｔａｎα＝２，求ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４的值．解　ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４＝ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝ｔａｎ２α＋３ｔａｎα＋４ｔａｎ２α＋１＝１４５．三、化简１＋ｓｉｎ槡α，１－ｓｉｎ槡α，１＋ｃｏｓ槡α，１－ｃｏｓ槡α，引用倍角公式或将１用平方代换．应对策略：化归为ｙ′＝Ａｓｉｎｘ＋Ｂｃｏｓｘ型求解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）．例７　求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值及最小值．解法一：将原式ｙｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＋２ｙ＝０化为ｙ２＋槡１ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙ，即ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙｙ２＋槡１，由｜ｓｉｎ（ｘ＋φ）｜≤１，得－２ｙｙ２＋槡１≤１，解得－槡３３≤ｙ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．解法二：函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的几何意义为点Ｐ（－２，０）与点Ｑ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）连线的斜率ｋ，而点Ｑ的轨迹为单位圆，如右图，可知－槡３３≤ｋ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．８．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｓｉｎｘ型应对策略：转化为利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性求最值．例８　求函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋４ｓｉｎｘｘ∈０，π（］（）２的最小值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈０，π（］２，则ｙ＝ｔ＋４ｔ，ｔ∈（０，１］．利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性得，函数ｙ＝ｔ＋４ｔ在ｔ∈（０，１］上为单调递减函数．故当ｔ＝１时，ｙｍｉｎ＝５．巩固练习１．若函数ｙ＝２ｓｉｎｘ＋槡ａｃｏｓｘ＋４的最小值为１，求ａ的值．２．求函数ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘ＋３的值域．３．求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋槡３）（ｃｏｓｘ＋槡３）的最值．（参考答案见第４１页）由π４－α＝π１２－（）α＋π６，可得ｃｏｓα－π（）４＝－槡３＋４３１０．故所求值为：槡－３３＋２０３５０．《常见三角函数最值问题的求解策略》１．ａ＝５．　２．ｙ∈１２，［］５．　３．ｙｍａｘ＝７２槡＋６，ｙｍｉｎ＝７２槡－６．《十种特殊条件下的三角恒等变换》１．略．　２．１１６．《“整体思维”巧解三角恒等变换题》１．５９７２．　２．±７１２．　３．５６６５．　４．１４．　５．１．《例谈构造法在三角问题中的妙用》１．提示：解析式看作是动点Ｐ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）与定点Ｑ（３，０）连线的斜率，为此构造直线斜率这一几何模型处理．ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－３最小值为－槡２４，最大值为槡２４．２．提示：已知条件可视为关于ｓｉｎα２的一元二次方程模型去证明．３．提示：构造几何模型将条件化为（１－ｃｏｓβ）ｃｏｓα－ｓｉｎβｓｉｎα＋ｃｏｓβ－３２＝０．因为点（ｃｏｓα，ｓｉｎα）在直线（１－ｃｏｓβ）ｘ－ｓｉｎβｙ＋ｃｏｓβ－３２＝０上，同时也在圆ｘ２＋ｙ２＝１上，所以直线和圆有公共点，故ｄ≤ｒ，即ｃｏｓβ－３２（１－ｃｏｓβ）２＋ｓｉｎ２槡β≤１，整理得ｃｏｓβ－（）１２２≤０，即ｃｏｓβ＝１２．又β为锐角，所以β＝π３．同理α＝π３．《向量问题的几何解法》１．ａ２１＋ａ２２＝ｂ２１＋ｂ２２．　２．１２０°．　３．槡６．《一道课本向量题的探究与应用》１．设→ＡＧ＝→ ｍＧＣ，→ ＦＧ＝→ ｎＧＥ，则→ ＢＧ＝→ ＢＡ＋→ｍＢＣ１＋ｍ．又→ＢＧ＝→ ＢＦ＋→ ｎＢＥ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋→ ＡＦ＋→ｎＢＥ１＋ｎ＝→ＢＡ＋１３→ ＡＤ＋ｎ２→ ＢＣ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋１３＋ｎ（）２→ＢＣ１＋ｎ．故１１＋ｍ＝１１＋ｎ，ｍ１＋ｍ＝１３＋ｎ２１＋烅烄烆ｎ ｍ＝ｎ＝２３．从而→ＡＧ＝２３→ ＧＣ，→ ＡＧ＝２５→ ＡＣ．单元测试参考答案１．１　２．５６６５　３．③　４．槡４５９　５．１１６　６．［槡－３，槡３］　７．２　８．π２　９．槡２－１２　１０．ｄ１ｄ２１１．因为ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ，所以ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝ｃｏｓＡｓｉｎＢ，即ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝０．所以三角形是等腰三角形．１２．原式＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°１２ｃｏｓ１０°＋槡３２（）ｓｉｎ１０°槡２ｃｏｓ５°＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°ｃｏｓ（６０°－１０°）槡２ｃｏｓ５°＝２槡２２ｓｉｎ５０°＋槡２２（）ｃｏｓ５０°ｃｏｓ５°＝２ｃｏｓ（５０°－４５°）ｃｏｓ５°＝２．１３．因为ｔａｎα＋β２＝槡６２，所以ｃｏｓ（α＋β）＝１－ｔａｎ２α＋β２１＋ｔａｎ２α＋β２＝－１５，即ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１５．①又因为ｔａｎαｔａｎβ＝１３７，所以ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝１３７，即１３ｃｏｓαｃｏｓβ－７ｓｉｎαｓｉｎβ＝０②联立①、②，解得ｃｏｓαｃｏｓβ＝７３０，ｓｉｎαｓｉｎβ＝１３３０．。

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

求函数最值的方法总结求函数最值的方法总结一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

下面就是小编整理的求函数最值的方法总结，一起来看一下吧。

函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。

函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，考题的知识涉及面较广，对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。

通过对函数最值问题的相关研究，结合自身的感触和学习的心得，总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法，并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题，这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。

文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的几种常用解法，希望对培养学生数学学习能力，提高学生的解题能力有所帮助。

函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。

求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。

同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。

最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。

（1）代数法。

代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的`最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。

谈求函数最值问题的四种常用方法作者：牛邦举来源：《中学教学参考·理科版》2018年第01期[摘要]求函数最值问题是高中数学教学的重点之一，也是高考必考内容.探究求函数最值的方法有实际意义.[关键词]函数；最值问题；方法[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02003101求函数最值问题对培养学生分析问题的能力、思维能力、数形结合能力和运算能力等有着重要意义.求函数最值问题对学生来讲是重点和难点，在教学中教师要千方百计加以突破.一、函数最值的定义一般的，设函数y=f（x）的定义域为Ⅰ，如果存在实数m满足，（1）对于任意的x∈Ⅰ，都有f（x）≤m.（f（x）≥m）（2）存在x0∈Ⅰf（x0）=m.那么，我们称m是函数y=f（x）的最大值（最小值）.在实际生产实践中，为了提高经济效益，必须考虑在一定的条件下，怎样才能使用料最省，费用最低，收益最大等问题.二、几种常见的求最值的方法1.配方法主要用于二次函数或可转化为二次函数的函数.解题过程中要注意自变量的取值范围.【例1】已知函数y=（ex-1）2+（e-x-1）2，求函数y的最小值.分析：将函数按ex+e-x配方，转化为变量ex+e-x的二次函数.解：y=（ex-1）2+（e-x-1）2=利用二次函数的性质求最值时，要注意自变量的取值范围以及对称轴与区间的相对位置.2.换元法换元法主要有三角换元法和代数换元法.在换元时要注意中间变量的取值范围.【例2】求函数y=x+1-x的最大值与最小值.解：先求函数的定义域，得0≤x≤1.则令x=sin2θ，θ∈0，π2，则y=sinθ+cosθ=3.反函数法先求自变量的表达式，利用自变量范围推导y的范围.【例3】求函数y=x2x2+1（x∈R）的最小值.解：由本题用求反函数的方法，通过x2≥0，推导出y的范围.4.不等式法【例4】某村计划建造一个室内面积800m2的矩形菜温室.在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m高的通道，沿前侧内墙保留3m高的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜种植面积最大？解：设温室的左侧边长为xm，则后墙边长为800xm.答：当左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜种植面积最大.本题利用均值不等式解决问题时，要考虑“一正、二定、三相等”.（责任编辑黄桂坚）。

三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。

例1 ：求函数y sinx的值域。

cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。

33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。

如何求“最值”问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、 利用配方求最值例1：若x,y 是实数，则19993322+--+-y x y xy x 的最小值是 。

分析:由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。

原式=1990)96(21)96(21)2(212222++-++-++-y y x x y xy x =1990)3(21)3(21)(21222+-+-+-y x y x 显然有 (x-y)2≥0, (x-3)2≥0, (y-3)2≥0,所以 当x-y=0,x-3=0,y-3=0时 ,得x=y=3时, 代数式的值最小，最小是1990； 例2，设x 为实数，求y=312-+-xx x 的最小值。

分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x 取值相同。

由于y=121122--+++-x x x x =1)1()1(22--+-xx x ,要求y 的最小值，必须有x-1=0,且01=-x x ，解得x=1,于是当x=1时，y=312-+-xx x 的最小值是-1。

二、 利用重要不等式求最值例3：若xy=1,那么代数式44411y x +的最小值是 。

分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，44411y x +=2222222)(121·1·2)21()1(xy y x y x =≥+=1 所以：44411y x +的最小值是1 三、 构造方程求最值例4：已知实数a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4.求a 、b 、c 中的最大者的最小值. 分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。

多元函数最值问题目录题型一：消元法题型二：判别式法题型三：基本不等式法题型四：辅助角公式法题型五：柯西不等式法题型六：权方和不等式法题型七：拉格朗日乘数法题型八：三角换元法题型九：构造齐次式题型十：数形结合法题型十一：向量法题型十二：琴生不等式法方法技巧总结解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．必考题型归纳题型一消元法1(2023·全国·高三专题练习)已知正实数x，y满足ln x=ye x+ln y，则y-e-x的最大值为.2(2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习)已知实数m,n满足：m⋅e m=(n-1)ln(n-1)=t(t >0)，则ln tm(n-1)的最大值为.3(2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)对任给实数x>y>0,不等式x2-2y2≤cx(y-x)恒成立,则实数c的最大值为.题型二判别式法1(2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中)若x,y∈R，4x2+y2+xy=1，则当x=时，x+y取得最大值，该最大值为.2(2023·全国·高三竞赛)在△ABC中，2cos A+3cos B=6cos C，则cos C的最大值为．3(2023·高一课时练习)设非零实数a，b满足a2+b2=4，若函数y=ax+bx2+1存在最大值M和最小值m，则M-m=.1(2023·江苏·高三专题练习)若正实数x,y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+12y的最大值为．2(2023·全国·高三专题练习)设a,b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是5，则λ=.题型三基本不等式法1设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数f x,y,z=xy+yzx2+y2+z2的最大值是.2(2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)若实数x,y满足2x2+xy-y2=1，则x-2y5x2-2xy+2y2的最大值为.3(2023·全国·高三专题练习)已知正数a,b,c，则ab+bc2a2+b2+c2的最大值为．1(2023·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．2y=cos(α+β)+cosα-cosβ-1的取值范围是．题型五柯西不等式法1(2023·广西钦州·高二统考期末)已知实数a i，b i∈R，(i=1，2⋯，n)，且满足a21+a22+⋯+a2n=1，b21+b22 +⋯+b2n=1，则a1b1+a2b2+⋯+a n b n最大值为()A.1B.2C.n2D.2n2(2023·陕西渭南·高二校考阶段练习)已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x2+2y2+z2的最小值为.3(2023·江苏淮安·高二校联考期中)已知x2+y2+z2=1，a+3b+6c=16，则x-a22+y-b2+z-c 的最小值为.1(2023·全国·高三竞赛)已知x、y、z∈R+，且s=x+2+y+5+z+10，t=x+1+y+1+ z+1，则s2-t2的最小值为.A.35B.410C.36D.452(2023·全国·高三竞赛)设a、b、c、d为实数，且a2+b2+c2-d2+4=0.则3a+2b+c-4d 的最大值等于.A.2B.0C.-2D.-221(2023·甘肃·高三校联考)已知x>0，y>0，且12x+y+1y+1=1，则x+2y的最小值为 .2已知实数x,y满足x>y>0且x+y=1，则2x+3y+1x-y的最小值是3已知a>1,b>1，则a2b-1+b2a-1的最小值是．1已知x,y>0,1x+22y=1，则x2+y2的最小值是．题型七拉格朗日乘数法1x>0，y>0，xy+x+y=17，求x+2y+3的最小值．2设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．题型八三角换元法1(2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习)已知函数f(x)=-3x3-3x+3-x-3x+3，若f(3a2)+f(b2 -1)=6，则a1+b2的最大值是2(2023·浙江温州·高一校联考竞赛)2x2+xy+y2=1，则x2+xy+2y2的最小值为.题型九构造齐次式1(2023·江苏·高一专题练习)已知x>0，y>0，则2xyx2+8y2+xyx2+2y2的最大值是.2(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知实数a,b>0，若a+2b=1，则3ab+1ab的最小值为()A.12B.23C.63D.83(2023·天津南开·高三统考期中)已知正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，则abc的最大值为．题型十数形结合法1(2023·全国·高三专题练习)函数f x =x2+ax+b(a，b∈R)在区间[0，c](c>0)上的最大值为M，则当M取最小值2时，a+b+c=2(2023·江苏扬州·高三阶段练习)已知函数f x =x ln x,x>02x+4e,x≤0，若x1≠x2且f x1 =f x2 ，则x1-x2的最大值为()A.2e-1e B.2e+1 C.5e D.52e3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x,x>0x+1,x≤0，若x1≠x2且f x1 =f x2 ，则x1-x2的最大值为()A.22B.2C.2D.11(2023·江苏·高三专题练习)已知函数f x =x,0≤x≤1,ln2x,1<x≤2,若存在实数x1，x2满足0≤x1<x2≤2，且f x1=f x2，则x2-x1的最大值为()A.e2B.e2-1 C.1-ln2 D.2-ln4向量法1(2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在△ABC 中，若三个内角均小于120°，则当点P 满足∠APB =∠APC =∠BPC =120°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且|b |=2,|c |=3，则|a -b |+|a +b |+|a -c |的最小值是．2(2023·浙江嘉兴·高一统考期末)已知平面向量a ，b ，c 满足a =1，b =2，|a |2=a ⋅b ，c ⋅c -b2=0，则|c -a |2+|c -b|2的最小值为.3(2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末)已知向量a ，b 满足a +b ⋅b =0，a+4b =4，则a +b+b 的最大值为．琴生不等式法1(2023·福建龙岩·高三校考阶段练习)若函数f x 的导函数f x 存在导数，记f x 的导数为f x ．如果对∀x ∈a ，b ，都有f x <0，则f x 有如下性质：f x 1+x 2+⋅⋅⋅+x nn ≥f (x 1)+f (x 2)+⋅⋅⋅+f (x n )n ．其中n ∈N *，x 1，x 2，⋯，x n ∈a ，b .若f x =sin x ，则在锐角△ABC 中，根据上述性质推断：sin A +sin B +sin C 的最大值为.2(2023·全国·高三竞赛)半径为R 的圆的内接三角形的面积的最大值是．3(2023·北京·高三强基计划)已知正实数a ，b 满足a +b =1，求a +1a b +1b的最小值．多元函数最值问题目录题型一：消元法题型二：判别式法题型三：基本不等式法题型四：辅助角公式法题型五：柯西不等式法题型六：权方和不等式法题型七：拉格朗日乘数法题型八：三角换元法题型九：构造齐次式题型十：数形结合法题型十一：向量法题型十二：琴生不等式法方法技巧总结解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．必考题型归纳题型一消元法1(2023·全国·高三专题练习)已知正实数x ，y 满足ln x =ye x +ln y ，则y -e -x 的最大值为.【答案】1e2/e -2【解析】由ln x =ye x +ln y 得ln x y =ye x ，所以x y ln x y =xe x ，则xe x=ln x y ⋅e ln xy ，因为x >0，e x>0，eln xy>0，所以lnxy>0，令f (x )=xe x x >0 ，则f (x )=e x (x +1)>0，所以f x 在0,+∞ 上单调递增，所以由xe x=ln x y ⋅e ln xy ，即f x =f ln x y，得x =ln x y ，所以y =x e x ，所以y -e -x =x e x -1e x =x -1e x，令g (x )=x -1e xx >0 ，则g (x )=2-xe x，令g (x )>0，得0<x <2；令g (x )<0，得x >2，所以g (x )在0,2 上单调递增，在2,+∞ 上单调递减，所以g (x )max =g (2)=1e 2，即y -e -x 的最大值为1e2．故答案为：1e2．2(2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习)已知实数m ,n 满足：m ⋅e m =(n -1)ln (n -1)=t (t >0)，则ln tm (n -1)的最大值为.【答案】1e【解析】由已知得，m >0,n -1>0,ln n -1 >0，令f x =xe x (x >0)，则f x =x +1 e x >0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，又因为m ⋅e m =(n -1)ln (n -1)，所以f m =f ln n -1 ,∴m =ln n -1 ，∴m n -1 =(n -1)⋅ln n -1 =t ,∴ln t m n -1=ln t t ，令g t =ln tt(t >0),所以g t =1-ln tt 2，则当t ∈(0,e )时，g (t )>0，g (t )单调递增；当t ∈(e ,+∞)时，g (t )<0，g (t )单调递减；所以g (t )max =g (e )=1e.故答案为：1e.3(2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)对任给实数x >y >0,不等式x 2-2y 2≤cx (y -x )恒成立,则实数c 的最大值为.【答案】22-4【解析】因为对任给实数x >y >0,不等式x 2-2y 2≤cx (y -x )恒成立，所以c ≤x 2-2y 2xy -x 2=xy2-2x y-x y 2，令x y =t >1，则c ≤t 2-2t -t 2=f (t )，f(t )=t 2-4t +2t -t 2 2=(t -2+2)(t -2-2)t -t 22，当t >2+2时，f (t )>0，函数f (t )单调递增；当1<t <2+2时，f (t )<0，函数f (t )单调递减，所以当t =2+2时，f (t )取得最小值，f (2+2)=22-4，所以实数c 的最大值为22-4故答案为：22-4题型二判别式法1(2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中)若x ,y ∈R ，4x 2+y 2+xy =1，则当x =时，x +y 取得最大值，该最大值为.【答案】 1530/1301541515/41515【解析】令x +y =t ，则y =t -x ，则4x 2+y 2+xy =4x 2+t -x 2+x t -x =4x 2-tx +t 2=1，即4x 2-tx +t 2-1=0，由Δ=t 2-16t 2-1 ≥0，解得：-41515≤t ≤41515，故x +y ≤41515，故x +y =415154x 2+y 2+xy =1，解得：x =1530，y =71530，所以当且仅当x =1530，y =71530时，等号成立，故答案为：1530，415152(2023·全国·高三竞赛)在△ABC 中，2cos A +3cos B =6cos C ，则cos C 的最大值为．【答案】14-16【解析】令cos A =x ,cos B =y ,cos C =z ，则2x +3y =6z ，即y =2z -23x ．因为cos 2A +cos 2B +cos 2C +2cos A cos B cos C =1，所以x 2+2z -23x 2+z 2=1-2x 2z -23x z ，整理得139-43z x 2+4z 2-83z x +5z 2-1=0，Δ=4z 2-83z 2-45z 2-1 139-4z3≥0，化简得(z +1)(z -1)4z 2+4z 3-139≥0，于是4z 2+4z 3-139≤0，得z ≤14-16，所以cos C 的最大值为14-16．故答案为：14-16.3(2023·高一课时练习)设非零实数a ，b 满足a 2+b 2=4，若函数y =ax +bx 2+1存在最大值M 和最小值m ，则M -m =.【答案】2【解析】化简得到yx 2-ax +y -b =0，根据Δ≥0和a 2+b 2=4得到b -22≤y ≤b +22，解得答案.y =ax +bx 2+1，则yx 2-ax +y -b =0，则Δ=a 2-4y y -b ≥0，即4y 2-4yb -a 2≤0，a 2+b 2=4，故4y 2-4yb +b 2-4≤0，2y -b +2 2y -b -2 ≤0，即b -22≤y ≤b +22，即m =b -22,M =b +22，M -m =2.故答案为：2.1(2023·江苏·高三专题练习)若正实数x ,y 满足(2xy -1)2=(5y +2)(y -2)，则x +12y的最大值为．【答案】322-1【解析】令x +12y =t ,(t >0)，则(2xy -1)2=(2yt -2)2=(5y +2)(y -2)，即(4t 2-5)y 2+(8-8t )y +8=0，因此Δ=(8-8t )2-32(4t 2-5)≥0⇒2t 2+4t -7≤0，解得：0<t ≤-1+322，当t =-1+322时，y =4t -44t 2-5=62-817-122>0，x =35-242122-16>0，因此x +12y 的最大值为322-1故答案为：322-12(2023·全国·高三专题练习)设a ,b ∈R ，λ>0，若a 2+λb 2=4，且a +b 的最大值是5，则λ=.【答案】4【解析】令a +b =d ，由a +b =da 2+λb 2=4消去a 得：(d -b )2+λb 2=4，即(λ+1)b 2-2db +d 2-4=0，而b ∈R ，λ>0，则Δ=(2d )2-4(λ+1)(d 2-4)≥0，d 2≤4(λ+1)λ，-2λ+1λ≤d ≤2λ+1λ，依题意2λ+1λ=5，解得λ=4.故答案为：4题型三基本不等式法1设x 、y 、z 是不全是0的实数.则三元函数f x ,y ,z =xy +yzx 2+y 2+z 2的最大值是.【答案】22【解析】引入正参数λ、μ.因为λ2x 2+y 2≥2λxy ，μ2y 2+z 2≥2μyz ，所以，xy ≤λ2x 2+12λy 2，yz ≤μ2y 2+12μz 2.两式相加得xy +yz ≤λ2x 2+12λ+μ2 y 2+12μz 2.令λ2=12λ+μ2=12μ，得λ=2，μ=12故xy +yz ≤22x 2+y 2+z 2.因此，f x ,y ,z =xy +yz x 2+y 2+z2的最大值为22.2(2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)若实数x ,y 满足2x 2+xy -y 2=1，则x -2y5x 2-2xy +2y 2的最大值为.【答案】24【解析】由2x 2+xy -y 2=1，得(2x -y )(x +y )=1，设2x-y=t,x+y=1t，其中t≠0.则x=13t+13t,y=23t-13t，从而x-2y=t-1t,5x2-2xy+2y2=t2+1t2，记u=t-1t，则x-2y5x2-2xy+2y2=uu2+2，不妨设u>0，则1u+2u≤12u×2u=24,当且仅当u=2u，即u=2时取等号，即最大值为24.故答案为：2 4.3(2023·全国·高三专题练习)已知正数a,b,c，则ab+bc2a2+b2+c2的最大值为．【答案】6 4【解析】∵ab+bc2a2+b2+c2=ab+bc2a2+13b2+23b2+c2≤ab+bc223ab+223bc=1223=64(当且仅当2a=3 3b，63b=c时取等号)，∴ab+bc 2a2+b2+c2的最大值为64.故答案为：6 4.题型四辅助角公式法1(2023·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 22y=cos(α+β)+cosα-cosβ-1的取值范围是．【答案】-4,1 2【解析】y=cosαcosβ-sinαsinβ+cosα-cosβ-1=(cosβ+1)cosα-(sinβ)sinα-(cosβ+1)=(cosβ+1)2+sin2βsin(α+φ)-(cosβ+1)=2+2cosβsin(α+φ)-(cosβ+1)因为sin(α+φ)∈[-1,1]，所以-2+2cosβ-(cosβ+1)≤y≤2+2cosβ-(cosβ+1)，令t=1+cosβ，则t∈[0,2]，则-2t-t2≤y≤2t-t2，所以y≥-2t-t2=-t+2 22+12≥-4，(当且仅当t=2即cosβ=1时取等)；且y≤2t-t2=-t-2 22+12≤12，(当且仅当t=22即cosβ=-12时取等)．故y的取值范围为-4,1 2．题型五柯西不等式法1(2023·广西钦州·高二统考期末)已知实数a i，b i∈R，(i=1，2⋯，n)，且满足a21+a22+⋯+a2n=1，b21+b22 +⋯+b2n=1，则a1b1+a2b2+⋯+a n b n最大值为()A.1B.2C.n2D.2n【答案】A【解析】根据柯西不等式，a21+a22+⋯+a2nb21+b22+⋯+b2n≥a1b1+a2b2+⋯+a n b n2，故a1b1+a2b2+⋯+a nb n≤1，又当a1=b1=a2=b2=...=a n=b n=1n时等号成立，故a1b1+a2b2+⋯+a n b n最大值为1故选：A2(2023·陕西渭南·高二校考阶段练习)已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x2+2y2+z2的最小值为.【答案】10【解析】由柯西不等式可得x2+2y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以52x2+2y2+z2≥25，即x2+2y2+z2≥10，当且仅当x1=2y12=z1即x=2y=z也即x=2,y=1,z=2时取得等号，故答案为：103(2023·江苏淮安·高二校联考期中)已知x2+y2+z2=1，a+3b+6c=16，则x-a2+y-b2+z-c2的最小值为.【答案】9【解析】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：91(2023·全国·高三竞赛)已知x 、y 、z ∈R +，且s =x +2+y +5+z +10，t =x +1+y +1+z +1，则s 2-t 2的最小值为.A.35 B.410C.36D.45【答案】C【解析】由s +t =x +2+x +1 +y +5+y +1 +z +10+z +1 ，s -t =1x +1+x +2+4y +1+y +5+9z +1+z +10.知s 2-t 2=s +t s -t ≥1+2+3 2=36.当x +1+x +2=12y +1+y +5 =13z +1+z +10 时，取得最小值36.故答案为C2(2023·全国·高三竞赛)设a 、b 、c 、d 为实数，且a 2+b 2+c 2-d 2+4=0.则3a +2b +c -4d 的最大值等于.A.2B.0C.-2D.-22【答案】D【解析】由题意得a 2+b 2+c 2+22=d 2，所以42d 2=a 2+b 2+c 2+22 32+22+12+2 2 ≥3a +2b +c +22 2(利用柯西不等式).从而，4d ≥3a +2b +c +22 ≥3a +2b +c +2 2.故3a +2b +c -4d ≤-2 2.当且仅当a =32，b =22，c =2，d =±42时，等号成立.题型六权方和不等式法1(2023·甘肃·高三校联考)已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1) 12x +y +1y +1-32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．2已知实数x ,y 满足x >y >0且x +y =1，则2x +3y +1x -y的最小值是【答案】3+222【解析】2x +3y +1x -y ≥2+1 22x +2y =3+222．当2x +3y =1x -y 时，x =2-12,y =32-2取等号．3已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】a +b -2=t >0，a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥8.当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2，两个等号同时成立．1已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．即当1x 2=2y 21x +22y=1时，即x =3,y =32，有x 2+y 2的最小值为33．题型七拉格朗日乘数法1x >0，y >0，xy +x +y =17，求x +2y +3的最小值．【解析】令F (x ,y ,λ)=x +2y +3-λ(xy +x +y -17)F x ′=1-λy -λ=0，F y ′=2-λx -λ=0，F λ′=-(xy +x +y )+17=0，联立解得x =5，y =2，λ=13，故x +2y +3最小为12．2设x ,y 为实数，若4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值是．【答案】2105【解析】令L =2x +y +λ(4x 2+y 2+xy -1)，由L x =2+8λx -3λy =0L y =1+2λy -3λx =0L λ=4x 2+y 2+xy -1=0，解得x =±1010y =±105，所以2x +y 的最大值是2⋅1010+105=2105．三角换元法1(2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习)已知函数f (x )=-3x 3-3x +3-x -3x +3，若f (3a 2)+f (b 2-1)=6，则a 1+b 2的最大值是【答案】33【解析】设g (x )=f (x )-3,所以g (x )= -3x 3-3x +3-x -3x ,所以g (-x )=-3(-x )3+3x +3x -3-x ,∴g (-x )+g (x )=0,所以g (-x )=-g (x ),所以函数g (x )是奇函数，由题得g (x )=-9x 2-3-3-x ln3-3x ln3<0，所以函数g (x )是减函数，因为f 3a 2 +f b 2-1 =6，所以f 3a 2 -3+f b 2-1 -3=0，所以g 3a 2 +g b 2-1 =0,所以g 3a 2 =g (1-b 2),所以3a 2=1-b 2,∴3a 2+b 2=1,设a =33cos θ,b =sin θ,不妨设cos θ>0，所以a 1+b 2=33cos θ1+sin 2θ=33(1+sin 2θ)cos 2θ=33(1+sin 2θ)(1-sin 2θ)=331-sin 4θ≤33，所以a 1+b 2的最大值为33.故答案为332(2023·浙江温州·高一校联考竞赛)2x 2+xy +y 2=1，则x 2+xy +2y 2的最小值为.【答案】-42+97【解析】根据条件等式可设x =2cos θ7,y =sin θ-cos θ7，代入所求式子，利用二倍角公式和辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值.∵2x 2+xy +y 2=1，则7x 24+x 24+xy +y 2=1，即7x 2 2+x 2+y 2=1，设7x 2=cos θ,x 2+y =sin θ，则x =2cos θ7,y =sin θ-cos θ7，∴x 2+xy +2y 2=2cos θ7 2+2cos θ7⋅sin θ-cos θ7 +2sin θ-cos θ72=4cos 2θ7-2sin θcos θ7+2sin 2θ=471+cos2θ2 -sin2θ7+1-cos2θ=-17sin2θ-57cos2θ+97=427sin 2θ+φ +97，其中φ是辅助角，且tan φ=357，当sin 2θ+φ =-1时，原式取得最小值为-42+97.故答案为：-42+97.题型九构造齐次式1(2023·江苏·高一专题练习)已知x >0，y >0，则2xy x 2+8y 2+xyx 2+2y 2的最大值是.【答案】23【解析】由题意，2xy x 2+8y 2+xy x 2+2y 2=3x 3y +12xy 3x 4+10x 2y 2+16y 4=3x y+4yxx y2+16yx 2+10=3x y+4yxx y+4y x2+2=3x y+4yxx y+4y x+2x y+4y x，设t =x y +4y x ，则t =x y +4y x ≥2x y ⋅4y x =4，当且仅当x y =4y x，即x =2y 取等号，又由y =t +2t 在[4,+∞)上单调递增，所以y =t +2t 的最小值为92，即t +2t ≥92，所以3x y+4yxxy +4y x+2x y+4y x≤3t +2t=23，所以2xy x 2+4y 2+xy x 2+2y 2的最大值是23.故答案为：23.2(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知实数a ,b >0，若a +2b =1，则3a b +1ab的最小值为()A.12 B.23C.63D.8【答案】A 【解析】由3a b +1ab，a +2b =1，a ,b >0，所以3a b +1ab =3ab +a +2b 2ab=3a b +a 2+4ab +4b 2ab =3a b +a b+4+4b a =4a b+4b a +4≥24a b ⋅4b a +4=8+4=12，当且仅当4a b=4b a ⇒a =b =13时，取等号，所以3a b +1ab 的最小值为：12，故选：A .3(2023·天津南开·高三统考期中)已知正实数a ，b ，c 满足a 2-2ab +9b 2-c =0，则abc的最大值为．【答案】14/0.25【解析】由a 2-2ab +9b 2-c =0，得c =a 2-2ab +9b 2，∵正实数a ，b ，c∴则ab c =ab a 2-2ab +9b 2=1a b+9b a -2则a b+9b a ≥2a b ⋅9b a =6，当且仅当a b=9ba ，且a ，b >0，即a =3b 时，等号成立a b+9b a -2≥4>0则1a b +9b a -2≤14所以，ab c 的最大值为14.故答案为：14.题型十数形结合法1(2023·全国·高三专题练习)函数f x =x 2+ax +b (a ，b ∈R )在区间[0，c ](c >0)上的最大值为M ，则当M 取最小值2时，a +b +c =【答案】2【解析】解法一：因为函数y =x 2+ax +b 是二次函数，所以f x =x 2+ax +b (a ，b ∈R )在区间[0，c ](c >0)上的最大值是在[0，c ]的端点取到或者在x =-a2处取得．若在x =0取得，则b =±2；若在x =-a 2取得，则b -a 24=2；若在x =c 取得，则c 2+ac +b =2；进一步，若b =2，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合题意；若b =-2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不合题意；由此推断b =a 24，即有b =2，a +c =0，于是有a +b +c =2．解法二：设g x =x 2，h x =-ax -b ，则f x =g x -h x ．首先作出g x =x 2在x ∈0,c 时的图象，显然经过(0，0)和c ,c 2 的直线为h 1x =cx ，该曲线在[0，c ]上单调递增；其次在g x =x 2图象上找出一条和h 1x =cx 平行的切线，不妨设切点为x 0,x 20 ，于是求导得到数量关系2x 0=c ．结合点斜式知该切线方程为h 2x =cx -c 24．因此M min =120--c 24 =2，即得c =4．此时h x =cx -c 28，即h x =4x -2，那么a =-4，b =2．从而有a +b +c =2．2(2023·江苏扬州·高三阶段练习)已知函数f x =x ln x ,x >02x +4e ,x ≤0，若x 1≠x 2且f x 1 =f x 2 ，则x 1-x 2的最大值为()A.2e -1eB.2e +1C.5eD.52e 【答案】D【解析】当x >0时，f x =x ln x ，求导f x =ln x +1，令f x =0，得x =1e当x ∈0,1e 时，f x <0，f x 单调递减；当x ∈1e,+∞ 时，f x >0，f x 单调递增；作分段函数图象如下所示：设点A 的横坐标为x 1，过点A 作y 轴的垂线交函数y =f x 于另一点B ，设点B 的横坐标为x 2，并过点B作直线y =2x +4e 的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，x 1-x 2 =52d ，由图形可知，当直线l 与曲线y =x ln x 相切时，d 取最大值，令f x =ln x +1=2，得x =e ，切点坐标为e ,e ，此时，d =2e -e +4e5=5e ，∴x 1-x 2 max =52×5e =52e ，故选：D3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x ,x >0x +1,x ≤0 ，若x 1≠x 2且f x 1 =f x 2 ，则x 1-x 2 的最大值为()A.22B.2C.2D.1【答案】B【解析】设点A 的横坐标为x 1，过点A 作y 轴的垂线交函数y =f x 于另一点B ，设点B 的横坐标为x 2，并过点B 作直线y =x +1的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为π4，可得出x 1-x 2 =2d ，于是当直线l 与曲线y =x ln x 相切时，d 取最大值，从而x 1-x 2 取到最大值.当x >0时，f x =x ln x ，求导f x =ln x +1，令f x =0，得x =1e当x ∈0,1e 时，f x <0，f x 单调递减；当x ∈1e ,+∞ 时，f x >0，f x 单调递增；如下图所示：设点A 的横坐标为x 1，过点A 作y 轴的垂线交函数y =f x 于另一点B ，设点B 的横坐标为x 2，并过点B 作直线y =x +1的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，x 1-x 2 =2d ，由图形可知，当直线l 与曲线y =x ln x 相切时，d 取最大值，令f x =ln x +1=1，得x =1，切点坐标为1,0 ，此时，d =1-0+12=2，∴x 1-x 2 max =2×2=2，故选：B .1(2023·江苏·高三专题练习)已知函数f x =x ,0≤x ≤1,ln 2x ,1<x ≤2, 若存在实数x 1，x 2满足0≤x 1<x 2≤2，且f x 1 =f x 2 ，则x 2-x 1的最大值为()A.e 2B.e 2-1 C.1-ln2 D.2-ln4【答案】B 【解析】f x =x ,0≤x ≤1,ln 2x ,1<x ≤2的图象如下存在实数x 1，x 2满足0≤x 1<x 2≤2，且f x 1 =f x 2 ，即x 1=ln 2x 2∴x 2∈1,e 2，则x 2-x 1=x 2-ln 2x 2 令g x =x -ln 2x ，x ∈1,e 2，则gx =x -1x∴g x 在1,e 2 上单调递增，故g x max =g e 2 =e2-1故选：B 向量法1(2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在△ABC 中，若三个内角均小于120°，则当点P 满足∠APB =∠APC =∠BPC =120°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且|b |=2,|c |=3，则|a -b |+|a +b |+|a -c |的最小值是．【答案】3+23【解析】以b 为x 轴，c 为y 轴，建立直角坐标系如下图，设a=x ,y ，则b =2,0 ,c =0,3 ，a -c =x 2+y -3 2,a -b =x -2 2+y 2,a +b =x +2 2+y 2，∴a -c +a -b +a +b即为平面内一点x ,y 到0,3 ,2,0 ,-2,0 三点的距离之和，由费马点知：当点P x ,y 与三顶点A 0,3 ,B -2,0 ,C 2,0 构成的三角形ABC 为费马点时a -c+a -b +a +b最小，将三角形ABC 放在坐标系中如下图：现在先证明△ABC 的三个内角均小于120°：AB =BC =22+32=13,BC =4，cos ∠BAC =AB2+AC 2-BC 22AB ∙AC=1113>0，cos ∠ABC =cos ∠ACB =AB2+BC 2-AC 22AB ∙BC=113>0，∴△ABC 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为△ABC 是等腰三角形，点P 必定在底边BC 的对称轴上，即y 轴上，∠BPC =120°,∴∠PCB =30°，PO =OC ∙tan ∠PCB =2×33=233，即P 0,233 ，现在验证∠BPA =120°：BP =22+233 2=43,AP =3-233，cos ∠BPA =BP 2+AP 2-AB 22BP ∙AP =-12，∴∠BPA =120°，同理可证得∠CPA =120°，即此时点P 0,233 是费马点，到三个顶点A ，B ，C 的距离之和为BP +CP +AP =2×43+3-233=3+23，即a -c +a -b +a +b 的最小值为3+23；故答案为：3+23.2(2023·浙江嘉兴·高一统考期末)已知平面向量a ，b ，c 满足a =1，b =2，|a |2=a ⋅b ，c ⋅c -b 2=0，则|c -a |2+|c -b |2的最小值为.【答案】72-3【解析】令OA =a ，OB =b ，OC =c ，OB 中点为D ，OD 中点为F ，E 为AB 的中点，由|a |=1，|b |=2，|a |2=a ⋅b ，得1=1×2×cos <a ,b >，则cos <a ,b >=12，<a ,b >=60°即∠AOB =60°，所以AB =OA 2+OB 2-2OA ⋅OB cos ∠AOB =22+12-2×2×1×12=3，所以AO 2+AB 2=OB 2，即∠OAB =90°，∠ABO =30°，所以EF =BF 2+BE 2-2BF ⋅BE cos ∠ABO =32 2+32 2-2×32×32×32=32，因为c ⋅c -b 2=0，所以OC ⋅OC -12OB =0，即OC ⋅OC -OD =0，所以OC ⋅DC =0，所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，∵2(|c -a |2+|c -b |2)=2(|CA |2+|CB |2)=4|CE |2+|AB |2=4|CE |2+3 2=4|CE |2+3≥4EF -122+3=7-23，当且仅当C 、E 、F 共线且C 在线段EF 之间时取等号．∴|c -a |2+|c -b |2的最小值为72-3．故答案为：72-3．3(2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末)已知向量a ，b 满足a +b ⋅b =0，a +4b =4，则a +b +b 的最大值为．【答案】4103/4310【解析】取平行四边形OACB ，连接OC设OA =a ,OB =b ，则OC =a +b ，因为向量a ，b 满足a +b ⋅b =0，所以a +b ⊥b ，即OC ⊥OB ，设OB =m ,OC =n ，m ,n >0，如图以O 为原点，OB ,OC 所在直线为x ,y 轴建立平面直角坐标系，则O 0,0 ,B m ,0 ,C 0,n ,A -m ,n 所以a =OA =-m ,n ,b =OB =m ,0 ，则a +4b =-m ,n +4m ,0 =3m ,n =9m 2+n 2=4，故9m 2+n 2=16，所以a +b +b =0,n +m ,0 =n +m因为9m 2+n 2=16，又sin 2θ+cos 2θ=1，可设3m =4sin θ,n =4cos θ,θ∈0,π2 即m =43sin θ,n =4cos θ，所以m +n =43sin θ+4cos θ=43 2+42sin θ+φ =4103sin θ+φ ，其中tan φ=443=3,φ∈0,π2 ，所以θ+φ∈0,π ，所以sin θ+φ ∈0,1 ，故m +n 的最大值为4103，即a +b +b 的最大值为4103.故选：4103.题型十二琴生不等式法1(2023·福建龙岩·高三校考阶段练习)若函数f x 的导函数f x 存在导数，记f x 的导数为f x ．如果对∀x ∈a ，b ，都有f x <0，则f x 有如下性质：f x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n n ≥f (x 1)+f (x 2)+⋅⋅⋅+f (x n )n．其中n ∈N *，x 1，x 2，⋯，x n ∈a ，b .若f x =sin x ，则在锐角△ABC 中，根据上述性质推断：sin A +sin B +sin C 的最大值为.【答案】332/323.【解析】f x =sin x ，则f (x )=cos x ，f (x )=-sin x .在锐角△ABC 中，A ，B ，C ∈0，π2，则f (x )=-sin x <0∴ sin A +sin B +sin C 3≤sin A +B +C 3 =sin π3=32，∴ sin A +sin B +sin C 的最大值为332.故答案为：332.2(2023·全国·高三竞赛)半径为R 的圆的内接三角形的面积的最大值是．【答案】334R 2【解析】设⊙O 的内接三角形为△ABC ．显然当△ABC 是锐角或直角三角形时，面积可以取最大值(因为若△ABC 是钝角三角形，可将钝角(不妨设为A )所对边以圆心为对称中心作中心对称成为B C )．因此，S △AB C >S △ABC ．下面设∠AOB =2α，∠BOC =2β，∠COA =2γ，α+β+γ=π．则S △ABC =12R 2sin2α+sin2β+sin2γ ．由讨论知可设0<α、β、γ<π2，而y =sin x 在0,π 上是上凸函数．则由琴生不等式知sin2α+sin2β+sin2γ3≤sin 2α+β+γ 3=32．所以，S △ABC ≤12R 2×3×32=334R 2．当且仅当△ABC 是正三角形时，上式等号成立．故答案为334R 23(2023·北京·高三强基计划)已知正实数a ，b 满足a +b =1，求a +1a b +1b的最小值．【解析】设f (x )=ln x +1x ,0<x <1，则f (x )=x 2-1x 3+x，从而f (x )=-x 4+4x 2+1x 3+x2>0，故f (x )在(0,1)下凸，因此f (a )+f (b )2≥f a +b 2，即a +1a b +1b ≥254,当且仅当a =b =12时等号成立．所以a +1a b +1b的最小值为华254．。

最值问题的几种常见解法一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322⋅-=+的最大值和最小值． 解析：34)322(32+--=xy ，当01≤≤-x 时，1221≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，34max=y ． 二、判别式法 形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=(1a 、2a 不同时为0),将其转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，从而求出函数的值域或参数的值. 例：在20π≤≤x 条件下，求2)sin 1()sin 1(sin x x x y +-=的最大值． 解析：设x t sin =，因0(∈x ，)2π，故 10≤≤t ，则2)1()1(t t t y +-= 即 0)12()1(2=+-++y t y t y因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2≥+--=∆y y y 即 81≤y 将81=y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以81max =y 注意：因0≥∆仅为方程0)12()1(2=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将81=y 代入方程中检验，看等号是否可取． 三、换元法(一)局部换元法 例：已知20≤≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2122-++=a a t y 当2=t 时，2122max ++=a a y ；当a t -=时，)1(212min -=a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例1：已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值．解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 211()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，21max =u ． 例2：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则max 1S +min 1S =____ 解析：令αcos S x =，αsin S y =，则5sin cos 54=-ααS Sααα2sin 2545cos sin 545-=-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，13102545min =+=y ． 所以 58101310311min max =+=+S S ．四、三角函数有界法①对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x②形如：a b tan ),sin(cos sin 22=++=+=ϕϕ其中kx b a kx b kx a y 例：求函数x x y 2cos 22sin -=的最值． 解析：1)42sin(212cos 2sin cos 22sin 2--=--=-=πx x x x x y 因为 1|)42sin(|≤-πx ，故 当1)42sin(=-πx 时，12max -=y ；当1)42sin(-=-πx 时，12min --=y ．五、单调性法(一)利用若干次“≥”(或“≤”)求函数的最值例：求函数xx y cos 1sin 1+=在0(，)2π内的最小值． 解析：222sin 22cos sin 2cos sin cos sin cos 1sin 1≥=≥+=+=x x x x x x x x x y 当4π=x 时，x x cos sin =，12sin =x ．上式中的两个 “≥”中的等号同时成立，所以22≥y 是 “精确的”不等式．因而 22min =y另：此题还可用换元x x t cos sin +=以及函数单调性来判断(二)形如xb a x y +=的函数的最值 (1) 0>a ，0>b 时，函数在-∞(，ab -］内递增，在ab -[，)0内递减， 在0(，ab ］内递减，在ab [，)∞+内递增．(2) 0<a ，0<b 时，函数在-∞(，ab -］内递减，在ab -[，)0内递增， 在0(，ab ］内递增，在ab [，)∞+内递减．(3) 0<a ，0>b 时，函数在-∞(，)0内递减，在0(，)∞+内递减．(4) 0>a ，0<b 时，函数在-∞(，)0内递增，在0(，)∞+内递增． 例：求函数xx x y sin 1cos sin 22+-=的最大值． 解析：y )1sin 2()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+=x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤<t ，函数tt y 2-+=在0(，)∞+内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ．六、数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．例24：求函数6cos 31sin 4--=x x y 的最值． 解析：将函数式变形为)2(cos 3)41(sin 4--=x x y ，只需求函数2cos 41sin --=x x u 的最值．把u 看成两点2(A ，)41，x B (cos ，)sin x 连线的斜率，(B 即为单位圆上的点)， 则当直线AB 为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．设过A 点的单位圆的切线方程为)2(41-=-x k y ，即 0241=-+-k y kx ． 则圆心到切线的距离为11|241|2=+-k k ，解得：431=k ，1252-=k ．从而函数 最大值为14334max =⨯=y ；最小值为95)125(34min -=-⨯=y ． 七、利用二次函数的性质例25：设0>x ，0≥y 且212=+y x ，求当x 、y 为何值时，)148(log 231++=y xy u 取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值． 解析：由212=+y x ，得y x 221-= )1412(log ]14)221(8[log 231231++-=++-=∴y y y y y u 由0>x ，0≥y 且212=+y x 可得410<≤y ，从而34141212≤++-≤y y (当0=y 时左边取“=”号，61=y 时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即 当61=x 、61=y 时，)34(log 31min =u ；当21=x 、0=y 时，0max =u ．。